Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình
THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến : “ Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và
bất phương trình”
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Môn toán - THPT
3. Thời gian áp dụng sáng kiến : Từ ngày 5 tháng 9 năm 2010 đến ngày 20 tháng 12
năm 2011
4. Tác giả :
Họ và tên : Vũ Thị Trang
Năm sinh : 1985
Nơi thường trú : Nghĩa Trung – Nghĩa Hưng – Nam Định
Trình độ chuyên môn : Cử nhân Toán
Chức vụ công tác: Giáo viên dạy toán
Nơi làm việc : Trường THPT A Nghĩa Hưng
Địa chỉ liên hệ : Vũ Thị Trang - Trường THPT A Nghĩa Hưng – Nam Định
Điện thoại : 0977768756
5. Đồng tác giả :
Họ và tên :
Năm sinh :
Nơi thường trú :
Trình độ chuyên môn :
Chức vụ công tác:
Nơi làm việc :
Địa chỉ liên hệ :
Điện thoại :
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị : Trường THPT A Nghĩa Hưng
Địa chỉ : Nghĩa Hưng – Nam Định
Điện thoại : 03503871173

Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 1

( )f x
là hàm số đồng biến.
Giả sử phương trình
( ) 0f x
=
có hai nghiệm
1 2 1 2
; ( ).x x x x
<
Nên
1 2
( ) ( ) k.f x f x
= =
Do hàm số
( )f x
là hàm số đồng biến nên từ
1 2 1 2
( ) ( )x x f x f x
< ⇒ <
mâu thuẫn với
1 2
( ) ( ) kf x f x
= =
. Chứng tỏ giả sử sai.
Vậy phương trình nếu có nghiệm sẽ có không quá một nghiệm.
Với trường hợp
( )f x
là hàm số nghịch biến ta chứng minh tương tự.
Tính chất 2: Nếu
( )f x

<

Chứng tỏ giả sử sai.
vậy
( ) ( ), , (a ;b)f u f v u v u v
= ∀ ∈ ⇔ =
Với trường hợp
( )f x
là hàm số nghịch biến ta chứng minh tương tự.
Tính chất 3: Nếu
( )f x
là hàm số đồng biến còn
( )g x
là hàm số nghịch biến trên
( ; )a b
thì phương trình
( ) ( )f x g x=
có nhiều nhất một nghiệm.
Chứng minh
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) 0.f x g x f x g x
= ⇔ − =
Xét hàm số
( ) ( ) ( )h x f x g x
= −
trên
( ; )a b
.
Khi đó
( )h x

3
log (1 2 ) 1 2 3 .
y
y x x
Ta có
⇔ + = + + + ⇔ + = +
3
(6.3) 3 1 2 log (1 2 ) 3 3 . (6.4)
x x y
x x x x y
Xét hàm số
( ) 3
t
f t t
= +
trên R . Có
( )
Rt
t
tf ∈∀>+=
′
013ln.3

Nên hàm số
( )f t
là hàm số đồng biến trên R
Khi đó
⇔ = ⇔ = ⇔ = + ⇔ − − =
3
(6.4) ( ) ( ) log (1 2 ) 3 2 1 0.

α
=
.x
Ta có bảng biến thiên
x
-1/2 0
α
2
+∞
'( )g x

- 0 +
( )g x( )g
α
Từ bảng biến thiên ta thấy nếu
( ) 0g x
=
có nghiệm thì có nhiều nhất 2 nghiệm.
Mặt khác
(0) (1) 0g g
= =
.
Do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
0, 1x x= =
.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2 2

Chứng tỏ (6.5) đúng
x
∀ ∈
¡
.
Giải (6.6):
Nếu
1x
≥ − ⇒
(6.6) luôn đúng
Nếu
2 2 2 2
1 (6.6) 1 ( 1) 1 2 1x x x x x x x x
< − ⇒ ⇔ + + ≥ − − ⇔ + + ≥ + +
Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 4
Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình
0x⇔ ≤
. Kết hợp với
1x
< − ⇒
1.x
< −
Chứng tỏ (6.6) đúng
x∀ ∈¡
.
Vậy phương trình xác định với mọi x.
Phương trình tương đương với
+ − + + = + + + − + + + +
2 2
1 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) (6.7)x x x x x x x x

Khi đó
⇔ = + ⇔ = +
(6.7) ( ) ( 1) 1f x f x x x
(vô nghiệm).
Vậy pt đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 3:Giải pt

5 7 16 14x x x x
+ − + + + + =
.
Giải:
Điều kiên:
≥
5.x
Xét hàm số
( ) 5 7 16f x x x x x
= + − + + + +
trên
≥
5.x
Ta có :
= + + + > ∀ >
− + +
1 1 1 1
'( ) 0, 5.
2 2 5 2 7 2 16
f x x
x x x x
Hàm số
( )f x

= −

2
2
log (3 1)
log (3 1).
y x
y xd

Cộng vế với vế ta được:
− + = − +
2 2
log (3 1) log (3 1) . (6.8)x x y y
Xét hàm số
= − + >
2
1
( ) log (3 1) , .
3
f t t t t

Có
= + > ∀ >
−
3 1
'( ) 1 0, .
(3 1)ln2 3
f t x
t
Hàm số

0
( ; )x
−∞
, đồng biến trên
+∞
0
( ; ).x
Do đó pt
( ) 0g x
=
có không quá 2 nghiệm trên
R
.
Mà
= =
(0) (1) 0.g g
Kết hợp với điều kiện được
1x =
là nghiệm duy nhất của pt đã
cho.
Ví dụ 5: Giải pt:
1
7
7 6log (6 5) 5
x
x
−
= − −
.
Giải:

− − − −
⇒ − = − ⇔ + = +
1 1 1 1
7 7 6 6 7 6 7 6 . (6.17)
y x x y
x y x y
Xét hàm số
1
5
( ) 7 6 ,
6
t
f t t t
−
= + >
. Cã
−
= + > ∀ ∈ +∞
1
5
'( ) 7 ln7 6 0, ( ; ).
6
t
f t t
Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 6
Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình
( )f t
⇒
là hàm số đồng biến trên
+∞

5
( ; )
6
+∞
.
Mà
= − < = − >
1
'(0) ln7 6 0, '(2) 7ln 7 6 0.
7
g g
'( ) 0g x
⇒ =
có duy nhất 1 nghiệm
α
=
.x
Ta có bảng biến thiên

x
5/6 0
α
2
+∞

'( )g x
- 0 +

( )g x


Đặt t =
xx +++ 31
thì 2 ≤ t ≤ 2
2
+ Khi đó pt trở thành:
f(x) =
mt
t
=++− 2
2
2
Lập bảng biến thiên của f(t) với 2 ≤ t ≤ 2
2
Ta có :
222
]22;2[
)(min −=tf

2
]22;2[
)'(max =tf
Vậy pt có nghiệm khi 
2222 ≤≤− m
.
Ví dụ 8: Xác định m để pt sau có nghiệm:

2
1
2
1

( )
2
2
2 ++−=+ tttm

2
2
2
+
++−
=⇔
t
tt
m
.
Đặt
( )
2
2
2
+
++−
=
t
tt
tf
Lập bảng biến thiên của hàm số
( )
tf
trên

′
0 + 0 -
f(t) 1
Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 8
Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình2
-1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với
112 ≤≤− m
thì pt đã cho có nghiệm.
2. Giải bất phương trình
Để giải bất phương trình ta thường sử dụng tính chất: Nếu
( )f x
đồng biến trên
( ; )a b
thì bất pt:
< ∈ ⇔ <
( ) ( ), , ( ; ) .f u f v u v a b u v
Đối với bất pt chứa tham số:
1. Bất pt dạng f(x) ≥ h(m) có nghiệm trên D
<=>
( )
)(max xf
D
mh ≤
2. Bất pt dạng : f(x) ≥ h(m) nghiệm đúng ∀x∈D
<=>
( )

( ĐHAN - 2001 )
Giải:
Điều kiện:
≥
6
.
7
x
Ta có (6.20)
⇔ + + − + + + − − <
2
( 7 7 7 6) ( 7 7 7 6) 182 0x x x x
Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 9
Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình

⇔ + + − − <
7 7 7 6 13 0.x x
(6.21)
Xét hàm số
( ) 7 7 7 6 13f x x x
= + + − −
trên
+∞
6
[ ; ).
7
Có
= + > ∀ >
+ −
7 7 6

2 3 6 1 3 1.x x x x x x
(6.22)
Giải:
Điều kiện:
≤ ≤
1 3.x
Ta có
⇔ − + + − > − + + −
2 2
(6.22) 2 3 1 6 1 3x x x x x x

⇔ − + + − > − + + −
2 2
( 1) 2 1 (3 ) 2 3 .x x x x
(6.23)
Xét hàm số
2
( ) 2f t t t
= + +
trên [0;2].
Có
2
1
'( ) 0 (0;2]
2
2
t
f t t
t
t

Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 10
Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình
Ta có:
( )
[ ]
4;1,0
42
1
12
1
−∈∀>
−
+
+
=
′
x
xx
xf
.
Vậy để bất phương trình có nghiệm thì
[ ]
( )
54)(
4;1
max ==
−
≤ fxfm
.
Ví dụ 12: Tìm điều kiện của m để pt mx

R
Ví dụ 13: Tìm m để ∀x∈ [0; 2] đều là nghiệm của bất pt
5)2
2
(
4
log42
2
2
log ≤+−++− mxxmxx
Giải:
Điều kiện:
)2
2
( mxx +−
≥ 1
Bất pt 
5)2
2
(
4
log42
2
2
log ≤+−++− mxxmxx
Đặt t =
0;5)2
2
(
4

2
(
]2;0[
max
1)2
2
(
]2;0[
min
y

m
m
−≤
−≥−
40
11
(Xem hình bên)
 2 ≤ m ≤ 4 0 2 x
-1
Các bài toán tự giải
Bài 1. Giải phương trình: 4 + 5 = 9
Bài 2. Giải pt: 3 + 5 = -6x + 2;
Bài 3. Giải pt:
x
x
x
=+
55
log

Vũ Thị Trang
Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 12
Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình
CƠ QUAN ĐƠN VỊ
ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
(xác nhận, đánh giá, xếp loại)

(Ký tên, đóng dấu)
(khối phòng GD-ĐT)
PHÒNG GD-ĐT
(xác nhận, đánh giá, xếp loại)
(Ký tên, đóng dấu)
Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 13
Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình
PHỤ LỤC
1. Danh mục sách tham khảo :
+ Sách giáo khoa giải tích lớp 12
+ Sách rèn luyện giải toán giải tích 12 – NXB Giáo Dục
+ Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán giải tích
lớp 12 – NXB – ĐH QG HN
+ Giáo trình đại học - Trường đại học sư phạm

Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 14