Góp nhặt trên onluyentoan.vn
1 Nội dung
1.1 Bài toán 1
Tính tích phân
I =
b

a
f (x) dx
Phương pháp giải
 Phân tích
f (x) = k
1
f
1
(x) ± k
2
f
2
(x) ± ··· ± k
n
f
n
(x)
Trong đó: k
i
∈ R
∗
và f
i
(x)

n
(x) dx
Dấu hiệu
 Biểu thức dưới dấu tích phân xuất hiện với nhiều loại hàm số khác nhau.
Ví dụ 1 (D-05)Tính tích phân
I =
π
2

0

e
sin x
+ cos x

cos xdx
Giải
• Phân tích

e
sin x
+ cos x

cos x = e
sin x
cos x + cos
2
x = e
sin x
cos x +

π
2
0
+
1
2

x +
sin 2x
2




π
2
0
= (e − 1) +
1
2

π
2
− 0

= e +
π
4
− 1
Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 1 Trường THPT Lê Quảng Chí

x. cos x − cos
2
x =

1 − sin
2
x

2
. cos x −
1 + cos 2x
2
• Khi đó:
I =
π
2

0


1 − sin
2
x

2
. cos x −
1 + cos 2x
2

dx

5
x




π
2
0
−
1
2

x +
sin 2x
2




π
2
0
= 1 −
2
3
+
1
5
−


xdx
Giải
• Phân tích

e
x
+
(1 + ln
2
x)
√
ln x
x
2

x = e
x
.x +
(1 + ln
2
x).
√
ln x
x
Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 2 Trường THPT Lê Quảng Chí
Góp nhặt trên onluyentoan.vn
• Ta có:
I
1

= e.e
e
− e − (e
e
− e)
= e
e
(e − 1)
I
2
=
e

1
(1 + ln
2
x).
√
ln x
x
dx =
1

0
2

1 + t
4

t

3
+
1
7

=
20
21
• Vậy I = I
1
+ I
2
= e
e
(e − 1) +
20
21
• Đáp số I = e
e
(e − 1) +
20
21
Ví dụ 4 Tính tích phân
I =
3

1
1 + x(2 ln x − 1)
x(x + 1)
2

I =
3

1
1
x(x + 1)
dx − 2
3

1
1
(x + 1)
2
dx + 2
3

1
ln x
(x + 1)
2
dx = I
1
− 2I
2
+ 2I
3
• I
1
=
3


3
1
= ln
3
4
− ln
1
2
= ln
3
2
• I
2
=
3

1
1
(x + 1)
2
dx = −

1
x + 1




3

1
+
3

1
1
x(x + 1)
dx = −
ln 3
4
+I
1
=
3
4
ln 3−ln 2
• Do đó: I = ln
3
2
−
1
2
+
3
2
ln 3 − 2 ln 2 = −
1
2
+
5

f (x)
g (x)
dx =
b

a

k (x) +
h (x)
g (x)

dx =
b

a
k (x) dx +
b

a
h (x)
g (x)
dx
Nhận xét
Ví dụ 5(A-2010) Tính tích phân
I =
2

0
x
2

x
2
+
e
x
1 + 2e
x

dx
=
x
3
3



2
0
+
1
2
2

0
d(1 + 2e
x
)
1 + 2e
x
=

2
ln
1 + 2e
2
3
Ví dụ 6 Tính tích phân
I =
1

0
1 + (2 + x)xe
2x
1 + xe
x
dx
Giải
• Viết lại tích phân cần tính như sau:
I =
1

0
(xe
x
+ 1)
2
+ 2e
x
(xe
x
+ 1) − 2e

1
0
+
1

0
xd(e
x
) − 2
1

0
d(1 + xe
x
)
1 + xe
x
= 2e − 1 + xe
x




1
0
−
1

0
e

b

a
f (x)
g (x)
dx =
b

a
g
′
(x)
g (x)
dx +
b

a
f (x) − g
′
(x)
g (x)
dx
Nhận xét
Quy trình giải toán cho phương pháp 2
 Chọn g(x) và tính g
′
(x).
 Xác định f (x) − g
′
(x).

a
g
′
(x)
g (x)
dx = ln |g(x)|



b
a
= ln |g(b)| − ln |g(a)| = ln



g(b)
g(a)



 Tính tích phân:
I
2
=
b

a
f (x) − g
′
(x)


0
x cos x
x sin x + cos x
dx = x



π
4
0
+ ln |x sin x + cos x|



π
4
0
=
π
4
+ ln



√
2π
8
+
√

• Khi đó, tích phân cần tính được viết lại như sau:
I =
π
4

0

x cos x
x sin x + cos x
+
x sin x + cos x
x sin x + cos x

dx
=
π
4

0
x cos x
x sin x + cos x
dx +
π
4

0
dx
=
π
4

+ 1)
′
= e
x
+ x.e
x
• Khi đó, tích phân cần tính được viết lại như sau:
I =
1

0

e
x
+ xe
x
xe
x
+ 1
+
3xe
x
+ e
x
+ 2 − e
x
− xe
x
xe
x

1
0
= ln(e + 1) + 2.
• Đáp số: I = ln(e + 1) + 2
Ví dụ 9 Tính tích phân
I =
2

1
(x + 2)(1 + 2xe
x
) + 1
x(1 + xe
x
)
dx.
Giải
• Ta có: [x(1 + xe
x
)]
′
= 1 + 2xe
x
+ x
2
e
x
• Suy ra:
(x+2)(1+2xe
x

2

1
x + 2
x
dx
= ln |x(1 + xe
x
)|



2
1
+ (x + 2 ln |x|)



2
1
= ln(2 + 4e
2
) − ln(1 + e) + 1 + 2 ln 2
= ln
8 + 16e
2
1 + e
+ 1
Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 8 Trường THPT Lê Quảng Chí
Góp nhặt trên onluyentoan.vn

= ln x + 1
• Khi đó:
f(x) −g
′
(x) = 2 + (2 + ln
2
x) ln x − ln x − 1 = ln
3
x + ln x + 1
• Vậy:
I =
e
2

e

ln x + 1
x
2
ln
2
x
+
ln
3
x + ln x + 1
x
2
ln
2

2

e
ln
x
+ 1
x
2
ln
2
x
dx =
2e
2

e
du
u
2
= −
1
u



2e
2
e
=
1

2
e
+
e
2

e
1
x
2
dx = −

ln e
2
e
2
−
1
e

−
1
x



e
2
e
=

4e − 4
e
2
Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 9 Trường THPT Lê Quảng Chí
Góp nhặt trên onluyentoan.vn
Ví dụ 11 Tính tích phân
I =
e

1
(x
3
+ 1) ln x + 2x
2
+ 1
2 + x ln x
dx
Giải
• Ta có: (2 + x ln x)
′
= 1 + ln x
• Khi đó: (x
3
+ 1) ln x + 2x
2
+ 1 − 1 − ln x = x
3
ln x + 2x
2
= x

= ln(e + 2) − ln 2 +
e
3
− 1
3
= ln
e + 2
2
+
e
3
− 1
3
• Đáp số: I = ln
e + 2
2
+
e
3
− 1
3
Ví dụ 12 Tính tích phân
I =
π
2

0
(x
2
− 1) sin

Góp nhặt trên onluyentoan.vn
I =
π
2

0

x cos x
x sin x + cos x
+ x sin x + cos x

dx
=
π
2

0
x cos x
x sin x + cos x
dx +
π
2

0
(x sin x + cos x)dx
= ln |x sin x + cos x|



π

π
2
+ 2 sin x



π
2
0
= 2 + ln
π
2
• Đáp số: I = 2 + ln
π
2
Ví dụ 13 Tính tích phân
I =
ln 2

0
(x
2
+ 2)e
2x
+ x
2
(1 − e
x
) − e
x

−e
x
) = x
2
e
2x
+ x
2
(1 −e
x
) = x
2
(e
2x
−e
x
+ 1)
• Do đó:
I =
ln 2

0
2e
2x
− e
x
e
2x
− e
x

3
• Đáp số: I = ln 3 +
ln
3
2
3
Ví dụ 14 Tính tích phân
I =
e

2
x
2
(4 ln x + 1) + (2x + 1)ln
2
x + 4x ln x
x
2
(x + ln x) ln x
dx.
Giải
Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 11 Trường THPT Lê Quảng Chí
Góp nhặt trên onluyentoan.vn
• Đặt
f(x) = x
2
(4 ln x + 1) + (2x + 1) ln
2
x + 4x ln x
g(x) = x

2
x + 2x ln x = (x
2
+ ln x + 2x) ln x
• Do đó, tích phân cần tính được viết lại như sau:
I =
e

2
d[x
2
(x + ln x) ln x]
x
2
(x + ln x) ln x
+
e

2
x
2
+ ln x + 2x
x
2
(x + ln x)
dx
= ln |x
2
(x + ln x) ln x|


2
+
e

2
d(x + ln x)
x + ln x
= ln
e
2
(e + 1)
4(2 + ln 2) ln 2
+
1
2
−
1
e
+ ln |x + ln x|



e
2
= ln
e
2
(e + 1)
4(2 + ln 2) ln 2
+

+
1
2
−
1
e
Ví dụ 15 Tính tích phân
I =
e

1
1 − x(e
x
− 1)
x(1 + xe
x
ln x)
dx
Giải
• Đặt
f(x) = 1 − x(e
x
− 1)
g(x) = x(1 + xe
x
ln x)
Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 12 Trường THPT Lê Quảng Chí
Góp nhặt trên onluyentoan.vn
• Xét
g

ln x − x
2
e
x
ln x
= x(1 − 2e
x
− 2e
x
ln x − xe
x
ln x)
• Vậy:
I =
e

1
d[x(1 + xe
x
ln x)]
x(1 + xe
x
ln x)
+
e

1
1 − 2e
x
− 2e

e
1
= ln |e(1+e
e+1
)| = 1−ln(1+e
e+1
)
• Với
I
2
=
e

1
1 − 2e
x
− 2e
x
ln x − xe
x
ln x
1 + xe
x
ln x
dx
=
e

1
1 + xe

e
1
− 2 ln |1 + xe
x
ln x|



e
1
= e − 1 − 2[ln(1 + e
e+1
) − 0]
= e − 1 − 2 ln(1 + e
e+1
)
• Do đó:
I = 1 −ln(1 + e
e+1
) + e − 1 − 2 ln(1 + e
e+1
) = e − 3 ln(1 + e
e+1
)
• Đáp số : I = e − 3 ln(1 + e
e+1
)
Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 13 Trường THPT Lê Quảng Chí
Góp nhặt trên onluyentoan.vn
2 Tài liệu tham khảo