Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Đề tài :
ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC
ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. ĐẶT VẤN ĐỀ :
Trong quá trình giảng dạy toán việc hướng dẫn học sinh giải một bài toán bằng
nhiều phương pháp khác nhau là rất quan trọng và cần thiết. Đặc biệt mỗi khi học sinh
tiếp cận với một lý thuyết mới, người thầy phải khai thác các ứng dụng quan trọng và ưu
việt của nó để trang bị cho học sinh, có như thế học sinh mới hứng thú, năng động và
sáng tạo trong việc học của mình.
Trong chương trình toán phổ thông trung học số phức vừa được đưa vào giảng dạy
đại trà được 2 năm. Ứng dụng của số phức được giới thiệu ở sách giáo khoa rất ít, các tài
liệu viết về ứng dụng số phức rất hiếm. Do đó với thời lượng thời gian cũng như lý thuyết
mà các em được học ở trường người thầy phải nghiên cứu và bố trí dạy cho các em một
số ứng dụng quan trọng và nổi bật nhất cho các em. Bản thân tôi nhiều năm được phân
công giảng dạy các lớp năng khiếu nên điều kiện tiếp xúc với các ứng dụng của lý thuyết
số phức để giải toán khá nhiều vì vậy khi trực tiếp giảng dạy phần số phức ở chương trình
toán phổ thông tôi đã trang bị cho học sinh một số ứng dụng mà sách giáo khoa không đề
cập đến và dĩ nhiên dạy ứng dụng đó ở thời điểm nào, dạy như thế nào thì sau đây tôi xin
chia sẻ với các đồng nghiệp một bài dạy “Ứng dụng lý thuyết số phức để giải hệ
phương trình” nhằm trang bị thêm cho học sinh một công cụ hữu hiệu để giải hệ phương
trình nhằm giúp các em thành công trong các kỳ thi vì đây là một loại toán thường gặp ở
các kỳ thi Đại học và học sinh giỏi các cấp.
B. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN:
Để học sinh hiểu một cách sâu sắc và có cơ sở lý luận tôi đã dẫn dắt học sinh vào
vấn đề đơn giản như sau :
Tìm căn bậc hai của số phức z = a + bi
Ta gọi w = x + iy là một căn bậc hai của z.
Ta có :
2 2 2
2w z x y xyi a bi= ⇔ − + = +

a) Định nghĩa
* ĐN1. Một số phức là một biểu thức dạng :
a + bi
. a, b
∈¡
, số i thỏa mãn :
2
1i = −
. i : đơn vị ảo
. a : phần thực
. b : phần ảo.
* ĐN2. Hai số phức : z = a + bi với a, b
∈¡
z' = a’ + b’i với a’, b’
∈¡

Ta có :
z = z’
'
'
a a
b b
=

⇔

=

b) Phép toán về số phức
(b

(1) Bài tập mẫu dạy tại lớp :
* Bài 1- Giải hệ :
2 2
5
2 55
x x y
xy y

+ − =

+ =


* Bài 2 : Giải hệ :
3 2
2 3
3 1
3 3
x xy
x y y

− =


− = −


* Bài 3 : Giải hệ
2 2
2 2

y
x y

 
+ =

 ÷
+
  

 

− =
 ÷

+
 


* Bài 5- Giải hệ :

Trang
3
Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

12
1 2
3
12
1 6

(2) Bài tập tự rèn luyện ở nhà :
* Bài 1
2 2
5 5
2 5 7
x x y
xy y

+ − =

+ =
 * Bài 2
2
3
2
8 6
2
2
12
2
x x y x
xy y

−
− =



log ( 2 5 7) 4
x
y
x x x y
y xy y

 
+ + − − =

 

+ + − =


(3)Đồ dùng dạy học
 ĐỒ DÙNG 1 – BẢNG TÓM TẮT CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
a ) Định nghĩa
* ĐN1. Một số phức là một biểu thức dạng : a + bi
. a, b
∈¡
, số i thỏa mãn :
2
1i = −
. i : đơn vị ảo
. a : phần thực
. b : phần ảo.
* ĐN2. Hai số phức : z = a + bi với a, b
∈¡
z' = a’ + b’i với a’, b’
∈¡

5
Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
c) Khai căn bậc hai của số phức
* ĐN : Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa
2
z w=
được gọi là một căn
bậc hai của w.
* Cách tìm căn bậc hai của số phức z
d) Dạng lượng của số phức
 ĐỒ DÙNG 2 – Bảng trình chiếu
 Bài tập 1 : Giải hệ phương trình

2 2
5
2 55
x x y
xy y

+ − =

+ =

 ĐỒ DÙNG 3 - Bảng trình chiếu
 Bài tập 2 : Giải hệ phương trình :
Trang
6
Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
3 2
2 3





−
+ =
+
+
− =
+

 ĐỒ DÙNG 5 – Bảng trình chiếu
Trang
7
Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
 Bài tập 4 : Giải hệ phương trình :

1
3 . 1 2
1
7 . 1 4 2
x
x y
y
x y

 
+ =

 ÷

+
  

 

+ =
 ÷

+
 

Trang
8
Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
 ĐỒ DÙNG 7 - Bảng trình chiếu
BÀI TẬP VỀ NHÀ
 Bài 1
2 2
5 5
2 5 7
x x y
xy y

+ − =

+ =
 Bài 2

+ − + − =


+ + − =



 Bài 4
3 2 2
4
log ( 5( 1) 3
log ( 2 5 7) 4
x
y
x x x y
y xy y

 
+ + − − =

 

+ + − =


Trang
9

x x y
xy y

+ − =

+ =

GV: Em nào giải hệ trên ?
HS: Lúng túng và gặp khó trong việc giải hệ này
GV: Hướng dẫn học sinh sử dụng số phức bằng
cách dùng :
z = a + bi với a, b
∈¡
z' = a’ + b’i với a’, b’
∈¡

z = z’
'
'
a a
b b
=

⇔

=

GV: Gợi mở từ
2
( ) ?x yi+ =

z
2
+ z – 5 – 55i = 0
5 5
6 5
z i
z i
= +

⇔

= − −

Trang
10
Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

2 55xy y+ =
(2)
Nhân 2 vế của (2) với i sau đó cộng vào (1) ta
có :
2
( ) 5 55x yi x yi i
+ + + = +
Đặt z = x + yi ta có pt :
z
2
+ z – 5 – 55i = 0
5 5
6 5




= −


* Hoạt động 3 (8 phút)
GV: Trình chiếu Bài tập 2.
2 2
2 2
3
3
3
0
x y
x
x y
x y
y
x y
−

+ =

+


+

− =

3( )
3
3( )
3
( )
x y x y
x yi i
x y x y
x yi y xi
x yi
x y
x yi y xi
x yi
x y x y
x yi x yi
x yi
x y x y i
− +
+ + − =
+ +
− − −
⇔ + + =
+
− − −
⇔ + + + =
+ +
− −
⇔ + + + =
+ +
Đặt z = x + yi ta có :

= −



+ = − −



= −


* Bài tập 2 : Giải hệ phương trình

2 2
2 2
3
3
3
0
x y
x
x y
x y
y
x y
−

+ =

+

3( )
3
3( )
3
( )
x y x y
x yi i
x y x y
x yi y xi
x yi
x y
x yi y xi
x yi
x y x y
x yi x yi
x yi
x y x y i
− +
+ + − =
+ +
− − −
⇔ + + =
+
− − −
⇔ + + + =
+ +
− −
⇔ + + + =
+ +
Đặt z = x + yi ta có :

(2) với i rồi cộng vào (1)] Ta có :
3 2 2 3
3
3 3 1 3
( ) 1 3
x xy x yi y i i
x yi i
− + − = −
⇔ + = −
. HS: Viết 1-
3i
dưới dạng lũy thừa với số mũ 3.
GV: Gợi ý chuyển về dạng lượng giác
HS: (tiếp tục biến đổi)
3
3
3
3
3
1 3
( ) 2( )
2 2
( ) 2[cos( ) sin( ) ]
3 3
( ) 2[cos( ) sin( ) ]
9 9
x yi i
x yi i
x yi i
π π

GV: Trình chiếu Bài tập 4. Giải hệ phương trình
1
3 . 1 2
1
7 . 1 4 2
x
x y
y
x y

 
+ =

 ÷
+
  

 

− =
 ÷

+
 

Với x, y
∈¡
;
0, 0, 0x y x y≥ ≥ + ≠
GV: Đặt ẩn số phụ. Chuyển về dạng các bài tập

u
u
u
u
u
u
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ

 
+ =
 ÷

+
  

 

− =
 ÷

+
 



3 2 2 3
3
3 3 1 3
( ) 1 3
x xy x yi y i i
x yi i
− + − = −
⇔ + = −
3
3
3
3
3
1 3
( ) 2( )
2 2
( ) 2[cos( ) sin( ) ]
3 3
( ) 2[cos( ) sin( ) ]
9 9
x yi i
x yi i
x yi i
π π
π π
+ = −
− −
⇔ + = +
− −
 

x y
y
x y

 
+ =

 ÷
+
  

 

− =
 ÷

+
 

Với x, y
∈¡

Đặt
0
0
u x
y
υ

= ≥

1 2 4 2
3 7
2 4 2
1 0
3 7
z z i
zz
z i
z
z i z
+ = +
⇔ + = +
 
⇔ − + + =
 ÷
 ÷
 
HS: Từ đó tìm z => x,y
* Hoạt động 6 (6 phút)
GV: Trình chiếu Bài tập 5. Giải hệ phương trình

12
1 2
3
12
1 6
3
x
x y
y


+ ≠


Hệ phương đã cho viết lại :
12
3 1 2 3
3
12
1 6
3
x
x y
y
x y

 
− =

 ÷
+
  

 

+ =
 ÷

+
 

u
u
υ
υ
υ

 
− =
 ÷

+
  

 

+ =
 ÷

+
 

Học sinh về nhà tự giải.

2 2
2 2
2 2
2 2
1
3 1 2
1


− =
 ÷

+
 


+ =

+

⇔


− =

+


Nhân 2 vế của (2) với I sau đó cộng với
(1) ta có :
2 2
1 2 4 2
( )
3 7
u i u i i
u
υ υ
υ

HS: Từ đó tìm z => x,y
* Bài tập 5 : Giải hệ phương trình

12
1 2
3
12
1 6
3
x
x y
y
x y

 
− =

 ÷
+
  

 

+ =
 ÷

+
 

Đk :

y
υ

=


=


Đk:
3u x
y
υ

=


=


Trang
13
Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Ta có hệ
2 2
2 2
12
1 2 3
12
1 6

sau tôi kiểm tra và đánh giá xem thì kết quả rất khả quan và thu được kết quả như sau :
• Năm học 2008-2009 : Lớp 12 - Toán
* Giải hệ phương trình :
2 2
4 4 2
4 2 4
x y x
xy y

− − = −

− = −

Điểm Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém
Số lượng 10 15 5 2 1
• Năm học 2009-2010 : Lớp 11 - Toán 1
* Giải hệ phương trình :
2 2
2 2 2 1
2 2
x y x
xy y

− + = −


+ =


Trang

Người viết
Trần Văn Trung
Trang
15
Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG
ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Trang
16
Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Trang
SỞ GIÁO ĐỤC – ĐÀO TẠO NINH THUẬN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÍ ĐÔN
 
Đề tài
Giáo viên : TRẦN VĂN TRUNG
Chức vụ : Giáo viên
Trường:THPT Chuyên Lê Quí Đôn
NĂM HỌC : 2009 - 2010
17
Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO NINH THUẬN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÍ ĐÔN

Đề tài
ỨNG DỤNG
LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ
Trang
18