PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Toán học là công cụ giúp học tốt các môn học khác, chính vì vậy nó đóng một
vai trò vô cùng quan trọng trong nhà trường. Bên cạnh đó nó còn có tiềm năng phát
triển các năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ,giúp học sinh hoạt động có hiệu quả
trong mọi lĩnh vực của đời sống sản xuất.
Toán học mang sẵn trong đó chẳng những phương pháp quy nạp thực nghiệm,
mà cả phương pháp suy diễn lôgic. Nó tạo cho người học có cơ hội rèn luyện khả
năng suy đoán và tưởng tượng. Toán học còn có tiềm năng phát triển phẩm chất
đạo đức, góp phần hình thành thế giới quan khoa học cho học sinh. Toán học ra đời
từ thực tiễn và lại quay trở về phục vụ thực tiễn. Toán học còn hình thành và hoàn
thiện những nét nhân cách như say mê và có hoài bão trong học tập, mong muốn
được đóng góp một phần nhỏ của mình cho sự nghiệp chung của đất nước, ý chí
vượt khó, bảo vệ chân lý, cảm nhận được cái đẹp, trung thực, tự tin, khiêm tốn,….
Biết tự đánh giá mình, tự rèn luyện để đạt tới một nhân cách hoàn thiện toàn diện
hơn. Mặt khác toán học còn có nhiệm vụ hình thành cho HS những kỹ năng:
- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán để giải các bài tập toán
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học để học tập các môn học khác.
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào đơì sống, kỹ năng đo đạc, tính toán,
sử dụng biểu đồ, sử dụng máy tính….
- Tuy nhiên cả ba kỹ năng trên đều có quan hệ mật thiết với nhau. Kỹ năng thứ
nhất là cơ sở để rèn luyện hai kỹ năng kia. Chính vì vậy kỹ năng vận dụng
kiến thức để giải bài tập toán là vô cùng quan trọng đối với học sinh. Trong
đó việc trình bày lời giải một bài toán chính là thước đo cho kỹ năng trên. để
có một lời giải tốt thì học sinh cần có kiến thức, các kỹ năng cơ bản và
3
ngược lại có kiến thức, có các kỹ năng cơ bản thì học sinh sẽ trình bày tốt lời
giải một bài toán.
Là giáo viên dạy toán, đã có 20 năm gắn bó với nghề trong quá trình giảng
dạy tôi luôn học hỏi đồng nghiệp và tìm tòi những phương pháp thích hợp để giúp
các em học sinh yêu thích và học tốt môn toán hơn, vững bước vào các kỳ thi, kiểm

Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo,
phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…). Bước đầu mạnh dạn
thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh nghiệm về kết quả thu được
(nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và đi đến kết
luận.
Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học
sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học
sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán.
5
PHẦN II. NỘI DUNG
Để so sánh 2 phân số, tùy theo một số trường hợp cụ thể của đặc điểm các
phân số, ta có thể sử dụng nhiều cách tính nhanh và hợp lí. Tính chất bắc cầu của
thứ tự thường được sử dụng (
&
a c c m a m
thì
b d d n b n
> > >
), trong đó phát hiện ra một số
trung gian để làm cầu nối là rất quan trọng. Sau đây tôi xin giới thiệu một số
phương pháp so sánh phân số
CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH
I/CÁCH 1: Quy đồng mẫu dương rồi so sánh các tử: tử nào lớn hơn thì phân số
đó lớn hơn
Ví dụ : So sánh
11 17
&
12 18
−
−

2 5
&
5 7
?
Ta có :
2 10 5 10
&
5 25 7 24
= =
10 10 2 5
25 24 5 7
Vì < ⇒ <
6
Ví dụ 3: So sánh
3 6
&
4 7
− −
?
Ta có :
3 3 6 6 6
&
4 4 8 7 7
− −
= = =
− − −
6 6 3 6
8 7 4 7
Vì
− −

3 4
& ?
4 5− −
Ta viết
3 3 4 4
&
4 4 5 5
− −
= =
− −
Vì tích chéo –3.5 > -4.4 nên
3 4
4 5
>
− −
Chú ý : Phải viết các mẫu của các phân số là các mẫu dương
vì chẳng hạn
3 4
4 5
−
<
−
do 3.5 < -4.(-4) là sai
IV/CÁCH 4: Dùng số hoặc phân số làm trung gian .
1) Dùng số 1 làm trung gian:
a) Nếu
1&1
a c a c
b d b d
> > ⇒ >

18 2004
Ta có :
19 1 2005 1
1& 1
18 18 2004 2004
− = − =
1 1 19 2005
18 2004 18 2004
Vì > ⇒ >
Bài tập 2: So sánh
72 98
& ?
73 99
Ta có :
72 1 98 1
1& 1
73 73 99 99
+ = + =
1 1 72 98
73 99 73 99
Vì > ⇒ <
Bài tập 3 : So sánh
7 19
& ?
9 17

Ta có
7 19 7 19
1
9 17 9 17

73 99
-Xét phân số trung gian là
72
99
, ta thấy
72 72 72 58 72 58
&
73 99 99 99 73 99
> > ⇒ >
-Hoặc xét số trung gian là
58
73
, ta thấy
72 58 58 58 72 58
&
73 73 73 99 73 99
> > ⇒ >
Bài tập 2: So sánh
*
1
& ;( )
3 2
n n
n N
n n
+
∈
+ +
Dùng phân số trung gian là
2

− −
c)
19 17
& ?
31 35
g)
149 449
& ?
157 457
d)
67 73
& ?
77 83
h)
1999.2000 2000.2001
& ?
1999.2000 1 2000.2001 1+ +
9
(Hướng dẫn : Từ câu a
→
c :Xét phân số trung gian.
Từ câu d
→
h :Xét phần bù đến đơn vị )
3) Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian.
Ví dụ : So sánh
12 19
& ?
47 77
Ta thấy cả hai phân số đã cho đều xấp xỉ với phân số trung gian là

b b b m
+
= ⇒ =
+
Bài tập 1: So sánh
11 10
12 11
10 1 10 1
& ?
10 1 10 1
A B
− +
= =
− +
Ta có :
11
12
10 1
1
10 1
A
−
= <
−
(vì tử < mẫu)
⇒
11 11 11 10
12 12 12 11
10 1 (10 1) 11 10 10 10 1
10 1 (10 1) 11 10 10 10 1

Cộng theo vế ta có kết quả M > N.
Bài tập 3:So sánh
37 3737
&
39 3939
?
Giải:
37 3700 3700 37 3737
39 3900 3900 39 3939
+
= = =
+
(áp dụng
.
a c a c
b d b d
+
= =
+
)
VI/CÁCH 6: Đổi phân số lớn hơn đơn vị ra hỗn số để so sánh :
+Hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn.
+Nếu phần nguyên bằng nhau thì xét so sánh các phân số kèm theo.
Bài tập 1:Sắp xếp các phân số
134 55 77 116
; ; ;
43 21 19 37
theo thứ tự tăng dần.
Giải: đổi ra hỗn số :
5 13 1 5

mà
8 8
3 3
10 1 10 3
A B< ⇒ <
− −
Bài tập 3: Sắp xếp các phân số
47 17 27 37
; ; ;
223 98 148 183
theo thứ tự tăng dần.
Giải: Xét các phân số nghịch đảo:
223 98 148 183
; ; ;
47 17 27 37
, đổi ra hỗn số là :
35 13 13 35
4 ;5 ;5 ;4
47 17 27 37
Ta thấy:
13 13 35 35
5 5 4 4
17 27 37 47
> > >

⇒
17 27 37 47
( )
98 148 183 223
a c b d

M N M N= = + = = + ⇒ >
( Chú ý: 690=138.5&548=137.4 )
Bài tập 6: (Tự giải) Sắp xếp các phân số
63 158 43 58
; ; ;
31 51 21 41
theo thứ tự giảm dần.
CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP .
Bài tập 1: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lý:
7 210 11 13 31 313 53 531 25 25251
) & ; ) & ) & ) & ) &
8 243 15 17 41 413 57 571 26 26261
a b c d e
(Gợi ý: a) Quy đồng tử c) Xét phần bù , chú ý :
10 100 100
41 410 413
= >
d)Chú ý:
53 530
57 570
=
Xét phần bù đến đơn vị
e)Chú ý: phần bù đến đơn vị là:
1 1010 1010
26 26260 26261
= >
)
Bài tập 2: Không thực hiện phép tính ở mẫu , hãy dùng tính chất của phân số
để so sánh các phân số sau:
244.395 151 423134.846267 423133

,rút gọn
33 3774:111 34
&
47 5217 :111 47
A B= = =
Bài tập 4: So sánh
2 3 4 4 2 3
4 3 5 6 5 6 4 5
5 & 5 ?
7 7 7 7 7 7 7 7
A B= + + + + = + + + +
Gợi ý: Chỉ tính
2 4 4 2 4 4
3 6 153 6 5 329
&
7 7 7 7 7 7
+ = = + = =
Từ đó kết luận dễ dàng : A < B
Bài tập 5:So sánh
1919.171717 18
&
191919.1717 19
M N= =
?
Gợi ý: 1919=19.101 & 191919=19.10101 ; Kết quả M>N
⇒
Mở rộng : 123123123=123.1001001 ;…
Bài tập 6: So sánh
17 1717
& ?

   
= + + = + +
 ÷  ÷
   
13
Muốn so sánh A & B ,ta so sánh
1
n
a
&
1
m
a
bằng cách xét các trường hợp
sau:
a) Với a=1 thì a
m
= a
n

⇒
A=B
b) Với a
≠
0:
• Nếu m= n thì a
m
= a
n


P Q= =
30 30
31 32 33 60 31.32.33 60 (31.32.33.60).(1.2.3 30)
. .
2 2 2 2 2 2 .(1.2.3 30)
(1.3.5 59).(2.4.6 60)
1.3.5 59
2.4.6 60
P
Q
= = =
= = =
Vậy P = Q
Bài tập 9: So sánh
7.9 14.27 21.36 37
& ?
21.27 42.81 63.108 333
M N
+ +
= =
+ +
Giải: Rút gọn
7.9 14.27 21.36 7.9.(1 2.3 3.4) 37:37 1
&
21.27 42.81 63.108 21.27.(1 2.3 3.4) 333: 37 9
M N
+ + + +
= = = =
+ + + +
Vậy M = N

       
Giải: Ap dụng công thức:
( )
.
&
n
n
n
m m n
n
x x
x x
y y
 
= =
 ÷
 
7 7 7 6 6
4 28 5 30 28 30
5 5 3 3
3 15 5 15
1 1 1 1 1 1 1 1 1
) & ;
80 81 3 3 243 3 3 3 3
3 3 243 5 5 125
) & .
8 2 2 243 3 3
a A B Vì A B
b C D
         

M <
Giải: Nhận xét M và N đều có 45 thừa số
a)Và
1 2 3 4 5 6 99 100
; ; ;
2 3 4 5 6 7 100 101
< < < <
nên M < N
b) Tích M.N
1
101
=
c)Vì M.N
1
101
=
mà M < N nên ta suy ra được : M.M <
1
101
<
1
100
tức là M.M <
1
10
.
1
10

⇒

S
     
< + + + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
hay
10 10 10
30 40 50
S < + +
từc là:
47 48
60 60
S < <
Vậy
4
5
S <
(1)
Mặt khác:
1 1 1 1 1 1 1 1 1

40 40 40 50 50 50 60 60 60
S
     
> + + + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
⇒
10 10 10
40 50 60

Trong quá trình giảng dạy môn Toán tại trường, từ việc áp dụng các hình
thức rèn luyện cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đã có kết quả rõ rệt, bản
thân tôi rút ra được nhiều bài học kinh nghiệm về phương pháp rèn luyện cách trình
bày lời giải bài toán cho học sinh đó là :
1 – Trình bày bài giải mẫu.
2 – Trình bày bài giải nhưng các bước sắp xếp chưa hợp lý.
3 - Đưa ra bài toán có gợi ý giải.
4 - Đưa ra bài giải sẵn có chứa sai sót để yêu cầu học sinh tìm chỗ sai và sửa lại cho
đúng.
Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, với nội dung và
phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về Toán học nói
17
chung. Vấn đề tôi thấy học sinh khá, giỏi rất hứng thú với việc làm mà giáo viên
đã áp dụng trong chuyên đề này.
2. KIẾN NGHỊ
1. Với Sở GD&ĐT, Phòng GD&ĐT
- Quan tâm hơn nữa đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo
viên dạy toán. Nên tổ chức các hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên trong
tỉnh.
2. Với BGH nhà trường
- Hiện nay, nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên có vẻ như
chưa đầy đủ. Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách
tham khảo môn Toán để học sinh được tìm tòi, học tập khi giải toán để các em có
thể tránh được những sai lầm trong khi làm bài tập và nâng cao hứng thú, kết quả
học tập môn toán nói riêng, nâng cao kết quả học tập của học sinh nói chung.
3. Với PHHS
- Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con cái. Thường xuyên
kiểm tra sách, vở và việc soạn bài trước khi đến trường của các con
18