BT BIẾN NGẪU NHIÊN
Xác đònh biến ngẫu nhiên.
Bài 1. Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng
a)
[ ]
[ ]
Ax khi x 0,1
f (x)
0 khi x 0,1

∈

=

∉


b)
[ ]
[ ]
A sin x khi x 0,
f (x)
0 khi x 0,

∈ π

=

∉ π




<

Hãy xác đònh A. Tìm hàm phân phối xác suất của X. Tính
µ
X
,
σ
2
X
, nếu
có.
Bài 2. Tuổi thọ của một loại bóng đèn nào đó là 1 biến ngẫu nhiên X (đơn vò
năm) với hàm mật độ như sau
2
kx (4 x) khi 0 x 4
f (x)
0 khi x [0,4]

− ≤ ≤
=

∉

a) Tìm k và vẽ đồ thò f(x).
b) Tìm xác suất để bóng đèn cháy trước khi nó được 1 năm tuổi.
Bài 3. Trọng lượng của một con vòt 6 tháng tuổi là 1 biến ngẫu nhiên X (đơn
vò tính là Kg) có hàm mật độ
2
k(x 1) khi 1 x 3

 

 

a) Tìm a và xác đònh hàm phân phối xác suất F(x) của X.
1
b) Tính xác suất để X nhận giá trò trong khoảng
,
4
π
 
π
 ÷
 
.
Bài 5. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối
π

< −


π π

= + − ≤ ≤


π

>


phân bố xác suất là
Y 0 1 2 3 4
P 0,1 0,3 0,4 0,15 0,05
Giả sử rằng X và Y độc lập.
a) Tìm phân phối xác suất đồng thời của X và Y.
b) Tính P(X > Y).
Bài 7. Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của X, Y như sau :
Y
X
4 5
1 0,1 0,06
2 0,3 0,18
3 0,2 0,16
a) Lập bảng phân phối xác suất thành phần của X và Y.
b) Lập bảng phân phối xác suất có điều kiện của X và Y.
c) Tính covariance và hệ số tương quan của X và Y.
Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên.
2
Bài 8. Các đại lượng ngẫu nhiên X và Y có bảng phân phối xác suất đồng thời
như sau
Y
X
1 2 3
1 0,12 0,15 0,03
2 0,28 0,35 0,07
a) Chứng minh rằng X và Y độc lập.
b) Lập bảng phân phối xác suất của Z = XY. Từ đó tính E(Z) và kiểm tra
rằng
E(Z) E(X)E(Y)=
.

15
1
15
4
15
0
1
15
2
15
1
15
1 0
2
15
0
a) Tìm
µ
X
,
µ
Y
, cov(X,Y) và
(X, Y)ρ
.
b) X và Y có độc lập không ?
Bài 11. Có hai hộp, mỗi hộp đựng 6 bi. Trong hộp một có : 1 bi mang số 1, 2
bi mang số 2, 3 bi mang số 3. Trong hộp hai có : 2 bi mang số 1, 3 bi mang số
2, 1 bi mang số 3. Rút từ mỗi hộp 1 bi. Gọi X là số ghi trên bi rút ra từ hộp
một, Y là số ghi trên bi rút ra từ hộp hai.


≤ ≤

= <


>

2
x khi 0 x 1
F x 0 khi x 0
1 khi x 1
.
b)
=A 0.5
,
π
µ =
X
2
,
π
σ = −
2
2
X
2
4
,
( )

X
2
3
,
( )
( )

π ≤ ≤


= <



>

1
sin x khi 0 x
2
F x 0 khi x 0
1
1 khi x
2
.
d)
=A 3
,
µ =
X
3

,
4
1 2 3 4
0.1
0.2
0.3
0.4
.
b)
0.0508
.
Baøi 3.
a)
=
3
k
20
.
b) (i)
µ =
X
2.4
kg.
(ii)
( )

− +
≤ ≤




π

= < −


π

>


sin x 1
khi x
2 2 2
F x 0 khi x
2
1 khi x
2
.
b)
0.1465
.
Baøi 5.
a)
=
1
a
2
,
=

 

∉ −
 

 

1
cos x khi x ,
2 2 2
f x
0 khi x ,
2 2
.
Vectô ngaãu nhieân.
5
Bài 6.
a)
Y
X
0 1 2 3 4
0 0.04 0.12 0.16 0.06 0.02
1 0.03 0.09 0.12 0.04
5
0.015
2 0.02 0.06 0.08 0.03 0.01
3 0.01 0.03 0.04 0.01
5
0.005
b)

0.37
5
0.44
c)
=cov(X, Y) 0.02
,
ρ =(X, Y) 0.059
.
Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên.
Bài 8.
b)
Z 1 2 3 4 6
P 0.12 0.43 0.03 0.35 0.07
( )
=E Z 2.89
,
( )
=E X 1.7
,
( )
=E Y 1.7
.
Bài 9.
µ = −
X
1
8
,
µ =
Y

3
36
1
36
2
4
36
6
36
2
36
3
6
36
9
36
3
36
b)
X 1 2 3
P
X
1
36
2
36
3
36
Y 1 2 3
P

.
Bài 12.
a)
X 0 1 2 3
P
X
0.125 0.375 0.375 0.125
Y 0 1 2 3
P
Y
0.125 0.375 0.375 0.125
b)
ρ = −(X, Y) 1
, X và Y phụ thuộc chặt, nghòch biến.
7