Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

1
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ PLEIKU

TÊN ĐỀ TÀI : HƯỚNG DẪN HỌC SINH NHẬN DẠNG VÀ HÌNH THÀNH
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯNG TỈ
LỆ NGHỊCH
khoa học khác, với đời sống thực tế và lao động sản xuất .
Để giúp HS thực hiện tốt điều này, đòi h GV cần xây dựng cho HS những kỹ
năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán,đặc biệt là kỹ năng giải toán, kỹ
năng vận dụng bài toán, tùy theo từng đối tượng học sinh mà ta xây dựng cách giải
cho phù hợp với yêu cầu của bài toán
Với những bài toán có nội dung thực tế trong chương trình nói chung và trong
môn Đại số 7 nói riêng ,trong qúa trình thực tế giảng dạy, bản thân tôi nhận thấy
học sinh rất lúng túng trong việc:
- Xác đònh hai đại lượng tỉ lệ nghòch
- Tìm ra mối quan hệ giữa hai đại lượng tỉ lệ nghòch
- Xây dựng đường lối giải toán về đại lượng tỉ lệ nghòch
Nên việc giải được các bài toán liên quan đến thực te ácó vận dụng đại lượng tỉ lệ
nghòch, học sinh gặp rất nhiều khó khăn
Do đó tôi đã mạnh dạn lựa chọn đề tài “ HƯỚNG DẪN HỌC SINH NHẬN
DẠNG VÀ HÌNH THÀNH PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐẠI
LƯNG TỈ LỆ NGHỊCH’’nhằm đưa ra một số giải pháp của bản thân để giúp học
Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

3
sinh nắm vững hơn về giải các bài toán đến thực tếà liên quan kiến thức tỉ lệ nghòch
đối với bộ môn đại số 7 với mục đích:
- Trang bò cho học sinh lớp 7 một cách có hệ thống phương pháp giải các bài
toán về tỉ lệ nghòch, nhằm giúp học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toán
này
- Phát huy khả năng tư duy, phân tích, tìm tòi, suy luận, phán đoán và tính linh
hoạt của học sinh
- Thấy được vai trò của dạng toán này trong thực tế cuộc sống va ølao động sản
xuất, từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh .
*Phạm vi đề tài:Đề tài không đi sâu vào nghiên cứu tất cả các phương pháp hay các
dạng bài quá khó không phù hợp với học sinh mà chỉ nhn dng v hình thnh

mối quan hệ giữa hai đại lượng tỉ lệ nghòch trong những bài toán thực tế, hầu hết học
sinh đều cho rằng các bài toán về tỉ lệ nghòch rất khó , ít hứng thú học.
Ví dụ1:
Bài 14 /SGK (tập I)
Cho biết 35 công nhân xây một ngôi nhà hết 168 ngày. Hỏi 28 công nhân xây ngôi
nhà đó hết bao nhiêu ngày?( giả sử năng suất làm việc của mỗi người là như nhau)
Nhiều học sinh đã thể hiện sự lúng túng khi gặp ví dụ trên, chỉ vài HS khá giỏi giơ
tay phát biểu nêu cách làm
Một số em làm như sau:
- Số ngày mà 28 người công nhân xây là:
28. 168 : 35 = 134,4 ngày (lời giải sai)
HS đã nhầm số ngày làm việc và số công nhân là hai đại lượng tỉ lệ thuận và không
chú ý đến giả thiết của b toán.
Sau khi giáoviên gợi ý năng suất làm việc của mỗi người là như nhau nên số công
nhân tỉ lệ nghòch với số ngày, vì càng nhiều người thì số ngày làm càng ít và ngược
lại ít người thì số ngày lamø phải nhiều hơn ,nên số công nhân và số ngày là hai đại
lượng tỉ lệ nghòch, thì học sinh đã đưa ra lời giải nhưng nhiều em vẫn chưa thể hiện
khả năng trình bày bài toán. Vẫn có lời giải như sau:
- Số ngày mà 28 người công nhân xây là:
35 . 168 : 28 = 210 ngày ( trình bày như một bài toán ở tiểu học)
Hoặc một số em khác không biết giải hoặc trình bày như thế nào?
Ví dụ 2:
Bài 16/ SGK:Hai đại lượng x và y có tỉ lệ nghòch với nhau hay không nếu:
a/
x 1 2 4 5 8
y 120 60 30 24 15

b/
x 2 3 4 5 6
Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

-Học sinh:ta thấy với cùng một quãng đường khi vận tốc tăng lên thì thời gian
giảm xuống
Sau khi học sinh trả lời giáo viên chốt lại bằng nhận xét:
-Ta thấy với cùng một quãng đường khi vận tốc tăng lên thì thời gian giảm đi
nghóa là khi đi với vận tốc càng lớn thì thời gian đi hết quãng đường càng nhỏ.
-Nhìn vào công thức càng thấy rõ : tích v.t = 150 không đổi trong khi v tăng
t giảm và ngược lại v giảm thì t tăng lên.Cụ thể v tăng bao nhiêu lần thì t giảm
xuống bấy nhiêu lần, ta nói v và t là hai đại lượng tỉ lệ nghòch.
Sau khi học sinh nêu được đònh nghóa
+ Gv chốt lại: Hai đại lượng tỉ lệ nghòch có thể cho bằng bảng hoặc công
thức.Sau đó hỏi: Giữa hai đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghòch có gì khác nhau?
Học sinh trả lời , giáo viên tóm lại:
+ Khi y = ax, ta nói y và x là hai đại lượng tỉ lệ thuận
Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

6
+ Khi y=
a
x
hay x.y =a ta nói x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghòch( a là hệ số tỉ
lệ).
Dựa vào công thức giáo viên hỏi thêm: Muốn tìm y ta cần biết các yếu tố
nào? Muốn tìm x ta cần biết các giá trò nào? Muốn tìm a ta cần biết các yếu tố nào?
Từ những gợi ý trên giáo viên cho học sinh làm bài 12/ sgk khi đó học sinh dễ dàng
tìm được hệ số tỉ lệ avà biểu diễn y theo xvà có thể giải bài toán 2
Bài toán 2: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghòch hãy điền số thích hợp
vào ô trống:
x 4 5 6 12 15
y 15 2 1


=a , x
2
.y
2
=a , x
3
.y
3
= a ,…( a là hệ số tỉ lệ).
Giải: Bảng a) 1.120 = 2.60 = 4. 30 =. . . = . . .
vậy x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghòch
Bảng b) 4.15 =60 ; 5.12,5 = 62,5
60

62,5 vậy 4.15

5.12,5
vậy x và y không phải là hai đại lượng tỉ lệ nghòch
*GV chốt lại :để chứng tỏ x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghòch cần chứng tỏ tất
cả tích các gia ùtrò tương ứng của chúng bằng nhau (một số không đổi).
Để chứng tỏ x, y không là đại lượng tỉ lệ nghòch thì chỉ cần chỉ ra hai tích x.y
nào đó không bằng nhau
x 1 2 4 5 8
y 120 60 30 24 15
Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

7
Bài toán 4:Cho ba đại lượng x, y, z. Hãy tìm mối liên hệ giữa các đại lượngx,
z. Biết :
a/ xvà y tỉ lệ nghòch, y và z cũng tỉ lệ nghòch


Vậy x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệ
a
b

b/ xvà y tỉ lệ nghòch

x.y= a (a

0)
yvà z tỉ lệ thuận

y=b z (b

0)
Từ đó xy = x. b z =a

xz =
a
b

Vậy x và z tỉ lệ nghòch, hệ số là
a
b

c/ x và y tỉ lệ thuận

x = a. y
yvà z tỉ lệ nghòch


2
, x
3
… thì y sẽ lấy cácgiá trò tương ứng y
1
, y
2,
y
3
sao cho x
1
.y
1
=a , x
2
.y
2
=a , x
3
.y
3
=a ,…
hay y
1
=
1
a
x
, y
2

, x
2
.y
2
của hai đại lượng đó ta phải có
x
1
.y
1
= x
2
.y
2
hoặc
1 2
2 1
y x
y x

Ta sẽ sử dụng công thức này để giải các bài toán tỉ lệ nghòch
- Cần phải làm cho học sinh hiểu rõ có thể chuyển hai đại lượng tỉ lệ nghòch
sang hai đại lượng khác tỉ lệ thuận và ngược lại, chuyển hai đại lượng tỉ lệ thuận
sang hai đại lượng khác tỉ lệ nghòch thông qua một mối quan hệ trung gian . GV
hướng dẫn cụ thể như bài toán 2 /trang 59-SGK sau đây:
Bài toán 4:( bài toán 2- trang 59/ SGK)Bốn đội máy cày có 36 máy (có cùng
năng suất) làm việc trên bốn cánh đồng có diên tích bằng nhau.Đội thứ nhất hoàn
thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày, đội thứ ba trong 10 ngày và
đội thứ tư trong 12 ngày. Hỏi mỗi đội có mấy máy?
Giáo viên hỏi để học sinh nắm chắc giả thiết: Trong bài toán ta cần chú ý đến
các giả thiết nào? Các giả thiết đó giúp cho ta có suy nghó gì?

Từ 4x= 6y = 10 z = 12t có thể chuyển thành dãy tỉ số bằng nhau không?
Gợi ý : Từ 4x= 6y = 10 z = 12t suy ra:

1 1 1 1
4 6 10 12
x y z t
  

Giáo viên: Như vậy ta đã chuyển bài toán về dạng tính các số x, y, z,t biết
tổng của chúng và tỉ số giữa các số của chúng . Từ đó học sinh dễ dàng áp dụng tính
chất dãy tỉ số bằng nhau để giải tiếp và tìm ra x,y, z, t.
Hỏi thêm: (sau khi giaiû xong) trong bài toán trên , ta đã vận dụng các kiến
thức gì?
* Chốt lại :Ta có các số x,y, z, t tỉ lệ nghòch với 4; 6;10; 12 chuyển thành các
số x,y, z, t tỉ lệ thuận với các số
1 1 1 1
; ; ;
4 6 10 12
hay có thể phát biểu thành một bài toán
đơn giản hơn là:
B toán*:Chia số 36 thành các số x,y, z, t tỉ lệ nghòch với 4; 6;10; 12.
Vậy nếu gặp dạng toán chia tỉ lệ ( tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghòch) tương tự như
bài toán* trên học sinh dễ dàng làm được ngay
*Tóm tắt : Khi x,y, z tỉ lệ thuận với a, b, c ta viết x: y: z =a: b : c
hay
x y z
a b c
 
.
Khi x,y, z tỉ lệ nghòch với a, b, c ta viết a.x= b.y = c. z

nếu nó đi với vận tốc mới bằng 1,2 lần vận tốc cũ ?
Tóm tắt: Ô tô đi với vận tốc v
1
thì thời gian t
1

Ô tô đi với vận tốc v
2
thì thời gian t
2

Gợi ý : Với cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng có
quan hệ như thế nào? Vậy ta lập được tỉ số nào?
Quan hệ giữa v
1,
v
2
là gì? Từ đó ta tìm t
2
như thế nào?

Giải: gọi vân tốc cũ và vận tốc mới của ô tô lần lượt là v
1
(km/h) và v
2
(km/h);
thời gian tương ứng của ô tô đi từ A đến Blần lượt là t
1
(h) t
2

5
1,2

.
Vậy nêu đi với vận tốc mới v
2
thì ô tô đi từ A đến B hết 5 (giờ)
Bài toán 6
Hai vận động viên cùng đua xe đạp trên một quãng đường. Vận động viên
thắng cuộc về đích sau 6,25 giờ, vận động viên kia về đích chậm hơn 1 phút rưỡi.
Hỏi vận tốc trung bình của mỗi vận động viên, biết rằng trung bình người thắng cuộc
phóng nhanh hơn người kia là 0,2km trong một giờ. (cho biết 1,5phút = 0,025giờ)
GiáoViên : Gọi vận động viên thắng cuộc là vận động viên 1 (VĐV1)
Vận động viên thứ 2 là vận động viên 2(VĐV2)
Tóm tắt:
Gọi V
1
,t
1
là vân tốc và thời gian đi của VĐV1
VĐV1: về đích sau 6,25 giờ
VĐV2: về đích chậm hơn 1,5 phút=0,025giờ
VĐV1 nhanh hơn VĐV2 0,2 km/ h
Tính vận tốc trung bình của mỗi VĐV
Gợi ý: Trong bài toán này có các đại lượng nào? Đại lượng nào không thay đổi.
Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

11

Quan hệ giữa vận tốc của VĐV1 và VĐV2 với quãng đường và thời gian như thế

1
,t
1
và V
2
,t
2
là
các cặp giá trò tương ứng của hai đại lượngđó. Vậy các em hãy sử dụng điều đó để
tính V
1
và V
2

Giải: Gọi vận động viên thắng cuộc là vận động viên 1 (VĐV1)
Vận động viên thứ 2 là vận động viên 2(VĐV2)
Vì V và t là hai đại lượng tỉ lệ nghòch nên ta có:
1 2
2 1
V t
V t


Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có:
1 2 2 1
2 1
V V t t
V t
 


Lời giải:
Vì cùng một số tiền mua hai loại vải khác nhau có giá tiền khác nhau, nên giá tiền
vải từng loại vải tỉ lệ nghòch với số mét vải từng loại mua được.
Gọi x
1
là giá tiền vải loại 1, y
1
là số mét vải loại 1 mua được
Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

12

x
2
giá tiền vải loại 2, y
2
là số mét vải loại 2 mua được
Ta có:
1 2
2 1
y x
y x
 (1)
theo giả thiết: y
1
= 51(mét vải loại I)
x
2
=85% x
1

giỏi thì tương đối dễ dàng nhưng đối với các đối tượng khác nhiều em rất lúng túng
,trình bày thiếu logic, không khoa học.
Để phát huy lòng ham muốn giải toán, có hứng thú trong việc khám phá bài
toán với mọi đối tượng, giúp hiểu rõ bản chất bài toán .Trên cơ sở vận dụng việc đổi
mới phương pháp cho bản thân, tôi đã cho học sinh sử dụng phiếu học tập cho từng
học sinh hoặc theo nhóm nhỏ . Phiếu học tập là một hệ thống những công việc mà
học sinh phải tiến hành để tự mình chiếm lónh kiến thức mới, bài toán mới. Phiếu
học tập là một trong những công cụ cho phép cá thể hoá hoạt động học tập của học
sinh, tiết kiệm được thời gian trong việc tổ chức các hoạt động học tập đồng thời là
công cụ hữu hiệu trong việc thu thập và xử lý thông tin ngược. Đó là những tờ giấy
in sẵn những công việc độc lập làm theo nhóm hoặc cá nhân được phát cho học sinh
và hoàn thành trong thời gian ngắn của tiết học. Mỗi phiếu học tập có thể giao cho
học sinh hệ thống bài tập cụ thể nhằm dẫn dắt tới một kiến thức, tập dượt một kỹ
năng, rèn luyên một thao tác tư duy hoặc thăm dò thái độ trước một vấn đề để tự
mình hình thành những kỹ năng mới . Ví dụ
Để nhiều học sinh được làm quen với cách giải bài toán tỉ lệ nghòch tôi sử
dụng phiếu học tập trong bài toán sau:
Bài toán 8:
Cho biết 3 người làm cỏ một cánh đồng hết 6 giờ.Hỏi 12 người (với cùng năng suất
như thế) làm cỏ xong cánh đồng đó hết bao nhiêu thời gian?
Giải:
Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

13

Cách 1: goiï x là số người làm cỏ một cánh đồng và y là thời gian( tính bằng
giờ) để làm xong cánh đồng đó.
Vì năng suất của mọi người như nhau và diện tích làm cỏ như nhau( cùng một cánh
đồng) nên x và y là hai đại lượng . . . . . . . . . . . . . . . . …
Do đó x liên hệ với y theo công thức x.y = a (a là một số không đổi)

Bài1: Trong hai bảng dưới đây, bảng nào cho ta các giá trò của hai đại lượng tỉ lệ
nghòch
a.
x -5 -3 2 4 17
Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

14

y -4 -6 11 4,75 1
b.
x -18 -9 3 4,5 114
y 2 4 -12 -8 -0,25

Bài 2 : Cho biết xvà y là hai đại lượng tỉ lệ nghòch với nhau và khi x= -3 , y= 6.
a. Tìm hệ số tỉ lệ nghòch của y đối với x.
b. Hãy biểu diễn y theo x.
c. Tính giá trò của y khi x = - 15 , x =6
Bài 3: Cho biết x,y là hai đại lượng tỉ lệ nghòch; x
1
, x
2
là hai giá trò của x; y
1
, y
2
là
hai giá trò tương ứng của y
a/ Tìm x
1
; x

1
y
1
= 45 và x
2
= 9. Tính y
2
b. Biết x
1
= 2 ; x
2
=4 , và y
1
+ y
2
= 12 . Tính y
1
và y
2

c. Biết x
2
= 3 ; x
1
+ 2y
2
= 18 và y
1
= 12. Tính x
1

15

Bài 11 :Ba đơn vò cùng xây dựng chung một chiếc cầu hết 340 triệu. Đơn vò thứ nhất
có 8 xe và ở cách cầu 1,5 km. Đơn vò thứ hai có 4 xe và ở cách cầu 3km. Đơn vò thứ
ba có 6 xe và cách cầu 1km.
Hỏi mỗi đơn vò phải trả bao nhiêu tiền cho việc xây dựng cầu, biết rằng số tiền phải
trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghòch với khoảng cách từ các đơn vò.
Bài 12 :Một bánh xe răng có 75 răng, mỗi phút quay 56 vòng. Một bánh xe khác có
35 răng ăn khớp với các răng của bánh xe trên thì trong 1 phút quay được bao nhiêu
vòng?
Bài 13: Tìm hai số dương biết tổng và tích của chúng tỉ lệ nghòch với 35, 210 và 12
Bài 14: Chia số 393 thành những phần tỉ lệ nghòch với các số 0,2;3
1
3
,
4
5

Bài 15 : Gía hàng hạ 20%. Hỏi cùng với một số tiền có thể mua thêm bao nhiêu %
hàng?
Bài 16: Một người mua vải để may ba áo sơ mi như nhau. Người ấy mua ba loại vải
khổ rộng 0,7m; 0,8m và 1,4m với tổng số vải là 5,7m. Tính số mét vải mỗi loại
người ấy đã mua.
 Biện pháp thực hiện:
 Để thực hiện tốt kỹ năng giaiû các bài toán về đại lượng tỉ lệ nghòch nêu trên
thành thạo trong thực hành giải toán, giáo viên cần cung cấp cho học sinh các
kiến thức cơ bản sau:
- Củng cố lại về tỉ lệ thức,tìm số chưa biết trong một tỉ lệ thức,tính chất dãy tỉ số
bằng nhauvà đại lượng tỉ lệ thuận
- Ngay từ đầu, giáo viên cần chú ý dạy tốt cho HS nắm vững chắc các kiến thức

nhóm, học sáng tạo, tìm những cách giải hay, cách giải khác IV. KẾT LUẬN
Dạy học sinh giải một bài toán không chỉ đơn thuần là giúp học sinh có được
lời giải của bài toán đó, mà cần giúp cho học sinh cách tìm tòi lời giải bài toán thông
qua dạy tri thức,truyền thụ phương pháp . Với cách làm như vậy, dần dần học sinh tự
đúc kết phương pháp giải toán, tiến tới có được phương pháp học tập bộ môn nói
chung và giải toán về tỉ lệ nghòch nói riêng.Mặc dù chỉ là bước đầu thể nghiệm,
những thiếu sót hạn chế vẫn còn nhiều, cần phải tiếp tục rút kinh nghiệm.
Qua thực tiễn vận dụng cách giải bài toán thực tế về đại lượng tỉ lệ nghòch bản
thân tôi rút ra được một số bài học kinh nghiệm sau:
- Việc giải được các bài toán về đại lượng tỉ lệ nghòch sẽ giúp cho các em có
sự thuận lợi hơn khi học một số kiến thức ở các lớp trên như :giải bài toán bằng cách
lập phương trình , đồ thò hàm số y =
a
x
…nên giáo viên cần khắc sâu kiến thức cho
học sinh thông qua việc củng cố lý thuyết và các bài tập rèn luyện kỹ năng từ dễ
đến khó. Qua đó giúp học sinh phát triển năng lự tư duy, nhận xét, phân tích, phán
đoán, tổng hợp.
Phan Thị Kim Khánh - THCS Ng.Viết Xn, Pleiku

18

- Để khắc sâu kiến thức cho học sinh người giáo viên không nhất thiết áp đặt
học sinh tuân thủ theo phương pháp dạy như sách giáo khoa mà phải có sự tìm tòi
sáng tạo trong dạy học