1
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm, ĐắcLắc Giáo viên: Lê Văn Tiến

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Chuyên đề ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Phần: Hàm số đơn điệu

I. PHƯƠNG PHÁP TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
1) Tính đạo hàm y’ = f’(x)
2) Tìm nghiệm của f’(x) hoặc các điểm tại đó f’(x) không xác đònh.
3) Lập bảng xét dấu f’(x) (bảng biến thiên) để kết luận.
BÀI TẬP:
1) Tìm khoảng đồng biến, nghòch biến của các hàm số sau:
a) y = x
3
– x +1 b) y = - x
3
– 3x + 5 c) y = x
4
– 2x
2
+ 3
d) y =
x1
13x
−
+
e) y =
1

=
+
l)
3
2
6
x
y
x
=
−

m) y = x – sinx n) y = x + 2cosx, x
5
;
6 6
π π
 
∈
 
 
o) y =
3 2
6x x−
2) Xác đònh m để hàm số y = (m – 3)x - sinx nghòch biến trên
ℝ

HD:
Hàm số nghòch biến trên
ℝ

1
; x
2
thỏa mãn x
1

≤
0
≤
3
≤
x
2
⇔
1f(0) 0 m -3 0
12
m
1f(3) 0 12 - 7m 0
7
− ≤ − ≤
 
⇔ ⇔ ≥
 
− ≤ ≤
 

4) Tçm m âãø hm säú y = -
3
1
mx

m -
' 0
2 2
4m 8m + 1 0
− >


+
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤
 
∆ ≤
+ ≤



5)
Tçm m âãø y =
1x
mx3x2
2
−
+−
âäưng biãún trãn (3, +∞). HD: Ta có y = 2x -1 +
m 1
x 1
−
−

Hàm số đồng biến trên khoảng (3; +∞)
⇔

II. p dụng tính đơn điệu giải toán:
1) Chứng minh BĐT f(x) > g(x) trên khoảng (a; b)
Phương pháp
:
Ta xét hàm h(x) = f(x) – g(x) trên (a; b)
- Nếu hàm h(x) đồng biến trên (a; b) thì h(x) > h(a) với mọi x thuộc khoảng (a; b)
- Nếu hàm h(x) nghòch biến trên (a; b) thì h(x) > h(b) với mọi x thuộc khoảng (a; b)
Bài tập:
Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2
1)

tgx > sinx, 0 < x <
2
π
. HD: Xét hàm số f(x) = tgx – sinx trên khoảng (0;
2
π
).
Có f’(x) =
2
1
cos
cos
x
x
− > 0
⇒

∞

4)

x
α
- 1 >
α
(x – 1) với
α
≥
2, x > 1. HD: Xét hàm số f(x) =
x
α
-
α
(x – 1) – 1 trên (1; +
)
∞

5)

x -
6
x
3
< sinx
với x > 0, HD: Xét hàm số f(x) = x -
6
x

- Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghòch biến) thì ta có:
1)

f(x
1
) = f(x
2
)
⇔
x
1
= x
22)

f(x
1
) < f(x
2
) ( hoặc f(x
1
) > f(x
2
) )
⇔
x
1
< x

 
. Xét hàm số f(x) =
3 1
2 2
x
x
 
 
+
 
 
 
 
 
là hàm NB trên
ℝ

Có f(2) = 1
( ) (2) 2. Tập nghiệm bpt T = (- ; 2)f x f x⇒
>
⇒
< ∞

2)

2
x
= 6 – x. HD: Xét hai hàm số
( ) 2
( ) 6

x = 2 là nghiệm duy nhất⇒

2 2
2
2
2
1 1 1
2x y : Xét pt 2x 2 1.Tương tự: ta có y 1. Xét hàm số f(t) = t + .
y t
3)
1 1
2y x '( ) 0 1, [1; )
x
HD y x
y
t
có f t t nên hàm số đồng biến trên
t

= + = + ≥ ⇒ ≥ ≥



−

= + = ≥ ∀ ≥ +∞



Nếu x > y thì f(x) > f(y)

π
⇔5)
, ; (0; )
2
tgx tgy x y
x y
tgx tgy
π
− = −

∈

+ =

. HD: Xét f(t) = tgt – t.
6) Chứng minh rằng phương trình x
3
-3x + c = 0 không thể có hai nghiệm trong đoạn [0; 1]
3) p dụng đònh lí Lagrange:
Hàm f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b)

thì tồn tại một số c
∈
(a; b) sao cho
( ) ( )
'( )
f b f a

π

3)
Hãy tìm trên đồ thò hàm số
f(x) = x
3
– x
những điểm tại đó tiếp tuyến song song với dây cung nối các
điểm có hoành độ là 10 và 12. HD: Áp dụng ĐLí Lagrăng ta có 3
f f
f c với c ĐS c
−
= ∈ =
−
(12) (10) 364
'( ), (10; 12). :
12 10 3

Phần: Cực trò hàm số

I. PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ SỐ y= f(x)
Cách 1:
- Tìm TXĐ của hàm số và tính y’. Tìm các điểm x
0
mà y’bằng 0 hoặc không xác đònh.
- Lập bảng biến thiên - Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x
0

+ 2x
2
– 3 ; c) y = x +
x
1
; d) y = x
3
(1 – x)
2
;
e) y =
2
2 3
1
x x
y
x
− +
=
−
; f)
3
2
2 3y x
= +
; g)
3
(7 ) 5y x x
= − +
; h)

3
1
x
3
+ mx
2
+ (m + 6)x - (2m + 1)
cọ cực đại, cực tiểu.

2) Tçm m âãø hm säú y = x
3
- 3mx
2
- (m - 1)x + 2 âảt cỉûc tiãøu tải x = 2.
HD:
HS đạt CT tại
2
,
(2)
,,
(2)
0
1
0
y
m
y

=


2

mà |x
1
- x
2
| = 2. Tổng hai số đó là:
A.
-5
B.
-14
C.
-7
D.
7
2.
Điểm cực tiểu của hàm số
2
ln x
y
x
=
là:
A.
2
1
e
B.
1
e

có hai điểm cực trò nằm trên đường thẳng y = ax + b ta có a.b bằng:
A.
-2
B.
-8
C.
-6
D.
5
5.
Biết rằng đồ thò hàm số
2
x 2x m 3
y
x m
− + +
=
+
có một điểm cực trò thuộc đt y = x + 1, điểm cực trò còn lại là:
A.
3
B.
2
C.
4
D.
1 4

gần nhất với số nào dưới đây:
A.
0,7
B.
0,6
C.
0,8
D.
0,5
8.
Có bao nhiêu giá trò nguyên của m để hàm số y = mln(x + 2) + x
2
- x có hai điểm cực trò trái dấu
A.
3
B.
2
C.
Không tồn tại m
D.
1
9.
Giá trò của m để hàm số y = x
4
+ mx
3
- 2x
2
- 3mx


3
4
π
C.
4
π
−

D.
3
π

11.
Hàm số
2
x 4x 1
f(x)
x 1
− +
=
+
có hai điểm cực trò x
1
và x
2
, ta có x
1
+ x
2
bằng:

x 2
y
x 1
−
=
−
C.
2
x x 1
y
x 1
+ −
=
−
D.
3 2
1
y x 2x 3x 2
3
= − + +

14.
Hàm số nào sau đây đồng biến trên từng khoảng xác đònh:

2
2 3
1 x 2x 4 1
(I) y ln x ; (II) y ; (III) y
x 1 x 1 x x
− +

x 5 1
(I) y ; (II) y ; (III) y x x 4
x 1 cosx
+
= = = −
+

A. Chỉ có (I) B. Chỉ có (II) C. Cả (I), (II) và (III) D. Chỉ (I) và (II)
17. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên
ℝ
.
A. y = x
3
+ 1 B. y= tgx C.
4x 1
y
x 2
+
=
+
D. y = x
4
+ x
2
+ 1
18. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào nghòch biến trên khoảng (1; 3)
A.
2
1
y x 2x 3

A. Hàm số giảm trên khoảng (-3; -1) B. Hàm số tăng trên khoảng (-3; -1)
C.
Hàm số giảm trên khoảng (2; 3) D. Hàm số tăng trên khoảng (-1; 2)
5

20. Bất đẳng thức
a b
lna ln b
>
đúng với mọi a, b thoả mãn a < b và a, b thuộc khoảng:
A. (0; 1) B. (e; 4) C. (2; 3) D. (0; 3)
21.

Hàm số f(x) = x
4
- 6x
2
+ 8x + 1 có
ù
bao nhiêu điểm cực trò
A.

0 B. 3 C. 2 D. 1
22.
Hàm số
3 2
a 1

3
- 3mx
2
+ 3(m
2
- 1)x đạt cực đại tại x = 1 là
A.

m = 2 B. Không tồn tại m C. m = 0 D. m = 0 hoặc m = 2
25.
Cho hàm số f(x) = xlnx. Hàm số f(x) đồng biến trong các khoảng nào sau đây
A.

( )
0;
+ ∞
B.
( )
; 0
−∞
C.
( )
0; 1 D.
( )
1;
+ ∞

26.
Cho hàm số
3x+1


C. Điểm N(-3; -2) là điểm cực đại D. Hàm số đạt cực đại tại x = -2
29.
Giá trò m để hàm số
2
x 2x m
f(x)
x 1
+ +
=
−
đạt một cực đạivà một cực tiểu là:
A.

m= -3 B. m < - 3 C. m > -3 D. m khác -3
30.
Hàm số
4
2
x
f(x) 2x 6
4
= − +
có bao nhiêu điểm cực tiểu
A.

1 B. 2 C. 0 D. 3
31.
Xét hàm số f(x) = 2x
2

Chú ý
: Nếu trên khoảng (a; b) hàm số luôn luôn đồng biến hoặc luôn luôn nghòch biến thì không có
GTLN, GTNN trên khoảng đó.
Bài tập áp dụng:
1)
Tìm giá trò lớn nhất giá trò nhỏ nhất của các hàm số sau: