PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Toán học là môn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều lĩnh
vực khác nhau. Các thành tựu của toán học luôn góp phần to lớn vào việc cải tạo tự
nhiên, đem lại lợi ích phục vụ cho cuộc sống của loài người ngày một tốt đẹp hơn.
Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học phổ
thông cơ bản tạo điều kiện cho các em được hình thành và phát triển các phẩm chất,
năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để
nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh, góp phần cải tạo thế giới, cải tạo thiên
nhiên mang lại cuộc sống ấm no hạnh phúc cho mọi người.
Trong chương trình toán bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của môn đại số là "Số"
và "Hàm số". Khái niệm "Hàm số" xuyên suốt chương trình môn đại số ở phổ thông,
bắt đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm của môn đại số. Với các khái niệm hàm
bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tương ứng, phần hàm số được phân lượng thời
gian không nhiều. Tuy vậy bài tập về hàm số thì thật là nhiều dạng và không thể
thiếu trong các kỳ kiểm tra, kỳ thi. Khái niệm hàm số là khái niệm trừu tượng mà
thời gian luyện tập lại không nhiều, nên kết quả của học sinh không cao.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THCS và tìm hiểu tâm lý của đối
tượng học sinh tôi thấy các bài tập về đồ thị và hàm số học sinh còn rất lúng túng
chính vì vậy tôi đã quyết định tiến hành nghiên cứu: "Thực hiện phân dạng bài tập
về hàm số và đồ thị để giảng dạy toán 9 giúp học sinh giải nhanh các bài tập về
hàm số và đồ thị".
Trong đề tài này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị và đưa ra
một số dạng bài tập về hàm số và các bài tập có liên quan.
Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phương pháp truyền thụ phù hợp với đối
tượng học sinh, phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em,
tôi đã giúp học sinh hiểu đây là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính xác, có
nhiều nội dung ứng dụng phong phú. Hàm số còn được coi là công cụ giải quyết một
số bài toán khác như tìm cực trị, giải phương trình, giải bất phương trình, sau đây là
nội dung đề tài.
30
PHẦN II

* Đơn ánh
Ánh xạ: f: X Y
x a y = f(x)
Ánh xạ f là đơn ánh
⇔
∀
x
1
, x
2
∈
X: x
1
≠
x
2
thì f(x
1
)
≠
f(x
2
)
Hoặc
⇔
∀
x
1
, x
2

⇔
phương trình f(x) = y luôn có nghiệm với mỗi y
∈
y cho trước
Ví dụ: f: R R
x a y = f(x) = 2x
Là một toàn ánh vì phương trình 2x = y luôn có nghiệm x =
2
y
với y xác định.
* Song ánh: Ánh xạ f: X Y
x a y = f(x)
Ánh xạ f là song ánh
⇔
f là đơn ánh và f là toàn ánh
2. Hàm số:
30
a. Theo quan điểm hiện đại, định nghĩa hàm số dựa trên các khái niệm tập hợp
và ánh xạ: Hàm số là một ánh xạ từ tập hợp số X đến tập hợp số Y.
Trong chương trình sách giáo khoa trung học cơ sở (1991 - 2001) Khái niệm
hàm số được trình bày trong sách giáo khoa lớp 7 (được nhắc lại trong sách giáo
khoa lớp 9) như sau:
Một hàm số f đi từ tập hợp số X đến tập hợp số Y là một quy tắc cho tương
ứng mỗi giá trị x
∈
X một và chỉ một giá trị y
∈
Y mà kí hiệu là y = f(x)
Người ta viết: f: X Y
x a y = f(x)

)
∈
đồ thị hàm số y = f(x)
⇔
y
M
= f(x
M
)
c. Cách cho một hàm số:
Với định nghĩa hàm số, đồ thị hàm số ta thấy một hàm số có thể cho bởi các
cách:
+ Cách 1: Cho quy tắc tương ứng thể hiện bởi công thức y = f(x)
+ Cách 2: Cho quan hệ tương ứng thể hiện bởi bảng giá trị
+ Cách 3: Cho bằng đồ thị hàm số
II. Các hàm số trong chương trình THCS:
1. Hàm số bậc nhất:
a. Định nghĩa:
Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b, trong đó a,b là
các hằng số xác định a
≠
0, x
∈
R
b. Tính chất:
30
+ Tập xác định: R
+ Tính biến thiên: a > 0 thì hàm số đồng biến trong R
a < 0 thì hàm số nghịch biến trong R
c. Đồ thị:

∞
) và nghịch biến trong (-
∞
;
2a
b
−
)
a < 0 Hàm số nghịch biến trong (
2a
b
−
; +
∞
) và đồng biến trong (-
∞
;
2a
b
−
)
c. Đồ thị:
Đồ thị hàm số y = ax
2
+ bx + c (a
≠
0, x
∈
R) là Parabol (P) có đỉnh là D(
2a

0}
2. Ví dụ:
+ Ví dụ 1: Hàm số y = 5x- 70 có TXĐ: R
+ Ví dụ 2: Hàm số y =
x
x
2
2+
có TXĐ: {x
∈
R/ x
≠
0}
+ Ví dụ 3: Hàm số y =
14 +x
có TXĐ:






−≥∈
4
1
xRx
3. Bài tập: Tìm tập xác định của hàm số:
a. y = x – 3
x
+2

* Ví dụ 1: Tìm miền giá trị của hàm số y = 2x – 5 với x
∈
[-1; 1]
Giải
Ta có x
≥
-1
⇒
2x
≥
-2
⇒
2x – 5
≥
-7
⇒
y
≥
-7
x
≤
1
⇒
2x
≤
2
⇒
2x-5
≤
-3

∈
[2;3]
Giải:
Hàm số y = x
2
+ 2x + 3 có a = 1 > 0 nên đồng biến với x
≥
1
Vậy với x
∈
[2;3] ta có y(2)
≤
y(3)
⇒
3
≤
y
≤
6
Vậy miền giá trị của hàm số y = x
2
+ 2x + 3 với x
∈
[2;3] là [3;6]
*Ví dụ 4: Tìm miền giá trị của hàm số y = x
2
- 4
x
+ 3
Giải:

- 2x + 1) – 3
= -(x – 1)
2
- 3
≤
- 3 dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = 1
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = -3 tại x = 1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =
2xx
x
2
2
++
++ 6x
(1)
Giải:
30
Hàm số có tập xác định: R vì x
2
+ x + 2 = (x +
2
1
)
2
+
4
7
≥
4
7

≥
0
⇔
1< y
≤

7
23
Vậy giá trị của hàm số là 1< y
≤

7
23
+ Với y =
7
23
ta có x =
2
1
−
vậy hàm số có giá trị lớn nhất là
Max y =
7
23
tại x =
2
1
−

+ Chú ý: ở ví dụ 2 có thể ra dưới dạng:


7
23
ta chỉ ra y
∈
Z
⇔
y = 2 hoặc y =
3
Giải phương trình
2xx
x
2
2
++
++ 6x
=2
⇔
x
2
+ x + 2 = 0
⇔
x = 1; x = -2
2xx
x
2
2
++
++ 6x
=3

⇔



≥
≥
mxg
mxf
)(
)(
(2)
Nếu
∃
x
0

∈
D thoả mãn (2) thì x
0
là nghiệm của phương trình (1)
Ví dụ 1: Giải phương trình 6x – x
2
– 2=
1343221 −+−+−+− xxxx
(1)
30
+Tập xác định: R
+Ta có VT = 6x – x
2
– 2 = 7 – (x - 3)

⇔
x = 3
Kết luận phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3
Ví dụ 2:
Giải phương trình – 16x
4
+ 72x
3
– 81x
2
+ 28 = 16(x –
2−x
) = 0 (3)
Ta có VT = – 16x
4
+ 72x
3
– 81x
2
+ 28 - 16


















+






−
4
7
2
1
2
t
≥
28
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t =
2
1
⇔
x =
4
1







+−








+
a
b
b
a
a
b
b
a
8
2
2
2
2
Bài 3: Gọi x,y là nghiệm của hệ phương trình

;y
2
)
Giải:
Vì A(x
1
;y
1
)
∈
d nên ax
1
+ b = y
1
B(x
2
;y
2
)
∈
d nên ax
2
+ b = y
2
Ta có hệ phương trình



=+
=+





=
=
2
3
2
1
-a
b
Kết luận hàm số cần tìm là y =
2
3
2
1
+− x
b. Đồ thị đi qua điểm A(x
1
;y
1
) và song song với đường thẳng d' có phương trình
y = a
1
x + b
1
(a
≠
0)

2
1
Giải:
Vì A(1;
2
1
)
∈
d nên a + b =
2
1
Vì d song song với d' nên a = 2
⇒
b =
2
3
−

Kết luận hàm số cần tìm là y = 2x
2
3
−

30
c. Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
1
;y
1
) và vuông góc với đường thẳng d' có
phương trình y = a

1
a
1
x
1
Kết luận hàm số cần tìm là y =
x
1
a
1-
+ y
1
+
1
a
1
x
1
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(1;1) và vuông góc với
đường thẳng d có phương trình y =
2
3
+− x
2
1
Giải:
Vì A(1; 1)
∈
d nên a + b = 1
Vì d vuông góc với d' nên aa

+ b'x + c' nên phương trình hoành độ giao
điểm: ax + b = a'x
2
+ b'x + c' có nghiệm kép
⇔
a'x
2
+ (b' – a)x + c' – b = 0 có nghiệm kép
⇔
∆
=(b' - a)
2
- 4a'(c' – b) = 0 (2)
Giải hai hệ phương trình (1) và (2) để tìm a và b. Kết luận công thức hàm số
Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị là đường thẳng d đi qua điểm A(-
1;2) và tiếp xúc với Parabol
d đi qua điểm A(-1;2)
∈
d nên –a + b = 2 (1)
Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = x
2
+ 1 nên phương trình hoành độ giao điểm: ax
+ b = x
2
+ 1 có nghiệm kép
⇔
x
2
– ax + 1 – b = 0 có nghiệm kép
⇔


=+
+=
0)2(
2
2
a
ab
⇔



−=
=
2
0
a
b
Vậy hàm số cần tìm là y = -2x
2. Xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là Pharabol(P)
a. Đi qua 3 điểm phân biệt A(x
1
;y
1
), B(x
2
;y
2

+ bx
2
+ c = y
2
(2)
Vì C(x
3
;y
3
)
∈
(P)nên ax
3
2
+ bx
3
+ c = y
3
(3)
Giải hệ gồm 3 phương trình (1), (2), (3) ta tìm được a, b, c
Kết luận công thức hàm số
Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là Pharabol (P) đi qua 3
điểm phân biệt A(-1;0), B(0;3), C(1;0)
Giải:
Vì A(-1;0)
∈
(P) nên a- b+ c = 0 (1)
Vì B(0;3)

3
0
3
c
b
a
Vậy công thức hàm số cần tìm là: y = - 3x
2
+ 3
b. (P) có mặt phẳng toạ độ đỉnh D(x
0
, y
0
) và đi qua điểm A(x
1
;y
1
)
Giải:
Vì A(x
1
;y
1
)
∈
(P) nên ax
1
2
+ bx
1

Giải hệ gồm ba phương trình (1), (2), (3) ta tìm được a, b, c
Kết luận công thức hàm số
Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c có đồ thị là Parabol (P) đi qua
điểm A(-1;2) và có đỉnh là D(1;2)
Giải:
Vì A(-1;2)
∈
(P) nên a+b+c = 2 (1)
Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;-2) nên
1=
2a
b-
(2)
2
4
4
2
2
−=
−
−⇒−=
∆
a
acb
4a
-
(3)
Ta có hệ phương trình





=−−
=+
=+−
084
02
2
2
aacb
ba
cba
⇔





−=
−=
=
1
2
1
c
b
a
Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x

Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;1) nên
1=
2a
b-
;
1
4
4
1
2
=
−
−⇒=
∆
a
acb
4a
-
(2)
Vì (P) tiếp xúc với đường thẳng d: y = 2x –2 nên phương trình hoành độ ax
2
+
bx + c = 2x – 2 có nghiệm kép
⇔
ax
2
+ (b – 2)x + c – 2 = 0 có nghiệm kép
⇔

∆

cacb
⇔





=−−
=+
=+−−−
044
02
04484
2
2
aacb
ba
baacb
⇔





=+−
=+
=+
044
0412
02

D(1;-1)
Bài 3: Cho Parabol (P): Y = ax
2
+ bx + 1 (a
≥
2
1
)
a. Xác định a,b để đỉnh Parabol(P) nằm trên đường thẳng d: y = 2x + 1
b. Với a, b vừa tìm được vẽ Parabol(P) và đường thẳng d trên cùng một mặt phẳng
toạ độ
4. Xác định công thức hàm số khi biết phương trình hàm
Ví dụ 1: Tìm f(x) của hàm số biết f(1+
2
1
) = x
2
– 1 và f(0) = 0
Giải:
30
+Với x
≠
0 ta đặt 1+
x
1
= t rồi rút x theo t ta có x =
1-t
1
Thay vào công thức ban đầu ta có f(t) = (
1-t






=+






⇒






=




















=+






=






+
2
2
1
)(2
1
1



+
2
2
2
21
24
1
2)(
x
x
fxf
x
x
fxf
⇔
2
4
3
2
)(
x
x
xf
−
=
Vậy công thức hàm số là f(x) =
2
4




−1x
x
f
=
14 +− x
2
3x
8x-4
với x
≠
1 và f(1) = 0
c.






− x
x
f
2
=
)4(4
2
+− xx
2

g
x
x
f
xxgxf
12
2122)12(
30
-1 0 1 2 3 4 X
-1
y
2
1
b.
( )
( ) ( )



+=+++
=−+−
xxxgxxf
xxgxf
22
2321
316)13(
DẠNG IV: ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Nhắc lại về đồ thị hàm số:
a. Định nghĩa: Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng toạ độ
có toạ độ (x;f(x) ) với x

2
+ Trục đối xứng: x =
2a
b
−
+ Bề lõm quay lên trên khi a > 0; Bề lõm quay xuống dưới khi a < 0
d. Đồ thị hàm giá trị tuyệt đối y
Chẳng hạn: y =
x
=



≤
≥
0 x víix-
0 x víix
Đồ thị hàm số thuộc hai tia phân giác
của góc vuông I và II (hình1d)
0 x
e. Đồ thị phần nguyên: y =
x
trong đó
x
là ký hiệu số nguyên lớn nhất không
vượt quá x
+ Đồ thị hàm số y =
x
với –1
≤

2
1
-1 0 1 x
-1
+ Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung
*
y
=x không phải là hàm số nên ta không yêu cầu học sinh vẽ đồ thị hàm số mà chỉ
cần vẽ đường biểu diễn mói quan hệ.
2. Ví dụ:
*Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x
2
– 4x +3
+ TXĐ: x
∈
R
+ Tính biến thiên: Hàm số đồng biến với x > 2
Nghịch biến với x < 2
Có giá trị nhỏ nhất là y = -1 khi x = 2
+ Bảng giá trị: y
x 0 1 2 3 4
y 3 0 -1 0 3
Nhận xét: Đồ thị hàm số là Parabol(P) có đỉnh D(2; -1) đối xứng qua đường
thẳng x = 2, bề lõm quay lên trên
*Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x -
x
+ Ta khử dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét các khoảng giá trị của biến.
y = 2x -
x
=

0 x nÕu22xx-
2
2
Nên đồ thị hàm số là hai nhánh Parabol y
y = -x
2
+ 2x + 2 nếu x
≥
0
y = -x
2
- 2x + 2 nếu x
≤
0
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
-1
Nhận xét: Đồ thị hàm số y = x
2
+2
x
+2 nhận trục tung làm trục đối xứng
3. Ứng dụng: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Nhận xét: Điểm thấp nhất (cao nhất) trên đồ thị là điểm có tung độ nhỏ nhất (lớn
nhất), tại đó hàm số nhận giá trị nhỏ nhất (lớn nhất). Vì vậy khi tìm giá trị lớn nhất
(nhỏ nhất) của hàm số ta có thể vẽ đồ thị hàm số rồi tìm điểm cao nhất (thấp nhất)
của đồ thị.
*Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
21 −+− xx
Giải:
Ta có y =

+1
Giải: Ta có y =





<++
≥+
1) x ( 12xx-
1) (x 32x-x-
2
2

Nên đồ thị hàm số là hai nhánh Parabol y = -x
2
-2 x+3 với x
≥
1 và
30
y = -x
2
+2 x+1 với x < 1
y

-1 0 1 3/2 2 x
-1
-2
-9/4
-3

M
)
∈
đồ thị hàm số y = f(x)
⇔
y
M
= f(x
M
)
+ Vị trí tương đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ thuộc vào số
điểm chung của hai đồ thị.
Giả sử M(x
M
;y
M
) là một điểm chung của đồ thị các hàm số y = f(x) và y=g(x)
⇒
M
∈
đồ thị hàm số y = f(x) và M
∈
đồ thị hàm số y = g(x).
⇒
y
M
= f(x
M
) và y
M

2)
30
+ Toạ độ điểm chung (nếu có) của đồ thị hàm số là nghiệm của hệ



=
=
(2) g(x)y
(1) f(x)y
+ Phương trình hoành độ: f(x) = g(x) (3)
+ Số nghiệm của phương trình (3) quy định vị trí tương đối giữa đồ thị hàm số y =
f(x) và y=g(x), (f(x) và g(x) có bậc
≤
2)
Hai đồ thị cắt nhau
⇔
phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt
Hai đồ thị tiếp xúc
⇔
phương trình (3) có nghiệm kép
Hai đồ thị không cắt nhau
⇔
phương trình (3) vô nghiệm
* Để biện luận vị trí tương đối giữa các đồ thị ta biện luận số nghiệm của phương
trình (3)
* Để xác định toạ độ điểm chung giữa các đồ thị ta giải phương trình (3) tìm
hoành độ x = x
0
, dựa vào phương trình (1) hoặc (2) để xác định tung độ tương ứng

⇔
aa
1
= -1
+ d trùng với d
1

⇔
a = a
1
; b = b
1
2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: y = m(x + 2) và d
1
: y = (2m – 3)x + 2
a. Biện luận theo m vị trí tương đối của hai đường thẳng
Giải:
+ d//d
1

⇔



≠
=
22m
3-2mm
⇔

m(2m – 3) = -1

⇔
2m
2
– 3m + 1 = 0

⇔
m = 1 hoặc m =
2
1
+ Với m = 1 ta có d: y = x + 2 và d
1
: y = -x + 2 vuông góc với nhau
Toạ độ điểm chung của d và d
1
là nghiệm của hệ



+=
+=
2-xy
2xy
⇔



=
=






=
=
5
2
y
5
6
y
Vậy với m =
2
1
hai đường thẳng vuông góc với nhau tạo B






5
6
;
5
2
Ví dụ 2:
Biện luận theo m vị trí tương đối của đồ thị các hàm số y = x

+ (P) tiếp xúc với (d)
⇔
phương trình (3) có nghiệm kép

⇔

∆
= 9 – m + 1 = 0

⇔
m = 10
Với m = 10 phương trình (3) trở thành x
2
- 6x + 9 = 0
⇔
x = 3 thay vào (2) ta có y
= 7
Vậy với m = 10 thì (P) và (d) tiếp xúc với nhau tại điểm A(3;7)
+ (P) không giao nhau với (d)
⇔
phương trình (3) vô nghiệm

⇔

∆
= 9 – m + 1 < 0
Ví dụ 3:
Tìm m để đồ thị các hàm số y = x
2
– 4x – 8 (P)

nghiệm.
- Xét m = 1, phương trình (3) có dạng 7x + 16 = 0
⇔
x = -
7
16
là nghiệm duy
nhất.
Vậy với m = 1 (P) và (P' ) cắt nhau tai một điểm
- Xét m
≠
1 (P) và (P' ) có không quá một điểm chung
⇔

∆

≤
0
⇔
(m+6)
2
– 64(m – 1)
≤
0
⇔
m
2
– 52m + 100
≤
0

0
) = y
0
+ Nên đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) có điểm chung (x
0
;y
0
).
Do đó nếu các đồ thị y = f(x) và y = g(x) trên cùng một mặt phẳng toạ độ thì số
điểm chung của chúng đúng bằng số nghiệm của phương trình (1).
* Cách giải bài toán:
+ Biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (1) bằng phương pháp đồ thị
+ Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C) và y = g(x) (C' )
trên cùng mặt phẳng toạ độ.
+ Biện luận số nghiệm chung của (C) và (C' )
⇒
số nghiệm của phương trình.
* Ví dụ:
Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
1−x
+
2−x
và y = m
trên cùng một mặt phẳng toạ độ
y

3
2
1
0 1 2 3 x










≤+−






≥−
2
2
2
2
a
xax
a
xax
và y=
3+x
-1=
( )
( )

1-x
2

⇔
x-k =
±
( )
2
1-x
2
⇔





=
=+
(2) 2k 1 - x
(1) 2k 1-4xx-
2
2
y
5
y=2k

x
Ta sẽ sử dụng phương pháp tương giao đồ thị để giải phương trình
a. Ta xét hai hàm số y = -x
2

⇔




≠
<<
22
321
k
k

⇔






≠
<<
1
2
3
2
1
k
k
4. Bài tập:
Bài 1: Chứng minh rằng đồ thị các hàm số sau tiếp xúc với nhau. Tìm toạ độ

(2m+a)
2
-4m(m-1-b) =0
∀
m
≠
0
⇔
4m(a+1+b)+a
2
= 0
∀
m
≠
0
⇔




=
=++
0 a
0b1a
2
⇔



=

c
)
2
+(y
b
- y
c
)
2

+ Nếu BC > 0 nên BC
Min

⇔
BC
2
Min
DẠNG VI: ĐIỂM CỐ ĐỊNH (CHÙM ĐƯỜNG THẲNG, CHÙM PARABOL)
* Cơ sở lý thuyết:
+ Điểm M (x
0
;y
0
)
∈
đồ thị hàm số y=f(x)
⇔
y
0
=f(x

b
a
1. Cách giải:
Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số y=f(x) (có phụ thuộc vào tham số m) đi
qua với mọi m
Giả sử M (x
0
;y
0
) là điểm cố định mà đồ thị hàm số y = f(x) đi qua với mọi m.
Ta có: y
0
=f(x
0
) (1) đúng với mọi m
+ Biến đổi (1) về phương trình chính tắc ẩn m (coi x
0
;y
0
là tham số) có nghiệm với
mọi m suy ra các hệ số của phương trình bằng 0 (2)
Giải hệ điều kiện (2) tìm x
0
;y
0

+ (Thử lại) kết luận điểm cố định
2. Ví dụ:
30
Ví dụ 1: Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d): y=(2m+1)x-3m+2 đi qua với

-3)m+(x
0
-y
0
+2)=0 đúng với
m∀
⇔



=+−
=−
02
032
00
0
yx
x

⇔







=
=
2

m∀
⇔
(-m
2
+m-2)y
0
=(m
2
+m-3)x
0
+2m-5 đúng với
m∀
⇔
(x
0
+y
0
)m
2
+ (x
0
+y
0
+2)m -3x
0
+ 2y
0
- 5 = 0 đúng với
m∀
⇔

Vậy đường thẳng đi qua điểm M(-1; 1) với
m∀
Ví dụ 3:
Tìm điểm cố định Parabol(P): y = (m
2
-m+2)x
2
+(2m+3)x-4m
2
+1 đi qua với mọi m.
Giải:
Giả sử M(x
0
; y
0
) là điểm cố định mà (P) đi qua với mọi m.
⇔
y
0
= (m
2
-m+2)x
0
2
+(2m+3)x
0
-4m
2
+1 đúng với
m∀

=−
0132
02
04
00
2
0
0
2
0
2
0
yxx
xx
x

⇔



=
=
15
2
0
0
y
x
Vậy (P) đi qua điểm M(2; 15) với mọi m
Bài tập

M
; y
M
) biết toạ độ x
M
; y
M
phụ thuộc vào tham số m
Giải:
+ Biểu diễn toạ độ của M theo tham số
+ Từ biểu thức x
M
; y
M
khử tham số m, biểu diễn y
M
= f(x
M
).
+ Kết luận tập hợp điểm M là đồ thị hàm số y = f(x)
* Chú ý: Khi tham số m có điều kiện thì từ điều kiện của tham số chỉ ra điều kiện
của x để giới hạn quỹ tích.
2. Ví dụ:
Ví dụ 1:
Tìm tập hợp giao điểm nếu có của hai đường thẳng
(d
1
): (m-1)x + 2y = 3
(d
2

4
11)1(
mxy
xm
⇔







+
−
=
+
−=
1
47
1
11
(
m
m
y
m
x
(m
≠
1)



+
−=
+
−=
1
11
7
1
11
m
y
m
x
M
M
⇒
y
M
-x
M
= 7
⇒
y
M
=x
M
+ 7
3. Bài tập