Bài giảng
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LŨY THỪA
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
Người soạn: ThS. Nguyễn Hữu Học
Thanh Hóa 2014
Giải tích số Giải gần đúng pt vi phân thường
Mục lục
1 Điểm chính quy và điểm kỳ dị của phương trình vi phân 2
2 Phương pháp chuỗi lũy thừa 2
3 Phương pháp Probenius 6
3.1 Định nghĩa điểm kỳ dị chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Phương pháp Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Bài tập 8
Tài liệu tham khảo8
1
Giải tích số Giải gần đúng pt vi phân thường
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LŨY THỪA
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
Phương pháp chuỗi lũy thừa là một phương pháp cơ bản để giải các phương trình
vi phân tuyến tính với hệ số là hàm số. Ý tưởng về phương pháp chuỗi lũy thừa cho
việc giải phương trình vi phân là đơn giản và tự nhiên.
Xét bài toán Cauchy với phương trình vi phân tuyến tính cấp 2:
y

+ p (x)y

+ q (x)y = f (x)
y(x
0
) = α; y



+ q (x)y = f (x)
y(0) = α; y

(0) = β

(2.1)
trong đó p (x), q (x), f (x) là các hàm giải tích tại x = 0. Khi đó, ta có:
p(x) =
∞
∑
n=0
a
n
x
n
; q(x) =
∞
∑
n=0
b
n
x
n
; f (x) =
∞
∑
n=0
f
n

n−1
; y

(x) =
∞
∑
n=2
n(n − 1)C
n
x
n−2
Thay y

, y

và (2.2) vào (2.1) ta được:
∞
∑
n=2
n(n − 1)C
n
x
n−2
+

∞
∑
n=1
nC
n

∞
∑
n=0
f
n
x
n
Đồng nhất hai vế theo lũy thừa của x được hệ phương trình để xác định C
i
, (i =
0, 1, 2, . . .) theo a
n
, b
n
, f
n
:
x
0
: 2C
2
+C
1
a
0
+C
0
b
0
= f

0
+ 2C
2
a
1
+C
1
a
2
+C
2
b
0
+C
1
b
1
+C
0
b
2
= f
2
··· ··· ···
Hai hệ số C
0
,C
1
được xác định nhờ điều kiện đầu tại x = 0.
C

(x) =
n
∑
k=0
C
k
x
k
của chuỗi (2.3) làm nghiệm gần đúng: y (x) ≈ S
n
(x)
thì sao số là phần dư của chuỗi (2.3). Độ chính xác càng cao nếu n càng lớn.
Nếu chọn C
0
,C
1
bất kỳ thì ta được nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
tuyến tính cấp 2.
3
Giải tích số Giải gần đúng pt vi phân thường
Ví dụ 2.1 Xét bài toán:
y

− xy

+ y = 1 −cosx
y(0) = 0; y

(0) = 1
Giải:

n+1
x
2n
(2n)!
Nghiệm của bài toán được tìm trong dạng:
y(x) =
∞
∑
n=0
C
n
x
n
Tính y

, y

và thay vào phương trình ta được:
∞
∑
n=2
n(n − 1)C
n
x
n−2
− x
∞
∑
n=1
nC

: 6C
3
= 0
x
2
: −C
2
+ 12C
4
=
1
2
x
3
: −2C
3
+ 20C
5
= 0
x
4
: −3C
4
+ 30C
6
= −
1
24
x
5

= 0,C
4
=
1
24
,C
5
= 0,C
6
=
1
360
,C
7
= 0,C
8
=
11
40320
4
Giải tích số Giải gần đúng pt vi phân thường
Nghiệm của bài toán sẽ là:
y(x) = x +
x
4
24
+
x
6
360

n−2
Để thuận tiện ta viết lại y

với chỉ số bắt đầu với n = 0:
y

=
∞
∑
n=0
(n + 2)(n + 1)C
n+2
x
n
Thay vào phương trình đã cho ta được:
∞
∑
n=0
(n + 2)(n + 1)C
n+2
x
n
+
∞
∑
n=0
C
n
x
n

2
= −
C
0
1.2
Với n = 1 ⇒ C
3
= −
C
1
2.3
5
Giải tích số Giải gần đúng pt vi phân thường
Với n = 2 ⇒ C
4
= −
C
2
3.4
=
C
0
1.2.3.4
=
C
0
4!
Với n = 3 ⇒ C
5
= −

0
∞
∑
n=0
(−1)
n
x
2n
(2n)!
+C
1
∞
∑
n=0
(−1)
n
x
2n+1
(2n + 1)!
Nhận xét:
• Bán kính hội tụ: mọi x.
• Hai chuỗi ứng với các hệ số chẵn, lẻ tương ứng với khai triển Maclaurin của các
hàm sin x, cos x. Do đó nghiệm của phương trình sẽ là:
y = C
0
cos x +C
1
sin x
Kết quả này phù hợp với kết quả đã biết của các phương pháp sơ cấp đã học.
3 Phương pháp Probenius

Trong trường hợp bài toán có điểm kỳ dị chính quy ta có thể sử dụng phương pháp
Frobenius để qiải bài toán. Nội dung của phương pháp là nghiệm cần tìm được viết
dưới dạng:
y = x
s
∞
∑
n=0
C
n
x
n
và cách thức giải tương tự như với phương pháp chuỗi lũy thừa.
Xét ví dụ cụ thể:
Ví dụ 3.1 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:
4x
2
y

− 3y = 0
Giải:
Nghiệm được tìm trong dạng:
y(x) = x
s
∞
∑
n=0
C
n
x

s
+ K
Thay vào phương trình đã cho và sắp xếp theo lũy thừa của x, ta thu được:
[4s(s − 1) − 3]C
0
x
s
+ [4(s + 1)s − 3]C
1
x
s+1
+ [4(s + 2)(s + 1) − 3]C
2
x
s+1
+
+[4(s + 3)(s + 2) − 3]C
3
x
s+3
+ K = 0
Cho các hệ số lần lượt bằng không:
[4s(s − 1) − 3]C
0
= 0
[4s(s + 1) − 3]C
1
= 0
[4 (s + 2) (s + 1) − 3]C
2

= . . . = 0.
Khi đó y
1
(x) = C
0
x
3
2
là một nghiệm của phương trình đã cho.
• Với s = −
1
2
kết hợp với các điều kiện còn lại ta được: C
1
= C
2
= C
3
= . . . = 0.
Khi đó y
2
(x) = C
0
x
−
1
2
là nghiệm thứ hai của phương trình đã cho.
Vì C
0


+ x
2
y = 0
thỏa mãn điều kiện:
y(0) = 0, y

(0) = 1
bằng phương pháp chuỗi lũy thừa.
Bài 3 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
x
2
y

− 2y = 0
bằng phương pháp Frobenius.
Bài 4 Tìm nghiệm Frobenius của phương trình Bessel có bậc 0:
x
2
y

+ xy

+ x
2
y = 0
Tài liệu
[1] Lê Trọng Vinh (2007), Giáo trình Giải tích số , Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ
thuật.
[2] Phạm Kỳ Anh (1996), Giải tích số, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội.