SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị : TRƯỜNG THPT TRẤN BIÊN
Mã số : ………………………
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM KHI
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Người thực hiện : VŨ NGỌC HÒA

Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý Giáo dục: 
Phương pháp dạy bộ môn 
Phương pháp giáo dục: 
Lĩnh vực khác ……… 
Có đính kèm:
 Mô hình  Phần mềm Phim ảnh  Hiện vật khác
Năm học : 2011 – 2012
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT TRẤN BIÊN
Mã số : ………………………
SẢN PHẨM
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM KHI
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Người thực hiện : VŨ NGỌC HÒA
Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý giáo dục: 
Phương pháp dạy bộ môn 
Phương pháp giáo dục: 
Lĩnh vực khác ……… 
Có đính kèm:
 Mô hình  Phần mềm Phim ảnh  Hiện vật khác

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM KHI
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Họ và tên tác giả: VŨ NGỌC HÒA Đơn vị (tổ) : Toán
Lĩnh vực :
Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học bộ môn 
Phương pháp giáo dục  Lĩnh vực khác …………………………. 
1. Tính mới
− Có giải pháp hoàn toàn mới 
− Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có 
2. Hiệu quả
− Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả 
− Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng
trong toàn ngành có hiệu quả cao 
− Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 
− Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại
đơn vị có hiệu quả 
3.
4. Khả năng áp dụng :
− Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Tốt  Khá  Đạt 
− Đưa ra các giải pháp kiến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ
đi vào cuộc sống: Tốt  Khá  Đạt 
− Đã được áp dụng thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong
phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt 
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)
Cho hàm số
y f x( )=
có đạo hàm trên D.
• Nếu
( )
f x x D' 0, "³ Î
thì hàm số
f x( )
đồng biến (tăng) trên D.
• Nếu
( )
f x x D' 0, "£ Î
thì hàm số
f x( )
nghịch biến (giảm) trên D.
(Dấu “=” chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn trên D)
• Nếu hàm
( )
f x
tăng (hoặc giảm) trên khoảng
( )
;a b
thì phương trình
( ) ( )
f x k k ¡= Î
có
không quá một nghiệm trong khoảng (a;b).
• Nếu hàm
( )
f x

• Nếu hàm
( )
f x
tăng và
( )
g x
là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng
( )
;a b
thì phương trình
( ) ( )
f x g x=
có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng
( )
;a b
• Nếu hàm số
( )
f x
liên tục trên
a b;
é ù
ê ú
ë û
và
( ) ( )
f a f b. 0<
thì tồn tại ít nhất một điểm
( )
x a b
0

.
Nu
( )
f x
l hm s ng bin thỡ
n
y f x n N n( ), , 2= ẻ
ng bin ,
f x
1
( )

(vi
( )
f x 0)>

l nghch bin ,
( )
y f x= -
nghch bin
Tng cỏc hm ng bin trờn D l ng bin trờn D.
2. Gii phng trỡnh, bt phng trỡnh (khụng cha tham s)
T cỏc tớnh cht trờn ta cú 3 phng ỏn bin i nh sau:
Phng ỏn 1 :
Bin i phng trỡnh v dng:
( )
f x k=
, nhm mt nghim
Chng minh
( )f x

(1)
Nhn xột:
Quan sỏt v trỏi ca phng trỡnh (1), ta thy khi
x
tng thỡ giỏ tr ca biu thc trong cn cng
tng . T ú suy ra v trỏi l hm ng bin ,v phi bng 1 l hm hng, õy l iu kin thớch hp
s dng tớnh n iu.
Gii
iu kin:
x
1
2

.
t
( )
f x x x
2
4 1 4 1= - + -
. Ta cú
( )
x
f x x
x
x
'
2
2 4 1
0, ;
2

ữ
ờ
ữ
ứ
ở
, nờn phng trỡnh
( )
f x 1=
nu
cú nghim thỡ ú l nghim duy nht. Hn na,
f
1
1
2
ổử
ữ
ỗ
ữ
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
nờn
x
1
2
=

M
f (9) 14=
nờn
x 9=
l nghim duy nht ca phng trỡnh.
Vớ d 3: Gii phng trỡnh sau:
x x x
3 3 3
2 1 2 2 2 3 0+ + + + + =
(1)
Gii
t
f x x x x
3 3 3
( ) 2 1 2 2 2 3= + + + + +
Ta cú:
Do ú hm s
( )
f x
ng
bin.
M
( )
x
f f f f x
3 3
3 1
1 2; 1 0; 1 2; lim ( )
2 2
Ơđ

3
( ) 5 1 2 1= - + - +

Ta cú
( )
x
f x x
x x
2
3 2
3
15 2
1 0,
2 5 1 3 (2 1)
Â
= + + > "
- -
3
1
( ; )
5
+ Ơẻ

Suy ra hm s
f
ng bin trờn
3
1
;
5

2 4
4 0 4 0
ỡ ỡ
ù ù
+ + + + - +
ù ù
ù ù
- Ê Ê
ớ ớ
ù ù
- -
ù ù
ù ù
ợ ợ
Khi ú, (1)
x x x x
3 2
2 3 6 16 4 2 3+ + + - - =
Xột hm s
( )
f x x x x x
3 2
2 3 6 16 4= + + + - -
trờn
2;4
ộ ự
-
ờ ỳ
ở ỷ
Ta cú

f 1 2 3=
nờn
x 1=
l nghim duy nht ca phng trỡnh.
Vớ d 6: Gii phng trỡnh
( ) ( ) ( ) ( )
x x x x x x2 2 1 3 6 4 6 2 1 3 2+ - - + = - + - + +
Gii
iu kin:
x
1
2

Phng trỡnh c vit li
( ) ( )
x x x2 1 3 2 6 4- - + + + =
Phng trỡnh cú nghim thỡ
x x2 1 3 0 5- - > >
.
2
3
,1,
2
1
;0
)32(
2
)22(
2
)12(

2 1 2 2 2 6
 Â
= > " > = + > " >
- + +
.
Do ú hm s
( ) ( )
g x x h x x x2 1 3 ; 2 6= - - = + + +
dng v cựng ng bin trờn
( )
5;+ Ơ
.Suy ra
( ) ( ) ( )
f x g x h x=
ng bin trờn
( )
5;+ Ơ
.
M
( )
f 7 4=
nờn
x 7=
l nghim duy nht ca phng trỡnh.
Vớ d 7 : Gii phng trỡnh
x x x
5 3
1 3 4 0+ - - + =

Gii

3
2 1 3
= + + > " <
-
.
Do ú hm s
( )
f x x x x
5 3
1 3 4= + - - +
ng bin trờn
1
;
3
ổ ự
ỗ
ỳ
- Ơ
ỗ
ỗ
ỳ
ỗ
ố
ỷ
. M
( )
f 1 0- =

Vy
x 1= -

= + + + > " ẻ
+
.
Do ú hm s ng bin trờn
Ă
.
T (1)
( ) ( )
f x f x x x x
1
2 1 3 2 1 3
5
+ = - + = - = -
.
Vy phng trỡnh cú nghim duy nht l
x
1
5
= -
.
Vớ d 9: Gii phng trỡnh
x x x
2 2
15 3 2 8+ = - + +
Gii
Nhn xột:
x x x Ă
2 2
15 8,+ > + " ẻ
nờn khi

.
Ta cú
f x x x
x x
'
2 2
1 1 2
( ) 3 0,
3
15 8
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
= - - < " >
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+ +
.
Do ú hm s
( )
f x x x x
2 2
15 8 3 2= + - + - +

- -
- + = -
(1)
Gii
( ) ( )
x x x x x x
x x x x x
2 2
1 2 1 2
1 2 2 2 1 2 1 2 2
- - - -
- + = - + + - = + -
Xột hm s
( )
t
f t t2 .= +
Khi ú phng trỡnh (2) chớnh l phng trỡnh
( )
( )
f x f x x
2
1- = -
.
Ta cú
( )
t
f t t Ă1 2 ln 2 0,
Â
= + > " ẻ
nờn hm s

- +
.
Gii
t
( )
u x x v x x u v v u x x
2 2 2
1; 2 2 3 0; 0 3 2= + + = - + > > - = - +ị
.
Khi ú phng trỡnh ó cho tr thnh
u
v u u u v v
v
3 3 3
log log log= - + = +
(1)
Xột hm s
( )
f t t t
3
log= +
ta cú
( )
f t t
t
1
1 0, 0
ln 3
Â
= + > " >

x x
7 3
log log 2= +
(1)
Gii
iu kin:
x 0>
t
t
t x x
7
log 7= =
Khi ú (1)
( )
t
t
t t t
t
3
1 7
log 2 7 3 2 7 1 2
3 3
ổ ử
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ữ
= +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ố ứ
ỗ
ố ứ
Hm s ny l tng ca hai hm n iu gim nờn l hm n
iu gim. Hn na
( )
f 2 1=
nờn (2)
( ) ( )
f t f t x2 2 49= = =
.
Vớ d 13: Gii phng trỡnh :
x x x x x x
3 2 3 2
3 3
2 2 3 1 3 1 2- + - + = + + +

3 2
2 3 1 2- + = +Û
x x x x x x
3 2 3 2
2 3 1 2 2 3 1 0- + = + - - - =Û Û
( )
( )
x
x x x
x
2
1
2
2 1 1 0
1 5
2
é
ê
= -
ê
+ - - =Û Û
ê
ê
±
=
ê
ê
ë
.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

¡
.
Ta có
( )
( )
{ }
f t t
t
t
¡
3
2 2
3
1 1
0, \ 0; 1
3
3 1
¢
= + > " -Î
+
Suy ra hàm số đồng biến.
Từ (*)
( )
( )
x
f x f x x x x x
x
2 2 2
1
1 2 2 1 2 1 0

( )
f t t t
3
= +
trên
¡
. Ta có
( )
f t t t ¡
2
3 1 0,
¢
= + > " Î
. Suy ra
( )
f t t t
3
= +
đồng
biến trên
¡
.
Từ (*)
( )
( ) ( )
( )
f x f x x x x x x x x
3 2
3 3
6 5 6 5 6 5 0 1 5 0+ = + = - - = + - - =Û Û Û Û

Giải
Điều kiện:
x 5£
Ta có
( )
( )
( )
( )
x x x x x x
2 2
8x 2 6 5 0 8x 2 6 5+ + - - = + = - -Û

( )
( )
x x x x
2
2
2 1 2 5 1 5
é ù
é ù
ê ú
+ = - + -Û
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
ë û
.(*)
Xột hm s
( )

2 5 2 5 1
4 5 0
ỡ
ù
Ê Ê
ù
ù
= - = - =
ớ
ù
+ - =
ù
ù
ợ
Vy nghim ca phng trỡnh l
x 1=
.
Vớ d 17: : Gii phng trỡnh :
x x x x
3
2
(sin 2)(sin sin 1) 3 3 sin 1 1- - + = - +
Gii
Phng trỡnh c vit li
x x x x
3
3
(sin 1) (3 sin 1) (3 sin 1) 3 3 sin 1- + - = - + -
(1)
Xột hm

. Ta cú
( )
f x x
x
1
1 0, 0
Â
= + > " >
nờn hm s
( )
f x x xln= +
ng bin trờn
( )
0;+ Ơ
.
Mt khỏc
( )
f 1 1=
. Do ú bt phng trỡnh
( ) ( )
x x f x f xln 1 1 1+ ÊÊÊ
Kt hp vi iu kin
x 0>
ta c nghim ca bt phng trỡnh ó cho l
x0 1< Ê
.
Vớ d 19: Gii bt phng trỡnh
x x
4
4

= + > " -ẻ
+ -
. Suy ra hm s
( )
f x x x
4
4
15 2= + - -
ng bin trờn
15;2
ộ ự
-
ờ ỳ
ở ỷ
.
M
( )
f 1 1=
nờn bt phng trỡnh
( ) ( )
x x f x f x
4
4
15 2 1 1 1+ - - > > >
Kt hp vi iu kin
x15 2- ÊÊ
thỡ nghim ca bt phng trỡnh ó cho l
x1 2< Ê
.
Vớ d 20: Gii bt phng trỡnh:

ỗ ỗ
ữ ữ
< + < + < +
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
(*)
Xột hm s
( )
t t
f t
1 2
3 .
5 5
ổử ổử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
= +
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ

Hm s ny l tng ca hai hm n iu gim nờn l hm n iu gim.

x x x x x x
2
7 7 7 6 7 7 7 6 182 0 7 7 7 6 13 0+ + - + + + - - < + + - - <
Xột hm s
( )
f x x x7 7 7 6 13= + + - -
trờn
6
;
7
ộ ử
ữ
ờ
ữ
+ Ơ
ữ
ờ
ữ
ứ
ở
.
Do
( )
f x
x x
7 7
0
2 7 7 2 7 6
Â
= + >

ữ
ứ
ở
.
M
( )
f 6 0=
nờn
( ) ( )
x x f x f x7 7 7 6 13 0 6 6+ + - - < < <
.
Kt hp vi iu kin
x
6
7

ta c nghim ca bt phng trỡnh ó cho l
x
6
6
7
<Ê
.
Qua cỏc vớ d v gii phng trỡnh v bt phng trỡnh trờn thỡ ta thy cỏch gii dựng tớnh n iu
ca hm s hay v t nhiờn
Bi tp rốn luyn
Gii cỏc phng trỡnh, bt phng trỡnh sau:
1.
x x5 2 3 9+ + + Ê
2.

3
6 1 8 4 1+ = - -
x x
x x
x x
2
2
2
2
3 5
10. log 2
2 2 3
+ +
< - -
+ +
3. Gii phng trỡnh, bt phng trỡnh khụng cha tham s
KIN THC CN NH
Cho hm s
( )
y f x=
liờn tc trờn tp
D
1. Phng trỡnh cú nghim
2. Bt phng trỡnh cú nghim
3. Bt phng trỡnh cú nghim ỳng vi
4. Bt phng trỡnh cú nghim
5. Bt phng trỡnh cú nghim ỳng vi
PHNG PHP GII
gii bi toỏn tỡm giỏ tr ca tham s m sao cho phng trỡnh, bt phng trỡnh, h phng trỡnh cú
nghim ta lm nh sau:

( )
x
j
l hm s thớch hp cú mt trong
( )
f x
)
+ T iu kin rng buc ca
x Dẻ
ta tỡm iu kin
t Kẻ
+ Ta a PT, BPT v dng
( ) ( )
f t h m=
( hoc
( ) ( ) ( ) ( )
f t h m f t h m; Ê
)
+ Lp bng bin thiờn ca hm s
( )
y f t=
trờn
K
+ T bng bin thiờn ta suy ra kt lun ca bi toỏn
MT S V D MINH HA
Vớ d 1. Tỡm m phng trỡnh
x mx x
2
2 2 1+ + = +
cú 2 nghim thc phõn bit

+ + = +
ù ù
= + -
ù
ợ
ù
ù
ợ
Xột phng trỡnh
mx x x
2
3 4 1 (*)= + -
Do
x x0 0. 1= = -ị
, phng trỡnh ny vụ nghim. Ngha l khụng cú giỏ tr no ca m
phng trỡnh cú nghim
x 0=
+
x x m
x
1
0 3 4+ - =ạ ị
. Ta xột hm s
( )
f x x
x
1
3 4= + -
trờn tp
{ }

" - + Ơẻ
ữ
ờ
ữ
ứ
ở
,
suy ra hm s
( )
f x x
x
1
3 4= + -
ng bin trờn
{ }
1
; \ 0
2
ộ ử
ữ
ờ
ữ
- + Ơ
ữ
ờ
ữ
ứ
ở
( )
x

đ đ
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= + - = + Ơ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
( )
f x m=
x Dẻ
( ) ( )
D D
f x m f xmin max Ê Ê
( )
f x mÊ
x Dẻ
( )
D
f x mmin Ê
( )
f x mÊ
x Dẻ
( )
D
f x mmax Ê

Ta cú bng bin thiờn ca hm s
( )
f x
S nghim ca phng trỡnh (1) bng s giao im ca th hm s
( )
f x x
x
1
3 4= + -
v ng
thng
y m=
trờn min
{ }
1
; \ 0
2
ộ ử
ữ
ờ
ữ
- + Ơ
ữ
ờ
ữ
ứ
ở
Da vo bng bin thiờn ta c giỏ tr ca m tha món yờu cu bi toỏn l
m
9

Ta cú
x
t t x
x x
2
1
' , ' 0 1
2 2
-
= = =
- +
Ta cú bng bin thiờn :
T ú ta cú
t1 2Ê Ê
, t (*) suy ra
t
m
t
2
2
1
-
Ê
+
(1)
Xột hm s
( )
t
f t
t

ờ ỳ
ở ỷ
Ta cú bng bin thiờn ca hm s
( )
f t
Bất phương trình đã cho có nghiệm
x 0;1 3
é ù
+Î
ê ú
ë û
Û
bất phương trình
( )
1
có nghiệm
t 1;2
é ù
Î
ê ú
ë û
( ) ( )
m f t f
1;2
2
max 2
3
é ù
ê ú
ë û

3 1
4 2
1 1
' 2 .2 2 .2
4 2
- -
= + +

( ) ( ) ( ) ( )
x x
3 1
4 2
1 1
2. 6 . 1 2. 6 . 1
4 2
- -
- - + - -

( ) ( )
x x
x x
3 3
4 4
1 1 1 1 1 1
. .
2 2
2 6
2 6
= + - -
-

÷
÷
ç
ç
÷
è ø
-
ç
÷
-
÷
ç
è ø

( )
( )
( )
x x
x x
x x
4 4
2 2
4
4 4
1 1 1 1 1 1
.
2
2 6
2 6
2 6

ç
è ø
x x x x
4 4 4 4
1 1 1 1
2 6 2 6
æ öæ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
+ - +
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è øè ø
- -
( )
( )
( )
x x x x
x x
x x
4 4 4 4
2 2
4
4 4
1 1 1 1 1 1 1 1
2

ê ú
- -
-
ç
÷
-
÷
ç
ê ú
è ø
ë û
Ta có
( )
( )
( )
x x
x x
x x
4 4
2 2
4
4 4
1 1 1 1 1 1
0
2
2 6
2 6
2 6
æ ö
÷

với
( )
x 0; 6" Î
( )
f x x x x x x
4 4
' 0 2 6 2 6 2= = - = - =Û Û Û
Ta có bảng biến thiên
S nghim ca phng trỡnh ó cho bng s giao im ca th hm s
( )
y f x=
v ng thng
y m=
trờn min
0;6
ộ ự
ờ ỳ
ở ỷ
Da vo bng bin thiờn ta c giỏ tr ca m tha món yờu cu bi toỏn
m
4
2 6 2 6 3 2 6+ < +Ê
Vớ d 4. Chng minh rng vi mi giỏ tr dng ca tham s m, phng trỡnh
( )
x x m x
2
2 8 2+ - = -
cú 2 nghim thc phõn bit:
Gii
iu kin: do

luụn cú mt nghim thc
x 2>
khi
m 0>
Xột hm s
( ) ( ) ( )
f x x x x x
2
3 2
2 4 6 32= - + = + -
trờn
( )
2;+ Ơ
Ta cú
( )
f x x x
2
' 3 12 0= + >
vi
x 2" >
( )
x x
f x x
x
x
3
3
6 32
lim lim 1
+ Ơ + Ơđ đ

x x x x m
2 2
2 4 2 4+ + - - + =
cú nghim thc
Gii
Vỡ
( )
x x x x Ă
2
2
2 4 1 3 3 0, + = + > " ẻ
nờn
TX:
D Ă=
Xột hm s
( )
f x x x x x
2 2
2 4 2 4= + + - - +
trờn
Ă
Ta cú:
( )
x x
f x
x x x x
2 2
1 1
'
2 4 2 4

x x x x x x x x
4 3 2 3 2 2
2 4 2 4 8 2 4+ + - - - + + +
x 0=
Thay
x 0=
vo phng trỡnh (*) c: 1 = - 1. Vy phng trỡnh (*) vụ nghim.
Suy ra
( )
f x'
ch mang 1 du (khụng i du), cú
( )
f ' 0 1 0= >
( )
f x x Ă' 0,> "ĩ ẻ
Ta cú
( )
( )
x x
f x x x x x
2 2
lim lim 2 4 2 4
+ Ơ + Ơđ đ
= + + - - +
x
x
x x x x
2 2
4
lim

lim
2 4 2 4
- Ơđ
=
+ + + - +

x
x x
x x
2 2
4
lim
2 4 2 4
1 1
- Ơđ
=
- + + - - +
2= -
Ta cú bng bin thiờn ca hm s
( )
f x
S nghim ca phng trỡnh ó cho bng s giao im ca th hm s
( )
y f x=
v ng thng
y m=
trờn
Ă
Da vo bng bin thiờn ta suy ra phng trỡnh cú nghim
m2 2- < <

3 15 0- - -
cú nghim
x 1;4
ộ ự
-ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
x x x m m
3 2
3 15- +
cú nghim
x 1;4
ộ ự
-ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
t
( )
x x khi x
f x x x x
x x khi x
3 2
3
3 2
3 1 0
3
3 0 4
ỡ
ù
+ - <Ê

ù
ợ

( )
f x x x' 0 0; 2= = =
Ta cú bng bin thiờn :
( )
f x m m
2
15+
cú nghim
x 1;4
ộ ự
-ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
( )
f x m m
2
1;4
max 15
ộ ự
-
ờ ỳ
ở ỷ
+
m m
2
16 15+
m m m

,
t2 2- ÊÊ
Khi ú:
( )
t x x t x x
2
2
sin cos sin cos= + = +ị
t
x x
2
1
sin . cos
2
-
=ị
Phng trỡnh tr thnh:
t
t m t t m
2
3
1 1 3
1
2 2 2
ổ ử
-
ữ
ỗ
ữ
- = - + =

t t
2
3 3
0 1
2 2
- + = =
Ta cú bng bin thiờn:
S nghim ca phng trỡnh ó cho bng s giao im ca th hm s
( )
y f t=
v ng thng
y m=
trờn
2; 2
ộ ự
-
ờ ỳ
ở ỷ
Da vo bng bin thiờn ta suy ra phng trỡnh cú nghim
m1 1- Ê Ê
Vớ d 8: Tỡm m bt phng trỡnh
mx x m3 1- - +Ê
cú nghim thc
Gii
t
t x 3 0= -
x t
2
3= +ị
.

trờn
( )
0;+ Ơ
Ta có:
( )
( )
t t
f t
t
2
2
2
2 2
'
2
- - +
=
+
,
( )
f t t t t
2
' 0 2 2 0 1 3= - - + = = - ±Û Û
( )
x x
t
f t
t
t
1

x1 8- ££
Đặt
t x x1 8= + + -
Ta có:
t
x x
1 1
'
2 1 2 8
= -
+ -
với
x1 8- < <

t ' 0= Û
x x
1 1
0
2 1 2 8
- =
+ -
x x1 8+ = -Û
x x x
7
1 8
2
+ = - =Û Û
Ta có bảng biến thiên:
( )
f t

- + =Û
+ +
x
t
x
4
1
1
-
=
+
t t m
2
3 2- + =
x 1³
t 0Þ ³
t
x
4
2
1 1
1
= - <
+
t0 1<£
( )
f t t t
2
3 2= - +
)

2
2
1 8 1 8= + + - = + + -ị
( ) ( )
t
x x
2
9
1 8
2
-
+ - =ị
,
Phng trỡnh ó cho tr tnh:
t
t m
2
9
2
-
+ =
t t m
2
2 9 2+ - =
Xột hm s
( )
f t t t
2
2 9= + -
trờn tp

2
+
+ Ê Ê Ê Ê
CC BI TP TNG T
1. Tỡm m h phng trỡnh
x y
x y
x y m
x y
3 3
3 3
1 1
5
1 1
15 10
ỡ
ù
ù
+ + + =
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
+ + + = -
ù
ù
ù
ợ

sin cos . sin 2+ =
cú nghim thc
7. Tỡm m phng trỡnh
x x m xcos 3 - cos 2 cos - 1 0+ =
cú ỳng 7 nghim thuc
;2
2
p
p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
-
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
8. Tìm m để phương trình
x x m x
4 4
1
sin cos sin 2
2
+ = -
có đúng 2 nghiệm
x ;
12 2