Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
CHƯƠNG 1
NỬA NHÓM VÀ NHÓM

1. NỬA NHÓM
MỤC ĐÍCH YÊU CẦU:
Sinh viên nắm được khái niệm phép toán hai ngôi, nửa nhóm. Biết nhận biết
các khái niệm trên trong các trường hợp cụ thể.
Sinh viên có kỹ năng vận dụng khái niệm trên giải các bài tập .
1.1.Phép toán hai ngôi:
Ví dụ: 1.xét tập số tự nhiên N, với phép toán cộng thông thường. Ta thấy: ∀ a, b ∈
N luôn có: a+b = c ∈ N. Có thể nói phép cộng trong N là một ánh xạ được không?
Hãy lập ánh xạ đó. ( +: NxN → N
(a,b)  c )
2.Cũng hỏi như trên với Phép mũ hoá trong N? Phép trừ trong N ?phép nhân
trong N ?
T: NxN → N
(a,b)  c= a
b
)
các phép toán trên ( trừ phép trừ) đều là các phép toán hai ngôi.
Định nghĩa 1: SGK(37)
Để cho tiện từ nay về sau ta ký hiệu cái hợp thành của x và y là xy. Nếu
không có lý do nào khiến ta phải viết khác.
Định nghĩa 2: sgk(38)
A ⊂ X đgl ổn định với phép toán hai ngôi trong X. ⇔ ∀ x,y ∈ A → xy ∈ A .
(Ta còn nói phép toán trên X đối với bộ phận ổn định A là phép toán cảm sinh trên
A )
 Trong các ví dụ trên phép toán nào có các tính chất: kết hợp; Giao hoán ?
Định nghĩa 3: Tr 38.
 Trong các phép toán trên hãy tìm các cặp phần tử có cái hợp thành chính

1
x
2…..
x
n-1
)x
n
gọi là tích của n phần tử lấy theo
thứ tự đó.
Định lý 2: (sinh viên tự CM) tr40.
Định nghĩa 6: X là nửa nhóm:
n ∈ N, n ≠ 0 ∀ a ∈ X ; a
n
gọi là tích của n phần tử bằng a.
Do tính kết hợp ta có:
a
m
.a
n
= a
m+ n
; (a
m
)
n
= a
m.n
( Sinh viên tự CM)
 Nếu phép toán hai ngôi của X ký hiệu là + thì tổng của n phần tử đều bằng a gọi
là bội của n . Ký hiệu là: na. Hãy viết quy tắc trên dưới dạng tổng:

b
n-1
 Ta CM đúng với m = n.
Có (ab)
n
= (ab)
n-1
(ab) = a
n-1
b
n-1
(ab) = a
n-1
(b
n-1
b)a =a
n-1
b
n
a. (1)
Như vậy nếu có b
n
a = ab
n
thì từ (1) suy được ra điều phải CM. Ta đi CM điều đó:
Bằng quy nạp theo n:
- Với n =1 ta có ab = ba
- Với m = n-1 giả sử có : a
n-1
b = ba

= a = a
2
b
2

Nhưng: ab = a ≠ ba = b.
Bài 2:
Gọi X là tập thương Z/nZ = {
0
,
1
,...
1−n
} ; ( a ≡ b (modn) . a và b chia
cho n có cùng số dư. Hay : a - b chia hết cho n. ). Với mỗi cặp (
a
,
b
) cho tương
ứng với lớp tương đương
ba +
.
a). CM R có một ánh xạ từ X
2
đến X
b). X là một vị nhóm giao hoán đối với phép toán xác định ở câu a)
c) Nếu với mỗi cặp (
a
,
b

thì: b-b
’
chia hết cho n
Suy ra: (a+b)-(a
’
+b
’
) cũng chia hết cho n hay
ba +
=
''
ba +
Vậy ta có ĐPCM.
b)Ta ký hiệu phép tóan trên là +: X
2
→ X
(
a
,
b
) →
ba +
=
α
Kiểm tra t/c kết hợp: ∀ a , b , c :
3
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
Phần tử không là :
0
.

(Số tiết: 18 = 9 + 9)
MỤC ĐÍCH YÊU CẦU:
Sinh viên nắm vững khái niệm nhóm, biết nhận biết các nhóm . biết chứng
minh các tính chất về nhóm.
Sinh viên có kỹ năng vận dụng lý thuyết giải các bài tập về nhóm.
PHƯƠNG PHÁP:
Thuyết trình - Luyện tập.- Đàm thoại
CHUẨN BỊ: SGK- SBT môn ĐSĐC
NỘI DUNG:
2.1. Nhóm:
2.1.1. Định nghĩa 1: X là nửa nhóm.
∃ e ∈ X: ∀ x ∈ X : ex = x
∀ x ∈ X , ∃ x
'
∈ X : x
'
x = xx
'
= e
Khi ấy X là một nhóm.
 X là nhóm hưu hạn nếu nó có số phần tử là hữu hạn. Số phần tử của X
còn gọi là cấp của nhóm X
 Phép toán trong X là giao hoán thì X gọi là nhóm giao hoán ( aben )
Ví dụ: SGK tr 44
2.1.2. Các tính chất:
1.Trong một nhóm X mỗi phần tử có duy nhất một phần tử đối.
CM: ∀ x ∈ X giả sử có hai phần tử đối xứng là a và b.
Ta có: xa = ax = e , xb = bx = e nên: bxa = be hay ea = b hay a = b.
 Phép toán ký hiệu bằng dấu . phần tử đối xứng của x còn gọi là phần tử nghịch
đảo. Viết x

-1
)
CM:
Ta có: ax = a(a
-1
b) = (aa
-1
) b = eb =b hay x = a
-1
b là nghiệm. Nghiệm này là
duy nhất vì Nếu có c là một nghiệm khác tức: ac = b thì: ax = ac = b thực hiện luật
giản ước ta được: x = c.
5
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
4. X là nhóm: ∀ x , y ∈ X ta có (xy)
-1
= y
-1
x
-1
CM:
(xy)( y
-1
x
-1
) =x(yy
-1
)x
-1
= xex

-1
= x
n
-1
x
-1
n-1
..x
2
-1
x
1
-1
.
 Đặc biệt (a
n
)
-1
= (a
-1
)
n
∀ n ∈ N, n ≠ 0
 Quy ước viết : a
-n
Đặt a
0
= e
CMR: ∀ λ , µ ∈ Z: λ a + µa = (λ + µ )a
µ (λ a) = µ λ a.

xx
’
= x
’’
ex
’
= x
’’
x
’
= e .
Mặt khác: xe = xx
’
x = ex = e
Vây : X là nhóm.
 Sinh viên tự phát biểu và cm cho trường hợp ứng với phần tử đơn vị phải.
6. Một nửa nhóm khác rỗng X là một nhóm khi và chỉ khi:
các phương trình ax =b và ya = b có nghiệm trong X
CM:
→ : đã cm trong t/c 3
Đủ: Do X ≠ φ nên ∃ a ∈ X vì phương trình ya = b có nghiệm nên phương trình
ya = a có nghiệm. Giả sử nghiệm đó là e, ta CM e là phần tử đơn vị trái của X.
Thật vậy: ∀ b ∈ X phương trình ax = b có nghiệm, gọi nghiệm này là c
Ta có: eb = e(ac) = (ea) c = ac = b. hay e là đơn vị trái.
∀ b ∈ X xét phương trình yb = e theo (gt) phương trình này có nghiệm trong X
nên ∃ b
’
sao cho : b
’
b = e

x
hay: x
’
= x
-1
.
Ngược lại nếu A là một bộ phận của X Thoả các điều kiện 1, 2, 3 thì A là một
nhóm ( tính chất 5), do đó là một nhóm con của nhóm X.
 Định lý 1: X là một nhóm; A ⊂ X
1. ∀ x, y ∈ A, xy ∈ A
A là nhóm con của X Khi và chỉ khi 2. e ∈ A, với e là phần tử TLập của X
3. ∀ x ∈ A, x
-1
∈ A
 Hệ quả:
X là một nhóm. A ≠ φ , A ⊂ X các mệnh đề sau là tương đương
a) A là một nhóm con của X a)
b) ∀ x, y ∈ A, xy ∈ A, x
-1
∈ A
c) ∀ x, y ∈ A, xy
-1
∈ A c) b)
CM:
a) → b): theo đ/lý trên.
b) → c) : do x, y ∈ A nên theo b) y
-1
∈ A, và cũng theo b) xy
-1
∈ A

- ∀ x, y ∈ A, nên x , y ∈ A
i
∀ i ∈ I suy ra xy
-1
∈ A
i
∀ i ∈ I ( do A
i
là các nhóm
con ) từ đó xy
-1
∈ A (theo hệ quả đ/l 1). cho đpcm.
* Giả sử U là một bộ phân của một nhóm X thế thì U chứa trong ít nhất một
nhóm con của X ( chẳng hanj chính nhóm con X) theo đ/l 2 giao A của tất cả các
nhóm con của X chứa U cũng là một nhóm con của X chứa U. Đó là nhóm con bé
nhất của X chứa U.
định nghĩa 3:
U ⊂ X, X là một nhóm; A là nhóm con bé nhất của X chứa U .Khi ấy A gọi
là nhóm con sinh ra bởi U.
 Nếu A = X ta nói U là một hệ sinh của X; X được sinh ra bởi U
 Nếu U = {a}, a ∈ X.
Tập hợp A = { a
k
: k ∈ Z }là Nhóm con sinh ra bởi U
Thật vậy:
- Hiển nhiên A ≠ φ , vì a ∈ A
- ∀ x, y ∈ A → x = a
k
; y = a
l

3
= (1 2 ) ; f
4
= (1 3 ) f
5
= (2 3 )
Tìm các nhóm con là xyclic sinh ra bởi : e; f
1
; f
2
; f
3
; f
4;
f
5
.
Giải:
Giả sử A = { f
1
k
: k ∈ Z }
Ta có : f
1
2
= (1 2 3 )(1 2 3 ) = (1 3 2 ) = f
2
f
1
3

trong đó 0 ≤ r < 3. Từ đó suy ra
A = { f
1
k
: k ∈ Z } = {f
1
0
= e ; f
1
1
= f
1
; f
1
2
= f
2
}
( các trường hợp còn lại sinh viên tự CM)
 Ví dụ 2:
Nhóm cộng số nguyên Z là một nhóm xyclic sinh bởi phần tử 1 hoặc -1
(Sinh viên tự CM)
 Giả sử X là một nhóm với phần tử đơn vị e ; a ∈ X. Nếu không có một số
nguyên dương n nào sao cho a
n
= e thì nhóm con sinh bởi phần tử a là vô
hạn, vì a
k
≠ a
l

CM:
-Phản xạ: ∀ x ∈ A , x
-1
x = e ∈ A → x~x
- đối xứng: ∀ x, y ∈ A, x ~ y tức x
-1
y ∈ A. ta có: (x
-1
y)
-1
∈ A hay y
-1
x ∈ A → y~x
-Bắc cầu: ∀ x~y, y~z , tức x
-1
y ∈ A, y
-1
z ∈ A → (x
-1
y)(y
-1
z) = x
-1
z ∈ A → x~z
 Ký hiệu: - với mỗi x ∈ X, ta ký hiệu: x =
}{
yxXy ~:∈
- xA =
{
xa

Giả sử X có cấp n, A là nhóm con của X và có cấp là m.
A = { x
1
, x
2
,….,x
m
} khi ấy ∀ x ∈ X, mọi lớp trái xA có đúng m phần tử dạng:
xx
1
, xx
2
,…., xx
m
. các phần tử này là phân biệt vì nếu xx
1
= xx
2
thì → x
1
= x
2
. Do X
là hữu hạn nên có số các lớp trái xA là hữu hạn. gọi số các lớp trái là l và do các
lớp trái là rời nhau nên n = ml.
 Số l các lớp trái xA gọi là chỉ số của nhóm con A trong X
 Hệ quả 1:
Cấp của một phần tử tuỳ ý của một nhóm hữu hạn X là ước của cấp của X
 Hệ quả 2:
Mọi nhóm hữu hạn có cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic và được sinh ra bởi

Theo hệ quả bổ đề 2 ta có: x
-1
x ∈ A, y
-1
y ∈ A .
Nên (xy)
-1
(x
1
y
1
) = y
-1
(x
-1
x
1
)y
1
= y
-1
(x
-1
x
1
)y(y
-1
y
1
) ∈ A, (vì A là chuẩn tắc nên

-1
= a
’
→ xa = a
’
x ∈ Ax Vậy xA ⊂ Ax
∀ ax ∈ Ax, ( a ∈ A) do A là chuẩn tắc nên: x
-1
ax ∈ A, đặt x
-1
ax = a
’
∈ A ,
ta có: ax = xa
’
∈ xA, vậy Ax ⊂ xA. Do đó: Ax = xA.
Ngược lại:
∀ a ∈ A, ∀ x ∈ X. Ta có: ax ∈ Ax = xA, nên ∃ a
’
∈ A sao cho: ax = xa
’
suy
ra:
x
-1
ax = a
’
∈ A, Vậy A là chuẩn tắc.
Các ví dụ: tr 57 (sinh viên tự đọc 5 phút)
2.2.4. Đồng cấu:

cấu không ? (f
-1
là song ánh. Mặt khác: ∀ y, y
1
∈ Y , đặt x = f
-1
(y) ; x
1
= f
-1
(y
1
). Ta
có: f(x) = y; f(x
1
) = y
1
vì f là một đồng cấu nên: f(xx
1
) = f(x).f(x
1
) = y.y
1
;
do đó: f
-1
(y.y
1
) = xx
1

Định lý 6:
f: X → Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Thế thì:
i) f(e
x
) = e
y
ii) f(x
-1
) = [f(x)]
-1
, ∀ x ∈ X
CM:
11