ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
CAO THỊ HÀ
XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CỦA HÀM
PHÂN HÌNH P −ADIC
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2012
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
CAO THỊ HÀ
XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CỦA HÀM
PHÂN HÌNH P −ADIC
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS HÀ TRẦN PHƯƠNG
Thái Nguyên - Năm 2012
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
i
Mục lục
Mở đầu 1
1 Một số vấn đề về Lý thuyết Nevanlinna p−adic 3
1.1 Hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Hai định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic 16
2.1 Hàm phân hình chung nhau các giá trị . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Định lý duy nhất kiểu Adams-Straus . . . . . . . 16
2.1.2 Giá trị bội của hàm phân hình . . . . . . . . . . 20
2.2 Đa thức duy nhất của hàm phân hình . . . . . . . . . . 24

điểm. Từ đó đến nay, vấn đề này được nghiên cứu một cách liên tục và
mạnh mẽ với những kết quả của H. Fujimoto, W. Stoll, L. Smiley, M.
Ru, Z. Tu, C. C. Yang, G. Frank, M. Reinders,. .
Kí hiệu C
p
là trường các số phức p−adic. Ta biết C
p
là một trường
đóng đại số, có đặc số 0 và đầy đủ với chuẩn không acsimet. Song song
với việc nghiên cứu vấn đề duy nhất cho các hàm phân hình trên C,
các nhà toán học còn nghiên cứu vấn đề duy nhất cho các hàm phân
hình trên C
p
. Hướng nghiên cứu cũng này hút được sự quan tâm của
nhiều nhà toán học và thu được nhiều kết quả quan trọng.
2. Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm và đọc tài liệu từ các tạp chí toán học trong nước và quốc
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2
tế liên quan đến việc ứng dụng Lý Thuyết Nevanlinna cho hàm phân
hình p-adic. Qua đó, tìm hiểu và nghiên cứu về vấn đề này.
3. Mục đích của luận văn
Với mục đích trình bày lại một số kết quả nghiên cứu về tính duy
nhất của hàm phân hình không Acsimet, chúng tôi chọn đề tài "Xác
định duy nhất của hàm phân hình p-adic".
4. Nội dung của Luận văn
Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết
luận và Tài liệu tham khảo.
Chương 1 : Một số vấn đề về lý thuyết Nevanlinna p-adic. Trong
chương này chúng tôi trình bày những kiến thức cơ sở cần thiết cho

) là một hàm nguyên, khi đó
f(z) =
∞

n=0
a
n
z
n
, (a
n
∈ C
p
). (1.1)
Hiển nhiên ta có thể gán cho f(z) giá trị của chuỗi
∞

n=0
a
n
z
n
với mỗi
z ∈ C
p
mà |a
n
z
n
| → 0 khi n → ∞ (vì khi đó chuỗi hội tụ). Bán kính

6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
liên kết với chỉ số trung tâm
ν(r, f) = max
n0
{n : |a
n
|r
n
= µ(r, f)}.
Nhận xét. 1. Với mỗi r : 0 < r < ρ, µ(r, f) luôn tồn tại hữu hạn. Thật
vậy, do chuỗi
∞

n=0
a
n
z
n
hội tụ tại z ∈ C
p
: |z| = r, nên lim
n−→∞
|a
n
|r
n
= 0,
kéo theo dãy {|a
n

µ(0, f) = lim
r−→0
+
µ(r, f), ν(0, f) = lim
r−→0
+
ν(r, f).
Dễ thấy chỉ số trung tâm ν(r, f) tăng khi r → ρ và thoả mãn
log µ(r, f) = log |a
ν(0,f )
| +

r
0
ν(t, f) − ν(0, f)
t
dt
+ ν(0, f) log r, (0 < r < ρ) (1.2)
trong đó log là kí hiệu logarit thực cơ số e.
Kí hiệu vành của chuỗi luỹ thừa f(z) =
∞

n=0
a
n
z
n
(a
n
∈ C

= 0. Do đó
A
r
2
(C
p
) ⊂ A
r
1
(C
p
).
Kí hiệu A
(r
(C
p
) là tập hợp các chuỗi luỹ thừa của z mà bán kính
hội tụ là lớn hơn hoặc bằng r. Hiển nhiên, f ∈ A
(r
(C
p
) nếu và chỉ nếu
f ∈

s<r
A
s
(C
p
). Ta viết ngắn gọn

theo công thức:
f

(z) =
∞

n=1
na
n
z
n−1
. (1.3)
Bán kính hội tụ của chuỗi (1.3) bằng bán kính tụ của f. Hơn nữa f

thoả mãn
µ(r, f

) 
1
r
µ(r, f) (0 < r < ρ).
Bây giờ ta định nghĩa hàm đếm tại các không điểm và cực điểm.
Giả sử f ∈ A
(ρ
(C
p
) là một hàm nguyên. Với a ∈ C
p
, kí hiệu n


0
< r < ρ;
N

r,
1
f − a

=

r
ρ
0
n(t,
1
f−a
)
t
dt với ρ
0
< r < ρ.
Với a = ∞, kí hiệu n(r, f) là số cực điểm của f kể cả bội, n(r, f) là số
cực điểm của f tại a không cả bội. Ta định nghĩa các hàm đếm tại các
cực điểm f kể cả bội, không kể bội bởi
N(r, f) =

r
ρ
0
n(t, f)

0
, f
1
không có nhân tử chung trong A
r
(C
p
)
và f =
f
1
f
0
. Với a ∈ C
p
∪ {∞}, ta định nghĩa hàm đếm số không điểm
n

r,
1
f−a

của f tại a (hay còn gọi là hàm đếm số a− điểm của f) bởi
n

r,
1
f − a

=

N(r,
1
f
1
−af
0
) : a = ∞ .
Kí hiệu
N(r, f = a) =

N(r, f) = N(r, f
0
= 0) : a = ∞
N(r, f
1
− af
0
= 0) : a = ∞ .
Tương tự ta cũng định nghĩa được các hàm n(r, f), N(r, f), n(r,
1
f−a
),
N(r,
1
f−a
).
Giả sử
f
1
=

= 0. Theo công thức Jensen ta
có
N(r, f = 0) = N(r, f
1
= 0) = log µ(r, f
1
) − log |a
m
1
|,
N(r, f = ∞) = N(r, f
0
= 0) = log µ(r, f
0
) − log |b
m
0
|.
Kéo theo
N(r, f = 0) − N(r, f = ∞) = log µ(r, f) − log
|a
m
1
|
|b
m
0
|
= log µ(r, f) − log |f
∗

N(r,
1
f
) − N(r, f) = N(r,
1
f
1
) − N(r,
1
f
0
)
= log µ(r, f
1
) − log µ(ρ
0
, f
1
) − log µ(r, f
0
)
+ log µ(ρ
0
, f
0
)
= log
µ(r, f
1
)


= log
+
µ

r,
1
f

= log
+
1
µ(r, f)
= max{0, − log µ(r, f)}.
Hơn nữa,
1
log p
m

p
t
,
1
f

= γ
+
(t, f) = max{0; γ(r, f)}.
Tiếp theo ta xem xét một số tính chất đơn giản của hàm đếm và hàm
xấp xỉ.

≤
k

i=1
N(r, f
i
).
m

r,
k

i=1
f
i

≤
k

i=1
m(r, f
i
); m

r,
k

i=1
f
i

f
i
=
F
f
1
0
. . . f
k0
;
k

i=1
=
G
f
10
. . . f
k0
,
trong đó F, G ∈ A
r
(C
p
). Do đó, mỗi cực điểm của hàm
k

i=1
f
i

n

r,
k

i=1
f
i

≤
k

i=1
n(r, f
i
).
Điều này kéo theo
N

r,
k

i=1
f
i

≤
k

i=1

i∈{1, ,k}
µ(r, f
i
) = max
i∈{1, ,k}
log µ(r, f
i
).
Nên
m

r,
k

i=1
f
i

≤ max
i∈{1, ,k}
m(r, f
i
).
Và
log µ

r,
k

i=1


i=1
m(r, f
i
).
Mệnh đề được chứng minh.
Bây giờ định nghĩa hàm đặc trưng Nevanlinna. Hàm đặc trưng
Nevanlinna của một hàm phân hình p−adic f được xác định bởi:
T (r, f) = m(r, f) + N(r, f) (ρ
0
< r < ∞).
Chú ý rằng
log µ(r, f) = log
+
µ(r, f) − log
+
1
µ(r, f)
= m(r, f) − m

r,
1
f

.
Nên công thức (1.5) được viết lại là
T

r,
1


i=1
f
i

≤
k

i=1
T (r, f
i
), T

r,
k

i=1
f
i

≤
k

i=1
T (r, f
i
). (1.7)
Hơn nữa T(r, f) là một hàm tăng theo r.
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10

T

r
1
,
1
f

= N

r
1
,
1
f

≤ N

r
2
,
1
f

≤ T

r
2
,
1

1
f − a

+ N

r,
1
f − a

= T (r, f) + O(1).
Chứng minh. Từ (1.6) ta có
m

r,
1
f − a

+ N

r,
1
f − a

= T

r,
1
f − a

= T (r, f − a) − log µ(ρ

m

r,
f
(k)
f

≤ k log
+
1
r
.
Chứng minh. Nếu f ∈ A
(p
(C
p
) thì ta có:
µ

r,
f

f

=
µ(r, f

)
µ(r, f)
≤

(i)
f
(i−1)

≤
1
r
k
,
trong đó f
(0)
= f. Bây giờ ta xét f =
g
h
∈ M
(p
(C
p
). Khi đó
µ

r,
f

f

= µ

r,
hg


r,
h

h

≤
1
r
.
tương tự ta cũng thu được
µ

r,
f
(k)
f

≤
1
r
k
.
Mệnh đề được chứng minh.
Với một hàm phân hình khác hằng f trong C
p
(0, ρ), ta định nghĩa
số hạng phân nhánh bởi
N
ram

Khi đó với 0 < r < ρ
(q − 1)T (r, f) ≤ N(r, f) +
q

j=1
N

r,
1
f − a
j

− N
Ram
(r, f) − log r + S
f
≤ N(r, f) +
q

j=1
N

r,
1
f − a
j

− log r + S
f
,

f
0
, trong
đó f
0
, f
1
∈ A
r

(C
p
) không có không điểm chung và đặt
F
0
= f
0
, F
i
= f
1
− a
i
f
0
(i = 1, . . . , q).
Khi đó
|f
k
(z)| ≤ A max


0
f
1
− f

1
f
0
là kí hiệu
Wronskian của f
0
và f
1
. Đặt
W
i
= W(F
0
, F
i
) = W.
Bây giờ ta cố định z ∈ C
p
[0; r

] − C
p
[0; ρ] sao cho
W(z), f

δ
, (i = j),
Như vậy chúng ta có thể lấy các chỉ số phân biệt β
1
, . . . , β
q−1
với
β
l
= j (l = 1, 2, . . . , q − 1) sao cho
0 < max{δ|f
0
(z)|, |F
j
(z)|} ≤ |F
β
1
(z)| ≤ · · · ≤ |F
β
q−1
(z)| < ∞.
Khi đó ta có
|f
k
(z)| ≤
A
δ
max{δ|f
0
(z)|, |F

→ C
2
p
,
là một biểu diễn của f. Vì W = W
j
, ta thu được
log
|F
0
(z) . . . F
q
(z)|
|W (z)|
= log |F
β
l
. . . F
β
q−l
− log D
j
(z),
trong đó
D
j
=
|W
j
|

β
q −l
≤ log
|F
0
(z) . . . F
q
(z)|
|W (z)|
+ log D
j
(z).
Bởi vậy ta có
(q − 1) log |
˜
f(z)| ≤ log
|F
0
(z) . . . F
q
(z)|
|W (z)|
+ log D
j
(z) + (q − 1) log
A
δ
.
(1.8)
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Bằng việc sử dụng công thức Jensen ta có
log |F
0
(z)| = log µ(r, F
0
) = log µ(r, f
0
)
= N

r,
1
f
0

+ log µ(ρ
0
, f
0
)
= N(r, f) + log µ(ρ
0
, f
0
).
log |W(z)| = log µ(r, W) = log µ(r, f
0
f

1

(z)| = log µ(r, F
i
) = log µ(r, f
1
− a
i
f
0
)
= N

r,
1
f − a
i

+ log µ(ρ
0
, f − a
i
) + log µ(ρ
0
, f
0
),
với mỗi i = 1, . . . , q và chú ý rằng
log |
˜
f(z)| = T (r, f) + log µ(ρ
0

− f
1
f

0
= f
2
0
f

.
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
15
Ta có thể dễ dàng chứng minh được
n

r,
1
W

= 2n(r, f) − n(r, f

) + n

r,
1
f


,


j=1
n

r,
1
f − a
j

.
Từ đó ta suy ra bất đẳng thức trong định lý. Chú ý rằng, tập r làm
cho công thức (1.9) đúng là trù mật trong (ρ
0
, r

]. Kéo theo (1.9) cũng
đúng với mọi ρ
0
< r ≤ r

bởi tính liên tục của các hàm trong bất đẳng
thức đó. Vì r

chọn bất kì nên định lý được chứng minh.
Chú ý. Ta viết
n

r,
1
f

r,
1
f − a
j

,
(1.10)
và kí hiệu
n

r,
1
f

; a
1
, . . . , a
q

=
r

ρ
0
n(t,
1
f

; a
1


r,
1
f − a
j

− N

r,
1
f

; a
1
, . . . , a
q

− log r + S
f
.
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
16
Chương 2
Xác định duy nhất của hàm phân
hình p-adic
Trong chương này chúng tôi sẽ phát biểu và chứng minh lại một số
định lý về xác định một hàm phân hình p−adic thông qua ảnh ngược
của một tập hữu hạn các phần tử.
2.1 Hàm phân hình chung nhau các giá trị
2.1.1 Định lý duy nhất kiểu Adams-Straus

p
: µ
a
f
(z) > 0

.
Nếu một cặp hàm phân hình f và g khác hằng trên C
p
thỏa mãn
E
f
(a) = E
g
(a) (tương ứng E
f
(a) = E
g
(a)) thì ta nói f và g chung
nhau giá trị a CM (tương ứng, IM). Trong đó, CM (tương ứng, IM)
có nghĩa là kể cả bội (ương ứng, không kể bội).
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17
Năm 1971, Adams-Straus chứng minh định lý sau (được gọi là định
lý 4 điểm) cho thấy một hàm phân hình khác hằng p−adic được xác
định duy nhất bởi ảnh ngược của 4 điểm phân biệt.
Định lý 2.1 ([1]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên C
p
và a
1

j

+ O(1)
≤ N(r,
1
f − g
) + O(1),
≤ T(r,
1
f − g
) + O(1),
= T (r, f − g) + O(1),
≤ T(r, f) + T (r, g) + O(1).
Và tương tự ta cũng có
2T (r, g) + log r ≤ T (r, f) + T (r, g) + O(1).
Do đó:
2 log r ≤ O(1).
Điều này không thể xảy ra. Như vậy f ≡ g.
Từ định lý trên ta thấy, nếu hai hàm nguyên khác hằng f và g trên
C
p
chung nhau bốn giá trị phân biệt không kể bội thì f = g. Đối với
hàm nguyên, ta có kết quả như sau:
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
18
Định lý 2.2 ([7]). Giả sử, f và g là hai hàm nguyên khác hằng trên
C
p
. Nếu tồn tại hai giá trị a
1

với mọi n ∈ N
∗
. Khi đó, do f không phải là hằng số nên ta có thể giả
thiết
|f(z
n
)| > max{|a
1
|, |a
2
|}
với mọi n ≥ 1. Đặt:
Ψ =
f

(f − g)
(f − a
1
)(f − a
2
)
.
Chú ý rằng nếu f = a
1
hoặc f = a
2
thì f

= 0, tức là nếu mẫu bằng
0 thì tử cũng bằng 0. Do đó, Ψ là một hàm phân hình trên C

n
)|
|f(z
n
)||f(z
n
)|
≤
1
r
n
−→ 0.
Do đó Ψ = 0, điều này kéo theo f = g.
Ta biết rằng nếu f và g là các đa thức khác hằng trên C
p
chung
nhau các giá trị phân biệt a
1
, a
2
không kể bội thì f = g. Kết hợp khẳng
định đó với Định lí 2.2, W. Cherry ([3]) đặt ra nguyên lý:
Nguyên lý Cherry. Nếu một định lí đúng với các hàm đa thức (tương
ứng phân thức) thì nó cũng đúng với hàm nguyên không Acsimet (tương
ứng, hàm phân hình). Nhưng điều ngược lại thì chưa chắc đúng.
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
19
Định lý 2.3 ([7]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên
C
p

2
∈ C
p
ta xét
F =
f(z) − a
1
f(z) − a
2
; G =
g(z) − a
1
g(z) − a
2
.
Khi đó
F
G
là một hàm giải tích trên C
p
, không nhận giá trị 0. Như vậy
nó là hàm hằng, tức là tồn tại c ∈ C
p
sao cho
F
G
= c, tức là
f(z) − a
1
f(z) − a

2
bằng ∞, giả sử a
2
= ∞, khi
đó
f − a
1
g − a
1
là một hàm nguyên trên C
p
không nhận giá trị 0. Tương tự
ta cũng chứng minh được f = g.
Dựa trện cách chứng minh của Định lý 2.3, ta dễ dàng chứng minh
được:
Hệ quả 2.4 ([7]). Giả sử f và g là hai hàm nguyên khác hằng trên C
p
và tồn tại hai giá trị a
1
, a
2
∈ C
p
sao cho:
E
f
(a
1
) = E
g

(z) = 1

.
Đặt
µ
a
f(k
(z) =

µ
a
f
(z) : µ
a
f
(z) ≥ k
0 : trong các trường hợp khác.
Ta kí hiệu
n
(k

r,
1
f − a

=

|z|r
µ
a

, . . . , a
q
là q giá trị khác nhau trên C
p
∪ {∞}. Khi đó, tồn tại k
i
∈
Z
+
∪ {∞}, i = 1, q sao cho:

q

j=1
k
j
k
j
+ 1
− 2

T (r, f) <
q

j=1
k
j
k
j
+ 1

, . . . , k
q
} ta có:
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
21
N

r,
1
f − a

= N
k

r,
1
f − a

+ N
(k+1

r,
1
f − a

,
≤
k
k + 1
N

N
k

r,
1
f − a

+
1
k + 1
N

r,
1
f − a

≤
k
k + 1
N
k

r,
1
f − a

+
1
k + 1
T (r, f) + O(1). (2.4)

+ 1
Θ(a
j
, k
j
) ≤ 2. (2.5)
Một phần tử a ∈ C
p
∪ {∞} được gọi là giá trị bỏ được Borel bậc k của
f nếu:
lim sup
r→∞
log
+
n
k

r,
1
f−a

log r
< lim sup
r→∞
log
+
T (r, f)
log r
.
Lưu ý rằng

1
, . . . , a
q
là q giá trị khác nhau trong C
p
∪ {∞}. Nếu tồn tại k
j
∈
24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
22
Z
+
∪ {∞}, (j = 1, . . . , q) sao cho a
j
là giá trị bỏ được Borel bậc k
j
của
f thì
q

j=1
k
j
k
j
+ 1
≤ 2.
Định lý 2.7 ([7]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên C
p
,

f
(a
j
, k
j
) = E
g
(a
j
, k
j
), j = 1, . . . , q.
Chứng minh. Giả sử ngược lại f ≡ g. Theo (2.6) ta có:
1 ≥
k
1
k
1
+ 1
≥
k
2
k
2
+ 2
≥ · · · ≥
k
q
k
q

r,
1
f − a
j

− log r + O(1).
≤
k
2
k
2
+ 1
q

j=1
N
k
j

r,
1
f − a
j

− log r + O(1)
+

k
1
k

j

r,
1
f − a
j

− log r + O(1)
+

k
1
k
1
+ 1
−
k
2
k
2
+ 1

T (r, f).
25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Trích đoạn Tập duy nhất cho hàm phân hình p−adic

---