1

PHẦN I. LỜI MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Toán học là công cụ giúp học tốt các môn học khác, chính vì vậy nó đóng một
vai trò vô cùng quan trọng trong nhà trường. Bên cạnh đó nó còn có tiềm năng phát
triển các năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ,giúp học sinh hoạt động có hiệu quả
trong mọi lĩnh vực của đời sống sản xuất.
Toán học mang sẵn trong đó chẳng những phương pháp quy nạp thực nghiệm,
mà cả phương pháp suy diễn lôgic. Nó tạo cho người học có cơ hội rèn luyện khả
năng suy đoán và tưởng tượng. Toán học còn có tiềm năng phát triển phẩm chất đạo
đức, góp phần hình thành thế giới quan khoa học cho học sinh. Toán học ra đời từ
thực tiễn và lại quay trở về phục vụ thực tiễn. Toán học còn hình thành và hoàn
thiện những nét nhân cách như say mê và có hoài bão trong học tập, mong muốn
được đóng góp một phần nhỏ của mình cho sự nghiệp chung của đất nước, ý chí
vượt khó, bảo vệ chân lý, cảm nhận được cái đẹp, trung thực, tự tin, khiêm tốn,….
Biết tự đánh giá mình, tự rèn luyện để đạt tới một nhân cách hoàn thiện toàn diện
hơn. Mặt khác toán học còn có nhiệm vụ hình thành cho học sinh những kỹ năng:
- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán để giải các bài tập toán
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học để học tập các môn học khác.
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào đơì sống, kỹ năng đo đạc, tính
toán,sử dụng biểu đồ, sử dụng máy tính….
Tuy nhiên cả ba kỹ năng trên đều có quan hệ mật thiết với nhau. Kỹ năng thứ
nhất là cơ sở để rèn luyện hai kỹ năng kia. Chính vì vậy kỹ năng vận dụng kiến thức
để giải bài tập toán là vô cùng quan trọng đối với học sinh. Trong đó việc trình bày
lời giải một bài toán chính là thước đo cho kỹ năng trên. để có một lời giải tốt thì
học sinh cần có kiến thức, các kỹ năng cơ bản và ngược lại có kiến thức, có các kỹ
năng cơ bản thì học sinh sẽ trình bày tốt lời giải một bài toán.
II. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu mong muốn sẽ giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm đã
nêu về toán học từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán nói riêng và đạt kết quả

Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học
sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học
sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán.
Qua quá trình dạy hình học không gian 11, tôi nhận thấy rằng, đa số các em học
sinh còn “chưa thạo” trong viêc giải các bài toán về tính khoảng cách trong hình
3

học không gian. Nguyên nhân cơ bản là do học sinh chưa phân biệt rõ ràng dạng bài
tập để lựa chọn công cụ, phương pháp giải cho phù hợp. Để góp phần nhỏ của mình
vào việc hệ thống lại các phương pháp giải toán, tạo sự thích thú cho các em học
sinh. Giúp các em “không còn ngán ngại” khi gặp bài toán tính khoảng cách. Tôi
xin được phép trình bày hai dạng toán tính khoảng cách thường gặp trong hình học
không gian đó là : “Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau”.

4

PHẦN II. NỘI DUNG
I. Bài toán 1: Trong không gian cho điểm  không thuộc mặt phẳng
()

tính
khoảng cách
 
;( )dM

từ  đến mặt phẳng
()

.






   .
Kẻ 

 tại . Ta có 


Nên suy ra 

. Vậy   
 
;( )d A SCD

Xét tam giác  vuông tại  có  là đường cao,
do đó
2 2 2
22
1 1 1 1 1
( 6) ( 3)
AH SA AC
aa
   
2
1
2a



  
. Kẻ 


thì 
 
;( )dM

 .

Ví dụ 2: Cho hình chóp   có đáy  là hình thang cân có  
        và có cạnh  vuông góc , với  

a6
. Tính khoảng cách từ  đến .

Nhận xét: Ở ví dụ này ta chưa thể tìm ngay được chân đường vuông góc hạ từ 
đến  mà ta phải làm như sau.

Giải:

Qua  kẻ 

 








   
=
2
9
6a
2
2
66
93
aa
AF AF   

E
D
B
C
A
S
F
6

Vậy
 
;( )d A SBC
=
6
3
a



dẫn đến
 
 
 
;( ) .
;
d A IM
dM
IA


Nhận xét: Ở phương pháp này thay vì tính khoảng cách từ  đến mp
()

ta đưa về
tính khoảng cách từ một điểm khác  thuộc đường thẳng

đi qua  mà khoảng
cách đó tính được một cách dễ dàng.

Ví dụ 3: Cho hình chóp   có đáy  là hình vuông cạnh .  vuông
góc với ,   
a3
. Gọi  là trọng tâm tam giác . Tính khoảng
cách từ  đến .

d G SAC
FG
FB
d B SAC


Mà
()
OB SA
OB SAC
OB AC






nên
 
2
;( )
2
a
d B SAC OB

Vậy
 
1 2 2
;( )
3 2 6

Giải:
Do lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có các cạnh bằng  nên các mặt bên là các hình
vuông bằng nhau còn đáy là các tam giác đều.
Gọi  là trung điểm của
''AC
. Do tam giác
' ' 'A B C
đều nên 
'BI
''AC' ( ' ')B I ACC A


'BI
'MC
(*)
(1)' ' ' ' ' 'A C M C CI MC A C CI    

Mà
0
' ' 90C CI C IC
(2)
Từ (1), (2) suy ra
0
' ' ' 90MC A C IC


Mà
'MBC
có    
2
2
5
42
aa
a 


'MBC
cân đỉnh .
có   
22
1 2 5 2 3
2, ' ,
2 2 4 4 2
a a a a
OB BC OM    

Suy ra    
32
.
. 30
22
10
5
2
aa

A
C
B'
C'
A'
B
H
9

Giải:
Gọi  là trung điểm của  khi đó 

 nên
 
     
'; ' ;( ) ;( ) ;( )d B C AM d B C AMN d C AMN d B AMN  
Mặt khác tứ diện  vuông đỉnh  nên

 
;( )d B AMN
  với  là trực tâm
AMN



Khi đó
     
; ( );( ) ;( )d a b d d A
  

với  là một điểm bất kì thuộc
()
Ví dụ 6: Cho hình lập phương
' ' '.'ABCD A B C D
có cạnh . Lấy    lần lượt là
trung điểm của   . Tính khoảng cách giữa  và .

Giải:
N
M
A
C
B'
C'
A'
B
10 Gọi        lần lượt là trung điểm 

 

' ' '()A E MNB D
.
Tương tự
' ()A E BPQD
.
Gọi   lần lượt là giao điểm của  với  và . Khi đó độ dài  chính là
khoảng cách giữa  và 
Áp dụng định lí Talet cho tam giác  ta có
2
2
'
17
.2
' ' ' ' ' 4 4 8
JI RO RO a a
IJ A E a
A E A C A C
     
.
Vậy
7
( ; )
8
a
d MN BP 
.

III. Bài toán vận dụng
Bài 1. Cho hình chóp   có đáy là hình vuông  cạnh  và có tâm ,
   và   . Hãy tính các khoảng cách:

 . Tính khoảng cách giữa
các cặp đường thẳng sau:
a)  và .
b)  và .
c)  và .
12

PHẦN III : KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
1. KẾT LUẬN
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:
1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự hình
thành kĩ năng học và giải bài tập toán cho học sinh.
2. Đưa ra được một số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung chuyên đề
thực hiện.
3. Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các
vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
4. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi và hiệu quả của
những biện pháp sư phạm được đề xuất.
Như vậy có thể khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu đã được thực hiện,
nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận được.
Trong quá trình giảng dạy môn Toán tại trường, từ việc áp dụng các hình
thức rèn luyện cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đã có kết quả rõ rệt, bản
thân tôi rút ra được nhiều bài học kinh nghiệm về phương pháp rèn luyện cách trình
bày lời giải bài toán cho học sinh đó là :
1 – Trình bày bài giải mẫu.
2 – Trình bày bài giải nhưng các bước sắp xếp chưa hợp lý.
3 - Đưa ra bài toán có gợi ý giải.
4 - Đưa ra bài giải sẵn có chứa sai sót để yêu cầu học sinh tìm chỗ sai và sửa lại cho
đúng.
Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, với nội dung và