A. LỜI NÓI ĐẦU
Học toán mà đặc biệt là môn hình học, mỗi học sinh đều cảm thấy có những
khó khăn riêng của mình.
Nguyên nhân của những khó khăn đó là:
1. Nhiều học sinh chưa nắm vững các khái niệm cơ bản của các định lý, tính
chất của các hình đã học. Một số chỉ “học vẹt” mà không vận dụng vào giải
các bài tập.
2. Sách giáo khoa cung cấp cho học sinh một hệ thống các kiến thức cơ bản
nhưng không thể có đầy đủ các bài tập mẫu cho các kiến thức đã học thuộc
các dạng khác nhau.
Do vậy cũng không có điều kiện hướng dẫn chi tiết cho học sinh cách vận dụng
các kiến thức đó vào giải các bài tập cụ thể mà các em sẽ gặp trong quá trình
học tập.
3. Đối với bộ môn hình học, ngoài các bài toán về trí thông minh hình học còn
có các bài toán về dựng hình và quỹ tích là những dạng toán đặc biệt khó mà
thời gian để học các dạng toán này trên lớp lại không nhiều , học sinh ít được
luyện tập ở lớp cũng như ở nhà nên gặp các loại bài tập này các em thường
rất lúng túng . Để khắc phục những nguyên nhân trên và giúp học sinh có cơ
sở học và giải quyết tốt các bài tập về hình học , tôi xin đề cập đến một khía
cạnh rất nhỏ về một phương pháp chứng minh bài toán hình học thông qua
cách vẽ đường phụ. Đề tài nhằm giúp các em hiểu thấu đáo cách vận dụng
kiến thức cơ bản để giải quyết các bài toán chứng minh hình học .
Nội dung đề tài gồm 4 phần :
Phần I : Những điều cần chuẩn bị trước khi chứng minh .
Phần II : Suy nghĩ tìm phương pháp chứng minh .
Phần III : Những điều cần chú ý khi chứng minh .
1
Phần iV : Cách vẽ đường phụ và vai trò của đường phụ trong toán chứng
minh
Với một số bài toán minh hoạ cho bài toán chưng minh hình học lời giải chi
tiết , chính xác chặt chẽ, hy vọng đề tài sẽ góp phần giúp các em học sinh khắc

cạnh hình vẽ.
Sau khi đã làm xong ba bước trên bạn nhìn vào hình vẽ và giả thiết kết luận
đọc lại đề bài một lượt theo ngôn ngữ và cách diễn đạt của bạn rồi bắt đầu tìm
cách chứng minh .
II/ SUY NGHĨ ĐỂ TÌM PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH:
3
Muốn chứng minh một bài toán hình học ta phải nắm vững phương pháp suy
xét vấn đề tìm hiểu và suy đoán từng bước một . Phương pháp chủ yếu để tìm
lời giải của một bài toán chứng minh hình học thường là phương pháp bắt đầu
từ kết luận . Ta thừa nhận kết luận , dùng đó làm cơ sở suy xét . Giả sử Z là kết
luận ta thừa nhận Z . Nếu Z đúng thì dẫn đến mệnh đề Y đúng , vì từ Y suy ra
được Z . Nếu có Y thì một mệnh đề tiếp theo X chẳng hạn cũng đúng , vì từ X
suy được ra Y . Tiếp tục nếu có X thì lại có một mệnh đề X
1
khác cũng đúng vì
từ X
1
suy dược ra X Cứ như vậy suy ngược cho đến cuối cùng ta được một
mệnh đề A chẳng hạn phù hợp với giả thiết , hoặc chính mệnh đề A là giả thiết
thì thôi.
Phương pháp suy luận trên gọi là phương pháp phân tích đi lên và có thể tóm tắt
như sau:
Z ← Y← X← X
1
← ← A
Đây là phương pháp bằng suy luận có lý ta đi ngược từ kết luận lên giả thiết .
Nó không phải là một phương pháp chứng minh . Vì xuất phát từ một mệnh đề
chưa biết đúng sai , bằng suy luận có lý ta suy ra được một mệnh đề đúng thì
chưa thể có kết luận gì về tính đúng sai của mệnh đề xuất phát ( Z ) . Do vậy
sau khi vận dụng phương pháp trên để tìm được cách chứng minh ( Gọi là tìm

nói ngay vẽ đường phụ nào , vẽ như thế nào và tên gọi của nó .
4/ Gặp những phần chứng minh giống nhau trong một bài ta không cần lặp
lại cả quá trình chứng minh đó mà chỉ ghi “ Chứng minh tương tự”rồi ghi kết
quả chứng minh vào .
5/ Dùng kí hiệu đánh đấu trên hình vẽ những yếu tố bằng nhau.
6/ Lời lẽ diễn đạt phải ngắn gọn , không thiếu không thừa . Trong trường
hợp có thể nên dùng kí hiệu ,dùng hệ thức để diễn đạt thay cho lời nói để bài
chứng minh được rõ ràng mạch lạc và không dài dòng.
Ngoài ra còn nhiều điều khác nữa phải chú ý như tính cẩn thận , tính chính
xác trong vẽ hình Thực hiện tốt các điều đó các em học sinh sẽ tránh được
những sai sót và sau một thời gian luyện tập sẽ có tiến bộ rõ rệt.
5
IV. CÁCH VẼ ĐƯỜNG PHỤ VÀ VAI TRÒ CỦA ĐƯỜNG PHỤ TRONG
TOÁN CHỨNG MINH:
Khi giải một bài toán chứng minh hình học , trừ một số bài dễ còn lại phần
lớn các bài toán đều cần phải vẽ thêm đường phụ mới chứng minh dược . Vậy
vẽ đường phụ như thế nào và vẽ để nhằm mục đích gì ? Đó là điều mà người
học cần phải biết được đối với mỗi bài toán cụ thể . Không thể có một phương
pháp chung nào cho việc vẽ đường phụ trong bài toán chứng minh hình học.
Ngay đối với một bài toán cũng có thể có những cách vẽ đường phụ khác nhau
tuỳ thuộc vào cách giải bài toán. Dưới đây tôi chỉ xin nêu ra một số cách vẽ
đường phụ thông qua một bài toán cụ thể để giúp phần nào cho bạn đọc làm
quen.
1/Vẽ đường phụ để tạo mối liên hệ giữa các điều kiện đã cho hoặc giữa
các yếu tố trong kết luận của bài toán với nhau:
Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD, (BC//AD) có góc A nhỏ hơn góc C. Chứng
minh rằng đường chéo AC<BD.
Hướng giải: Bình thường 2 đường chéo AC và BD không có mối liên hệ
nào giúp ta so sánh. Nếu đưa hai đoạn thẳng ấy về chung một tam giác ta có thể
vận dụng mối liên hệ giữa các cạnh và góc trong một tam giác để so sánh.

từ chứng minh AM=DM+BE
thành chứng minh AM=MF.
Còn với cách vẽ đường phụ ở hình dưới ta phải thêm một bước chứng minh
AM=AF sau đó mới chứng minh AF=FE.
C
B
E
D
F
M
A
7
C
B
E
D
F
M
A
2. Vẽ thêm đường phụ để tạo ra yếu tố trung gian có tính chất bắc cầu giữa các
yếu tố cần chứng minh hoặc cần so sánh với nhau:
Ví dụ 3: Cho hình hình hành ABCD, trên AB và BC lấy 2 điểm E,F sao cho AE
= CF (E thuộc AB, F thuộc BC) Kể DH⊥AF và DK⊥CE. Chứng minh rằng
DH=DK.
Hướng giải: Ta thừa nhận ngay việc chứng minh cho DH=DK thực chất
là chứng minh cho ∆ AFD=∆CED có diện tích bằng nhau vì 2 tam giác
này đã có hai cạnh đáy AF và CE bằng nhau. Nếu hai tam giác có
hai cạnh đáy bằng nhau và có đường cao thuộc hai cạnh đáy đó
cũng bằng nhau thì diện tích bằng nhau, Vì vậy nếu ta vẽ đường chéo
AC và lấy ∆ ACD làm trung gian để so sánh diện tích ∆ CED và

D
CB
A
H
F
D
C
B’
B
A
9
Ở bài này nếu ta biến đổi để có một đoạn thẳng khác bằng AB + CD
và một đoạn thẳng khác bằng AC + BE thì cũng chẳng giúp gì cho việc chứng minh
. Nhưng nếu ta dựa vào đề bài cho AB > AC để biến đổi kết luận bằng cách chuyển
vế AC và CD trong bất đẳng thức của kết luận ta có AB – AC > BE – CD . Như
vậy bài toán có thể biến đổi thành một bài toán mới tương đương ‘ Cho ∆ABC có
AB >AC. Chứng minh rằng hiệu hai cạnh AB và AC thì lớn hơn hiệu 2 đường cao
tương ứng thuộc hai cạnh đó”.
- Biến đổi đề toán như vậy sẽ gợi ý cho ta vẽ đường phụ bằng cách đặt đoạn AB
chồng lên đoạn AC để làm xuất hiện đoạn thẳng hiệu của AB và AC. Đó là CB’ =
AB’ – AC.Ta có ∆ ABB’ cân tại A . Từ B’ kẻ B’H ⊥ AB và CF ⊥ B’H .Đến đây
ta thấy việc giải bài toán trở nên rất dễ dàng . Ta chỉ cần chứng minh cho BE = B’H
và CDHF là hình chữ nhật , sẽ suy ra được B’F = BE – CD. Cuối cùng bài toán đưa
về việc so sánh BF’ và B’C trong ∆B’FC.

4/ Vẽ thêm những đại lượng bằng nhau hoặc thêm vào những đại lượng bằng nhau
mà đề bài đã ra để tạo mối liên hệ giữa các đại lượng cần chứng minh giúp cho việc
chứng minh được dễ dàng .
Ví dụ 6 : Cho ∆ABC, P là một điểm bất kỳ thuộc miền trong tam giác sao cho góc
PAC = góc PBC , và M, N là hình chiếu tương ứng của P xuống AC và BC . Nối

D
M
C
B
A
11
Ta sẽ được tứ giác ABCD là hình bình hành . Hình bình hành ABCD lại có
góc B = 1v nên là hình chữ nhật . Đến đây suy ra BM =
2
AC
là quá dễ dàng ( dựa
vào tính chất hình chữ nhật)
5/ Vẽ thêm đường phụ để bài toán có thể áp dụng một định lí nào đó .

Ví dụ 8 : Cho ∆ABC và một đường thẳng xy không cắt tam giác . Chứng
minh rằng khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến đường thẳng xy bằng
3
1
tổng khoảng cách từ 3 đỉnh của tam giác tới đường thẳng đó .
Hướng giải : ∆ABC có G là trọng tâm . Kẻ AA’ , BB’ ,CC’ và GG’ vuông góc với
xy . Ta phải chứng minh GG’ =
( )
'''
3
1
CCBBAA ++
.
Dựa vào tính chất đường trung tuyến của tam giác ta nghĩ ngay đến việc nối một
đỉnh nào đó của ∆ABC với trọng tâm G thì đường thẳng nối hai điểm đó
phải đi qua trung điểm cạnh đối diện

13
c) Với một bài toán nhưng vẽ đường phụ khác nhau thì cách chứng minh cũng
khác nhau . Có khi với cùng một đường phụ nhưng cách vẽ khác nhau như
trong ví dụ 7 nên không lấy MD = BM mà ta lại lấy D là trung điểm AB
( hình
bên )

chẳng hạn thì không vận dụng tính chất 2 đường chéo của hình chữ nhật mà
phải chứng minh ∆ADM = ∆DBM , hoặc ở ví dụ 2 vẽ đường phụ theo hai cách
ta cũng có hai cách chứng minh .
Thông qua một số ví dụ đã nêu , bạn đọc được hiểu phần nào vai trò của việc
vẽ đường phụ trong chứng minh hình học . Có nắm vững được kiến thức cơ bản
một cách chắc chắn , biết vận dụng linh hoạt mới biết khai thác dữ kiện của bài
ra mà tìm cách vẽ đường phụ thích hợp để giải toán . Như vậy vẽ đường phụ
cũng là một kỹ năng trong giải toán hình học .
*Một số loại đường phụ thường vẽ như sau :
1) Kéo dài một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước hay đặt một đoạn thẳng
bằng đoạn thẳng cho trước ( VD 2 ) .
2) Vẽ thêm một đường thẳng song song với đoạn thẳng cho trước từ một điểm
cho trước .
B
A
D
M
C
14
3) Từ một điểm cho trước vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho
trước ( VD 8 ).
4) Nối 2 điểm cho trước hoặc xác định trung điểm của một đoạn thẳng cho
trước .

BC tại E thoả mãn AE ⊥ CD tại K và cho
n
m
AE
CD
=
.
Tính
ADEC
BDE
S
S
15
C/ KẾT LUẬN :

Trong quá trình nghiên cứu về phương pháp chứng minh một bài tập hình học,
tôi chỉ đưa ra một phương pháp cơ bản thường dùng trong chương trình phổ thông
cơ sở. Đề tài này đã hệ thống hoá các tình huống vẽ hình phụ trong bài tập hình học
. Bên cạnh đó là một số các ví dụ minh hoạ cho các tình huống đó , các bài tham
khảo . Tuy nhiên đề tài cũng có ít nhiều hạn chế về thể loại , chưa đáp ứng được
các đối tượng nhất là học sinh giỏi . Trong phương pháp nêu trên cũng còn hạn chế
cả về nội dung và phương pháp .
Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến xây dựng của các đồng chí ,đồng
nghiệp để đề tài được củng cố, sửa chữa , đáp ứng được yêu cầu của bạn đọc .
Tôi xin chân thành cảm ơn!

16
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa, sách giáo viên hình 7, 8.
2. Bài soạn hình 7, 8