PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG
CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong hình học không gian của lớp 12, bài toán tính khoảng cách thường là những bài
toán khó đối với đa số học sinh, vì vậy học sinh thường rất ngại những bài toán này. Có
những em chỉ làm ý dễ còn khi gặp ý tìm khoảng cách thì bỏ, mà trên thực tế trong các đề
thi tốt nghiệp hay thi đại học cao đẳng thì phần tìm khoảng cách rất thường gặp trong câu
hình học không gian, nó chiếm nửa số điểm của câu này. Học sinh một phần do ý nghĩ
phần hình khó nên bỏ qua phần này để dồn sức cho những câu khác, một phần nhiều học
sinh gặp khó khăn về phương pháp, không biết bắt đầu từ đâu. Những câu hỏi thường đặt
ra với các em: tại sao lại nghĩ đến kẻ đường này, vẽ đường kia,… . Với đặc điểm đó tôi
muốn đem đến cho học sinh cái nhìn thân thiện, gần gũi và hứng thú với hình học không
gian, đặc biệt là phần tính khoảng cách. Trong đợt thi trung học phổ thông quốc gia sắp tới
tôi muốn trình bày một số cách tiếp cận bài toán dạng này.

II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 12 thường xuất hiện trong các
đề thi, nhất là trong các đề thi tuyển sinh và thường nằm ở ý khó của bài toán hình học
không gian. Vì thế rất nhiều học sinh xác định đây là phần khó nên không chú tâm lắm đến
phần này và thường bỏ để làm phần khác. Trong các sách về hình học không gian các tác
giả trình bày tốt các phương pháp, tuy vậy trong các ví dụ cụ thể thì các tác giải chỉ trình
bày lời giải mà không nêu hướng tiếp cận bài toán, làm cho người đọc phân vân và thường
đặt câu hỏi “ Làm sao tác giả dùng phương pháp đó? Xuất phát điểm từ đâu? ” . Nói
chung trong các ví dụ đó thường nghiêng về trình bày kĩ thuật giải nhiều hơn, chưa nói
được những dấu hiệu để có được điểm xuất phát và từ đó có được hướng tiếp cận bài toán.
Trước các thực trạng đó tôi đưa ra một số cách tiếp cận bài toán hình học không gian
của lớp 12.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
Một số giải pháp được trình bày trong đề tài:
 Giải pháp 1: Phương pháp tiếp cận bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một

O
C
A
B
D
S
a) Gọi H là hình chiếu của A trên SC, khi đó AH là đường cao của tam giác vuông SAC
Ta có
2 2 2
1 1 1
ASAH AC
= +
Mà trong tam giác vuông ABC:
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
6 8 100AC BA BC a a a= + = + =
10AC a⇒ =
Hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC, suy ra góc
·
0
60SCA =
.
Trang 2
- Trong tam giác ABC vuông ở A có đường cao AH thì:
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
- Trong tam giác thường ABC, thì ta đi tính diện tích

AS 300 75
10
10 3
AH AC a a
a
a
= + = + = =
Suy ra
2 2
75 5 3AH a AH a= ⇒ =
b) Gọi K là hình chiếu của O trên SC, khi đó OK//AH. Trong tam giác AHC ta suy ra OK
là đường trung bình nên
1 5 3
2 2
a
OK AH= =
.
 Nhận xét:
- Giả sử không có câu hỏi ở câu a mà chỉ có câu hỏi ở câu b thì để tính khoảng cách từ O
đến SC ta đi tính khoảng cách từ A đến SC trước rồi từ đó suy ra khoảng từ O đến SC.
- Học sinh có thể tính OK bằng cách áp dụng vào tam giác vuông OKC có cạnh
5OC a
=

và có góc
µ
0
60C =
suy ra
0

2
2
BC
AK a⇒ = =
Ta có MK là đường cao của tam giác ABC, ta cần đi tính MK
Trong tam AMK vuông ở K (vì
( )
AD MBC AD MK⊥ ⇒ ⊥
)

2 2
MK AK AM a= − =
 Vậy diện tích tam giác MBC là
2
1 1
. .2 2 2
2 2
MBC
S MK BC a a a= = =
Trang 3
Phân tích:
Để tính khoảng cách từ B đến
MC thì ta có thể dựa trực tiếp
vào tam giác BCM. Vậy ta phải
nhận dạng được tam giác BCM
là tam giác gì. Để nhận dạng
tam giác thì ta đi tính các cạnh
của tam giác
 Ta có
( ) ( )

.
b) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM, từ đó suy ra khoảng cách S đến
CM.
( Gợi ý: Gọi H là hình chiếu của O trên CM, tính OH, rồi suy ra IH

( )
( )
( ) ( )
,
2 , 2 , 2
,
d S CM
SC
d S CM d I CM IH
d I CM IC
= = ⇒ = =
)
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA=SB=
2a
,
·
0
60ABC =
và
( )
SA ABCD⊥
.
a) Chứng minh
BD SC
⊥

SBO vuông ở O,
5 3
,
2 2
a a
SO OB= =
)
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a
,
( )
, .SA ABCD SA a⊥ =
Gọi
E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo
a
khoảng cách từ S đến đường thẳng BE.
( Gợi ý: Kẻ AH
BE⊥
tại H, chứng minh
BE SH⊥
( )
,d S BE SH⇒ =
Kéo dài BE cắt AD tại M
2AM a
⇒ =
. Xét
ABM∆
tính được AH
Dựa vào tam giác SAH để tính SH)
Trang 4

a
,
( )
SA ABC⊥
và
góc giữa SB và mặt (ABC) bằng 60
0
. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(SBC).
Hướng giải quyết
- Xác định được mặt phẳng chứa điểm A và vuông góc với mặt phẳng (SBC).
- Xác định được giao tuyến của mặt phẳng đó với (SBC).
- Kẻ đường vuông góc hạ từ A xuống giao tuyến.
Từ dấu hiệu
BC SA
⊥
nên ta dựng mặt phẳng chứa SA và vuông góc với BC
Lời giải:
Trang 5
— Tìm mặt phẳng (Q) đi qua M và vuông góc với (P).
— Tìm giao tuyến  của (Q) và (P).
— Trong (Q), kẻ MH vuông góc với . Khi đó d(M,(P))= MH.
60
0
H
I
A
B
C
S

(2)
Hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABC) là AB, suy ra góc
·
0
60SBA =
.
Trong tam giác SAB ta có :
0
.tan 60 3SA AB a= =
(3)
Thay (1) và (3) vào (2) ta được :
( )
2 2
2 2
1 1 1 5
3
3
3
2
AH a
a
a
= + =
 
 ÷
 
Suy ra
2
2
3 3


⊥

Trang 6
I
H
A
B
C
S
Mặt phẳng chứa SA và vuông góc với (SBC) là (SAI).
Giao tuyến của (SAI) và (SBC) là SI. Kẻ AH vuông góc với SI tại H =>
( )
( )
,d A SBC AH=
Trong tam giác SAI ta có :
2 2 2
1 1 1
ASAH AI
= +

Trong tam giác ABC :
2 2 2 2
5 4 3AB BC AC= − = − =
, suy ra :
2 2 2
1 1 1 1 1 25
9 16 144AI AB AC
= + = + =
Trong tam giác SAB :

. SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc
với đáy; góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 60
0
. Gọi I là trung điểm của
AB. Hãy tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC) theo
a
.
Phân tích
Đầu tiên ta xem SI có vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay không, nếu vuông góc thì
SI sẽ vuông góc với một đường nằm trong (SBC). Khi đó ta dựng được mặt phẳng chứa SI
và vuông góc với mặt phẳng (SBC) như ví dụ 1 và ví dụ 2.
Lời giải:
Trang 7
O
E
I
D
A
B
C
S
F
H
Ta có
( ) ( ) ( )
,SI AB SAB ABCD SI ABCD⊥ ⊥ ⇒ ⊥
.
Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE, ta có
/ /
BC AE

, .
IH SF
IH ABC d I SBC IH
IH BC
⊥

⇒ ⊥ ⇒ =

⊥

Góc giữa SC và (ABCD) là
·
SCI
nên
·
0
60SCI =
,
·
3 3
.tan .
2 2
a a
CI SI CI SCI= ⇒ = =
3 3
2 2 4
a AE a
AE IF= ⇒ = =
.
Từ đó:

Trang 8
II. TÍNH KHOẢNG CÁCH GIÁN TIẾP
Khi tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) thì không phải lúc nào ta cũng
dễ dàng dựng được đoạn vuông góc từ M đến (P), hoặc khi dựng được thì việc tính toán
phức tạp, trong trường hợp đó ta có thể tính khoảng cách từ M đến (P) bằng một trong
các cách sau:
Phương pháp:
1. Dựa vào
công thức
( )
( )
.
1
. ,
3
A SBC SBC
V S d A SBC=
để suy ra
( )
( )
.
3
,
A SBC
SBC
V
d A SBC
S
=
.

d A SBC
S
=
.
2) Các trường hợp đặc biệt:
— Nếu
( )
/ /a P
và
,A B a∀ ∈
thì
( )
( )
( )
( )
, ,d A P d B P=
— Nếu
( ) ( )
/ /P Q
và
( )
,A B Q∀ ∈
thì
( )
( )
( )
( )
, ,d A P d B P=
3) Sử dụng tỉ số khoảng cách: cho hai điểm A,B và mặt phẳng (P). Gọi
( )

a
2
A
B
C
S
Nhận xét: Tam giác SBC là tam giác đều nên diện tích của tam giác SBC ta có thể tính dễ
dàng. Vậy để tính
( )
( )
,d A SBC
ta hướng tới sử dụng công thức
( )
( )
.
3
,
A SBC
SBC
V
d A SBC
S
=
.
Trước đó ta cần đi tính thể tích khối
.A SBC
V
.
Lời giải:
Tam giác SBC là tam giác đều cạnh

a a
V S SA a= = =
* Từ công thức tính thể tích
( )
( )
.
1
. . ,
3
A SBC SBC
V S d A SBC=
ta có:
( )
( )
.
3
,
A SBC
SBC
V
d A SBC
S
=
Tam giác SBC là tam giác đều nên:
2
0
1 3
. 2. 2 sin 60
2 2
SBC

giác đều cạnh
a
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính theo
a

khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB). (2013-Khối A)
Hướng giải quyết:
- Nhận dạng tam giác SAB.
- Tính thể tích khối S.ABC và diện tích tam giác SAB.
Lời giải:
K
H
A
C
B
S
Ta có:
( )
( )
.
3
,
S ABC
ABC
V
d C SAB
S
=
.
Gọi H là trung điểm của BC, ta có

( )
.
HA HB HC
SA SB SK AB
SH ABC
= =


⇒ = ⇒ ⊥

⊥


2
2 2 2
3 13
16 4
a a
SK SB KB a= − = − =
suy ra
2
1 39
.
2 16
SAB
a
S SK AB= =
Do đó
( )
( )

Lời giải
Gọi I là trung điểm của đoạn AB, ta có SI là đường cao trong tam giác đều cạnh
a
nên có
độ dài bằng
3
2
a
. Do
( ) ( )
SAB ABCD⊥
theo giao tuyến AB nên
( )
SI ABCD⊥
.
Suy ra
3
2
.
1 1 3 3
. . . .
3 3 2 6
S ABCD ABCD
a a
V S SI a= = =
.
3
. .
1 . 3
2 12

. 3
3.
3
21
12
,
7
. 7
4
A SCD
SCD
a
V
a
d A SCD
S
a
= = =
.
2. Sử dụng các trường hợp đặc biệt
- Giả sử đang cần tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P), ta phát hiện được hình
chiếu của đỉnh hình chóp trên mặt phẳng đáy là I và điểm A cùng nằm trên một đường
thẳng song song với mặt phẳng (P) thì khi đó ta thường hướng tới việc thay cho việc tính
khoảng cách từ A đến (P) thì ta đi tính khoảng cách từ I đến (P). Ta thường vận dụng trong
các trường hợp sau:
Trang 12
Hướng giải quyết:
- Tính thể tích khối chóp S.ABCD
- Nhận dạng tam giác SCD
- Tính thể tích khối chóp S.ACD, diện tích

tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
(2013-khối B)
K
I
C
B
A
D
S
H
- Ta nhận thấy điểm A và I cùng nằm trên đường thẳng song song với (SCD)
( )
( )
( )
( )
, ,d A SCD d I SCD=
, vì vậy từ dấu hiệu
( )
SI ABCD⊥
ta đi tính khoảng cách từ I đến
(SCD).
Lời giải
Gọi I là trung điểm của đoạn AB, ta có SI là đường cao trong tam giác đều cạnh
a
nên
có độ dài bằng
3
2
a
. Do


⊥

Vậy
( ) ( )
( )
,
IH CD
IH SCD d I SCD
IH SK
⊥

⇒ ⊥ ⇒

⊥

IH=
( )
( )
2 2
.IK 21
,
7
IS a
d I SCD HI
IS IK
= = =
+

( )


theo
a
.
Hướng giải quyết:
Trang 13
Hướng giải quyết
- Tính khoảng cách từ A đến (SCD) thông
qua một điểm khác. Ta thấy AB//(SCD) nên
khoảng cách từ A đến (SCD) bằng khoảng
cách từ một điểm nào đó trên cạnh AB đến
(SCD).
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng.
- Nhận xét mối quan hệ giữa
' 'B C
và mặt
( )
' 'AB C
. Nếu
' 'B C
//
( )
' 'AB C
thì khoảng cách
giữa
' 'B C
và mặt
( )
' 'AB C
bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên

0
' ' '
1 1 3 3
' '. ' 'sin120 . .
2 2 2 4
A B C
a
S A B A C a a= = =
- Thể tích khối
' ', ' ' 'AB C A B C
là
2 3
3 3 3
.
4 2 8
a a a
=
- Ta có
( )
( )
/ / ' '
/ / ' '
' ' ' '
BC B C
BC AB C
B C AB C


⇒


3
4
a
KH =
. Vậy
( )
( )
3
, ' '
4
a
d BC AB C KH= =
.
Nhận xét :
- Trong việc tính khoảng cách trên, ta dễ dàng nhận biết được BC//
( )
' 'AB C
.
- Có thể thấy
( )
( )
( )
( )
, ' ' , ' 'd K AB C d A AB C=
nên ta có thể tính khoảng cách này dựa vào
tam giác
AA'I
.
3. Sử dụng tỉ số khoảng cách:
Trang 14

- Tam giác
' 'A B I
vuông ở I và có
·
0
' ' , ' ' 60A B a B A I= =
nên ta tính được
'
2
a
A I =
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng
a
. Gọi G là trọng tâm
của tam giác SAC và khoảng cách từ G đến mặt bên (SCD) bằng
3
6
a
. Tính
khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt bên (SCD) theo
a
.

H
I
O
D
B
C
A

Nhận xét: Trong lời giải trên ta đã khai thác được mối quan hệ giữa khoảng cách từ
điểm O đến (SCD) và khoảng cách từ G đến (SCD).
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D;
2 ,AB AD a CD a= = =
, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0
. Gọi
I là trung điểm của đoạn AD, hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc
với (ABCD). Tính theo
a
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Lời giải:
Trang 15
Cho hai điểm A,B và mặt phẳng (P). Gọi
( )
I AB P= ∩
, khi đó:
( )
( )
( )
( )
,
,
d A P
IA
IB
d B P
=
Hướng giải quyết
- Ta nhận thấy đường thẳng OG cắt


⊥ ⇒ ⊥


∩ =

Trong (ABCD), dựng
,IK BC K BC⊥ ∈
Trong (SIK), dựng
,IH SK H SK⊥ ∈
.
Từ
( ) ( )
( )
,IH SBC d I SBC IH⊥ ⇒ =
2 2
2 2
3
3
2 2
IBC ABCD DIC ABI
a a
S S S S a a= − − = − − =
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi
E AD BC= ∩
thì
( )
E AI SBC= ∩
.
Trong tam giác ABE: DC//AB và

a
SKI SKI SI IK SKI⇒ = ⇒ = =
Ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 5 5 20
IS 27 9 27IH IK a a a
= + = + =
Suy ra
( )
( )
3 15
,
10
a
d I SBC IH= =
.
Ta có:
( )
( )
( )
( )
,
4
3
,
d A SBC
EA
EI
d I SBC
= =

. Tính SI, rồi áp dụng vào tam giác SIK để tính IH
Đáp số:
( )
( )
2
,
3
d I SCD a=
).
2. Cho S.ABC là một tứ diện có ABC là một tam giác vuông cân tại đỉnh B và
2AC a
=
,
cạnh
( )
SA ABC⊥
và SA=
a
.
a) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
b) Gọi O là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
(Gợi ý: tính được cạnh BA=BC=
2a
. Chứng minh tam giác SBC vuông. Tính được
.
,
S ABC SBC
V S
rồi suy ra khoảng cách
( )

( Hướng dẫn: vẽ AI
BC
⊥
tại I, vẽ AH
SI
⊥
, chứng minh
( )
AH SBC⊥

( )
( )
,d A SBC AH⇒ =
. Đáp số
( )
( )
,d A SBC =
3
2
a
).
4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng
a
. Gọi SH là đường cao của hình
chóp và bằng
3
2
a
. Tính khoảng cách từ trung điểm I của SH đến (SBC).
( Gợi ý: HI cắt (SBC) tại S, d(I,(SBC))=

( )
( )
21
,
14
a
d M SCD =
)
6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật; với
2 ,AB a AD a= =
, tam giác SAB là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo
a
thể tích khối
chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến (SBC).
(Hd:
( ) ( )
( )
( )
( )
/ / , ,AD SBC d D SBC d A SBC⇒ =
Tính
( )
( )
.
, ,
A SBC SBC
V S d A SBC⇒
. Đáp số
( )

P
N
M
 Nhận xét:
— Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai
đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại.
— Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng
song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
2. Phương pháp tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

Cách tính bằng cách xác định trực tiếp đoạn vuông góc chung thường khó với đa số học
sinh vì nó liên quan nhiều đến phần chứng minh quan hệ vuông góc nên tôi xin trình bày
hai trường hợp sau:
 Trường hợp
a b
⊥
- Gọi (P) là mặt phẳng chứa b và vuông góc
với
a
tại A.
- Trong (P) dựng
AB b⊥
tại B. Khi đó độ
dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau
a
và b.

b
B

và b
A
Q
∆
b
a
a'
P
B
3. Một số ví dụ
Ví dụ 1 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng đường cao và bằng
a
.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh rằng (SMN) vuông góc với (SCD).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB.
Hướng giải quyết:
- Trước tiên ta nhận thấy hai đường thẳng SC và AB là hai đường thẳng chéo nhau và
không vuông góc nên ta đi tìm một mặt phẳng chứa đường này và song với đường kia
Lời giải
H
N
M
O
D
C
B
A
S
a) Ta có

nên
( ) ( )
SCD SMN⊥
b) Ta có AB//CD nên AB//(SCD)
( ) ( )
( )
( )
( )
, , ,d AB SC d AB SCD d M SCD⇒ = =
trong tam giác SMN kẻ
MH SN
⊥
.
Do
( )
CD SMN CD MH⊥ ⇒ ⊥
Trang 19
Ta có :
( ) ( )
( )
,
MH SN
MH SCD d M SCD MH
MH CD
⊥

⇒ ⊥ ⇒ =

⊥


từ một điểm đến một mặt phẳng. Ta cần khéo léo trong việc chọn một điểm nằm trên cạnh
AB, ta thường nghĩ tới những điểm đặc biệt trên đoạn AB như trung điểm của đoạn AB.
Cách tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau dựa vào khoảng cách giữa một đường
với một mặt chứa đường còn lại và song song với nó là một cách thường dùng nhất.
— Ta có thể tính MH bằng cách tính
( )
,( )d O SCD
dựa vào nhận xét MH=2
( )
,( )d O SCD
.
Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh
a
,
( )
SA ABCD⊥
.
Gọi M là trung điểm của SD, góc tạo bởi SD và mặt phẳng đáy bằng 45
0
.
tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa SB và CM.
I
M
D
A
B
C
S
Hướng giải quyết:
- Chứng minh SB//(AMC) =>

SB//IM. Vậy
d(SB,CM)=d(SB,(CMA))
Khi đó
3
.
3
S ABCD
a
V =
Gọi
I AC BD
= ∩
, suy ra
/ /MI SB

( )
/ /SB AMC⇒
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
, , , ,d SB CM d SB AMC d B AMC d D AMC= = =
(vì (AMC) đi qua trung điểm
của BD).
Ta lại có
3
. .
1

2
1
.
2 4
MAC
a
S MA MC⇒ = =
( )
( )
.
3
,
3
AMC
D AMC
V
a
d D AMC
S
= =
Vậy
( )
,
3
a
d SB CM =
 Nêu vấn đề:
- Nếu ta thay đổi câu hỏi là: tính khoảng cách từ trung điểm của SB đến mặt phẳng
(AMC) thì ta làm như thế nào?
Gợi ý: Khoảng cách này bằng khoảng cách từ B đến (AMC), vậy ta cũng quy về tính

⇒

⊂



Do đó
( ) ( )
( )
, ,d AB SM d A SDM=
Trang 21
D
M
I
A
B
C
S
K
H
b) Ta có : BC//(SIM) nên
( ) ( )
( )
, ,d BC SM d B SIM=

( )
IM SAB IM BK⊥ ⇒ ⊥
trong mặt phẳng (SAB), kẻ
BK SI⊥
tại K, ta có :


( )
5
,
5
a
d BC SM⇒ =
.

Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có đáy ABC là tam giác vuông,
AB BC a= =
, cạnh bên
AA' 2a=
. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính
theo
a
khoảng cách giữa hai đường thẳng
AM
và
'B C
.
A'
N
M
A
B'
C'
B

( )
( )
,d A SDM AH⇒ =
Trong tam giác vuông SAD tại A ta có:
AD MI a= =
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 5
4 4AH AS AD a a a
= + = + =
( )
( )
2 5 2 5
,
5 5
a a
AH d A SDM⇒ = ⇒ =

Hướng giải quyết
Ta nhận thấy AM và B’C không vuông góc
nên ta tìm một mặt phẳng chứa đường này
và song song với đường kia.
Gọi N là trung điểm của BB’ suy ra B’C//MN
⇒
B’C//(AMN)
Mặt phẳng (AMN) là mặt phẳng chứa AM và song song với B’C.
Suy ra
( ) ( )
( )
( )
( )

1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng
a
. Gọi E là điểm đối xứng của D
qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC.
a) Chứng minh
MN BD
⊥
.
b) Tính theo
a
khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
( Hướng dẫn: Gọi I là trung điểm của SA, chứng minh MNCI là hình bình hành
⇒

MN//IC
( ) ( ) ( )
( )
/ / , ,MN SAC d MN AC d N SAC⇒ ⇒ =
.Gọi K là trung điểm của OC,
chứng minh
( )
NK SAC⊥
. Đáp số
( )
2
,
4
a
d MN AC NK= =
).

0
. Gọi M là trung điểm của BC. Tính thể tích
khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SB.
Đáp số:
( )
,
2
a
d DM SB =
4. Cho hình chóp A.BCD cho hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng đáy trùng
với trung điểm H của BC. Tam giác BCD vuông ở D và có
2 ,BC a BD a= =
. Góc giữa
(ACD) và (BCD) là 60
0
. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD và khoảng cách giữa
hai đường thẳng BD và AC.
Gợi ý: Dựng hình bình hành BDCE
Đáp số:
( ) ( )
( )
( )
( )
6
, , ,
2
a
d BD AC d BD ACE d B ACE= = =
Trang 23
GIẢI PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH

1 2 2
d A P
− + +
= =
+ − +
.
b)
( )
0; ;0M Oy M y∈ ⇒
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
2
2
0 2. 2.0 4
1
, 2 0 1 0
2
1 2 2
y
d M P y
− + +
= = − + − +
+ − +

( )
2
2 4

⇔

= −

Vậy ta có hai điểm M thỏa mãn điều kiện là
( ) ( )
0; 1;0 , 0; 13;0M M− −
.
Ví dụ 2:
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng
( )
: 2 2 3 0P x y z− + + =
, đường thẳng
1 2
3 4 2 3 6
: , :
2 3 2 6 4 5
x y z x y z
d d
− + − − −
= = = =
− −
. Tìm M và N lần lượt thuộc
1 2
,d d
sao cho
MN//(P) và d(MN,(P))=2.
Trang 24
Khoảng cách giữa hai điểm
( ) ( )

( )
( )
( )
( )
, ,d MN P d M P=

( )
( )
, 2d M P⇒ =
, ta sẽ tìm được tọa độ điểm M.
Vậy ta cần tìm mối ràng buộc giữa tọa độ điểm M và tọa độ điểm N.
Hướng giải quyết:
- Chuyển
1 2
,d d
về dạng tham số; suy ra tọa độ điểm M,N biểu thị theo tham số.
- Nhận thấy
( )
/ /MN P
nên mối ràng buộc là
. 0
P
MN n =
uuuur uur
(
P
n
uur
là vtpt của (P)).
- Dựa vào

( )
( )
( )
( )
, ,d MN P d M P=
=
12 18
2 1, 2
3
t
t t
+
= ⇒ = − = −
( ) ( )
1 1 1; 2;0 , 3;2;5t u M N= − ⇒ = − ⇒ − −
.
( ) ( )
2 0 1;2; 2 , 3;6;0t u M N= − ⇒ = ⇒ − −
.
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
- Để tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng ta đi tìm hình chiếu của nó trên
đường thẳng sau đó dùng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm để tính khoảng cách
này.

—
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
1
: 2 2
x t
y t

. Khi đó ta có tọa độ điểm
'A
biểu thị
theo tham số của đường thẳng.
— Để tìm tọa độ
'A
ta nhận thấy vectơ
AA'
uuuur
vuông góc với vectơ chỉ phương
u
∆
uur
của đường thẳng
AA'
uuuur
nên ta có:
AA'. 0u
∆
=
uuuur uur
, suy ra tham số và tìm được
tọa độ
'A
.
— Khi đó
( )
, AA'd A ∆ =
.