CHƯƠNG 7
Ước lượng các số đặc trưng tổng thể
* Không thể tính được các số đặc trưng tổng thể.
Từ một mẫu cụ thể, ta ước lượng đặc trưng tổng thể θ
bằng cách tuyên bố θ là θ
o
(ước lượng điểm) hoặc
tuyên bố θ thuộc một khoảng (ước lượng khoảng).

1. Ước lượng điểm
Ta tuyên bố mỗi số đặc trưng ứng với một mẫu
cụ thể là số đặc trưng tương ứng của tổng thể.
1.1 Ước lượng điểm trung bình tổng thể µ
µµ
µ
Trung bình tổng thể µ được ước lượng bởi trung
bình mẫu ngẫu nhiên
X
.
Công thức ước lượng này có tính chất:
Không chệch
: Kỳ vọng của sai số khi ước lượng
bằng 0, tức là E(
X

–

µ
)
=

được ước lượng bởi
phương sai mẫu ngẫu nhiên S
2
.
Công thức ước lượng điểm này là không chệch,
vững.
1.3 Ước lượng điểm tỷ lệ tổng thể p
Tỷ lệ tổng thể p được ước lượng bằng với tỷ lệ
mẫu ngẫu nhiên F.
Công thức ước lượng điểm này là không chệch.

Ví dụ
Đo chiều cao (m) của 50 cây rừng ta có bảng:
Chiều cao Số lượngChiều cao

Số lượng

6,25–6,75 1

8,25–8,75

18
6,75–7,25 2

8,75–9,25

9

ˆ
θ
,

2
ˆ
θ
, tức là lập 2 hàm n-biến X
1
,

X
2
,

,

X
n
. Số
đặc trưng tổng thể θ được xem thuộc khoảng [

1
ˆ
θ
,

2
ˆ
θ

µ
µµ
µ

Xét mẫu ngẫu nhiên X
1
, X
2
,…, X
n
và độ tin cậy
1–α.
Ta chọn khoảng ngẫu nhiên dạng (
X

−

ε,
X

+

ε)
để ước lượng µ. ε gọi là
độ chính xác
của ước lượng.
Để tìm khoảng ngẫu nhiên ước lượng µ, ta cần
xác đònh công thức tính độ chính xác ε.
TH1 n
≥

⇔ P(
X

–

µ

< ε) = 1−α ⇔ P(
X
−µ>

ε) = α
⇔ P(
X
/ n
− µ
σ

>

/ n
ε
σ
) = α ⇔ P(Z>
/ n
ε
σ
) = α
⇔ P(Z


α/2 của

phân phối Chuẩn Chính tắc. Vậy: / n
ε
σ
= z
α/2
⇒ ε =
/2
z
n
α
σ

Lấy mẫu cụ thể kích thước n, ta tính được giá trò
ε và do đó tìm được khoảng tin cậy (
x
−ε,
x
+ε) với độ
tin cậy 1–α để ước lượng µ.
TH2 n < 30, biết phương sai tổng thể
σ
σσ
σ
2
và X

công thức nêu trên đều áp dụng được, miễn là thay σ
bởi s khi tính ε ứng với mẫu cụ thể. TH4 n
≤
≤≤
≤
30, chưa biết phương sai tổng thể

σ
σσ
σ
2
, X có phân phối Chuẩn
Lúc này
X
S / n
− µ
có phân phối Student bậc tự do
(n–1). Tất cả lập luận trên cũng áp dụng được cho
phân phối Student. Công thức tính độ chính xác ε
ứng với mẫu cụ thể lúc này là công thức đã biết
nhưng thay σ bởi s và thay z
α/2
bởi t
α/2
(n–1).

Tóm tắt – Khoảng tin cậy trung bình tổng thể

==
=

/ 2
z
n
α
αα
α
σ
σσ
σ
(σ
≈
s)
n ≤
≤≤
≤ 30, chưa biết σ
σσ
σ
2
và tổng thể có phân
phối Chuẩn
ε
εε
ε =
==
=
/2
s

1100–1200

10

1700–1800

32
1200–1300

16

1800–1900

26
1300–1400

20

1900–2000

14
1400–1500

36

2000–2100

8
1500–1600


± 27,79
giờ (độ tin cậy 95%).

b) Nếu muốn độ tin cậy đạt đến 98% và độ chính
xác như trên thì phải có số liệu về tuổi thọ của bao
nhiêu bóng đèn?
1
−α = 98% ⇒ z
α/2
= z
0,01
= 2,33
=NORMSINV(1–0,01)
Từ công thức tính ε ta có:
n
=
2
/2
s
z
α
 
 
ε
 
= 360,66
≈
361
Phải có số liệu của 361 bóng đèn.


n

=

20 (< 30)
x

=

1.100 s

=

25,649
1−α = 98% ⇒ t
α/2
(n–1) = t
0,01
(19) = 2,539
=TINV(.01*2; 19)
⇒ ε =
/2
s
t (n 1)
n
α
−
= 14,56
Trọng lượng một sản phẩm là 1.100 ± 14,56 g (độ tin
cậy 98%).

p

< ε) = 1–α ⇔ P(F

–

p

> ε) = α
⇔ P(
−
−
F p
p(1 p) / n
>
ε
−
p(1 p) / n
) = α

⇔ P(Z >
ε
−
p(1 p) / n
) = α

⇔ P(Z >
ε
−
p(1 p) / n

=
==
=

/ 2
f(1 f)
z
n
α
αα
α
−
−−
−Ví dụ
Điều tra thu nhập hàng tháng của 100 công
nhân gặp ngẫu nhiên tại một nhà máy thì thấy có
81 lần được trả lời là trên 3 triệu đồng/tháng.
Ta có: n
=
100 f
=
81%
a) Ước lượng tỷ lệ công nhân đạt mức thu nhập
trên với độ tin cậy 96%.
1
−α


đồng/tháng từ 72,94% đến 89,06% (độ tin cậy 96%).

b) Nếu muốn độ tin cậy đạt đến 98% và độ chính
xác như trên thì phải điều tra thêm bao nhiêu công
nhân nữa?
1
−α

=
98%
⇒
z
α/2

=
z
0,01

=
2,3263
=NORMSINV(1–.01)
Từ công thức tính
ε
ta có:
n
=

2
/2
z

Từ công thức tính
ε
ta có:
z
α/2

=n
f(1 f)
ε
−

≈
1,78 ⇒ α/2 = 0,5 – Φ(1,78)
⇒ α/2 = 0,0375 ⇒ 1–α = 92,5%
Khi độ chính xác là 7% thì độ tin cậy là 92,5%.

2.3 Ước lượng khoảng phương sai tổng thể σ
σσ
σ
2

Xét mẫu ngẫu nhiên X
1
, X
2
,…, X
n


> b) + P(σ
2

< a) = α
Để có đẳng thức trên, ta chọn P(σ
2

>

b)

=

α/2 và
P(σ
2

<

a)

=

α/2. Ta có:

P(σ
2

> b) = α/2

mức 1–α/2 của phân phối Chi Bình n–1 bậc tự do.
Vậy:

2
(n 1)S
b
−
=
χ
2
1–α/2
⇒ b =
−α
−
χ
2
2
1 /2
(n 1)S

Tương tự:

P(σ
2

< a) = α/2 ⇔ P(
2
2
(n 1)S
−

(n 1)S

Lấy mẫu cụ thể kích thước n, ta tính được giá trò
a, b và do đó tìm được khoảng tin cậy [a, b] với độ
tin cậy 1–α để ước lượng σ
2
.
TH2 biết trung bình tổng thể
µ
µµ
µ