Phương trình và bất phương trình siêu việt
A. Phương trình và bất phương trình mũ, lôgarit.
I. Các kiến thức cơ bản.
1. Định nghĩa và các tính chất của luỹ thừa.
2. Tính chất của hàm số mũ và hàm số lôgarit.
3. Các phương trình và bất phương trình cơ bản:
• Với mọi số dương m thì:
+
);10(log
≠<=⇔=
amxma
a
x
+



≠<<
>>
⇔>
10log
1log
akhimx
akhimx
ma
a
a
x
• Với mọi số thực m thì:
+
m

1.
521
10.25.2
++
=
xxx
2.
x
x
−
−+
3
1
log)12(log
3
13
.
3.
Bài 2: Giải các bất phương trình:
1.
)12(log42log4)1444(log
2
555
+<−+
−
xx
.
2.
1
1

;1)()(
)()(
akhixgxf
akhixgxf
aa
xgxf
+



<<<
>>
⇔>
.10)()(
;1)()(
)(log)(log
akhixgxf
akhixgxf
xgxf
aa
2. Phương pháp đặt ẩn số phụ:
Bài 1: Giải các phương trình, và bất phương trình::
1.
62)154()154(
=−++
xx
.
2.
2
2

+=
.
+ Dạng
0.)(.
)(2)()(2
=++
xfxfxf
vcuvbua
thì nên chia cho
)(2 xf
v
rồi đặt
)( xf
v
u
t






=
.
+ Dạng a.f(x)
2
+b.f(x)+c=0 (hoặc >0) với f(x)=m
g(x)
hoặc f(x)=log
m

32
2
−+
=
xx
2.
68.3
2
=
+
x
x
x
4. Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số:
Lưu ý: nếu PT có nghiệm x
0
, một vế của PT là hàm số đồng biến , vế kia là hàm số nghịch
biến hoặc là hàm số hằng thì nghiệm x
0
là duy nhất.
Bài 1: Giải các PT :
1.
x
x
5
log33
−=
(ĐS x=1).
2.
132

2
9
yx
yx
(ĐS: (1;1), (2;2))
3.



−=−
−=−
9loglog10
8log3log5
4
2
2
42
yx
yx
(HD: đặt u=log
2
x; v=log
4
y)
4.



=+
=+

.7
x+1
-14.7
x-1
+2.7
x
=48.
4. 7
3x
+9.5
2x
=5
2x
+9.7
3x.
5. 9
x
-
2
1
2
+
x
=
2
3
2
+
x
-3

10.
9. x
2lgx
=10x ĐS: x=10; x=10
-2
.
10.
xx
x
=
+
lg
5
1
10
1
ĐS: x=1; x=100.
11.
5
24
28
=
−
+
x
xx
ĐS: x=1;x=log
2
( )
293







+
xx
ĐS: x=3; x=-3.
15. 3.16
x
+2.81
x
=5.36
x
ĐS: x=0; x=
2
1
.
16. 5
x
+12
x
=13
x
ĐS: x=2.
17. 6
x
-2
x




−+






+
ĐS: x=2.
22. 9
x
+2(x-2).3
x
+2x-5=0 ĐS: x=1.
23.
B. Phương trình lượng giác:
I. Các kiến thức cơ bản:
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Hệ thức cơ bản Cung đối Cung bù
s in
2
α
+ cos
2
α

= 1

α
.cot
α
= 1
cos(-
α
) = cos
α

sin(-
α
) = - sin
α

tan(-
α
) = - tan
α

cot(-
α
) = - cot
α
sin(
π
-
α

π
/2 Hơn kém
π
Chu kỳ
sin(
π
/2 -
α
) = cos
α
cos(
π
/2 -
α
) = sin
α
tan(
π
/2 -
α
) =
cot
α
cot(
π
/2 -
α
)
= tan
α

sin(
α
+
π
) = -sin
α

cos(
α
+
π
) = -cos
α

tan(
α
+
π
) = tan
α

cot(
α
+
π
) = cot
α
sin(
α
+k2

1 tan .tan
a b
a b
+
−

tan( a - b) =
tan tan
1 tan .tan
a b
a b
−
+

cos2a=
2 2
cos sina a−
=2cos
2
a -1
= 1 - 2sin
2
a
sin2a = 2sina.cosa
tan2a =
2
2tan
1 tan
a
a−

2
a b+
.sin
2
a b−
sina + sinb = 2sin
2
a b+
.sin
2
a b−
sina – sinb = 2cos
2
a b+
.sin
2
a b−
tana + tanb =
sin( )
cos .cos
a b
a b
+
tana – tanb =
sin( )
cos .cos
a b
a b
−
cosa.cosb =

sinx +cosx =
2
sin(x +
π
/4)
sinx –cosx =
2
sin(x -
π
/4)

Công thức nhân ba
cos3a = 4cos
3
a –
3cosa
sin3a = 3sina –
4sin
3
a
tan3a =
3
2
3tan tan
1 3tan
a a
a
−
−
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

±
α
+k2
π
⇔
tanx = tan
α
⇔
x =
α
+k
π
⇔
cotx = cot
α
⇔
x =
α
+k
π
II. Phương trình lượng giác thường gặp
1 .Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác
Dạng : asin
2
x +b sinx + c =0
acos
2
x +bcosx + c = 0
cách giải:
Đặt t = sinx , t = cosx (-1

osx + sinx =
a a
a
c
a b b b+ + +
⇔
cos(x -
α
) =
2 2
c
a b+
(với cos
α
=
2 2
a
a b+
, sin
α
=
2 2
b
a b+
)

Dạng : asin
2
x +bsinx.cosx +cos
2

BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG (GÓC) ĐẶC BIỆT
0
π
/6
π
/4
π
/3
π
/2 2
π
/3 3
π
/4 5
π
/6
π
sin
α
0 1/2
2
/ 2
3
/ 2
1
3
/ 2
2
/2
1/ 2 0

0
cot
α
/ /
3
1
3
/ 3
0
-
3
/
3
-1
-
3
/ /
II.Một số baì tập:
Bài 1: Giải các phương trình: