1

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC BẢNG 3
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT 3
LỜI CẢM ƠN 4
LỜI CAM ĐOAN 5
MỞ ĐẦU 6
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN 11
1.1. Một số nội dung cơ bản về bài toán thiệt hại trong bảo hiểm 11
1.1.1. Bài toán thiệt hại của công ty bảo hiểm 11
1.1.2. Quá trình ñiểm 12
1.1.3. Phân loại bảo hiểm 14
1.2. Quá trình Markov 17
1.2.1. Định nghĩa 17
1.2.2. Xích Markov rời rạc và thuần nhất 19
1.3. Quá trình Martingale với thời gian rời rạc 22
1.3.1. Khái niệm tương thích và dự báo ñược 22
1.3.2. Thời ñiểm Markov và thời ñiểm dừng 23
1.3.3. Kỳ vọng có ñiều kiện 24
1.3.4. Martingale [6] 25
1.3.5. Định lý thời ñiểm dừng chọn ñối với Martingale trên 25
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 27
CHƯƠNG 2. ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO
HIỂM VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC MARKOV 28
2.1. Ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi
suất bằng phương pháp ñệ quy 29
2.1.1. Xét mô hình (2.1) với dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là các
xích Markov thuần nhất 29


DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1. Ước lượng chặn trên của xác suất thiệt hại
(1)
( , , )
i r
u x y
ψ

Bảng 3.1. Xác suất thiệt hại
(1)
( )
t
u
ψ
của mô hình (3.2)
Bảng 3.2. Xác suất thiệt hại
(2)
( )
t
u
ψ
của mô hình (3.3) DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT

hcc: h
ầ

1. PGS. TS Bùi Khởi Đàm
2. TS Nguyễn Hữu Tiến
Đặc biệt PGS. TS Bùi Khởi Đàm, ñã giao ñề tài, tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi
trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Tác giả luận án chân thành cảm ơn lãnh ñạo, các thầy, cô giáo và cán bộ Viện Toán
ứng dụng và Tin học, Viện Sau ñại học – Trường Đại học Bách khoa Hà nội ñã làm
hết sức trách nhiệm, nhiệt tình giúp ñỡ và tạo mọi ñiều kiện thuận lợi cho chúng tôi
trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Tác giả luận án chân thành cảm ơn các ñồng nghiệp ở Khoa Cơ bản – Trường Đại
học Ngoại thương và Nhà trường ñã tạo ñiều kiện giúp ñỡ tôi làm việc và học tập.
Cuối cùng, tác giả luận án xin dành lời cảm ơn ñặc biệt tới gia ñình, người thân và
bạn bè, những người ñã thường xuyên giúp ñỡ, chia sẻ ñộng viên và là chỗ dựa ñể
tôi có thể hoàn thành luận án này!

Phùng Duy Quang

5LỜI CAM ĐOAN Tác giả luận án xin cam ñoan ñây là công trình nghiên cứu của tác giả. Các kết quả
nêu trong luận án này là trung thực và chưa từng ñược các tác giả khác công bố
trong bất kỳ công trình nào. Xác nhận của Tập thể hướng dẫn
Lundberg về ước lượng xác suất thiệt hại với thời gian liên tục, dãy số tiền chi trả
bảo hiểm, cũng như dãy thời gian giữa hai lần ñòi trả liên tiếp, ñều giả thiết là dãy
biến ngẫu nhiên không âm, ñộc lập, cùng phân phối. Có nhiều công trình nghiên
cứu của các nhà toán học có tên tuổi về vấn ñề này như: Asmussen, S. [10],
Buhlma, H. [13], Embrechts, P. [26], Kluppelberg, C. [36], Grandell, J. [30], Hipp,
C. [32], Schmidli, H. [56], Musiela, M. [42], Nyrhinen, H. [44], Paulsel, J. [46],

7

Schmidt, K. D. [55], … Các công trình trên ñều cho ước lượng cận trên cho xác suất
thiệt hại có dạng hàm mũ.
Bên cạnh ñó một loạt công trình sử dụng phương pháp Martingale ñể chứng
minh các công thức ước lượng xác suất thiệt hại cho mô hình rủi ro mở rộng có tác
ñộng của yếu tố lãi suất như: Cai, J .[14], [15], Cai J. and Dickson, D. C. M. [17],
Gaier, J. [29], Kluppelberg, C. and Stadtmuller [36], Konstantinide, D.G. and Tang,
Q. H. and Tsitsiashvili, G. S. [37], Sundt, B. and Teugels, J. L. [58], [59], Tang, Q.
[60], [61], [62], Yang, H. [65], Yang, H. and Zhang, L. H. [66], [67]…Tuy nhiên,
thực tế các sản phẩm bảo hiểm và tái bảo hiểm cũng như ñối tượng tham gia bảo
hiểm ngày càng nhiều và càng phức tạp nên ñòi hỏi các mô hình có cấu trúc phụ
thuộc. Do ñó, ñể phù hợp với thực tế hơn, một hướng nghiên cứu ñã và ñang ñược
nhiều nhà toán học quan tâm, ñó là các mô hình với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc.
Một loạt các công trình có giá trị của các nhà toán học, xét mô hình bảo hiểm với
giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên ñộc
lập, còn dãy lãi suất phụ thuộc theo nghĩa hồi quy hoặc xích Markov như Arbrecher,
H. [7], Cai, J. [14], [15], Dickson, D. C. M. [16], [17], Gerber, H. U. [29], Muller,
A. [41], Promisslow, S.D. [51], Valdez, E. A. [63], Xu, L. and Wang. R. [64], Yang,
H. [65], Yang, H. and Zhang, L. H. [66], …
Các công trình của Bùi Khởi Đàm và Nguyễn Huy Hoàng [1], [2], Nguyễn Huy
Hoàng [3] ñã xây dựng ñược các ước lượng cho xác suất thiệt hại của các mô hình
rủi ro với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm, dãy lãi suất là

}
i
Y
, thời gian
t
nhận
giá trị nguyên dương.
Với những lý do trên, chúng tôi xác ñịnh ñối tượng nghiên cứu của luận án là
một số mô hình toán học ứng dụng trong bảo hiểm, cụ thể là mô hình bảo hiểm rời
rạc có tác ñộng của lãi suất. Luận án tập trung vào các bài toán: ước lượng xác suất
thiệt hại trong mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov thuần
nhất, tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng
của lãi suất. Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược công bố trong các công trình
[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] (xem danh mục các công trình của tác giả luận án).
Luận án ñã thu ñược các kết quả mới sau ñây:
a. Trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất, chúng tôi sử
dụng phương pháp ñệ quy và phương pháp Martingale ñể xây dựng các bất
ñẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại trong trường
hợp: dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov
thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối.
b. Đối với mô hình tổng quát có tác ñộng của lãi suất, mở rộng kết quả của
Hong, N.T.T. [33], luận án ñã xây dựng ñược công thức tính chính xác xác
suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng
của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá
trị dương trong tập hữu hạn, dãy lãi suất nhận giá trị không âm trong tập
hữu hạn. Công thức tính chính xác xác suất thiệt hại ñược xây dựng trong
các trường hợp: dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối, dãy biến ngẫu
nhiên ñộc lập không cùng phân phối, dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc
Markov.
Qua việc hoàn thành luận án, chúng tôi cũng hy vọng ñược góp phần khiêm tốn

học Bách khoa Hà nội.
- Hội thảo khoa học Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại thương
(2010-2014).
- Semina của Phòng Xác suất và thống kê toán, Viện Toán học- Viện
KH & CN Việt Nam

10

Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược ñăng trong các công trình [1], [2], [3], [4],
[5], [6], [7] (xem danh mục các công trình của tác giả luận án).

11CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số nội dung cơ bản về bài toán thiệt
hại trong bảo hiểm, tổng quan về xích Markov thuần nhất, quá trình Martingale.
1.1. Một số nội dung cơ bản về bài toán thiệt hại trong bảo hiểm
1.1.1. Bài toán thiệt hại của công ty bảo hiểm
Giả sử một công ty bảo hiểm phát hành một loại chứng từ bảo hiểm về một
dịch vụ tài chính nào ñó. Khách hàng là người mua chứng từ ñó. Công ty bảo hiểm
với số vốn ban ñầu là
0
u
>
, thu ñượ
c c
ủ

t
, công ty ph
ả
i tr
ả
m
ộ
t s
ố
ti
ề
n b
ả
o hi
ể
m t
ổ
ng
c
ộ
ng là
( )
S t
cho các khách hàng có nhu c
ầ
u
ñ
òi tr
ả
b

ả
i d
ươ
ng thì công ty m
ớ
i có lãi, ng
ượ
c l
ạ
i n
ế
u
( ) 0
U t
<
thì có s
ự
c
ố

“thi
ệ
t h
ạ
i”. Thông th
ườ
ng
ñố
i v
ớ

n ng
ẫ
u nhiên không âm,
ñộ
c l
ậ
p, cùng
phân ph
ố
i, k
ỳ
v
ọ
ng chung h
ữ
u h
ạ
n là
µ
.
B. Kho
ả
ng th
ờ
i gian gi
ữ
a hai l
ầ
n
ñ

ọ
ng h
ữ
u h
ạ
n chung và
ñộ
c
l
ậ
p v
ớ
i dãy
{
}
1
i
i
Y
≥
.
C. S
ố
các yêu c
ầ
u
ñ
òi tr
ả


T t
=
=
∑
.
v
ớ
i quy
ướ
c supØ = 0.
Khi
ñ
ó

12

( )
1
( )
N t
i
i
S t Y
=
=
∑
. (1.2)
Xác su
ấ
t thi

ệ
t h
ạ
i
ñế
n th
ờ
i gian h
ữ
u h
ạ
n
T
ký hi
ệ
u là
( , )
u T
ψ
ñượ
c
ñị
nh ngh
ĩ
a
b
ở
i
{
}

i gian vô h
ạ
n ký hi
ệ
u là
( )
u
ψ

ñượ
c
ñị
nh ngh
ĩ
a b
ở
i

( ) ( , ) ( , )
T
u u lim u T
ψ ψ ψ
→∞
= ∞ =
.
(c) Th
ờ
i
ñ
i


{
}
( ) inf : 0 , ( ) 0 .
T t t T U t
τ
= ≤ ≤ <
(1.4)
Quy
ướ
c: infØ=
.
∞

1.1.2. Quá trình ñiểm
Định nghĩa 1.1.
[5]

Quá trình ng
ẫ
u nhiên
{
}
0
N( t ),t
≥

ñượ
c g
ọ

ñế
n th
ờ
i
ñ
i
ể
m
t
.
V
ậ
y, quá trình
ñ
i
ể
m
N( t )
là quá trình ng
ẫ
u nhiên v
ớ
i th
ờ
i gian liên t
ụ
c, l
ấ
y giá tr
ị

1 2
0
T T
≤ < <
và
.
n
n
lim T
→∞
= +∞

Khi
ñ
ó, có th
ể
vi
ế
t

[
)
1
, , 0
n n
t
n khi t T T n
N
khi t
+


13

trong
ñ
ó
[
)
1
,
1
n n
T T
+
là hàm ch
ỉ
tiêu c
ủ
a t
ậ
p
[
)
1
, .
n n
T T
+

Sau

t là quá trình Poisson thu
ầ
n nh
ấ
t. Khi
ñ
ó các yêu c
ầ
u t
ớ
i theo nh
ữ
ng th
ờ
i
ñ
i
ể
m tuân theo quy lu
ậ
t Poisson.
Định nghĩa 1.2.
[5] Quá trình ng
ẫ
u nhiên liên t
ụ
c
{
}
0

ñộ
c l
ậ
p,
ii) S
ố
bi
ế
n c
ố
x
ả
y ra trong b
ấ
t k
ỳ
kho
ả
ng th
ờ
i gian nào có
ñộ
dài
t
là m
ộ
t bi
ế
n ng
ẫ

n
t
t s s
t
P N N n e n
n
λ
λ
−
+
− = = =

T
ừ

ñ
ó, ta có
( ) .
t
E N t
λ
=

1.1.2.2. Quá trình Poisson không thuần nhất
Định nghĩa 1.3.
[5] Quá trình Poisson không thu
ầ
n nh
ấ
t là quá trình Poisson v

h
ằ
ng s
ố
thì quá trình Poison không thu
ầ
n nh
ấ
t s
ẽ
tr
ở
thành quá trình Poisson thu
ầ
n
nh
ấ
t.
1.1.2.3. Quá trình Poisson phức hợp
Định nghĩa 1.4.
[5] Cho quá trình Poisson
N( t )
v
ớ
i c
ườ
ng
ñộ

0

ñ
ó, quá trình ng
ẫ
u nhiên
Z( t )

ñị
nh ngh
ĩ
a b
ở
i

1 2
1
N ( t )
N ( t ) k
k
Z( t ) Y Y Y Y
=
= + + + =
∑14

ñượ
c g
ọ
i là quá trình Poisson ph

ở
i

[ ]
1
1
k
k
t
k
Z( t ) Y
τ
∞
<
=
=
∑

Trong
ñ
ó,
)0(
21k
<
τ
<
τ
<
τ
là các th

m d
ẫ
n t
ớ
i vi
ệ
c ph
ả
i tr
ả
ti
ề
n b
ả
o
hi
ể
m ra làm ba lo
ạ
i sau:
- lo
ạ
i bình th
ườ
ng,
- lo
ạ
i
ñặ
c bi

là
ñ
uôi c
ủ
a phân ph
ố
i
F
.
Để
mô t
ả
các bi
ế
n c
ố
thu
ộ
c lo
ạ
i bình th
ườ
ng, ng
ườ
i ta dùng các phân ph
ố
i có
ñ
uôi
nh

ế
n c
ố
b
ả
o hi
ể
m ph
ả
i b
ồ
i th
ườ
ng l
ớ
n (lo
ạ
i
ñặ
c bi
ệ
t và tai h
ọ
a)
b
ở
i các phân ph
ố
i
ñ

ả
thi
ế
t sau:
A1. Dãy kho
ả
ng th
ờ
i gian gi
ữ
a hai l
ầ
n
ñ
òi tr
ả
liên ti
ế
p
{
}
1
i
i
t
≥
là dãy bi
ế
n ng
ẫ

i
Y
≥
là dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên không âm,
ñộ
c l
ậ
p, cùng phân
ph
ố
i v
ớ
i hàm phân ph
ố
i xác su
ấ
t
1
F( y ) P( Y y )
= <
sao cho
0 0
F( )
=
và k
ỳ

là
ñộ
c l
ậ
p v
ớ
i nhau.
Khi
ñ
ó, mô hình (1.1)
ñượ
c g
ọ
i là mô hình
ñổ
i m
ớ
i.
Đố
i v
ớ
i mô hình này chúng ta
thu
ñượ
c k
ế
t qu
ả
a hai l
ầ
n
ñ
òi tr
ả

{
}
1
i
i
t
≥

ñượ
c gi
ả
thi
ế
t là dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên không âm,
ñộ
c l
ậ
p, cùng phân
ph

(
)
E U( t ) u ct E N( t ) .
λµ
= + −
(1.6)
Đố
i v
ớ
i mô hình Cramer – Lundberg, chúng ta có k
ế
t qu
ả
n
ổ
i ti
ế
ng v
ề

ướ
c l
ượ
ng
xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ

ỏ
a mãn ph
ươ
ng trình
0
1 1
rx
e ( F( x ))dx ,
c
λ
+∞
− =
∫

và các xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i
ñế
n th
ờ
i gian h
ữ
u h
ạ
n
T

≤
(1.7)
và
Ru
T
( u ) lim ( u,T ) e .
ψ ψ
−
→∞
= ≤
(1.8)
1.1.4.2. Mô hình bảo hiểm với thời gian rời rạc
Trong mô hình b
ả
o hi
ể
m v
ớ
i th
ờ
i gian r
ờ
i r
ạ
c,
ở
m
ỗ
i th
ờ

Y
≥

ñượ
c gi
ả
thi
ế
t là các dãy bi
ế
n ng
ẫ
u

16

nhiên không âm,
ñộ
c l
ậ
p cùng phân ph
ố
i và hai dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên này là
ñộ
c l
ậ

t t
t k k
k k
U u X Y ,
= =
= + −
∑ ∑
(1.9)
trong
ñ
ó,
0
o
U u
= >
,
u
là v
ố
n ban
ñầ
u c
ủ
a công ty b
ả
o hi
ể
m.
Ta ký hi
ệ

nh ngh
ĩ
a b
ở
i

1 1
0
t t
t k k
k k
( u ) P (U ) P ( S u )
ψ
= =
   
= < = >
   
   
∪ ∪

và xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i v
ớ
i th
ờ

s
ử
t
ồ
n t
ạ
i s
ố

0
R
>
th
ỏ
a mãn

(
)
1 1
1
R( Y X )
E e .
−
=

Khi
ñ
ó, xác su
ấ
t thi

i gian r
ờ
i r
ạ
c có tác
ñộ
ng c
ủ
a lãi su
ấ
t,
ở
m
ỗ
i
th
ờ
i k
ỳ
dãy ti
ề
n thu b
ả
o hi
ể
m
{
}
1
i

≥
=
ñượ
c gi
ả
thi
ế
t là các dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên không âm,
ñộ
c l
ậ
p
cùng phân ph
ố
i và ba dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên này là
ñộ
c l
ậ
p v
ớ
i nhau. Khi
ñ

h
ợ
p sau

17

- Trường hợp 1:

ở
m
ỗ
i th
ờ
i k
ỳ

t
(
1
t
≥
), v
ố
n c
ủ
a k
ỳ
tr
ướ
c


ñượ
c xác
ñị
nh nh
ư
sau

1
1 1 2
t t t t t
U U ( I ) X Y ,t , , ,
−
= + + − =
(1.11)

0
o
U u .
= >

- Trường hợp 2:

ở
m
ỗ
i th
ờ
i k
ỳ

ệ
n t
ạ
i c
ũ
ng
ñượ
c tính lãi su
ấ
t là dãy
I
. Khi
ñ
ó, v
ố
n
ở
th
ờ
i k
ỳ

t

ñượ
c xác
ñị
nh nh
ư
sau

ñ
ó, xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i
ñế
n th
ờ
i k
ỳ

t

ñượ
c
ñị
nh ngh
ĩ
a b
ở
i

1
0
t
t k
k

∞
→∞
=
 
= = <
 
 
∪
(1.14)
Bài toán
ướ
c l
ượ
ng xác su
ấ
t thi
ệ
t h
ạ
i
ñ
ã
ñượ
c Sundt, B. và Teugels, T.L. [57], [58]
nghiên c
ứ
u cho tr
ườ
ng h
ợ

ề
u
tác gi
ả
nh
ư
Asmussen, S. [10], Yang, H. and Zhang, L. H. [66],
ñ
ã xét mô hình
(1.11) và (1.12) trong tr
ườ
ng h
ợ
p
ñặ
c bi
ệ
t khi dãy lãi su
ấ
t
{
}
1
n
n
I
≥
là các h
ằ
ng s

≥
là các dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
ñộ
c l
ậ
p ho
ặ
c dãy t
ự
h
ồ
i quy c
ấ
p 1.
1.2. Quá trình Markov
1.2.1. Định nghĩa
Gi
ả
s
ử
(
Ω
,A ,P) là không gian xác su
ấ
t, (E,


s
ử
{
}
,
t
X X t T
= ∈
v
ớ
i

18

T R
⊂
là quá trình ng
ẫ
u nhiên nh
ậ
n giá tr
ị
trong E (E
ñượ
c g
ọ
i là không gian tr
ạ
ng
thái c

X C
−
∈
A
,
C
∀ ∈
B.


Gi
ả
s
ử
tr
ướ
c th
ờ
i
ñ
i
ể
m
s
,
X
ở
tr
ạ
ng thái nào

ể
m
t
trong t
ươ
ng lai
(
)
t s
>
,
X
ở
tr
ạ
ng thái
j

v
ớ
i xác su
ấ
t là bao nhiêu? N
ế
u xác su
ấ
t này ch
ỉ
ph
ụ

}
,
t
X s t
<
là t
ươ
ng lai. Khi
ñ
ó tính Markov
ñượ
c
ñị
nh
ngh
ĩ
a nh
ư
sau
Định nghĩa 1.5
[6]

Quá trình ng
ẫ
u nhiên
{
}
,
t
X X t T

ộ
c v
ề
t
ươ
ng lai, t
ứ
c là bi
ế
n c
ố
thu
ộ
c vào
σ
−
tr
ườ
ng sinh
b
ở
i
{
}
,
t
X s t
<
,
2

,
q
X q s
<
.
Khi
ñ
ó, quá trình ng
ẫ
u nhiên
{
}
,
t
X X t T
= ∈

ñượ
c g
ọ
i là quá trình Markov.
•
Tùy theo t
ậ
p
T
là r
ờ
i r
ạ

c còn
ñượ
c g
ọ
i là xích Markov.
• Để

ñơ
n gi
ả
n tính Markov có th
ể

ñượ
c hi
ể
u nh
ư
sau

19

Quá trình
{
}
,
t
X X t T
= ∈
v

n n
t t t t t
+
< < < < <
⋯
và
0 1
, , , ,
n
i i i j
−
… ∈
E
.
Ta xem
n
t
là hi
ệ
n t
ạ
i,
1
n
t
+
là t
ươ
ng lai,
(

ñ
i
ề
u
ki
ệ
n
ñể
quá trình t
ạ
i th
ờ
i
ñ
i
ể
m
s

ở
tr
ạ
ng thái
i
,
ñế
n th
ờ
i
ñ

u
nhiên
X
.
Định nghĩa 1.6.
[6] Quá trình Markov
{
}
,
t
X X t T
= ∈
có xác su
ấ
t chuy
ể
n ch
ỉ
ph
ụ

thu
ộ
c vào
(
)
t s
−
, t
ứ

…
là xích Markov r
ờ
i r
ạ
c và thu
ầ
n nh
ấ
t, t
ứ
c là :
n
X
Ω →
E
là
bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên nh
ậ
n giá tr
ị
trong t
ậ
p
ñế
m

+ + − −
= = = = = = = =
…ij
p
là xác su
ấ
t có
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
ñể
quá trình t
ạ
i th
ờ
i
ñ
i
ể
m
n
(hi
ệ
n t

c vào
n
(do tính thu
ầ
n nh
ấ
t).

Đặ
t
(
)
ij
P p
=
thì ma tr
ậ
n
(
)
ij
P p
=

ñượ
c g
ọ
i là ma tr
ậ
n xác su


20

thì tính Markov có ngh
ĩ
a là:
(
)
(
)
.
P A B P A BC
=

T
ừ

ñ
ó suy ra
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)

c hi
ệ
n t
ạ
i.
Chú ý r
ằ
ng: t
ừ
công th
ứ
c xác su
ấ
t
ñầ
y
ñủ
suy ra ma tr
ậ
n
(
)
ij
P p
=
có tính
ch
ấ
t
ij

•
Ph
ươ
ng trình Chapman – Kolmogorov
Xác su
ấ
t chuy
ể
n sau
n
b
ướ
c
ñượ
c
ñị
nh ngh
ĩ
a theo công th
ứ
c
{
}
{
}
(n)
ij 0
.
n m m n
p P X j X i P X j X i

chuy
ể
n sang tr
ạ
ng thái
j
.
Rõ ràng
(1)
ij ij
p p
=
. Ta quy
ướ
c
(0)
1
.
0
ij
khi i j
p
khii j
=

=

≠



ñầ
y
ñủ
và tính Markov ta có, v
ớ
i m
ọ
i
0,1,2,
n
=
…

(n+1) ( )
ij
,
n
ik kj
k
p p p
ε
∈
=
∑
(1.15)
(n+1) ( )
ij
.
n
ik kj

p p p
ε
∈
=
∑
(1.17)
Ph
ươ
ng trình (1.15) g
ọ
i là ph
ươ
ng trình ng
ượ
c.
Ph
ươ
ng trình (1.16) g
ọ
i là ph
ươ
ng trình thu
ậ
n.
Ph
ươ
ng trình (1.17) g
ọ
i là ph
ươ

ề
u
Phân ph
ố
i h
ữ
u h
ạ
n chi
ề
u c
ủ
a xích Markov
ñượ
c tính theo
(
)
0 1 1
( )
0 0 1 1 1 1
, , , , . .
o n n
o
n n n n i i i i i
P X i X i X i X i p p p
−
− −
= = = = =
… …


t
(
)
( ) ( )
n n
j
p
Π =
và g
ọ
i
(0)
Π = Π
là phân ph
ố
i ban
ñầ
u c
ủ
a xích Markov.
Ta quy
ướ
c vi
ế
t
(
)
( ) ( )
n n
j

= = = = = = =
∑ ∑

V
ậ
y ta có
( ) ( )
( 1) ( ) (1) ( )
( ) ( ) ( )
,
,
.
n n
n n n
n m n m
P
P P
P
+
+
Π = Π
Π = Π = Π
Π = Π

Xích Markov có phân ph
ố
i ban
ñầ
u
ñượ

22

Nh
ư
v
ậ
y mô hình xác su
ấ
t c
ủ
a m
ộ
t xích Markov r
ờ
i r
ạ
c và thu
ầ
n nh
ấ
t là b
ộ

ba
(
)
, ,
n
X P
Π , trong

1.3. Quá trình Martingale với thời gian rời rạc
1.3.1. Khái niệm tương thích và dự báo ñược
Gi
ả
s
ử
(
Ω
,
A
, P) là không gian xác su
ấ
t,
F
⊂
A

là
σ
- tr
ườ
ng con c
ủ
a
A
và
X
là
bi
ế

X ( B )
−
∈
F
v
ớ
i m
ọ
i t
ậ
p Borel
B
⊂
ℝ
). Tr
ườ
ng h
ợ
p
ñ
ó, ta vi
ế
t:
X
∈
F
.

Ký hi
ệ

⊂
F
.

Cho tr
ướ
c dãy bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
X
=
{
}
n
X ,n ∈
ℕ
. Ký hi
ệ
u
{
}
(
)
n
X ,n
σ
∈
ℕ

i
{
}
(
)
n
X ,n
σ
∈
ℕ
là
σ
- tr
ườ
ng sinh t
ừ

X
=
{
}
n
X ,n ∈
ℕ
.
Đặ
t

{
}

= =
= ={
}
(
)
X
n n m
X ,m n ,n ,
σ σ σ
≥ ≥
= = ≥ ∈
ℕ{
}
(
)
X
n n m
X ,m n ,n .
σ σ σ
> >
= = > ∈
ℕ

Cho dãy

n
,
m n, m,n .
≤ ∀ ∈
ℕ23

Ch
ẳ
ng h
ạ
n,
{
}
n
,n
σ
≤
∈
ℕ
là h
ọ
không gi
ả
m. Ta l
ư
u ý r
ằ

n
,
F
n
,
n
∈
ℕ
} là dãy t
ươ
ng thích
n
ế
u X
n
∈
F
n
v
ớ
i m
ỗ
i
n
∈
ℕ
.
Ta nói r
ằ
ng

i
m
ỗ
i
n
∈
ℕ
.
Rõ ràng, dãy d
ự
báo
ñượ
c là dãy t
ươ
ng thích.
T
ấ
t nhiên, ta luôn có
X
=
{
}
n n
X , ,n
σ
≤
∈
ℕ
là dãy t
ươ

ữ
ng bi
ế
n c
ố
liên
quan t
ớ
i quá kh
ứ
(tr
ướ
c
n
) và hi
ệ
n t
ạ
i (t
ạ
i
n
) c
ủ
a dãy.
1.3.2. Thời ñiểm Markov và thời ñiểm dừng
Ta g
ọ
i (
Ω

u t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t t
ậ
p A
∈
A
sao cho
P(
A
) = 0 và O
⊂
A
).
Ký hi
ệ
u

{
}
{
}
{
}
{
}

F
n
,
n
∈
ℕ
.
Gi
ả
s
ử

:
τ
Ω →
ℕ
là bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên (có th
ể
l
ấ
y giá tr
ị

∞
).
Định nghĩa 1.8.

F
n
,
n
∀ ∈
ℕ
. N
ế
u thêm vào
( ) 1
P
τ
< ∞ =
thì
τ

ñượ
c g
ọ
i là th
ờ
i
ñ
i
ể
m
d
ừ
ng.


.
* Ký hi
ệ
u
F
τ

là l
ớ
p g
ồ
m t
ấ
t c
ả
các t
ậ
p con
A
c
ủ
a
Ω
sao cho
A
∈
F
∞
,


ể
m
τ
.
D
ễ
dàng ch
ứ
ng minh
ñượ
c
F
τ

là

σ
- tr
ườ
ng con c
ủ
a
σ
- tr
ườ
ng
F
.

1.3.3. Kỳ vọng có ñiều kiện

ế
n ng
ẫ
u nhiên. M
ộ
t bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
*
X

ñượ
c g
ọ
i là k
ỳ
v
ọ
ng có
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a
X

.
A A
X dP XdP
=
∫ ∫

Bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên
*
X
này s
ẽ

ñượ
c ký hi
ệ
u là
(
E X
F
)
.
L
ư
u ý r
ằ
ng, n

ñ
ó k
ỳ
v
ọ
ng có
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a
X

ñố
i v
ớ
i
( )
Y
σ
c
ũ
ng
ñượ
c ký hi
ệ
u là

*
Tính chất 1.
[6] N
ế
u
X
ñ
o
ñượ
c
ñố
i v
ớ
i
F
thì

(
E XY
F
)
=
(
XE Y
F
)

*
Tính chất 2.
[6]

v
ớ
i m
ọ
i
,
x y I
∈
và m
ọ
i
[
)
0,1 ,
λ
∈
và n
ế
u
X
là bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên l
ấ
y giá tr
ị
trên
I

, P) là không gian xác su
ấ
t. Dãy
X
= {X
n
,
F
n
,
n
∈
ℕ
}
ñượ
c g
ọ
i là
* martingale trên (
ñố
i v
ớ
i
F
n
,
n
∈
ℕ
), n

ℕE
(
n
X

F
m
)
≤
X
m
(h.c.c).
* martingale d
ướ
i (
ñố
i v
ớ
i
F
n
,
n
∈
ℕ
), n
ế

X

F
m
)
≥
X
m
, (h.c.c).
* martingale (
ñố
i v
ớ
i
F
n
,
n
∈
ℕ
), n
ế
u các
ñ
i
ề
u ki
ệ
n (i) và (ii)
ñượ

[31] N
ế
u {X
n
,
F
n
,
n
∈
ℕ
} là martingale trên và
τ
là th
ờ
i
ñ
i
ể
m d
ừ
ng.
Gi
ả
s
ử
m
ộ
t trong 3
ñ

ố

k
sao cho
1
P( k )
τ
≤ =
,
(ii)
E( )
τ
< +∞
và t
ồ
n t
ạ
i h
ằ
ng s
ố

B

ñể1
n n
E X X