Phương trình mũ và bất phương trình mũ
§5:PHƯƠNG TRÌNH MŨ
I. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CẦN NHỚ KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MỦ
1. CÁC TÍNH CHẤT VỀ ĐẲNG THỨC
Cho a ; b
*
R∈
và m ; n
Z∈
khi đó ta có các tính chất sau
- TC1:
nmnm
aaa
+
=.
- TC2 :
( )
mn
m
n
aa
.
=
- TC3:
( )
nn
n
baba =
- TC4:
nm
n

a. PHƯƠNG PHÁP:
Cho phương trình f(x) = g(x) (1) (Trong đó f(x) và g(x) là các biểu thức chứa ẩn ở luỹ thừa).
Biến đổi phương trình (1)
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
* ;0 1
**
h x p x
h x p x
a a a
x x
ϕ ϕ

= < ≠

⇔

   
=

   

khi đó ta có
- PT (*)
( ) ( )

2 2 4
x
x
x
−
+
 
=
 
 
 
ĐK :
0
1
x
x
>


≠

. PT
( )
( )
( )
( )
3 1
1
2
3 1

x
− −
=

⇔ + = + ⇔ − + = ⇔

=

3.
2x 1
x 1
2
4.9 3.2
+
−
=
⇔
( )
2x 1
2
2 x 1 1
2
3 2
+
−
− −
=
⇔
2x 3
2x 3

⇔
x 3
4 4
3 3
   
=
   
   
⇔ x = 3.
5.
1 1
x x
x 2x 1
2 2
4 3 3 2
− − −
− − −
− = −
⇔
2x 1
2
4 4
3 3
− −
 
=
 
 
⇔
3

7.
2
x 1 x 1
x x , x 0
+ −
= >

Khi x = 1 PT⇔
2 0
1 1
=
đúng.
Khị x ≠ 1 và x > 0 PT ⇔ x + 1 = x
2
–1 ⇔ x
2
– x – 2 = 0 ⇔ x = 2 ; -1(loại)
Vậy: Nghiệm x = 1 ; 2
8.
x x
x x=
ĐK: x > 0
Khi x = 1 PT ⇔
1 1
1 1=
⇔ 1 = 1 đúng.
Khi x ≠ 1 và x > 0 PT ⇔
x
x
2

+ + +
−
− − − −
+
⇔ = ⇔ = ⇔ =
− −
10.
3 2 1
2 .3 .5 4000
x x x+ − +
=
2
40.2 .3 .5 9.4000 30 900 30 30 2
x x x x x
x⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
11.
( )
2 2 2 2
1 1 2
5 3 2 5 3
x x x x+ − −
− = −
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
5 3.3 5 3 5 5 3.3 3
5 9 5 9
x x x x x x x x
⇔ − = − ⇔ − = −
2 2
2 2

−

− =
⇔ − − = ⇔

− =


13.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
8 8 8
log 6 9 log 6 9 log 6 9
2log 1
log 1
2
8
2 3 2 3 2 1 log 6 9 0
x
x
x x x x x x
x
x
x x
− + − + − +

4 6
3 4
5 25
x
x
−
−
=
ĐS x =
7
5
5.
3 4
2 2
3 9
x
x
−
−
=
ĐS
8
7
x =
6.
2 2 1
9.2 8. 3
x x+
=
HD Bình phương 2 vế

x k
π
π
π
π

= +



= +


9.
( ) ( )
4
4
10 3 10 3
x x
x x
−
+
+ = −
10.
( ) ( )
3
3
1
5 2 5 2
x

=
ĐS x = -1 14.
1 2 2 9
3 .2 12
x x x− − −
=
ĐS x = 5
15.
2 3 2 3 3 3
3 .5 3 .5
x x x x+ +
=
ĐS
3x =
. 16.
3 3 2 2
3 .7 3 .7
x x x x+ +
=
ĐS x = 3
17.
4 4 3 3
2 .7 2 .7
x x x x+ +
=
ĐS x = 2 18. 3
x-1
+3
x
+3

3 1
2 1
2 2
9 2 2 3
x x
x x
+ +
−
− = −
ĐS x =
9
2
9
log
2 2
 
 ÷
 
23.
1 1
2 2
2 2
5 9 3 5
x x
x x
+ −
−
− = −
ĐS x =
3

2
4
2
5 4 1
x
x x
−
− + =
ĐS
5 13
2
2
x
x

±
=


= −


27.
( )
2
2
3 3
x x
x x
−

− = −
ĐS
3
2
4log 2
x
x
=


= −

30.
3 2 3 4
2 1 2 1
.2 2 .2 2
x x
x x
x x
− + − +
+ −
+ = +
HD Biến đổi về tích
( )
( )
3 2
2 1
4 1 2 2
x
x

4 4 4 1
x x x x x x− + + + + +
+ = +
HD
2 2 2
2 3 7 3 2 6 5
4 4 4
x x x x x x+ + − + + +
=
33.
8.3 3.2 24 6
x x x
+ = +
HD
6 2 .3
x x x
=
34.
2 2
log log 3
3 6
x
x+ =
2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HOÁ.
a. PHƯƠNG PHÁP
Cho phương trình f(x) = 0 (1) (Trong đó f(x) là biểu thức chứa ẩn ở luỹ thừa).Nếu phương trình sau
khi biến đổi có dạng
( ) ( )
( )
*

−
=
; ĐK x
1≠
PT
1
1
lg 3 .2 lg72
x
x
x
+
−
 
⇔ =
 ÷
 ÷
 
1
lg3 lg2 lg72
1
x
x
x
+
⇔ − =
−
( ) ( ) ( )
1 lg3 1 lg2 1 lg72x x x x⇔ − − + = −
2

2
6.2 5.2 4.2 21 7.2 21 2 3 log 3
x x x x x
x⇔ + − = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
.
4.
1
5 . 8 500
x
x
x
−
=
ĐK: x
0≠

Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long
3
Phương trình mũ và bất phương trình mũ
PT
( )
1 3 3
3
3 2 3 3
2 2 2
3
5 .2 5 .2 2 5 log 2 log 5 3 log 5
x x x
x x x
x x x

( )
2 1 2 3 2 3
2 1
1 2 2 3 2 3
2 2 2
2 2
3 .3 2 .2 3 2 log 3 log 2
x x x
x
x x
+ − −
−
− − − −
⇔ = ⇔ = ⇔ =
( )
2
1 3
2 3 log 0 2 3 0
2 2
x x x
 
⇔ − − = ⇔ − = ⇔ =
 ÷
 
.
6.
2 1
1
5 .2 50
x

x

=

⇔ − − − = ⇔

=


7.
2
3 5 6
2 5
x x x− − +
=
( )
( )
2
3 5 6 2
2 2 2 2
log 2 log 5 3 log 2 5 6 log 5
x x x
x x x
− − +
⇔ = ⇔ − = − +
( ) ( )
2
5
3
3 1 2 log 5 0

x x x
x x x
x x x
x
x
x
− −
− −
+ + +
−
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = −
+
( ) ( )
2
2 2 2
(log 3) 1 log 3 2 1 log 3 0x x⇔ + − + − =
.
9.
2
3 7 12
3 5
x x x− − +
=
( )
( )
2
3 7 12 2
3 3 3 3
log 3 log 5 3 log 3 7 12 log 5
x x x

lg 1
10
lg lg10 2lg lg 1 0
1
lg
10
2
x
x
x
x x x x
x
x

=

=

⇔ = ⇔ − − = ⇔ ⇔


=
=




c. BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
1.

−
=
−
3. 6
x
+ 8 = 2
x + 1
+ 4.3
x
HD
6 3 .2
x x x
=
;
3
log 2x =
4.
2 2 1
1 1
3.4 .9 6.4 .9
3 2
x x x x+ + +
+ = −
ĐS
4
9
21
log
62
x =

x x
=
Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long
4
Phương trình mũ và bất phương trình mũ
9.
2
1 1
2 5
x x− +
=
.
2
3 7 12
3 5
x x x− − +
=
3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ
a. TH
1
. Nếu phương trình có dạng :
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
3 2
. . 0
. . . 0
f x f x
f x f x f x
a b c

1.
1 2
2 2
9 10.3 1 0
x x x x+ − + −
− + =
Giải:
2 2
1 10
9 .3 1 0
9 9
x x x x+ +
− + =
. Đặt
2
3 , 0
x x
t t
+
= >
Ta được
2
10 9 0t t− + =
1
9
t
t
=

⇔

x x x x− + −
− =
Giải: PT
2
2 2
2
2
4
2 3 2 3.2 4 0
2
x x
x x x x
x x
 
−
 ÷
− −
 
−
⇔ − = ⇔ − − =
Đặt
2
2
x x
t
−
=
ĐK t > 0 PT trở thành
2
1

2 , 0
x
t t= >
PT trở thành
3 2
2 7 7 2 0t t t− + − =
2
( 1)(2 5 2) 0t t t⇔ − − + =
1
1 2
2
t t t⇔ = ∨ = ∨ =
0 1 1x x x⇔ = ∨ = ∨ = −
4. Cho phương trình
( )
2
1 1 1 1
2
9 2 3 2 1 0
x x
m m
+ − + −
− + + + =
.Tìm m để PT sau có nghiệm
Giải:
PT
( )
2
2 1 1
1 1

( )
2
2 2
3 2 1
3 ( 2) 2 1 0 3 2 1 2
2
t t
t m t m t t t m m
t
− +
− + + + = ⇔ − + = − ⇔ =
−
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số
2
3 2 1
( )
2
t t
f t
t
− +
=
−
với
đường thẳng d: y = m trên đoạn
[ ]
3, 9
.
Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long
5

4 1 0
2 3
t
f t t t
t

= −
⇔ − + = ⇔

= +


Bảng biến thiên
PT có nghiệm khi
10 6 3 38m+ ≤ ≤
5.
2. 3 3 1
2. 3 3 1 4
4 4
2 2
2 5.2 2 0 5. 1 0
2 2
x x x
x x x x
x x
+ − + +
+ − + + +
+ +
− + = ⇔ − + =
( )

Đặt:
−
=
3(x 1)
t 2
> 0
Khi x ≥ 1 PT trở thành
− + =
12
5t 7 0
t
⇔
+ − =
2
5t 7 t 12 0
⇔

=


= −


t 1
12
t loai
5
⇒
( )
3 x 1

1
t 2
2
> 0 ⇒ x = 2. Vậy nghiệm:
[
)
S 1;
= − ∞
8.
2
9 10 2
2 4
x
x−
+
=
2
2 10.2 144 0
x x
⇔ + − =
Đặt
2
x
t =
PT trở thành t
2
+ 10t -144 = 0
18
8
t

+ +
+ +
⇔ = + − +
.
Đặt
2
1
2
x
t
+
=
, t > 0 PT trở thành:
2 2 2
3 10
8. 4. 4. 1 6 1 0
3 10
t
t t t t t t
t

= −
= + − + ⇔ − − = ⇔

= +


.
10.
4 4

x
=


=

2.
1 3
25 6.5 5 0
x x+
− + =
ĐS x = - 5
3.
2 2
1 1
9 3 6 0
x x+ +
− − =
ĐS x =0 4. 4
x
- 6.2
x
+ 8 = 0
5.
2 2
1 3
9 36.3 3 0
x x− −
− + =
ĐS

2 2
2
2 2 5
x x x x+ − −
+ =
10. 3
x
+ 3
3 - x
= 12
Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long
6
t - 3 9 +
f
/
(t) + 0 - - 0 + +

26
10 6 3+
38
f(t)
Phương trình mũ và bất phương trình mũ
11.
2 2
1 1
5 5 24 0
x x+ −
− − =
ĐS
1x

x
 
=
 ÷
 
15.
( )
3 3
5 9.5 27 5 5 64 0
x x x x− −
+ + + − =
16.
3 3
1
2 8.2 6 2 1
2
x x x
x
−
 
− − − =
 ÷
 
17.
2 1 1 1
5.3 7.3 1 6.3 9 0
x x x x− − +
− + − + =
18.
2 2

xx
m
++
− + =
Tìm giá trị m phương trình có nghiệm.
23. 9
x
- 6.3
x
+ 5 = m Tìm giá trị m phương trình có đúng 1 nghiệm x ∈ [0; + ∞).
24.
| | | | 1
4 2 3
x x
m
+
− + =
Tìm giá trị m phương trình có đúng 2 nghiệm.
25. 4
x
- 2(m + 1).2
x
+ 3m - 8 = 0 Tìm giá trị m phương trình có hai nghiệm trái dấu.
26.
2 2
9 4.3 6
x x
m− + =
Tìm giá trị m phương trình có đúng 2 nghiệm.
b. TH

0
f x f x
a b c
α α
β β
   
⇔ + + =
 ÷  ÷
   
.
Đặt t =
( )
f x
α
β
 
 ÷
 
ĐK t > 0 khi đó phương trình trở thành
2
. . 0a t b t c+ + =
Giải phương trình tìm t
suy ra x.
- Ví dụ .Giải các phương trình sau
1.
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
Giải
PT


=

Do ĐK ta chỉ nhận
2
3
t =
⇔ x =1.
2.
( )
− − −
+ =
x 1 x x 1 x 1
2 2 3 9

Giải:
PT⇔
( )
−
− −
+ =
x 1
2x 1 x 1
2 2.3 9
⇔
( )
−
− −
+ =
x 1

t
t
= −


⇔

=

chọn
=
1
t
2
⇒
1
2 1
3 2
x −
 
=
 ÷
 
⇔
1
3
2
2
x −
 

3 45.6 9.2 0
x x x+ +
+ − =
4.
2 2 2
2.49 9.14 7.4 0
x x x
− + =
5. 12.9
x
- 35.6
x
+ 18.4
x
= 0. 6.
1 1 1 2
1
2
25 3.10 2 0
x x x
+ +
+ − =
.
7.
2 2 2
2 6 10 3 5 2 6 10
3 4.15 2.5 0
x x x x x x+ − + − + −
+ − =
8.

α β
+ + =
trong đó
1
αβ
=
.
- Phương pháp
Đặt
( ) ( )
1
f x f x
t
t
α β
= ⇒ =
ĐK t > 0 khi đó phương trình trở thành
2
. . 0a t c t b+ + =
Giải phương
trình tìm t suy ra x.
- Ví dụ. Giải các phương trình sau
1.
( ) ( )
2 1 2 1 2 2 0
x x
− + + − =
Giải
Đặt
( )

=

2.
( ) ( )
x x
2 3 2 3 14− + + =

Giải
Đặt
( )
= −
x
t 2 3
ĐK t > 0 PT trở thành
+ =
1
t 14
t
⇔ t
2
– 14t + 1 = 0 , ⇔
( )
= ±
2
t 2 3
⇔ x = ± 2
3.
( ) ( )
x x
2 3 2 3 4− + + =

)
3 3
3 8 3 8 6
x x
+ + − =
4.
(
)
(
)
7 48 7 48 14 0
x x
+ + − − =
5.
( ) ( )
2 2
2 1 2 1
2
2 3 2 3
2 3
x x x x− + − +
+ + − =
−
6.
( ) ( )
3 5 3 5 7.2
x x
x
+ + − =
7.

+
+ + − =
Tìm giá trị m phương trình có nghiệm
4. ĐOÁN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH NGHIỆM LÀ DUY NHẤT
a. Phương pháp
Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long
8
Phương trình mũ và bất phương trình mũ
- Nếu phương trình cần giải có dạng
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
1
2
f x g x
f x
a b
a g x

=

=


và ta có thể đoán ra được một nghiệm
0
x
α
=

là hàm số nghịch biến hoặc
ngược lại thì (C) và (C
/
) cắt nhau tại duy nhất một điểm.
- Nên phương trình (1) hay (2) có duy nhất nghiệm
0
x
α
=
.
- Chú ý:
Nếu là bài toán tìm giá trị của tham số để phương trình có có nghiệm khi đó dựa vào tính chất
phương trình có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị của hàm số y = f(x) và đường thẳng d: y = g(m) cắt
nhau. Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau:
+ B
1
: Lập bảng biến thiên của hàm số .
+ B
2
: Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng d: y = g(m) cắt đồ thị hàm số y = f(x) .
b. Ví dụ .Giải các phương trình sau
1.
5 12 13
x x x
+ =
( )
5 12
1 1
13 13
x x

− =
( )
1
3 1 32 1
2
x
x
 
⇔ − =
 ÷
 
Ta thấy phương trình (1) có một nghiệm x = 2.
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ
3 1
x
y = −
với đồ thị
(C
/
) của hàm số mủ
1
32
2
x
y
 
=
 ÷
 
.

9
Phương trình mũ và bất phương trình mũ
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ
x
1
y
3
 
=
 
 
với đường
thẳng d:y = x + 4
Mà hàm số
x
1
y
3
 
=
 
 
nghịch biến trên R, hàm số y = x + 4 đồng biến trên R nên (C) cắt d tại duy
nhất một điểm vây phương trình có duy nhất nghiệm x = -1.
4.
( )
( )
.2 3 2 2 1
x x
x x x= − + −

= −
= −


Ta thấy phương trình (1) có một nghiệm x = 1.
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ
2
x
y =
với đường
thẳng d :y = 1- x .
Mà hàm số
2
x
y =
đồng biến trên R, hàm số
1y x= −
nghịch biến trên R nên dcắt (C) tại duy nhất
một điểm vây phương trình (1) có duy nhất nghiệm x = 1(b)
Từ (a) và (b) ta có nghiệm của phương trình là
1
2
x
x
=


=

5.

−
 
⇔ + + − =
 
( )
1
2 0
3 1 2 0
x x
x
x
−
+ =

⇔

+ − =

( )
( )
2
1 2
1
3 3
x
x a
x
 =

⇔

 
=
 ÷
 
nghịch biến trên R, hàm số y =
1 1
3 3
x +
đồng biến trên R nên (C) cắt d tại duy
nhất một điểm vây phương trình (1) có duy nhất nghiệm x = 1(b)
Từ (a) và (b) ta có nghiệm của phương trình là
1
2
x
x
=


=

6.
2
2
2
1
3
x x
x x
x
−

2
/ /
2
1
1 1 1
1 ; 1 ; 0
1
x
x x
f x x f x f x
x
x x x
= −

+ +
= = + + = − = ⇔

=

0
lim ; lim
x
x
y y
−
→+∞
→
= +∞ = +∞
Bảng biến thiên:
- Xét hàm số

( )
( )
3
3
f x
g x
>


<


nên phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có duy nhất nghiệm x = 1
c. BÀI TẬP
1. 4
x
+ (x - 8).2
x
+ 12 – 2x = 0 2. (x + 4).9
x
- (x + 5).3
x
+ 1 = 0
3. 3
x
+ 5
x
= 6x + 2 4. 3
x + 1

2
2 2 2 4
x x
x x
−
+ + = −
Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long
11
y

x 0 1
y
/
- 0 +
3
y

x 0 1
y
/
+ 0 -
1
0
3
Phương trình mũ và bất phương trình mũ
§6:BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
I. CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ
TC
1
: Nếu 0 < a < b thì


≥

(1) (Trong đó h(x) và p(x) là các biểu thức chứa ẩn ở luỹ thừa).
TH
1
:Biến đổi phương trình (1)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
f x g x
f x g x
f x g x
a a
khi a
f x g x
a a

>
>
⇔ ⇔ >


≥
≥




2
4 12
1
1
3
x x− −
 
>
 ÷
 
2
4 12 0
2
1 1
4 12 0 2 6
3 3
x x
x x x
− −
   
⇔ > ⇔ − − < ⇔ − < <
 ÷  ÷
   
2.
2
1
2
4
x x− −
≤

 
ĐK: x
2
– 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 ∨ x ≥ 2. Bpt
2
2 1x x x x⇔ − ≥ − −
- Nếu x ≤ 0 BPT ⇔
2
2 1 2x x x− ≥ −
⇔
2
3 2 1 0x x− + ≤
PTVN.
- Nếu x ≥ 2 BPT ⇔
2
2 1x x− ≥ −
đúng ∀x ≥ 2. Vậy nghiệm x ≥ 2.
4.
2
( 2)
2( 1)
3
4 2 8 52
x
x x
−
−
− + >
⇔
2 2 1 2 4

5
x
 
<
 ÷
 
⇔ x > 0
6.
6 3
2 1 1
1 1
2 2
x x x− + −
   
<
 ÷  ÷
   
⇔
6 3
2 1 1x x x− + > −
⇔
3
1 1x x− > −
- Nếu 1 – x < 0 ⇔ x > 1 BPT đúng với ∀x > 1.
- Nếu 1 – x = 0 ⇔ x = 1 BPT ⇔ 0 > 0 sai.
- Nếu 1 – x > 0 ⇔ x < 1 BPT ⇔ -x
3
+ 1 > 1 – x ⇔ 1 + x + x
2
< 1 ⇔ -1 < x < 0 .

2
2 1 0
5 5 0
x
x

− <


− <


(II)
(I)⇔
0
2
x
x
>


<

. (II)
⇔
0
2
x
x
<

x
x x− − − >
⇔
2
2
2 3 0
4 2 0
x
x x

− − >


− >


(I) hoặc
2
2
2 3 0
4 2 0
x
x x

− − <


− <






− < <


⇔-1 < x <
3
(b)
Từ (a), (b) ta có tập hợp nghiệm của bất phương trình là D =
( ) ( )
( )
2 1, 3 3,−∞ − ∪ − ∪ + ∞
9.
2 1 1
5 6 30 5 .30
x x x x+ +
+ > +
Giải :BPT ⇔
2 2
5.5 6.6 30 5 .6
x x x x
+ > +
⇔
( ) ( )
2
5 6 5 6 0
x x
− − >
⇔

log 5
1
log 6
2
x
x
<



>


. (II) vônghiệm. Vậy tập hợp nghiệm là
5 6
1
log 6 log 5
2
x< <

Chú ý:
5 6
1
log 6 log 5
2
<
10.
( )
2. 5 24 5 7 5 7
x x x

2.
( )
2
7 12
5 1
x x+ +
>

3.
1
4
1 1
2 2
x
   
≥
 ÷  ÷
   
4.
2
3
1 1
5 25
x x+
 
≤
 ÷
 

5.

x
x x
−
+ +
 
<
 ÷
 
8.
2
2
9 8 3
7
1
7
7
x x
x
− − +
−
 
<
 ÷
 

9.
( ) ( )
2
5 6
3 2 3 2

x
x
x
−
−
+
+ ≤ −
13.
2 3 7 3 1
6 2 .3
x x x+ + +
<
14.
2 2 2
3 2 3 3 3 4
2 .3 .5 12
x x x x x x− − − − − −
≥
15.
( )
1 1 2
5 3 2 5 3
x x x x+ − −
− > −
16.
2 1 1
7 2 5.7 2
x x x x+ − −
− > −
Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long

x x x x x+ + + + +
− − > −
23.
2 1 2 3 2 5 7 5 3
2 2 2 2 2 2
x x x x x x− − − − − −
+ − > + −
24.
2
( 2)
2( 1)
3
4 2 8 52
x
x x
−
−
− + >
25.
( )
13 5 2 13 12 13 5
x x x
− ≤ + − +
26.
2 2 2
2 5 3 2 2 .3 2 5 3 4 .3
x x
x x x x x x x− − + > − − +
27.
2 2

a b c
a b c
a b c
α α
α α
α α
α α

+ + >

+ + ≥


+ + <


+ + ≤

- Phương pháp.
Đặt t =
( )
f x
α
ĐK t > 0 khi đó bất phương trình trở thành
2
2
2
2
. . 0
. . 0

 

Giải:BPT ⇔
6 3
2 8.2 128 0
x x− −
− − ≥
Đặt
3
2
x
t
−
=
ĐK t > 0
Bất PT trở thành t
2
– 8t – 128 ≥ 0
⇔
(t + 8)(t – 16) ≥ 0 ⇔ t ≥ 16 ⇔
3 4
2 2
x−
≥
⇔
4
x
3
≤ −
2.

2 0
x
− ≤

1 2
0
x
x
−
⇔ ≤
1
0
2
x x⇔ < ∨ ≥
3.
2 4 4
3 8.3 9.9 0
x x x x+ + +
− − >
Giải: ĐK x + 4
0 4x≥ ⇔ ≥
BPT
( )
( )
2 4
2 4 2 4 4 4
3 3 8.3 9.9 0 3 8.3 9 0
x x
x x x x x x x
− +

x x
− >


⇔

− > +


2
2
5
5 0
x
x
x x
>

⇔ ⇔ >

− >

. Vậy x > 5 là tập hợp nghiệm của bất phương trình.
Website:violet.vn/curi307 Trần Khánh Long
14
Phương trình mũ và bất phương trình mũ
4.
2
2
2

−
= >
ta có t
2
−2t−3≤0 ⇔ −1≤ t ≤ 3
⇔
2
2 2
3 3 2 0
x x
x x
−
≤ ⇔ − ≤
0 2x
⇔ ≤ ≤
5.
1 1
15.2 1 2 1 2
x x x+ +
+ ≥ − +
Giải:Đặt t = 2
x
với t > 0 ta có BPT trở thành
30 1 1 2t t t+ ≥ − +
- Khi t =1 thỏa BPT
- Khi t >1 BPT
30 1 3 1t t⇔ + ≥ −
2
1
30 1 9 6 1

t
t
t t t
< −

− ≤ <


⇔ ∨
−
 
≥
+ ≥ + +




1
1
30
t
−
⇔ ≤ < −
(1)
Hoặc
2
1 1
28 0
t
t t

x
t = >
.
Bất PT trở thành: t
2
– mt + m + 3 ≤ 0
( ) ( )
2
2
3
3 1 1 0 1
1
t
t m t m khi t
t
+
⇔ + ≤ − ⇔ ≥ < <
−

hoặc
( )
2
3 1t m t+ ≤ − ⇔
( )
2
3
2 1
1
t
m khi t

f t f t
t
t
= −

− −
= = ⇔

=
−

- Trên khoảng (0, 1) ta có
( ) ( )
0 1
lim 3, lim
x x
f t f t
+ −
→ →
= − = −∞
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không tồn tại giá trị m để thoả mãn bất phương trình (1)
- Trên khoảng (1,
+∞
) ta có
( ) ( )
1
lim , lim
x
x

Giải các bất phương trình sau
1.
9 2.3 15 0
x x
− − >
2.
1
4 2.2 3 0
x x+
− + =
3.
2 1
5 5 4 0
x x+
− − >
4.
49 6.7 7 0
x x
− − <
5.
2 8 5
3 4.3 45 0
x x+ +
+ − >
6.
1 1
3 3 10
x x+ −
+ <
7.

10.
2 3
4
1
3 35. 6 0
3
x
x
−
−
 
− + ≥
 ÷
 
11.
1
3.7 7 4 0
x x+ −
− + <
12.
1
2 2 1
0
2 1
x x
x
−
− +
≤
−

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
. . 0
. . 0
f x f x
f x
f x f x
f x
a b c
a b c
α αβ β
α αβ β

+ + >


+ + <


- Phương pháp.
Do
( )
( )

khi đó bất phương trình
( ) ( )
( ) ( )
2
2
. . 0
. . 0
f x f x
f x f x
a b c
a b c
α α
β β
α α
β β

   
 + + >
 ÷  ÷

   
⇔

   

+ + <
 ÷  ÷

   


7 7
2 3 1 0
2 2
x x
   
⇔ + − ≥
 ÷  ÷
   
. Đặt
7
2
x
t
 
=
 ÷
 
với t > 0
BPT trở thành 3t
2
+ 2t – 1 ≥ 0
1
1
1
3
3
t
t
t
≤ −

25 9 34.15
x x x x x x− + + − + + − +
+ ≥
4.
5.36 2.81 3.16 0
x x x
− − ≤
5. 12.9
x+1
- 35.6
x+1
+ 18.4
x+1

≥
0 6.
1
2 1
2
25 3.10 2
x
x x
+
+
+ ≤
.
7.
2 2 2
2 6 10 3 5 2 6 10
3 4.15 2.5

x
x
−
+ −
>
−
Giải: BPT
1
2 2 3
0
2
x
x
x
−
+ −
⇔ >
−
Khi x < 1 thì
1
2 2 3 0
2 0
x
x
x
−

+ − <

− <

suy ra x > 2 thỏa BPT
Kết luận: Nghiệm của bất phương trình là x <1 hoặc x > 2
2.
2
3 3 2
0
4 2
x
x
x
−
+ −
≥
−
Giải: Đặt
2
( ) 3 3 2
x
f x x
−
= + −
và
( ) 4 2
x
g x = −
Hàm số f(x) nghịch biến và f(2) = 0 , hàm số g(x) đồng biến và
1
0
2
f

− ≥

− <

2.
1
2 2 1
0
2 1
x
x
x
−
− +
≤
−
HD xét
0
0 1
1
x
x
x
<


< <


≥