MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong qúa trình giảng dạy tại các trường THPT, tôi nhận thấy rằng các em
học sinh thường lúng túng khi gặp phải các bài toán về chuyển động ném xiên.
Nguyên nhân là do các em hiểu còn chưa sâu phương pháp tọa độ mà sách giáo
khoa đã trình bày. Mặt khác còn có một nguyên nhân mang tính chất thói quen của
học sinh là khi giải một bài toán vật lí phần lớn các em chưa định hình được hướng
đi của bài (Như để đạt được yêu cầu của bài toán đặt ra ta phải tìm đại lượng
nào? và phải sử dụng đến những công thức liên quan nào? ) mà làm bài theo
thói quen và theo kiểu suy luận xuôi.
Vì vậy tôi chọn đề tài này nhằm mục đích cho học sinh hiểu sâu hơn nội
dung của phương pháp tọa độ mà sách giáo khoa đã trình bày, gây hứng thú học
tập cho học sinh và giúp học sinh hiểu sâu sắc bản chất, hiện tượng vật lí của bài
toán.
Hiện nay, do đối tượng dạy học của tôi là học sinh chuyên Lý nên các em có
thể sử dụng kiến thức toán học của toàn chương trình Toán THPT nên tôi đề xuất
phương án giải quyết bài tập ném xiên bằng tích có hướng của hai véc tơ (Dùng
cho học sinh chuyên Lý)
Hy vọng với ba phương pháp giải bài toán vật ném xiên:
1. Phương pháp tọa độ.
2. Phương pháp hình học.
3. Phương pháp dùng tích có hướng của hai vectơ.
sẽ bước đầu giúp các em làm quen với việc định hướng trước khi giải một bài toán
vật lí, hình thành kỹ năng, kỹ xảo và phát triển năng lực tư duy cao hơn nữa cho
các em.
II. PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
- Tôi tiến hành nghiên cứu tại trường THPT Chuyên Hà Nam với hai đối tượng là
học sinh lớp 10 (ban nâng cao) và học sinh lớp 10 chuyên Lý.
-1-
- Thời gian tiến hành trong năm học 2008 - 2009.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

Chú ý có kí hiệu :
a a=
uur
;
(a , b )α=
ur ur
* Ngoài ra còn có một phép nhân 2 véctơ
a, b
ur ur
lại cho ta một véc tơ khác – Tích đó
gọi là tích có hướng hay tích hữu hướng. Cho bởi biểu thức :
a b c∧ =
ur ur ur
Khi 2 véctơ
a, b
ur ur
có cùng điểm đặt O thì véctơ
c
r
có:
+ Điểm đặt tại O
+ Phương : vuông góc với mặt phẳng chứa 2 véctơ
a, b
ur ur
+ Chiều xác định bởi quy tắc cái đinh ốc : “Quay cái đinh ốc theo chiều từ
véctơ
a
ur
đến véctơ
b

ur ur ur ur
ur ur
2. Cơ sở vật lý:
Trong sách giáo khoa lớp 10 cho ta một phương pháp để giải các bài toán về
chuyển động ném xiên đó là phương pháp toạ độ. Theo phương pháp này để giải
một bài toán ném xiên ta thường phải qua 4 bước :
Bước 1 : Chọn hệ trục toạ độ ( thường là hệ trục toạ độ Đề các).
Bước 2 : Phân tích chuyển động thực làm hai chuyển động theo các trục tọa độ.
Bước 3 : Khảo sát riêng rẽ các chuyển động thành phần.
Bước 4 : Phối hợp lời giải riêng rẽ thành lời giải đầy đủ cho chuyển động thực.
-3-
Về nội dung phương pháp này đã đươc sách giáo khoa minh hoạ thông qua
việc trình bày lời giải của bài toán chuyển động ném ngang (đây là một trường hợp
riêng của chuyển động ném xiên). Song điều tôi muốn trình bày trong phương
pháp này là ở chỗ:
1. Hệ trục tọa độ ta chọn là bất kì.
2. Các chuyển động thành phần là các chuyển động “tưởng tượng” và diễn ra
trong cùng một khoảng thời gian.
3. Giả sử ta có chuyển động
ném xiên như hình (H1):
+ Nếu vật chuyển động theo
phương ngang Ox được một đoạn
X=OA thì theo phương Oy vật
phải dời được một khoảng Y
đúng bằng AB (để chuyển động thực của vật đạt tới vị trí B trên quỹ đạo)
3. Áp dụng vào bài toán vật ném xiên:
Bài toán 1: Một vật được ném lên từ mặt đất với vận tốc ban đầu
0
v
uur

= v
0y
+ at = v
0
sinα -gt (3)

2 2
oy o
at gt
y v t v sin
2 2
= + = α−
(4)
Từ (2) và (4) ta có:

2
2 2
o
g
y x tg .x
2v cos
=− + α
α
(5)
Từ (5) ta thấy rằng quỹ đạo của vật là một nhánh Parabol
a) Vật đạt độ cao cực đại khi
y
1
y H
v 0

2 2
0
0
v sin
t (6)
0 v sin gt
g
gt
v sin
H v sin
H (7)
2
g
b) Vật chạm đất khi
D
y 0
t t
=


=

Thế vào (4) ta được
α
=
0
D
2v sin
t
g

α
 
 
Vậy : y
Max
khi
-5-
2 2
0
v sin
H
g
α
=
b) Vật chạm đất khi
D
y 0
t t
=


=

Thế vào (2’) ta được
0
D
2v sin
t (b)
g
α

(nhưng trong cùng một khoảng thời gian).
Từ nhận xét trên ta đi giải bài toán này như sau :
Bài giải:
- Chọn hệ trục xOy như hình (H3).
- Phân tích chuyển động thực làm 2 chuyển động thành phần :
+ Chuyển động thẳng đều theo phương Ox với vận tốc ban đầu v
0
+ Rơi tự do theo phương Oy
-6-
2
0
v sin 2
L
g
α
=
- Gọi t
C
là thời gian chuyển động của vật, ta có:
0 C
2
C
OM v t
gt
MC
2
=




cosα
2
0 0
0
2v sin v sin 2
L v cos L
g g
α α
⇔ = α ⇔ =
(2)
c) Gọi t
P
là thời gian để vật đạt được độ
cao cực đại tính từ lúc bắt đầu ném vật.
Giả sử vật đạt độ cao cực đại tại vị trí I
thì rõ ràng vận tốc thực của vật tại vị trí
này phải theo phương ngang.
Mặt khác ta có :
x y
v v v= +
r uur uur
Từ hình ta có :
y
x
v
sin
v
α =
(3)
Mà v

= =
.
Do
OP PM
PI // MN
=



nên PI là đường trung bình của tam giác OMN
⇒ OI = IN và MN = 2PI=
2
C
gt
4

2 2 2
C C C
gt gt gt
NC MC MN
2 4 4
⇒ = − = − =
(5)
Do
OI IN
IQ // NC
=




ur
tác dụng vào vật (trong bài toán trên
F P=
ur ur
).
- Dựa vào hình học để giải quyết các câu hỏi đặt ra.
* Do việc giải bài toán theo phương pháp này không dựa vào toạ độ mà chủ yếu
là dựa vào hình học nên tôi tạm gọi phương pháp này là “phương pháp hình
học”
Bài toán 2:
(Bài này dành cho đối tượng HS đã học hết lớp 10 hoặc học sinh lớp 10 chuyên
Lý)
Chứng minh rằng từ một độ cao nào đó so với mặt đất người ta ném một vật
với vận tốc
0
v
uur
ban đầu lập với phương ngang một góc α, thì khi đạt tới tầm xa cực
đại, vận tốc ban đầu và vận tốc ngay trước chạm đất
vuông góc với nhau (xem hình H4).
Nhận xét : Với bài toán dạng này ta có nhiều
hướng đi, nhưng trong phạm vi phương pháp này tôi
đơn cử đưa ra 3 hướng như sau :

* Hướng 1 : Suy luận xuôi
Trước hết ta đi tìm công thức tầm xa L = L(α) . Từ điều kiện L
Max
 α. Thế
α vào công thức tính thời gian của chuyển động, từ đó tính được v
y

ta phải suy ra được
α +β
=90
0
Song để tìm hệ thức chứa
β
là rất khó vì HS chưa học định lí hàm số cosin
và định hàm số sin, hoặc dùng phương pháp chiếu ta có hệ thức v
x
cosα = v.cosβ.
Hướng này có thể được.
* Hướng 3 : Suy luận ngược
Nếu
( )
x
v,v
uruur
=90
0
thì rõ ràng ta có hệ thức : v
y
2
= v
0
2
+ v
x
2
(*)
Vậy bài toán trở thành đi chứng minh (*) với giả thiết L


2
2
0
mv
mv
gh
2 2
⇔ + =

(Chọn gốc thế năng là mặt đất)
⇔ v
2
= v
0
2
+ 2gh (2)
v
y
= gt (3)
- Từ hình (H5) ta có :
L
2
= OM
2
- MN
2

-9-
⇔ L

 
 
⇔ = − −
 
 
(nhân cả 2 vế với g
2
)

2
2
y
2 2 2 2 2 2 2
0 y y
v
g L v v ghv g h
2
 
⇔ = − + −
 ÷
 ÷
 
(do v
y
= gt )

( )
2
2
y

y
2 2 4 2 2 4 2
0 0 0 0 0
v
g L v 2ghv v gh v 2ghv
2
 
⇔ = + − − + ≤ +
 
 
 
(4)
Như vậy L
Max
 (L
2
)
Max
 [(gL)
2
]
Max
khi và chỉ khi (4) xảy ra dấu “=”, tức là:
( ) ( )
2
y
2 2 2
0 y 0
v
v gh 0 v 2 v gh

0
D
2v sin
t
g
α
=
Đường đi của vật 2 được tính
theo công thức :
2 2
D 0
2
gt 4v sin
g
h MC .
2 2 g
α
= = =
-10-
Hay : (3)
Nhận xét 1: Từ công thức tầm xa của vật 1 :
2
0
v sin2
L
g
α
=
và công thức (3)
ta thấy rằng tỉ số :

S v t
g
α
= =
Từ hình ta có :
4 2 2 4 4 4 2
2 2 2
0 0 0
2 2 2
4v sin .cos 4v sin 4v sin
OM OC CM
g g g
α α α α
= + = + =
Hay :
2
0
2v sin
OM
g
α
=
Rõ ràng là : S = OM
Ta có thể rút ra cách giải bài toán ban đầu như sau:
Có thể coi chuyển động của vật từ A tới C là tổng hợp của hai chuyển động :
+ Chuyển động thẳng đều từ A tới M với vận tốc ban đầu v
0
+ Rơi tự do từ M  C (không vận tốc ban đầu)
(trong cùng một khoảng thời gian t nào đó lại đúng bằng thời gian chuyển động
thực của vật- hình bên)

=
C. Phương pháp dùng tích có hướng của hai véc-tơ:
-11-
2
0
2
4v sin
g
h .
2 g
α
=
0
D
2v sin
t
g
α
=
Bài toán 4: Chứng minh rằng tự một độ cao nào đó so với mặt đất người ta ném
một vật với vận tốc
0
v
uur
ban đầu lập với phương ngang
một góc α, thì khi đạt tới tầm xa cực đại, vận tốc ban
đầu và vận tốc ngay trước chạm đất vuông góc với
nhau.
Giải :
Vật chỉ chuyển động dưới tác dụng của trọng lực nên

0
cosα.t (2)
(do theo phương ngang vật không chịu tác dụng của lực nào nên nó chuyển động
thẳng đều với vân tốc = v
0
cosα.) (3)
Từ (1) và (2) ta rút ra được :
0
v v
L
g
∧
=
ur uur
Mặt khác :
0
v v∧
ur uur
= v.v
0
sin (
0
v , v
ur uur
)
Nên ta có :
( )
o 0
0
v.v sin v , v

0
v v
L
g
∧
=
ur uur
Theo định luật bảo toàn năng lượng thì vận tốc khi vật chạm đất có độ lớn
đúng bằng vận tốc ban đầu v
0
. Còn phương của
v
ur
thì tạo với phương ngang cũng
một góc bằng α (Rút ra từ định luật bảo toàn động lượng theo phương ngang –
“quan điểm vật lí học”; hoặc có thể rút ra từ tính chất của các tiếp tuyến với
Parabol quỹ đạo tại điểm ném và tại điểm rơi - “góc độ vật lí toán”)
Suy ra :
( )
0
v , v 2= α
ur uur
→
2
0
v sin 2
L
g
α
=

= 10m/s
2
.
ĐS:
2
2 2
0
2 2
0
2gh
tg tg
v cos
L 20m
g
v cos
α+ α +
α
= =
α
Bài 3: ở một điểm O trên sườn đồi nghiêng góc α = 30
0

so với mặt phẳng ngang,
một vật được ném theo phương ngang với vận tốc ban đầu v
0
= 10
3
m/s. Vật đó
chạm đất tại A cách O một khoảng L. Tìm L biết g =10m/s
2

Tìm thời gian để vận tốc của vật vuông góc với
0
v
uur
.
ĐS:
0
o
2v sin
t
g
α
=
Với điều kiện
α ≥
45
0
ĐỀ KIỂM TRA TỰ LUẬN :
-13-
Câu 1 : (5 điểm) Một vật được ném theo phương ngang với vận tốc ban đầu v
0
=
20m/s từ một điểm O ở độ cao h = 45m so với mặt đất (bỏ qua sức cản của không
khí và lấy g = 10m/s
2
). Hãy xác định : a) Thời gian bay của vật.
b) Tầm xa của vật.
Câu 2 : (5 điểm) Một người đúng ở bờ biển ném một hòn đá ra biển. Hỏi người ấy
phải ném hòn đá dưới một góc bằng bao nhiêu so với phương ngang để nó rơi xa
bờ nhất. Khoảng cách xa nhất ấy bằng bao nhiêu? Cho biết bờ dốc đứng và hòn đá

và chăm chỉ, nhưng tập trung nhiều thời gian cho môn chuyên nên sự đầu tư cho
môn học không chuyên còn hạn chế, nên nhóm đối chứng về trình độ còn yếu hơn
nhóm thực nghiệm.
* Do đặc thù của trường chuyên như sĩ số học sinh trong một lớp ít, một
giáo viên dạy chuyên thì hầu như chỉ tham gia dạy các lớp chuyên nên việc tiến
hành thực nghiệm có nhiều khó khăn.
* Do nhà trường còn gặp nhiều khó khăn về cơ sở vật chất (phòng học bộ
môn, sách tham khảo ) nên chưa đáp ứng được một cách tốt nhất cho quá trình
học tập và giảng dạy .
III. LỜI KẾT
* Phương pháp hình học tuy có hạn chế đó là không giúp học sinh thấy rõ được
quỹ đạo của chuyển động song phương pháp này lại giúp cho học sinh phát triển cả
tư duy vật lí và cả tư duy toán học - nó thể hiện tính liên môn trong chương trình
kiến thức phổ thông. Và phương pháp này thật sự có hiệu quả khi học sinh nắm
tương đối rõ phương pháp toạ độ mà sách giáo khoa đã trình bày; có như vậy học
sinh mới vừa hiểu rõ được bản chất của hiện tượng, vừa có cách giải tương đối
nhanh các bài toán loại này.
* Phương pháp dùng tích có hướng của hai véc tơ có hạn chế là chỉ có thể dùng
cho học sinh đã học toán lớp 12 ban KHTN hoặc cho học sinh chuyên Lý
* Do thời gian và khả năng còn có những hạn chế nhất định nên đề tài không
tránh khỏi những thiếu sót, rất mong các thầy cô giáo, đặc biệt là các thầy cô giáo
có kinh nghiệm và các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh góp ý kiến để cho đề
tài của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Phủ Lý, ngày 05 tháng 05 năm 2009
Người viết

Vũ Thị Lan Hương
-15-
-16-