BÀI TẬP CHƯƠNG 1
1.2 Một lớp gồm 30 nam, 20 nữ. Chọn ngẫu nhiên một nhóm gồm 4 sinh viên. Tính xác
suất:
a) Có 2 nam trong nhóm.
b) Không có nam trong nhóm.
c) Có ít nhất một nam trong nhóm.
d) Có nhiều nhất 2 nam trong nhóm.
1.3 Có 3 sinh viên cất chung 3 cuốn tập, sau đó mỗi người lấy ngẫu nhiên 1 cuốn. Tính
xác suất cả 3 sinh viên đều lấy nhầm tập.
1.4 Chứng minh:
c) P(A.B) = P(A) – P(A.
B
) =
P(B) – P(
A
.B)
d) P(A/C)
=

i i
P(A/B C).P(B /C)
∑
(B
i
) là họ đầy đủ và xung khắc từng đôi
1.5
Một lớp 50 học sinh trong đó có 20 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi cả Toán lẫn
Văn. Gặp ngẫu nhiên một học sinh trong lớp, biết rằng học sinh này giỏi toán, tính xác

phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ mỗi lô hàng.
a) Tính xác suất lấy được 3 chính phẩm.
b) Biết rằng lấy được 3 chính phẩm. Tính xác suất phế phẩm là từ lô hàng I.
1.14
Lô hàng I (II, III) có tỷ lệ chính phẩm là 90% (85%, 65%). Từ lô hàng I lấy ngẫu
nhiên 1 sản phẩm, lô hàng II lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm, lô hàng III lấy ngẫu nhiên 3
sản phẩm. Từ 6 sản phẩm này lại lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tính xác suất sản
phẩm này là chính phẩm.
1.15
Một hộp gồm n viên bi.
a) Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp. Tính xác suất lấy được viên bi trắng.
b) Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp và thấy đây là viên bi trắng. Hoàn lại viên bi
này vào hộp và rồi lấy ngẫu nhiên một viên bi. Tính xác suất lần này cũng lấy được viên
bi trắng.
1.16
Có 3 lá thăm trong đó có 2 lá thăm trúng thưởng. 3 người bốc thăm theo cách:
người I bốc một lá thăm, còn lại hai lá, người II bốc một lá, một lá còn lại là của người
III. Tính xác suất người I, II, III bốc được thăm trúng thưởng. Cách bốc thăm này có công
bằng không?
1.17
Ba khẩu súng bắn mỗi khẩu một viên vào cùng một mục tiêu. Xác suất bắn trúng
của mỗi khẩu súng lần lượt là 90%, 85%, 80%. Xác suất mục tiêu bò tiêu diệt khi trúng k
viên đạn là 1 – 10
–k
. Tính xác suất mục tiêu bò tiêu diệt.
1.18
(


1.23
Trong 10 nghi phạm có một tội phạm. Người ta tìm tội phạm bằng cách cho kiểm
tra từng người bằng máy phát hiện nói dối. Nếu là tội phạm thì máy sẽ báo nói dối. Đôi
khi máy cũng báo nói dối với người không phải là tội phạm với xác suất 0,1%. Một nghi
phạm bò máy báo rằng nói dối. Tính xác suất người này là tội phạm.
1.24
Hộp I gồm 3 bi đỏ và 5 bi xanh. Hộp II gồm 2 bi đỏ và 3 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên
một hộp và lấy ngẫu nhiên 2 bi.
a) Tính xác suất hai bi lấy ra là một bi đỏ và một bi xanh.
b) Biết hai bi lấy ra là một bi đỏ và một bi xanh, tính xác suất hai bi này được lấy ra
từ hộp I.
1.25
Tỷ lệ bao gạo đủ trọng lượng bán tại 3 cửa hàng I, II, III lần lượt là 90%, 85%, 80%.
Một người mua 3 bao gạo, mỗi bao từ một cửa hàng khác nhau.
a) Tính xác suất mua được 2 bao gạo đủ trọng lượng.
b) Biết rằng mua được 2 bao gạo đủ trọng lượng. Tính xác suất bao gạo không đủ trọng
lượng là mua ở cửa hàng III.
1.26
Một hộp gồm 3 bi đỏ và 7 bi xanh. Lần I lấy ngẫu nhiên một bi rồi xem màu. Nếu
là bi đỏ thì bỏ lại vào hộp một bi xanh, nếu là bi xanh thì bỏ lại vào hộp một bi đỏ. Lần
II lấy ngẫu nhiên một bi từ hộp.
a) Tính xác suất lần II lấy được bi đỏ.
b) Nếu biết lần I và lần II lấy được hai bi cùng màu, tính xác suất hai bi này cùng là
màu xanh.
1.27
Hộp I gồm 10 bi đỏ, hộp II gồm 5 bi đỏ và 5 bi xanh, hộp III gồm 10 bi xanh. Chọn
ngẫu nhiên một hộp và lấy ngẫu nhiên hai bi. Không hoàn bi lại, lấy ngẫu nhiên một bi
từ hộp này. Tính xác suất bi này là bi xanh nếu hai bi lấy trước đó đều là bi xanh.
1.28

b

≈
2%
c)
→
Ít nhất một nam (đối lập 4 nữ): p
c

≈
98%
d)
→
Nhiều nhất 2 nam (có 4 nữ hoặc 1 nam và 3 nữ hoặc 2 nam và 2 nữ): p
d

≈
53%
1.3→
→→
→
Gọi A
1
, (A
2
, A
3

.
2
A
.
3
A
)
=
1 – 2/3
=
1/3
1.4→
→→
→
c)
→
P(A)
=
P(A(B+
B
))
=
P(AB+A
B
)
=
P(AB) + P(A
B
)
⇒

i
P(A( B )C)
P(C)
∑

=

P(AC)
P(C)=
P(A/C)
1.6→
→→
→
Gọi A
1
, (A
2
, A
3
) là "phần I, (II, III) có một hộp sữa hư". Xác suất cần tính là
P(A
1
.A
2
.A
3
). Theo công thức nhân: P(A

=
40%
1.8→
→→
→
Gọi A
1
, (A
2
, A
3
) là "sinh viên I, (II, III) thi đậu".
a)
→
Xác suất cần tính là P(
1
A
A
2
A
3
)
=
8,4%
b)
→
"Có 2 sinh viên thi đậu" là B
=
A
1

=
1
A
(A
1
A
2
3
A
+A
1
2
A
A
3
+
1
A
A
2
A
3
)
=

1
A
A
2
A

2
A
+
1
A
.A
2
. Xác suất cần tính là P(A
1
.
2
A
/B)
≈
30,77%
1.10→
→→
→
Gọi A
i
(B
i
) là " sản xuất được i sản phẩm trên máy I (II)". Xác suất cần tính là
P(A
3
.B
4
+ A
4
.(B

)]
≈
84%
1.11→
→→
→
Gọi A (B) là "lấy được bi đỏ từ hộp I (II)". Đặt C
1

=
A.
B
, C
2

=
A
.B, C
=
C
1
+C
2
. Xác
suất cần tính là P(C
1
/C)
=

1

B
.
1
C
.
2
B
.
2
C
.
3
B
+

A
=

1
B
.
1
C
+
1
B
.
1
C
.

6 6 6 6 6 6 6 6 6
+ + +

=

2 4
1 5 5
1
6 6 6
 
   
 
+ + +
   
 
   
 

P(
A
) =
5 1 5 5 5 1 5 5 5 5 5 1
. . . . . . . . .
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
+ + +

=
2 4
5 1 5 5
. 1

i
(B
i
) là "được i chính phẩm từ 2 sản phẩm lấy từ lô hàng I (II)".
a)→ Đặt C = A
1
.B
2
+ A
2
.B
1
. Xác suất cần tính là P(C)
≈
46,03%
b)→ Xác suất cần tính là P(A
1
.B
2
/C)
≈
28%
1.14
→
→→
→

Gọi A
i
là "sản phẩm lấy lần II là từ lô hàng thứ i", B là "sản phẩm lấy lần II là

1 n 1
.
2 n
+

1.16
→
→→
→

Gọi A
1
(A
2
, A
3
) là "người I (II, III) bốc được thăm trúng thưởng". Ta có:
P(A
1
) = 2/3.
P(A
2
) = P(A
1
).P(A
2
/A
1
) + P(
1

i
là "khẩu súng thứ i bắn trúng mục tiêu", B
i
là "mục tiêu bò i viên đạn bắn
trúng", C là biến cố "mục tiêu bò tiêu diệt". Xác suất cần tính là P(C) =
ΣP(C/B
i
).P(B
i
).
P(B
o
) = 0,3% P(B
1
) = 5,6% P(B
2
) = 32,9% P(B
3
) = 61,2%
P(C/B
k
) = 1–10
–k
⇒ P(C)
≈
98,75%
1.18
→
→→
→

1.21
→
→→
→
Gọi A
1
, (B
1
, C
1
) là "viên phấn lấy từ hộp I, (II, III) là viên phấn trắng". A
2
, (B
2
, C
2
)
là "viên phấn lấy từ hộp I, (II, III) là viên phấn vàng". Đặt
D
=
A
1
.C
1
+ A
2
.C
2
. Ta cần tính P(D)
=

1
B
1
C
1
) + P(A
1
1
B
C
1
)
P(A
1
B
1
C
1
)
=

1
22
P(A
1
1
B

P(A
2
(B
2
+
2
B
)C
2
)
=
P(A
2
B
2
C
2
) + P(A
2
2
B
C
2
)
P(A
2
B
2
C
2

→
→→
→

Gọi B là "gặp sinh viên có bằng B", A
1
(A
2
) là "gặp sinh viên nam (nữ)".
a)
→
Xác suất cần tính là P(B)
≈
17%
b)
→
Xác suất cần tính là P(A
2
/B)
=
40%
c)
→
Trong lớp 60 sinh viên có 50 người chưa có bằng B. Gọi C là "gặp hai người chưa có
bằng B" thì xác suất cần tính là P(
C
)
=
1 – P(C)
≈

Gọi B là "lấy được một bi đỏ và một bi xanh từ hộp đã chọn", A
1
(A
2
) là "hai bi
được lấy ra là từ hộp I (II)".
a)
→
P(A
1
)
=
P(A
2
)
=
50% (chọn hộp ngẫu nhiên) P(B/A
1
)
=

15
28
P(B/A
2
)
=

3
5

A
.B.C. Xác suất cần tính là P(D)
≈
33%
b
)
→
→→
→
Xác suất cần tính là P(
C
/D).

C
.D
=

C
(A.
B
.C + A.B.
C
+
A
.B.C)
=
A.B.
C

⇒

cần tính là P(C
1
/C).
P(C)
=
P(C
1
) + P(C
2
)
=
P(
A
).P(
B
/
A
) + P(A).P(B/A)
=
42% + 6%

⇒
P(C)
=
48%
Do C
1
.C
=
C

Σ
P(C/A
i
B).P(A
i
/B)
P(A
i
/B)
=

i i
P(A ).P(B/A )
P(B)

P(B)
=

Σ
P(B/A
i
).P(A
i
)
=

11
27

⇒

→

Lấy ra 6 sản phẩm, gọi A
o
, (A
1
,…, A
6
) là "lấy được 0 (1,…,6) chính phẩm". Lấy ra 3
sản phẩm, gọi B là "lấy được 2 chính phẩm".
Số chính phẩm trong hộp có nhiều khả năng nhất là giá trò i sao cho P(A
i
/B) lớn nhất
trong số các giá trò P(A
o
/B), P(A
1
/B), , P(A
6
/B).
P(A
i
)
=
1/7.
P(B/A
o
)
=
0 P(B/A

1
2
P(B/A
6
)
=
0

⇒
P(B)
=

1
4

P(A
o
/B)
=
P(A
1
/B)
=
P(A
6
/B)
=
0
P(A
2

→
Lấy ra 10 sản phẩm, gọi A
o
, (A
1
,…, A
10
) là "lấy được 0 (1,…, 10) chính phẩm". Lấy ra
6 sản phẩm, gọi B là "lấy được 6 chính phẩm". Xác suất cần tính là P(A
10
/B).
P(A
i
)
=
1/11.
P(B/A
o
)
=
P(B/A
1
)
=

=
P(B/A
5
)
=


84
210⇒
P(B)
=

1
7

⇒
P(A
10
/B)
=

7
11

≈
64%
1.30
→
→→
→

Gọi A (B) là "bi lấy từ hộp I (II) là bi trắng.
a)

B
)).
C.(A.B +
A
.
B
)
=
(A.B +
A
.B).(A.B +
A
.
B
)
=
A.B

⇒
P(C/(A.B +
A
.
B
))
=
48,78%
e)
→
Gọi D là "bi lấy từ hộp II là từ hộp I bỏ vào". Xác suất cần tính là P(D)
=