BÀI TẬP CHƯƠNG 3
3.1 (Bài toán Samuel Pepys đặt ra cho Newton) Tính xác suất xuất hiện:
a) Một lần mặt 6 khi tung con xúc sắc 6 lần.
b) Hai lần mặt 6 khi tung con xúc sắc 12 lần.
c) Ba lần mặt 6 khi tung con xúc sắc 18 lần.
3.2 Cầu thủ bóng rổ I (II) có xác suất ném vào rổ lần lượt là 70% (80%). Mỗi cầu thủ
ném rổ 2 lần độc lập nhau. Tính xác suất:
a) Số lần ném vào của hai cầu thủ là bằng nhau.
b) Số lần ném vào của cầu thủ I nhiều hơn của cầu thủ II.
3.4 Mỗi câu hỏi trắc nghiệm gồm bốn câu trả lời trong đó chỉ có một câu trả lời đúng.
Đề thi gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu 1 điểm.
a) Một thí sinh chọn ngẫu nhiên các câu trả lời. Tính xác suất thí sinh này đạt từ 5
điểm trở lên.
b) Một thí sinh trả lời đúng 4 câu, các câu còn lại chọn ngẫu nhiên các câu trả lời.
Tính xác suất thí sinh này đạt từ 5 điểm trở lên.
c*) Nếu đề thi là 50 câu và một thí sinh chọn ngẫu nhiên các câu trả lời. Tính xác suất
thí sinh này làm trúng được 25 câu trở lên.
d*) Đề thi trắc nghiệm phải có tối thiểu bao nhiêu câu để các thí sinh chọn ngẫu nhiên
các câu trả lời có xác suất đạt điểm trung bình là dưới 0,1%?
3.5* Một máy ATM đáp ứng được yêu cầu khách hàng với xác suất 80%. Trong một
tháng có 1.600 khách hàng sử dụng máy ATM này. Tính xác suất có nhiều hơn 340 khách
hàng không được phục vụ.
3.6* Một căn tin phải phục vụ cho 900 khách ăn trưa. Khách có thể ăn vào ca I hoặc ca
II. Căn tin này phải có tối thiểu bao nhiêu chỗ ngồi để trên 98% khách vào ăn có ngay
chỗ ngồi.
3.7* Một máy nhắn tin tự động chuyển được 99% tin nhắn. Trong một ngày máy này
nhận được 1.000 tin nhắn. Tính xác suất có không quá 10 tin không nhắn được.
3.8 Xác suất chép lại đúng một chữ Hán là 96%. Một trang chép tay có 400 chữ Hán.
a) Tính trung bình một trang bò sai bao nhiêu chữ?
b) Tính xác suất một trang bò sai nhiều hơn 3 chữ.

b) Số thùng đạt yêu cầu trong khoảng (46, 60).
3.16* Máy I (II, III) cùng sản xuất sản phẩm A với tỷ lệ chính phẩm là 70% (80%, 90%).
Cứ 3 sản phẩm của máy I, 4 sản phẩm của máy II, 3 sản phẩm của máy III thì đóng
thành một thùng.
Một khách hàng lấy ngẫu nhiên 100 thùng, mỗi thùng lấy ra một sản phẩm. Nếu
trong 100 sản phẩm này có từ 80 chính phẩm trở lên thì đồng ý mua lô hàng. Tính xác
suất lô hàng này bán được.
3.17* Mỗi lô hàng gồm 10 sản phẩm. Số chính phẩm trong một lô hàng là ĐLNN có bảng
phân phối:
X 7 8 9 10
p 0,2 0,3 0,3 0,2
Một lô hàng gọi là đạt yêu cầu nếu lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ lô hàng thì cả 3
đều là chính phẩm. Kiểm tra 300 lô hàng lấy ngẫu nhiên.
a) Số lô hàng đạt yêu cầu nhiều khả năng nhất là bao nhiêu?
b) Tính xác suất số lô hàng đạt yêu cầu là từ 170 đến 190.
3.18 Mỗi lô hàng I, II, III đều có 1.000 sản phẩm. Tỷ lệ chính phẩm của lô hàng I (II,
III) là 70% (80%, 90%). Lô hàng gọi là đạt yêu cầu nếu lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm thì
thấy có ít ra là 8 chính phẩm.
a) Tính xác suất có ít ra 2 lô hàng đạt yêu cầu.
b) Nếu chỉ có 1 lô hàng đạt yêu cầu, tính xác suất lô hàng đó là lô hàng I.
3.19 Trọng lượng một gói mì chọn ngẫu nhiên là ĐLNN có phân phối Chuẩn với phương
sai 0,04. Gói mì đạt chuẩn nếu sai lệch so với trọng lượng trung bình không quá 0,36g.
Tính xác suất kiểm tra 10 lần, mỗi lần 1 gói mì thì có ít nhất 9 lần gặp gói mì đạt chuẩn.

3.20 Tuổi thọ tính theo năm của một loại thiết bò là ĐLNN có phân phối Chuẩn với kỳ
vọng 11, độ lệch chuẩn 3.
a) Nếu quy đònh thời hạn bảo hành là 10 năm thì tỷ lệ thiết bò phải bảo hành là bao
nhiêu?
b) Nếu muốn tỷ lệ thiết bò phải bảo hành không quá 16% thì phải quy đònh thời hạn
bảo hành tối đa là bao nhiêu năm?

) = 0,5–Φ(4,08) = 0,002%
=1−NORMDIST(25, 12.5; 9.375^0.5, 1)
d) Gọi n là số câu hỏi trắc nghiệm. X là số câu hỏi trắc nghiệm thí sinh làm trúng thì
X~
B
(n, 25%). Tìm n để P(X ≥ n/2) < 0,001. Xấp xỉ:
B
(n, 25%)
≈

N
(n/4; 3n/16). Ta có:
P(X ≥ n/2) = 0,5 – Φ(
n/2 n/4
3n/16
−
)= 0,5 – Φ(
n/3
)
P(X ≥
n/2) < 0,001
⇒

Φ
(
n/3
) > 0,499
=

Φ

≤
X
≤
m. Yêu cầu đề bài là tìm m
sao cho P(900–m
≤
X
≤
m)
≥
98%.
Do n đủ lớn và p không quá gần 0 hay 1 nên X được xấp xỉ với phân phối Chuẩn có
cùng kỳ vọng và phương sai là
N
(450, 225). Ta có:
P(900–m
≤
X
≤
m)
=

Φ
(
m 450
15
−
) – Φ(
(900 m) 450
15

Số chỗ ngồi tối thiểu phải là 485.
3.9
→
→→
→

Gọi X là số chính phẩm trong 10 sản phẩm đã mua thì X~
H
(1.000; 400; 10). Xác
suất cần tính là P(X ≥ 3).
Do n rất nhỏ so với N, M và p = M/N không quá gần 0 hay 1 nên X được xấp xỉ bởi
B
(10, 40%). Ta có:
P(X ≥ 3) = 1–
2 2 8
10
C .0,4 .0,6
–
1 1 9
10
C .0,4 .0,6
–
0 0 10
10
C .0,4 .0,6
= 83%
=1 – BINOMDIST(2, 10, 40%, 1)
3.11
→
→→

20
− µ
σ
) = 0,8413
⇒ Φ(
20
− µ
σ
) = 0,3413 = Φ(1)
P(X < 25) = P(
X
− µ
σ
<
25
− µ
σ
) = 0,5 + Φ(
25
− µ
σ
) = 0,9772
⇒ Φ(
25
− µ
σ
) = 0,4772 = Φ(2)
Do Φ tăng nên ta có
20
− µ

Xác suất lấy được 1 chính phẩm từ thùng hàng:
p = 70%×30% + 80%×40% +90%×30% = 80%

Gọi X là số chính phẩm có trong 100 sản phẩm được khách hàng lấy ra thì X~
B
(0,8; 100).
Xác suất cần tính là P(X ≥ 80).
3.17
→
→→
→

Trước hết, tính xác suất để một lô hàng chọn ngẫu nhiên đạt yêu cầu.
Lấy 10 sản phẩm từ lô hàng, gọi A
1
(A
2
, A
3
, A
4
) là "có 7 (8, 9, 10) chính phẩm". A
1
, A
2
, A
3
,
A
4

10
C
C
=
0,7 P(B/A
4
)
=
1
Theo công thức đầy đủ: P(B)
=

Σ
P(B/A
i
).P(A
i
)
≈
0,6
Gọi Y là số lô hàng đạt yêu cầu trong 300 lô hàng thì Y~
B
(0,6; 300).
a) Ta cần tính Mod(Y). Ta có: 179,6
≤
Mod(Y)
≤
180,6
⇒
Mod(Y)

10
72
)
=
2
Φ
(1,18)
=
76,2%
=
2*NORMSDIST(10/72^0,5)–1
3.18
→
→→
→

Gọi X
1
là số chính phẩm có trong 10 sản phẩm lấy từ lô hàng I, A là "lô hàng I
đạt yêu cầu" thì X
1
~
H
(1.000, 700, 10), P(A)
=
P(X
≥
8). Tương tự, gọi B (C) là "lô hàng II
(III) đạt yêu cầu".
a) Xác suất cần tính là:

→
→→
→

Gọi X
1
(X
2
) là lãi suất của công ty A (B) thì X
1
~
N
(12; 3,5
2
), X
2
~
N
(11; 2,8
2
).
Gọi
α
(0
≤

α

≤
1) là tỷ lệ đầu tư vào công ty A thì lãi suất là X

1
~
N
(50; 0,4
2
).
Xác suất p
1
(p
2
) một để bao gạo của công ty A (B) đạt chuẩn là:
p
1

=
P(X
1

≥
49,8)
=
0,5 –
Φ
(
49,8 50
0,2
−
) = 84,13% =1–NORMDIST(49.8, 50, 0.2, 1)
p
2

P(B) = P(X ≥ 80) + P(51 ≤ X ≤ 79).P(Y ≥ 35)
P(X ≥ 80) = 0,5 – Φ(
80 78,14
4,13
−
) = 32,6% =1–NORMDIST(80, 78.14, 4.13, 1)

P(51 ≤ X ≤ 79) = Φ(
79 78,14
4,13
−
) – Φ(
51 78,14
4,13
−
) = 58,2%
=NORMDIST(79,78.14,4.13,1)–NORMDIST(51,78.14,4.13,1)
P(Y ≥ 35) = 0,5 – Φ(
35 39,07
2,92
−
) = 91,8%
=1–NORMDIST(35, 39.07, 2.92, 1)
⇒ P(B) = 86%
3.23
→
→→
→

Gọi X

(480; 96) X
2

≈

N
(340; 51)
Vậy X có phân phối Chuẩn với kỳ vọng, phương sai:
µ = 480 + 340 = 820
σ
2
= 96 + 51 = 147
P(X > 800) = 0,5 – Φ(
800 820
147
−
)
=
0,5 +
Φ
(1,65)
=
95%
=
1–NORMDIST(800, 820, 147^0.5, 1)