LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 1
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Vòng tròn lượng giác
2. Mối liên hệ giữa các góc có liên quan đặc biệt
3 Các công thức lượng giác
- Các hằng đẳng thức lượng giác
- Công thức cộng
- Công thức nhân đôi, nhân ba
- Công thức hạ bậc
- Công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng
- Công thức biến đổi theo
tan
2
x
t =

II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC:
1. Phương trình lượng giác cơ bản:
Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối D năm 2002)
Tìm
[
]
0;14
x ∈
nghiệm đúng phương trình

k k
π
π
π
≤ + ≤ ⇔ − = − ≤ ≤ − ≈
,mà
k
∈
»
nên
{
}
0;1;2;3
k ∈

V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là:
3 5 7
; ; ;
2 2 2 2
x
π π π π
 

i.
(2) (2 cos 1)(2 sin cos ) sinx(2 cos 1) (2cos 1)(si
nx cos ) 0
x x x x x x
⇔ − + = − ⇔ − + =cos
1
2
cos
3
3
( , )
2
t anx 1 tan
s inx cos
4
4
x cos
x k
x
k l
x
x l
π
π
π
π
π

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2 2 2 2
sin sin 3 os 2 os 4
x x c x c x
+ = +
(3)
Gi
ả
i.

1 os2 1 os6 1 os4 1 os8
(3) ( os2 os6 ) os4 os8
2 2 2 2
c x c x c x c x
c x c x c x c x
− − + +
⇔ + = + ⇔ − + = +

2cos 4 cos 2 2 cos 6 cos 2 2 os2 ( os6 os4 )
x x x x c x c x c x
⇔ − = ⇔ +4 2
os2 0
4cos 2 .cos 5 .cos 0 os5 0 (k )



»

Chú ý:
•
••
•

Khi gi
ả
i ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác có ch
ứ
a tanu, cotu, có
ẩ
n
ở
m
ẫ
u, có ch
ứ
a c
ă
n b
ậ
c ch

dùng các cách sau
để
ki
ể
m tra
đ
i
ề
u ki
ệ
n xem có nh
ậ
n hay không
+ Th
ử
nghi
ệ
m tìm
đượ
c xem có th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n hay không.
+ Dùng
đườ

u ki
ệ
n
3
cos 0
cos 3 0 ( )
6 3
cos3 4 cos 3cos 0
x
x x l l
x x x
π π
≠

⇔ ≠ ⇔ ≠ + ∈

= − ≠

»

Ta có
s inx sinx sin3x
(4) t anx(t anx tan 3 ) 2 . 2
cos cos cos3
x
x x x
 
⇔ − = ⇔ − =
 
 

t h
ợ
p v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n ta
đượ
c nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là:
( )
4 2
x k k
π π
= + ∈
»Ví dụ 5:
(
Đề

Đ
i
ề
u ki
ệ
n
cos 0 s inx 1
x
≠ ⇔ ≠ ±

Khi
đ
ó
[ ]
2
2
1 sin 1
(1) 1 os . 1 cos 0
2 2 os 2
x
c x x
c x
π
 
 
⇔ − − − + =
 
 
 
 

x
x
−
 
⇔ + − =
 
+
 (1 cos )( cos sinx) 0
x x
⇔ + − − =2
cos 1
(k )
t anx 1
4
x k
x
x k
π π
π
π
= +

= −


Điều kiện sin2x
≠
0
Ta có: *
4 4 2 2 2 2 2 2
1
sin os (sin os ) 2sin cos 1 sin 2
2
x c x x c x x x x
+ = + − = −
*
sinx os2 1
tan cot 2
cos sin 2 sin 2
c x
x x
x x x
+ = + =

LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 3
Vậy
2
1
1 sin 2
1
2

Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình là
(k )
4 2
x k
π π
= + ∈
»2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
- Có dạng:
2
a sin sin 0 (a 0)
u b u c
+ + = ≠2
acos s 0 (a 0)
u bco u c
+ + = ≠2
atan tan 0 (a 0)
u b u c
+ + = ≠2

0
at bt c
+ + =

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình trên tìm
đượ
c t, so v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n
để
nh
ậ
n nghi
ệ
m t.
T
ừ

đ
ó gi

c
x
x
 
+ = +
 
+
 
(7)
Giải.
Điều kiện
1
sin 2
2
x
≠ −

Ta có
3 3 3 3
sin 3 os3 (3sin 4 sin ) (4 os 3cos ) 3(cos sinx) 4( os
sin )
x c x x x c x x x c x x
+ = − + − = − − + −2 2
(cos sinx) 3 4( os cos sin sin ) (cos sinx)(1 2sin 2
)
x c x x x x x x
 
2 (k )
3
x k
π
π
⇔ = ± + ∈
»
(thỏa mãn điều kiện)
Vì
(
)
0;2
x
π
∈
nên
5
3 3
x x
π π
= ∨ =Ví dụ 8:
(
Đề
thi tuy
ể

GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 4
Cách 1:
3 4 2
(8.1) (4cos 2 3cos 2 ) os2 1 0 4cos 2 3cos 2 1 0
x x c x x x
⇔ − − = ⇔ − − =2
2
os 2 1
1
os 2 (vô nghiêm)
4
c x
c x

=

⇔

= −

sin 2 0 2 (k )


⇔ ⇔ = ⇔ = ∈

= −

»

Cách 3: Ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác không m
ẫ
u m
ự
c

os6 os2 1
(8.1)
os6 os2 1
c x c x
c x c x
= =

⇔

= = −


Cách 4:

ả
i ph
ươ
ng trình
4 4
3
cos sin os sin 3 0
4 4 2
x x c x x
π π
   
+ + − − − =
   
   
(9)
Gi
ả
i.

( )
( )
2
2 2 2 2
1 3
9 sin os 2sin os sin 4 sin 2 0
2 2 2
x c x xc x x x
π
 
 

x
x x
x
=

⇔ + − = ⇔

= −
2 2 (k )
2 4
x k x k
π π
π π
= + ⇔ = + ∈
»Ví dụ 10:
(
Đề
thi tuy
ể
n sinh
đạ
i h
ọ
c kh

2 2
2
sin 3sin
(10) 5sin 2 3(1 sinx) 5sin 2
1 sin 1 sin
x x
x x
x x
⇔ − = − ⇔ − =
− +2
1
s inx (nhân do sinx 1)
2sin 3sin 2 0
2
s inx 2 (vô nghiê )
x x
m

= ≠ ±

⇔ + − = ⇔

= −
2


Ví dụ 11:
(kh
ố
i A n
ă
m 2006)
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(
)
6 6
2 os sin sin x cos
0
2 2sin
c x x x
x
+ −
=
−
(11)
Gi
ả
i.
Đ
i
ề

x c x x x x
x x
x
x k k
x k k
π
π
π
π
 
+ − = ⇔ − − =
 
 
⇔ + − =
⇔ =
⇔ = + ∈
⇔ = + ∈
»
»

Do
đ
i
ề
u ki
ệ
n, nghi
ệ
m c
ủ

u ki
ệ
n
s inx 0 cos 1
x
≠ ⇔ ≠ ±

Chia c
ả
hai v
ế
c
ủ
a ph
ươ
ng trình cho
2
sin
x
ta
đượ
c:
2
4 2
os cos
3 2 2 (2 3 2)
sin sin
c x x
x x
+ = + (12.1)


V
ớ
i
2
t = ta có
2 2
2
cos
2 cos 2(1 os ) 2 os cos 2 0
sin
x
x c x c x x
x
= ⇔ = − ⇔ + − =osx 2 (loai)
2 (k )
2
4
cos
2
c
x k
x
π
π

= −

2 (k )
1
3
cos
2
c
x k
x
π
π
= −


⇔ ⇔ = ± + ∈

=

»

K
ế
t lu
ậ
n: K
ế
t h
ợ
p
đ
/k

 
 
(13)
Gi
ả
i.
Đặ
t
4 4
t x x t
π π
= − ⇔ = +
.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 6
Khi
đ
ó (13) tr
ở
thành:
3
1 tan
tan tan 1 1
4 1 tan
t
t t
t

t t
⇔ = ∨ = −
(nh
ậ
n so
đ
i
ề
u ki
ệ
n)

⇔
, (k )
4
t k t k
π
π π
= ∨ = − + ∈
»

V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (13) là:

ả
hai v
ế
c
ủ
a ph
ươ
ng trình cho
2 2
0
a b
+ ≠
.
Đặ
t
2 2
cos
a
a b
α
=
+
và
2 2
sin
b
a b
α
=
+

ế
u
2
u k
π π
= +
là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (*) thì
a sin cos
b c b c
π π
+ = ⇔ − =

+ N
ế
u
2
u k
π π
≠ +

đặ
t
tan
2

m t. T
ừ

tan
2
u
t =
ta tìm
đượ
c
đượ
c u
Ví dụ 15: Tìm
2 6
;
5 7
x
π π
 
∈
 
 
th
ỏa mãn phương trình
cos 7 3 sin 7 2
x x
− = −
(15)
Giải.
Chia cả hai vế phương trình (12) cho 2 ta được

π π
π π

= +

⇔ ∈


= +


»

Do
2 6
;
5 7
x
π π
 
∈
 
 
nên ta ph
ả
i có:
2 54 2 6
5 84 7 7
k
π π π π

ươ
ng trình
3
3sin 3 3 os9 1 4sin 3
x c x x
− = + (16)
Gi
ả
i.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 7
(13)
(
)
3
3sin 3 4 sin 3 3 os9 1 sin 9 3 os9 1
x x c x x c x
⇔ − − = ⇔ − =1 3 1
sin 9 os9 sin 9 sin
2 2 2 3 6
x c x x
π π
 
⇔ − = ⇔ − =

Ví dụ 17:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
tan 3cot 4(sinx 3 cos )
x x x
− = +
(17)
Gi
ả
i.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
sinx 0
sin 2 0
cosx 0
x
≠

⇔ ≠

≠




3
tanx 3 tan
3
2 ( )
3
sin sin 2
4 2
3
9 3
x k
x k k
x x
x k
π
π
π
π
π
π
π π

= − +


 
= − = −

 


đượ
c nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là:
3
x k
π
π
= − + ;
4 2
9 3
x k
π π
= +
( )
k
∈
»Ví dụ 18:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

1 3
os2 sin 2 1 os 2 os
4 4
2
c x x c x c
π π
 
⇔ + = − ⇔ − = − =
 
 3
2
2 2 ( )
4 4
4
x k
x k k
x k
π
π
π π
π
π
π

= +

⇔ − = ± + ⇔ ∈

i
ề
u ki
ệ
n
2
t ≤2
1
sin cos
2
t
u u
−
⇒ =

Thay vào PT (*) ta
đượ
c ph
ươ
ng trình:
2
2 ( 2 ) 0
bt at b c
+ − + =

LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC


ng trình có d
ạ
ng:
(sinu cos ) sin cos
a u b u u c
+ + =
(**)
Thì
đặ
t
s inu-cos 2 sin
4
t u u
π
 
= = −
 
 
v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n
2
t ≤


( )( )
2
19 sin 1 sinx cos 1 sin 0
1 sin s inx cos sin x cos 0
sinx 1 (1)

sinx cos sin x cos 0 (2)
x x x
x x x
x x
⇔ + + − =
⇔ + + − =
= −

⇔

+ − =
•

( )
(1) 2
2
x k k
π
π
⇔ = − + ∈
»

x x
−
=

Khi
đ
ó (2) tr
ở
thành:

( )
2
2
1 2
1
0 2 1 0
2
1 2
t
t
t t t
t

= −
−
− = ⇔ − − = ⇔

= +



Ví dụ 20:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(
)
3 2
2
3 1 s inx
3 tan t anx+ 8cos
os 4 2
x
x
c x
π
+
 
− = −
 
 
(20)
Gi
ả
i.
•
Đ
i
ề


(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
2
tan 3tan 1 1 s inx 3 1 tan 4 0
3 tan 1 t anx 1 s inx 0
3 tan 1 sinx cos sin x cos 0
3tan 1 (1)
sinx cos sin x cos 0 (2)
x x x
x
x x x
x
x x
⇔ − + + + − =
⇔ − + − =
⇔ − + + =


t
s inx cos 2 sin
4
t x x


= + = +,

/k
2
t
v
1
tKhi

ú (2) cú d

ng

(
)
2
2

4
x k
x k
x k







= +


+ = =

= +


ằ

Vớ d 21:
Gi

i ph

ng trỡnh



+ =





(1) t anx 1 ,
4
x k k


= = +
ằ



Gi

i (2):

t
s inx cos 2 sin
4
t x x


= =


t t t t

+ = + + = =

V

y
2 ,
1
(2) sin sin
3
4 4
2 ,
2
2
x k k
x
x k k




=



= =


= +


)
Vớ d 22: Gii phng trỡnh
2 2
3 tan 4 tan 4 cot 4 cot 2 0
x x x x
+ + + + =
(22)
Gii.
t
2
t anx cot
sin 2
t x
x
= + = , vi iu kin
2
t

, ta cú
2 2 2
tan cot 2
x x t
+ =

Khi ú phng trỡnh (22) tr thnh:
( )
( )
2 2
2


= = =
= +
= +
ằ
ằ

LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 10

5. Phương trình đằng cấp
- Có dạng:
2 2
a sin sin cos os
u b u u cc u d
+ + =

- Cách gi
ả
i:
* Ki
ể
m tra xem cosu = o có th
ỏ
a mãn ph
ươ
ng trinh hay không (n

c ph
ươ
ng trình
2 2
tan tan (1 tan )
a u b u c d u
+ + = +

Đặ
t t = tanu ta có ph
ươ
ng trình:
2
( ) 0
a d t bt c d
− + + − =

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình trên tìm
đượ
c t = tanu.

Ví dụ 23: Giải phương trình
2 2
os 3 sin 2 1 sin
c x x x
− = + (23)

t
=
ta có ph
ươ
ng trình:
2
0
2 2 3 0
3
t
t t
t
=

+ = ⇔

= −


V
ậ
y
,
t anx 0
(23)
,
t anx 3
3
x k k
x k k

π
= + ∈
»
thì
cos 0
x
=
và
sinx 1
= ±
thì phương trình (23) vô nghiệm
Do
cos 0
x
=
không là nghiệm nên chia hai vế của (23) cho
3
os
c x
ta có:
(
)
( )
( )
( )
4 2 2
3 2
2
(23) 1 4 tan 3tan tan 1 tan 0
3tan 3tan t anx 1 0


= − +

⇔ ∈


= ± +


»Ví dụ 25:
Cho ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2
4 6 sin 3 2 1 sinx 2 2 sin cos 4 3 cos 0
m x m m x x m x
− + − + − − − =
(25)
a) Gi

GV: Hồng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục n *** Trang 11
Khi
,
2
x k k
π
π
= + ∈
»
thì
cos 0
x
=
và
sinx 1
= ±
nên ph
ươ
ng trình (23) thành
(
)
(
)
4 6 3 2 1 0 1 0
m m
± − ± − = ⇔ =
vơ nghi


Đặ
t
t anx
t
=
ta
đượ
c ph
ươ
ng trình:
(
)
(
)
( )
( )
3 2
2
2 1 3 2 1 4 3 0
1 2 4 3 0 (*)
t m t m t m
t t mt m
− + + − − + =
⇔ − − + − =

a)

Khi
2

 
∈
 
 
thì
[
]
t anx 0;1
t= ∈
. Xét ph
ươ
ng trình
2
2 4 3 0
t mt m
− + − =
(*)
2
3
2
2
t
m
t
−
⇔ =
−
(do t = 2 khơng là nghi
ệ
m)


t -
∞
0 1 2 3 +
∞

y' + + - - +
y
2
3
2Do (*) ln có nghi
ệ
m trong
[
]
1 0;1
t = ∈
nên u c
ầ
u bài tốn
( ) : 2
( )
d y m
d