http://diendantoanhoc.net/home/thpt/%C4%91%E1%BA%A1is%E1%BB%91v%C3%A0l%C6%B0%E1%BB%A3nggi%C3%A1c/349vaibaitoanhayvebdt…
1 / 8
Vài bài toán hay về Bất đẳng thức lượng giác trong
tam giác (phần 2)
III. Định lý STEINER – LENMUS về tam giác cân.
Bài toán: Cho tam giác có . Chứng minh rằng là tam giác cân đỉnh .
Lời giải.
Ta có:
Từ
à
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
2 / 8
Giả thiết phản chứng , khi đó không giảm tổng quát có thể giả sử .
Suy ra:
Ngoài ra ta có: . Vậy suy ra . Điều đó vô lý nên giả thiết phản
chứng là sai.
Do đó: hay là tam giác cân đỉnh (đpcm).
Chú ý:
Jacob Steiner (1796 – 1863) là nhà hình học nổi tiếng người Thuỵ Sĩ. Định lý Steiner –
Lenmus này có đến mấy chục cách chứng minh khác nhau, trong đó cách chứng minh trên
là cách duy nhất sử dụng các kiến thức lượng giác.
Sau đây là hai cách chứng minh “phi lượng giác” đẹp mắt để bạn đọc thưởng thức.
Cách 1: (Tác giả là hai kĩ sư người Anh là G.Jylbert và D.Mac – Donnell). Cách giải này
được coi là đơn giản nhất và được công bố trên tạp chí “American Mathematical Monthly”
năm 1963.
Bổ đề: Trong tam giác , nếu thì đường phân giác lớn hơn đường phân
giác .
Chứng minh bổ đề.

Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
5 / 8
Từ , sau khi biến đổi, đưa được về dạng:
Suy ra: hay là tam giác cân đỉnh .
IV. Bài toán NAPOLÉON
Bài toán: Cho tam giác . Về phía ngoài trên ba cạnh dựng ba tam giác đều. Gọi
là các tam của ba tam giác đều ấy. Chứng minh cũng là tam giác đều.
Lời giải.
Ta có theo định lý hàm số , thì
Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
6 / 8
Hay
Rõ ràng vế phải của là biểu thức đối xứng với , nên ta có
Suy ra là tam giác đều. Ta có điều phải chứng minh.
Chú ý:
Napoléon Bonaparte (1769 – 1821), hoàng đế nổi tiếng của nước Pháp, là một người ham
thích toán; ngay cả lúc cầm quân ở trận mạc, ông vẫn dành những phút giải trí qua việc giải
các bài toán. Napoléon đã nêu ra một số bài toán hay, trong đó có bài toán nói trên.
Dưới đây là cách giải "phi lượng giác" của bài toán trên. (đó chính là cách giải của hoàng
đế Napoléon)
Dựng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác đều dựng trên hai cạnh
. Hai đường tròn này cắt nhau ở và . Hai tứ giác nội tiếp và
có \displaystyle{\widehat{{B^'}} = \widehat{{A^'}} = {60^0}} , do đó , suy ra
, và đường tròn ngoại tiếp tam giác cũng qua .