MỤC LỤC
Trang
PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ
A . Lý do chọn đề tài 2
B . Phạm vi nghiên cứu đề tài 2
PHÂN II : NỘI DUNG ĐỀ TÀI
A . Cơ sở lý luận 3
B . Thực trạng vấn đề 4
C . Một số giải pháp 6
I . Bài toán 1 : Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 6
II . Bài toán 2 : Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 9
III . Bài toán 3 : Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song
song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 13
IV . Bài toán 4 : Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 15
D . Kiểm nghiệm : 20
PHẦN III : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
A . Kết luận 21
B . Kiến nghị 21

1
PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ
A . LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
- Từ đầu lớp 11 trở về trước : Học sinh mới chỉ làm việc với phần lớn là
các hình trong phẳng . Mỗi hình đều có thể biểu diễn một cách tường minh,
phản ánh trung thành hình dạng và có thể cả về kích thước bằng hình vẽ trên mặt
giấy. Mọi quan hệ giữa các đối tượng đều được biểu diễn một cách trực quan.
Đến chương II, III hình học lớp 11, hình vẽ là những hình phẳng không thể phản
ánh trung thành các quan hệ như quan hệ vuông góc, quan hệ bằng nhau, … của
các đối tượng. Đó là một khó khăn rất lớn đối với học sinh .
- Sau khi giới thiệu 2 quan hệ: Quan hệ song song, quan hệ vuông góc
trong không gian, sách giáo khoa hình học lớp 11 có đưa ra hai khái niệm quan

hướng tìm lời giải của một lớp các bài toán tương tự nhau . Trong dạy học, giáo
viên có vai trò thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập
những hoạt động tương thích với nội dung dạy học trong điều kiện được gợi
động cơ, có hướng đích, có kiến thức về phương pháp tiến hành và có trải
nghiệm thành công . Do vậy trang bị về phương pháp cho học sinh là một nhiệm
vụ quan trọng của người giáo viên .
- Trong bài “ Khoảng cách” sách giáo khoa hình học lớp 11 có đưa ra 4
khái niệm về khoảng cách :
Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng
Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song , khoảng cách
giữa hai mặt phẳng song song .
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau .
“Khoảng cách giữa 2 điểm A,B chính là độ dài đoạn thẳng AB”. Khái
niệm này các em đã được giới thiệu và làm việc rất nhiều ở các cấp học dưới .
Trên đây cũng là tất cả các khoảng cách có trong thực tế . Do đó nếu có được
một hệ thống phương pháp giải các bài toán
Bài toán 1 : Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng
Bài toán 2 : Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
Bài toán 3: Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song,
khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
Bài toán 4 : Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau .
thì hầu hết các bài toán về khoảng cách sẽ được giải quyết
Ngoài ra trong 4 bài toán trên trừ “bài toán 1”, các bài toán đều quy về
khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và có một số kiến thức thường hay sử dụng
để giải các bài toán này .
Vì vậy, tôi thấy việc đưa ra “Một số phương pháp giải các bài toán về
khoảng cách trong hình học không gian lớp 11” là một việc rất cần thiết và bổ
ích cho việc dạy của giáo viên cũng như việc học hình học không gian của học
sinh .

a. Tính khoảng cách từ O đến (SBC)
b. Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC)
* Học sinh thường lúng túng khi xác
định hình chiếu H
1
của O lên (SBC), hình
chiếu H
2
của G lên (SAC), cũng không biết
sử dụng tỉ số khoảng cách .

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
;
1
)
2
;
1
; ;
2
d O SBC
OC
a

;(ASC) 3
1
;(ASC) ;(ASC)
3
d G
GN
b
d B BN
d G d B
= =
⇒ =

để đưa việc tính khoảng cách cần tìm về việc tính một số khoảng cách đơn giản
hơn.
Theo tôi đến đây giáo viên nên hướng dẫn cho học sinh một số quy trình
dựng hình chiếu thường gặp; quy trình dựng hình chiếu trong các trường hợp
đặc biệt để học sinh biết cách xác định các điểm H hoặc cách dùng tỷ lệ khoảng
cách để đưa việc tính các khoảng cách phức tạp về các khoảng cách đơn giản .
2 . Khi gặp bài toán :
Bài toán : Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, canh SA
vuông góc với mặt đáy và SA = a . Tính khoảng cách giữa AC và SD.
* Học sinh thường loay hoay đi dựng đường vuông góc chung và gặp bế
tắc vì dựng khó. Cũng có một số học sinh biết cách đưa khoảng cách này về
khoảng cách từ AC đến mặt phẳng qua SD song song với AC để giải bằng cách:
Giải
Trong mặt phẳng (ABCD) vẽ DB’//AC

( ; ) ( ;( ')) ( ;( '))d AC SD d AC SDB d A SDB⇒ = =

Ta tính được AB’= a,

.
3
AI AD a
AK
DI
⇒ = =

* Đây cũng là lời giải mà sách bài tập trình bày. Tuy nhiên tôi thấy việc
tính khoảng cách từ A đến (SDB’) như thế này vẫn dài. Ta có thể tính d(A;
(SDB’)) theo một cách ngắn gọn hơn như sau:
Dễ dàng suy ra A.SDB’ là hình chóp đều có AS, AD, AB’ đôi một
vuông góc với nhau nên d(A; (SDB’)) chính là đường cao của hình chóp hạ từ A

5
S
A
B
C
D
B'
xuống mp(SDB’)

( ;( ' ))
A
d A SB D h⇒ =

2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
3
' 3

sinh phương pháp giải từng dạng toán, nên giải như thế nào cho hợp lý đối với
từng loại để được một đáp án đúng và suy luận có lôgíc để có hướng làm tốt
tránh được tình huống rối ren dễ mắc sai lầm . Trên cơ sở đó hình thành cho học
sinh kỹ năng tốt khi giải quyết các bài toán về khoảng cách .
C . MỘT SỐ GIẢI PHÁP :
Qua nghiên cứu, trao đổi, đúc rút kinh nghiệm và ý kiến của đồng nghiệp,
tôi mạnh dạn đưa ra hướng giải quyết các vấn đề trên của học sinh với giải pháp:
Đưa ra “Một số phương pháp giải các bài toán về khoảng cách trong hình học
không gian lớp 11” như sau:
I . BÀI TOÁN 1: Tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng
1 . Phương pháp : Để tính khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng d ta thực
hiện theo các bước sau :

6
S
A
B
C
D
B'
H
N
M
D
C
B
A
S
B
1

= + =

Suy ra
MSC
∆
cân tai M
2
2
2
2
SC
MI MS a
 
⇒ = + =
 ÷
 

2 2 2 2
1 1 1 10
3IH IM SI a
⇒ = + =

3
10
IH a⇒ =

Cách 2:
Gọi H là hình chiếu của I lên CM

IH CM

Vậy khoảng cách từ I tới CM bằng
3
10
a7
H
d
O
S
A
B
C
D
M
H
I
O
S
M
C
I
H
A
B
C
D
O
K

=

▪ Một số công thức thường dùng
Định lý hàm số cosin

2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 .cos
2 .cos
2 .cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
= + −
= + −
= + −

Các công thức về diện tích

1 1 1
. . .
2 2 2
1 1 1
.sin .sin .sin
2 2 2
4
a b c
S a h b h c h
S ab C bc A ac B

O
K
H
I
a
d
K
A
O
h
a
b'
c'
a
b
c
H
C
B
A
h
a
H
c
b
a
C
B
A


OH A⊥
tại H
B
2
: Tính độ dài OH
a . Các ví du :
Ví dụ 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Mặt
bên (SAB) là tam giác cân tại S và mặt phẳng (SAB ) vuông góc với mặt phẳng
(ABCD), cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc
α
.Tính khoảng cách từ
chân đường cao hình chóp đến mp(SCD)
Giải
Gọi H là trung điểm của AB suy ra SH
⊥
AB
⇒
HS
⊥
(ABCD). Suy ra H
là chân đường cao hạ từ S của hình chóp .
Gọi K là trung điểm CD. Trong
SHK∆
gọi I là hình chiếu của H lên SK
Ta có CD
⊥
( SHK )
⇒
CD
⊥

∆
SHK vuông với HK = a , ta có:
2
2 2 2 2
1 1 1 5 tan 4
5 .tanHI SH HK a
α
α
+
= + =9
β
α
a
H
O
I
α
K
S
A
B
C
D
H
2
5 tan
5tan 4

⇒ ⊥
. Vậy mp (MOI) là mp
(P) cần dựng
Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O
cạnh bằng a, SA =
3a
và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
i) Tính khoảng cách từ trung điểm M của SC tới mặt phẳng (ABCD)
ii) Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC), từ đó suy ra khoảng cách từ O
đến mp (SBC)
iii) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mp (SAC)
Giải
i) Ta có MO // SA
⇒
MO vuông góc (ABCD)

1 3
( ;( ))
2 2
a
d M ABCD MO SA⇒ = = =

ii) Nhận xét rằng
BC AB
BC SA
⊥


⊥


∩
( SBC ) = C nên

10
P
H
O
I
d
M
∆
α
O
M
N
H
G
D
C
B
A
S
( ;( )) 1 1 1 3
( ;( )) ( ;( ))
( ;( )) 2 2 2 4
d A SBC OC a
d O SBC d A SBC AH
d A SBC AC
= = ⇒ = = =


α
⊥
thì chỉ cần dựng OH//d với
H d
∈

2 . Nếu OA//
α
thì d (O;(
α
)) = d (A; (
α
))
3 . Nếu OA cắt
α
tại I thì có thể sử
dụng tỉ số khoảng cách
( ;( ))
( ;( ))
d O OI
d A AI
α
α
=

để đưa việc tính khoàng cách cần tìm về việc tính
một khoảng cách khác đơn giản hơn hoặc một khoảng cách đã biết trước đó.
b. Bài tập tự luyện:
Bài 1) (Bài 62-SBT). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi,
0

H
O
A
α
H
O
A
K
α
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông,
AB = BC = a . Cạnh bên AA’ = a
2
. Gọi M là trung điểm của cạnh BC , E là
trung điểm của BB’ . Tính khoảng cách từ B’ đến (AME)
Giải
Vì E là trung điểm của BB’
( )
( )
'; ( ;( ))d B AME d B AME⇒ =

Dễ thấy hình chóp B.AME có BA, BE, BM đôi một vuông góc . Khoảng cách từ
B đến (AME) bằng độ dài đường cao của hình chóp S.AME hạ từ A xuống
mp(AME). Gọi h
B
là đường cao hạ từ B xuống (AME)
2
2 2 2 2 2 2
2
1 1 1 1 1 1 1 7
1

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, tam giác
0
ˆ
ˆ
90ABC BAD= =
, BA =BC = a, AD = 2a .Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA
= a
2
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác
SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)
Giải
* Gọi I là trung điểm AD suy ra tứ giác ABCI
là hình vuông và
∆
ICD vuông cân tại I

( )

CD AC
CD SAC CD SC
CD SA
⇒ ⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥
12

.
3
SH SB SA SH SA
SH SB SA
SB SB SB SB
= ⇒ = ⇔ = =
Gọi V là thể tích hình chóp B.SCD, h
B
là độ dài đường cao hạ từ B xuống (SCD)
( )
( )
2
D
2.
.
3
2
;
1
2
2 . 2
2
BCD
B
SCD SC
a
a
SA S
V a
d B SCD h

Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
1 . Phương pháp: Để tính khoảng cách từ d đến
(
α
) với d // (
α
) (hoặc khoảng cách từ (
α
) đến (
β
)
với (
α
)//(
β
)) ta tiến hành theo các bước :
B
1
: Chọn 1 điểm A trên d (hoặc điểm A
trên (
α
)) sao cho các khoảng cách ấy dễ tính nhất
B
2
: Kết luận
( ;( )) ( ;( ))d d d A
α α
=
(hoặc
(( );( )) ( ;( ))d d A

Suy ra khoảng cách giữa mp(ABCD) và
mp(A’B’C’D’) chính là độ dài A’H.
Ta có:
2
2
2 2 2 2
3 2
' '
3 3
a a
A H AA AH a
 
= − = − =
 ÷
 ÷
 

Vậy A’H =
6
'
3
a
A H =

Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có SA =
6a
và vuông góc với mặt
phẳng (ABCD). Đáy ABCD là lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường
kính AD = 2a. Tính khoảng cách từ AD đến mặt phẳng (SBC)
Giải

B
K
H
D
C
A
S
O
H
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
( )
2 2
2 2 2 2
3
2
1 1 1 1 1 3
2
3
6
2
2
3
a

B
1
: Dựng đường vuông góc chung bằng cách
▪ Dựng theo quy trình trong sách giáo khoa
▪ Nếu a
⊥
b thì chỉ cần dựng mp(P) chứa b,
vuông với a tại I. Trong mặt phẳng (P) hạ

( )
IJ b J b⊥ ∈
. Suy ra IJ là đường vuông góc chung
B
2
: Tính độ dài đoạn vuông góc chung IJ
a . Một số ví dụ:
Ví dụ 1 : Cho hình hộp đứng ABCD. A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh
a, Â = 60
0
. Góc của đường chéo A’C’ và mặt phẳng đáy bằng 60
0
. Tìm đường
vuông góc chung của A’C và BB’. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng đó
Giải
Ta có
'/ /( ' )BB A AB
và
( ' )BO A AC⊥
với


A
O là tâm của hình thoi ABCD. Kẽ OI//AA’ và
IJ//BO thì dễ dàng chứng minh được IJ là
đường vuông góc chung của BB’ và A’C.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và
A’C chính là BO . Mặt khác BO =
2
a
.
Vậy
( '; ' )
2
a
d BB A C =

Chú ý: Cần phân biệt 2 khái niệm “tính khoảng cách” và “dựng đường
vuông góc chung”. “Dựng đường vuông góc chung” là bắt buộc phải dựng
đường thẳng cắt và vuông góc với cả 2 đường thằng (Quy trình như trong
SGK). Còn “tính khoảng cách” thì có thể không cần dựng đường vuông góc
chung mà có thể tính thông qua một khoảng cách khác bằng khoảng cách đó.
Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. H là giao điểm của CN
và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH=
3a
. Tính khoảng
cách giữa 2 đường thẳng DM và SC theo a
Giải
Trong mặt phẳng (ABCD) ta có

( . . )ADM DCN c g c∆ = ∆

5
DC a
HC NC DC HC
NC
= ⇒ = =

2 2 2 2
1 1 1 19
12HK HS HC a
⇒ = + =

2 3
19
HK a⇒ =

Vậy khoảng cách từ DM đến SC bằng
2 3
19
a

Chú ý: Khi tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau cần lưu ý:

16
1
2
1
H
M
N
D

) là mặt
phẳng chứa b, song song với a
▪ Quy d(a; b) về d ((
);( ))
α β
với (
α
), (
)
β
là
2 mặt phẳng song song với nhau lần lượt chứa 2
đường thẳng a và b
a . Một số ví du
Ví dụ 1 : Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng a . Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’
Giải
Ta có :
( ) ( ) ( )
( )
' ( ')
' ( ' ') '; ' ' ; ' '
( ') / /( ' ')
CD ACD
BC A BC d CD BC d ACD A BC
ACD A BC
⊂


⊂ ⇒ =

b
A
I
J
G'
G
B
D'
C'
B'
A'
C
A
D
Giải
Gọi P là trung điểm của SA
Suy ra
/ / / /MP AD NC
và
1
2
MP NC AD= =

1
( ; ) ( ;( )) ( ;( )) ( ;( ))
2
d MN AC d MN SAC d N SAC d B SAC⇒ = = =

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều
( )

Gọi M là hình chiếu của A xuống SB
2
( ;( )
2
a
d A SBC AM⇒ = =

Vậy khoảng cách giữa SC và AD bằng
2
2
a

ii) Từ B kẽ Bx song song AC cắt AD tại D’
( ; ) ( ;( ')) ( ;( '))d SB AC d AC SBD d A SBD⇒ = =

Dễ thấy hình chóp A.SBD’ là hình chóp đều có AS, AD’,AB đôi một vuông góc
( ;( '))
A
d A SBD h⇒ =
với
2 2 2 2
1 1 1 1
'
A
h AB AS AD
= + +

3
A
a

i) Từ D kẽ Dx // AC
( ; ) ( ;( , ))d AC SD d AC S Dx⇒ =
=
( ;( , ))d A S Dx

Trong mp (ABC) vẽ AE // CB với E thuộc
Dx

DE EA
⇒ ⊥( )DE SA DE SEA⊥ ⇒ ⊥

Hạ AH vuông góc với SE
( )
AH SDE⇒ ⊥

( )
( ; , ) ( ;( ))d A S Dx d A SDE AH⇒ = =
Trong tam giác vuông SAE có
2
a
AE =

2 2
2 2
2 2
.
.

( )
( )
2 2 2 2
2 2

.
. .
2
;
1
4
4
2
AK BC AK ID
AK SID
AK SI
b
h
AS AI b h
d A SID AK
AS AI h b
h b
⊥ ⇒ ⊥

⇒ ⊥

⊥

⇒ = = = =
+ +

0
. Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng AC và SN theo a
D . KIỂM NGHIỆM :
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm giảng dạy lớp 11 được
học sinh đồng tình và đạt kết qủa. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có
hưỡng dẫn kỹ, các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ
năng giải các bài tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các lớp khối 11
sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì kết qủa qua các bài kiểm tra
thử như sau :
Năm
học
Lớp Tổng
số
Điểm 8 trở lên Điểm từ 5 đến
7
Điểm dưới 5
Số
lượng
Tỷ lệ Số
lượng
Tỷ lệ Số
lượng
Tỷ lệ
2012 11M 47 7 15% 20 42,5% 20 42,5%
2011 11I 40 7 17,5% 20 50% 13 32,5%
2011 11A 49 20 40,8% 20 40,8% 9 18,4%

20
PHẦN III : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

TÀI LIỆU THAM KHẢO
+ Sách giáo khoa hình học 11 - Nhà xuấtbản giáodục
+ Sách hướng dẫn giảng dạy - Nhà xuất bản giáo dục
+ Sách bài tập hình học lớp 11 - Nhà xuất bản giáo dục
+ Taì liệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất bản giáo dục
+ Các bài giảng luyện thi môn toán - Nhà xuất bản giáo dục
( TG: Phan Đức Chính - Vũ Dương Thụy - Đào Tam - Lê Thống Nhất )
+ Học và ôn tập toán hình học 11 - NXB Đại học Quốc gia Hà Nội
(TG: Lê Bich Ngọc (chủ biên), Lê Hồng Đức)
+ Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất bản giáo dục
+ Các đề thi đại học các năm trước .

22

23