i s 11 Trn S Tựng
Trang 54

I. Phng phỏp qui np toỏn hc

chng minh mnh cha bin A(n) l mt mnh ỳng vi mi giỏ tr nguyờn dng
n, ta thc hin nh sau:
ã
Bc 1: Kim tra mnh ỳng vi n = 1.
ã
Bc 2: Gi thit mnh ỳng vi s nguyờn dng n = k tu ý (k

1), chng minh rng
mnh ỳng vi n = k + 1.
Chỳ ý: Nu phi chng minh mnh A(n) l ỳng vi vi mi s nguyờn dng n

p thỡ:
+ bc 1, ta phi kim tra mnh ỳng vi n = p;
+ bc 2, ta gi thit mnh ỳng vi s nguyờn dng bt kỡ n = k

p v phi chng
minh mnh ỳng vi n = k + 1. Baứi 1: Chng minh rng vi mi n ẻ N*, ta cú:

nnnn
++++=+

e)
(1)(2)
1.22.3 (1)
3
nnn
nn
++
++++= f)
111

1.22.3(1)1
n
nnn
+++=
++

Baứi 2: Chng minh rng vi mi n ẻ N*, ta cú:
a)
221
n
n
>+
(n 3) b)
2
225
n
n

f)
11113

12224
nnn
+++>
++
(n > 1)
Baứi 3: Chng minh rng vi mi n ẻ N*, ta cú:
a)
3
11
nn
+
chia ht cho 6. b)
32
35
nnn
++
chia ht cho 3.
c)
2221
7.23
nn

+
chia ht cho 5. d)
3
2
nn

Chng minh rng vi mi n ẻ N* ta cú:
1
2cos
2
n
n
a
+
=
p
.

CHNG III
DY S CP S
Trn S Tựng i s 11
Trang 55

II. Dóy s

1. Dóy s

:*
()
u
nun
đ
ƠĂ

u
n
> 0 vi
"
n
ẻ
N*


1
1
n
n
u
u
+
>
vi
"
n
ẻ
N* ( u
n
> 0).

ã
(u
n
) l dóy s gim


vi
"
n
ẻ
N* (u
n
> 0).
3. Dóy s b chn

ã
(u
n
) l dóy s b chn trờn


$
M
ẻ
R: u
n

Ê
M,
"
n
ẻ
N*.

ã
(u


Ê
M,
"
n
ẻ
N*.

Baứi 1: Hóy vit 5 s hng u ca dóy s (u
n
) cho bi:
a)
2
2
21
1
n
n
u
n
-
=
+
b)
(1)
21
n
n
n
u

unn
=+ f)
(1)!
2
n
n
n
u
+
=
Baứi 2: Hóy vit 5 s hng u ca dóy s (u
n
) cho bi:
a)
( )
11
1
2,1
3
nn
uuu
+
==+
b)
1221
15,9,
nnn
uuuuu
++
===-

uuu
+
==+
b)
2
11
3,1
nn
uuu
+
==+ c)
11
3,2
nn
uuu
+
==
d)
11
1,21
nn
uuu
+
=-=+
e)
11
1,7
nn
uuu
+

=+
c)
n
n
u
1
3.2
-
=
d)
n
u
1
=-
e)
n
un
76
=-
f)
n
n
n
u
1
1
21
2
+
+

u
n
-
=
+

d)
2
2
1
1
n
nn
u
n
++
=
+
e)
2
cos
n
unn
=+ f)
2
n
n
u
n
-

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng
Trang 56
d)
2
2
2
1
n
nn
u
nn
+
=
++
e)
2
2
n
n
u
nnn
=
++
f)
(1)cos
2
n
n
u
n

2
kk
k
uu
u
-+
+
= với k
³
2
4. Tổng n số hạng đầu tiên:
1
12
()

2
n
nn
nuu
Suuu
+
=+++= =
1
2(1)
2
nund
éù
+-
ëû


n
u
-
= f)
1
2
n
n
u
=-

Baøi 2: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:
a)
153
16
10
17
uuu
uu
ì
+-=
í
+=
î
b)
253
46
10
26
uuu

î
e)
715
22
412
60
1170
uu
uu
ì
+=
ï
í
+=
ï
î
f)
135
123
12
8
uuu
uuu
ì
++=-
í
=
î

Baøi 3: a) Giữa các số 7 và 35 hãy đặt thêm 6 số nữa để được một cấp số cộng.

axbxcx
=-=+=-
b)
2
1;32;1
axbxcx
=+=-=-

Baøi 8: Tìm các nghiệm số của phương trình:
32
15711050
xxx
-+-=
, biết rằng các nghiệm số
phận biệt và tạo thành một cấp số cộng.
Baøi 9: Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng
thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây, …. Hỏi có bao nhiêu hàng?
Trần Sĩ Tùng Đại số 11
Trang 57

IV. Cấp số nhân1. Định nghĩa: (u
n
) là cấp số nhân
Û
u
n+1
= u

1
1
n
n
n
Snuvôùiq
uq
Svôùiq
q
é
==
ê
-
ê
=¹
ê
-
ëBaøi 1: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:
a)
42
53
72
144
uu
uu
ì
-=

123
14
64
uuu
uuu
ì
++=
í
=
î
e)
123
123
21
1117
12
uuu
uuu
ì
++=
ï
í
++=
ï
î
f)
1234
2222
1234
30

9
, đồng thời,
theo thứ tự, chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng.
Baøi 9: Tìm 3 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng khi tăng số thứ hai thêm 2 thì các số đó
tạo thành một cấp số cộng, còn nếu sau đó tăng số cuối thêm 9 thì chúng lại lập thành một
cấp số nhân.
Baøi 10: Tìm 4 số trong đó ba số đầu là ba số hạng kế tiếp của một cấp số nhân, còn ba số sau là
ba số hạng kế tiếp của một cấp số cộng; tổng hai số đầu và cuối bằng 32, tổng hai số giữa
bằng 24.
Baøi 11: Tìm các số dương a và b sao cho a, a + 2b, 2a + b lập thành một cấp số cộng và (b + 1)
2
,
ab + 5, (a + 1)
2
lập thành một cấp số nhân.
Baøi 12: Chứng minh rằng nếu 3 số
212
,,
yxyyz

lập thành một cấp số cộng thì 3 số x, y, z lập
thành một cấp số nhân. Đại số 11 Trần Sĩ Tùng
Trang 58
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III

Bài 1: Tính tổng :
Snn

n
u xác định bởi:
4
5
1
=u và
2
1
1
+
=
+
n
n
u
u với mọi
1
³
n
.
a) Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh với mọi
1
³
n
ta có 1
2
1
1
+=
+n

=2 và
1
2
nn
uu
+
=+
với mọi
1
n
³
. Chứng minh u
n
= 2
với mọi
1
n
³
. Có nhận xét gì về dãy số này ?
Bài 6: Cấp số cộng:
a) Tìm các nghiệm của phương trình:
xxx
32
–1571 –1050
+=
. Biết rằng các nghiệm này
tạo thành một cấp số cộng.
b) Cho một cấp số cộng biết tổng ba số hạng đầu tiên bằng –6 và tổng các bình phương của
chúng bằng 30. Hãy tìm cấp số cộng đó.
c) Cho phương trình xmxm

Sn
71
=+
và
n
Tn
47
=+
. Tìm tỉ số
11
11
u
v
của 2 số hạng thứ 11 của hai cấp số đó.
Bài 7: Cấp số nhân:
a) Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số nhân, biết số hạng thứ hai là 16 và tổng ba số
hạng đầu bằng 56.
b) Một cấp số nhân
()
n
u
có 5 số hạng, biết công bội
1
4
q
=
và
14
24
uu

theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
Trần Sĩ Tùng Đại số 11
Trang 59

d) Ba số có tổng là 217 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của một CSN, hoặc là các số hạng
thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của một CSC. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của CSC để tổng
của chúng là 280?
e) Một CSC và một CSN có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của CSC lớn hơn số
hạng thứ 2 của CSN là 10, còn các số hạng thứ 3 bằng nhau. Tìm các cấp số ấy?
Bài 9: Cho dãy số (u
n
) với
25
25
nn
n
nn
u
-
=
+
. Tính
10
1210
111

111
S
uuu
=+++