BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI KHU VỰC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO
NĂM 2007
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Lớp 12 THPT
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi:13/3/2007
Chú ý: - Đề thi gồm 3 trang
- Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này
Điểm của toàn bài
thi
Các giám khảo
(Họ, tên và chữ ký)
Số phách
(Do Chủ tịch Hội đồng chấm thi
ghi)
Bằng số Bằng chữ
Giám khảo 1:
Giám khảo 2:
Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống
liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính
xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy
Bài 1 . Cho các hàm số
)0(,1)(
1
≠+=
−
xaxxf
. Giá trị nào của a thoả mãn hệ thức

3)2()]1([6
1

n
n
n
u
n
 
= +
 ÷
 
(a) Hãy chứng tỏ rằng, với N = 1000, có thể tìm ra cặp hai chỉ số l,m lớn hơn N sao cho

[ ]
2≥−
lm
uu
(b)Với N = 1000 000 điều nói trên còn đúng hay không ?
(c) Với các kết quả tính toán như trên. Em có dự đoán gì về giới hạn của dãy số đã cho (khi
∞→n
)
Cách giải
Kết quả
Bài 5. Tìm hàm số bậc 3 đi qua các điểm A(-4 ; 3), B(7 ; 5), C(-5 ; 6), D(-3 ; -8) và tính khoảng
cách giữa hai điểm cực trị của nó.
Cách giải Kết quả
Bài 6. Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí
nguyên liệu làm vỏ hộp (sắt tây) là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Em
hãy cho biết diện tích toàn phần của lon khi ta muốn có thể tích của lon là 314
3
cm
Cách giải Kết quả

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI KHU VỰC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO
NĂM 2007
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Lớp 12 THPT
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi:13/3/2007
SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài Cách giải Kết quả Điểm
1
- Có:

)1(
1
1
))1(( ≠
−
=− a
a
ff

af =
−
)2(
1
- Giải phương trình tìm a:

0)36()31(
2
=−−+− aa
+

−≈a
1,0
2 Áp dụng đạo hàm để tìm cực trị

4034,25)(
4035,0)(
≈
−≈
xf
xf
CD
CT
2,5
2,5
3 Theo cách giải phương trình lượng giác

0 0
1
0 0
2
67 54' 33'' 360
202 5' 27'' 360
x k
x k
≈ +
≈ +
2,5
2,5
4
Chọn MODE Rad, chọn trong 10 số tiếp

1320
563
== ba

22
1395
;
1320
25019
−=−= dc

1791,105≈kc
1,50
1,50
2,0
6
Gọi r và h theo thứ tự là bán kính và
chiều cao hộp sữa. Khi ấy thể tích hộp
sữa là
2
V r h
π
=
và diện tích vỏ hộp là
2
2 2S r r h
π π
= +
. Từ đây, bằng phép thế,
ta có

r
rS
π
2,0
3,0
Bài Cách giải Kết quả Điểm
7
- Áp dụng công thức đổi sang cơ số 10
của logarit, ta có:

2log
3log
3log
2
=
cho hệ phương trình

( )



+=++
+=+
yyxx
xyyx
222
222
log2log3log23
log3loglog
- Suy ra: y = 2x

321 ±−
=x

3
327 ±
=y
,
3
327 ±
=z
2,0
1,0
2,0
9

r
ABAOB
22
sin =
∠

( )
phVnhChtrV
SSSS

−−=

radAOB 8546,1≈∠

5542,73≈S

3
)108cos1(2
3
30cos2
0
0
−
=== a
bb
r
Số đo góc a giữa cạnh của hình chóp cân và mặt phẳng đáy được xác định nhờ công thức:

3
)108cos1(2
cos
0
−
==
a
r
a
Lưu ý rằng đường vuông góc hạ từ đỉnh của “hình chóp cân” xuống mặt đáy của nó sẽ đi qua
tâm của mặt cầu ngoại tiếp đa giác, cho nên bán kính R của mặt cầu này được xác định từ công
thức
a
a
R
sin2
=
, và do đó

Bài 1 (5 điểm). Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình:
4cos2x + 3sinx = 2
Cách giải Kết quả

0
1
360kx +≈
0
2
360kx +≈
0
3
360kx +≈
0
4
360kx +≈

Bài 2 (5 điểm). Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

2332)(
2
+−++= xxxxf
Cách giải Kết quả

≈)(max xf

≈)(min xf
Bài 3 (5 điểm). Tính giá trị của a, b, c, d nếu đồ thị hàm số
dxcxbxay +++=
23
S =

Bài 5 (5 điểm). Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình



=+
=+
19169
543
yx
yx
Cách giải Kết quả


≈
≈
1
1
y
x




=
=
2
2
b
aBài 7 (5 điểm). Tính gần đúng thể tích khối tứ diện ABCD nếu BC = 6 dm, CD = 7 dm,
BD = 8 dm, AB = AC = AD = 9 dm.
Cách giải Kết quả V
≈
3
dmBài 8 (5 điểm). Tính giá trị của biểu thức
1010
baS +=
nếu a và b là hai nghiệm khác nhau của phương
trình
0132
2
=−− xx
.


≈a

≈b

HẾT
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI KHU VỰC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO
NĂM 2007
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Lớp 12 Bổ túc THPT
CÁCH GIẢI, ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN CHO ĐIỂM
Bài Cách giải Đáp số
Điểm
từng
phần
Điểm
toàn
bài
1
Đặt t = sinx thì
11
≤≤−
t
và
2
212cos tx −=
.
Phương trình đã cho chuyển thành phương trình
0238
2

2
Hàm số
2332)(
2
+−++= xxxxf
liên tục trên
đoạn






+−
2
173
;
2
173
.
Tính đạo hàm của hàm số rồi tìm nghiệm của đạo
hàm.
Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút của đoạn
trên và tại nghiệm của đạo hàm.
So sánh các giá trị đó để xác định giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho.
6098,10)(max ≈xf
2,5
5
8769,1)(min ≈xf

1,5
630
4559
−=c
1
4
Tìm tọa độ các điểm A , B , C bằng cách giải các
hệ phương trình tương ứng.
)3;9( −A
0,5
3 1
;
7 7
B
 
−
 ÷
 
0,5
4
Tìm tọa độ các vectơ
AB
và
AC
Tính diện tích tam giác ABC theo công thức
( )
2
22

2

y
v 4=
thì u > 0, v > 0 và u , v là
nghiệm của hệ phương trình



=+
=+
19
5
22
vu
vu
Hệ phương trình đó tương đương với hệ phương
trình



=
=+
3
5
vu
vu
Từ đó tìm được u, v rồi tìm được x, y.



−≈

xfx
có phương trình
).()(')(
000
xxxfxfy −+=
Đường thẳng y = ax – 5a – 4 là tiếp tuyến trên khi
và chỉ khi



−=−−
=
000
0
)(')(45
)('
xxfxfa
xfa

Giải hệ phương trình trên, ta tìm được giá trị của a
rồi tìm được giá trị tương ứng của b.



=
−=
1
1
1
1

3
1935,54 dmV ≈
5 5
8
Gọi a là nghiệm nhỏ của phương trình đã cho thì
.
4
173
,
4
173 +
=
−
= ba
Đặt
ac 2=
và
bd 2=
thì
.
1024
1010
1010
dc
baS
+
=+=
Gán c và d vào hai ô nhớ A và B. Tính
1010
BA +

2
3
,2
89
10
12
3
2
2
SS
SS
SS
SabbaS
+
==
+
=−+=
1024
328393
=S
5 5
9
Chú ý rằng các mặt bên của hình chóp đã cho đều
là tam giác vuông.
Tính các cạnh bên còn lại của hình chóp rồi tính
tổng diện tích các mặt của hình chóp.
2
4296,93 dmS
tp
≈

y
x
x
o
hay là
.
4
9
4
00
0
y
x
y
x
y +−=
Do đó
0
0
9
4
y
x
a −=
và
0
4
y
b =
.

x x x
f x g x
x x
+
= =
+ +
.
1.1 Hãy tính giá trị của các hàm hợp
( ( ))g f x
và
( ( ))f g x
tại
3
5x =
.
Sơ lợc cách giải: Kết quả:
( )
( )
3
5g f
( )
( )
3
5f g
1.2 Tìm các nghiệm gần đúng của phơng trình
( ) ( )f x g x=
trên khoảng
( )
6;6
Sơ lợc cách giải: Kết quả:

= +
.
Sơ lợc cách giải: Kết quả:
3.2 Tìm các cặp số (x, y) nguyên dơng nghiệm đúng phơng trình:
5 2
3 19(72 ) 240677x x y =
.
Sơ lợc cách giải: Kết quả:
( )
1
;x y
= =
( )
2
;x y
= =
Bài 4:
4.1 Sinh viên Châu vừa trúng tuyển đại học đợc ngân hàng cho vay trong 4 năm học mỗi năm 2.000.000 đồng để
nộp học phí, với lãi suất u đãi 3%/năm. Sau khi tốt nghiệp đại học, bạn Châu phải trả góp hàng tháng cho ngân
hàng số tiền
m
(không đổi) cũng với lãi suất 3%/năm trong vòng 5 năm. Tính số tiền
m
hàng tháng bạn Châu
phải trả nợ cho ngân hàng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Sơ lợc cách giải: Kết quả:
4.2 Bố bạn Bình tặng cho bạn ấy một máy tính hiệu Thánh Gióng trị giá 5.000.000 đồng bằng cách cho bạn tiền
hàng tháng với phơng thức sau: Tháng đầu tiên bạn Bình đợc nhận 100.000 đồng, các tháng từ tháng thứ hai trở
đi, mỗi tháng nhận đợc số tiền hơn tháng trớc 20.000 đồng. Nếu bạn Bình muốn có ngay máy tính để học bằng
cách chọn phơng thức mua trả góp hàng tháng bằng số tiền bố cho với lãi suất 0,7%/tháng, thì bạn Bình phải trả

)
với các mặt bên của hình chóp S.ABCD (Mỗi tiếp điểm là hình chiếu của tâm I lên một mặt bên của hình chóp.
Tâm của hình tròn thiết diện là hình chiếu vuông góc H của I xuống mặt phẳng cắt).
Sơ lợc cách giải: Kết quả:
Bài 7:
7.1 Hãy kiểm tra số F =11237 có phải là số nguyên tố không. Nêu qui trình bấm phím để biết số F là số nguyên tồ
hay không.
7.2 Tìm các ớc số nguyên
tố của số:

5 5 5
1897 2981 3523M = + +
.
Sơ lợc cách giải: Kết quả:
Bài 8:
8.1 Tìm chữ số hàng đơn vị của số:
2006
103N =
8.2 Tìm chữ số hàng trăm của số:
2007
29P =
Sơ lợc cách giải: Kết quả:
Bài 9:
+ Trả lời:
+ Qui trình bấm phím:
Cho
2 2 2 2
1 2 3 1
1 .
2 3 4

=
u
20
u
25
u
30

Bài 10: Cho dãy số
n
u
xác định bởi:
+
+
+
+

= = =

+

1
1 2 2
1
2 3
1; 2;
3 2
n n
n
n n

= S
20
=
Qui trình bấm phím để tính u
n
và S
n
:
, nếu n lẻ
, nếu n chẵn
Qui trình bấm phím:
UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 11 THPT năm học 2005 - 2006
Môn : MáY TíNH Bỏ TúI
Đáp án và thang điểm:
Bài Cách giải Đáp số
Điểm
TP
Điểm
toàn
bài
1
1.1 Đổi đơn vị đo góc về Radian
Gán
3
5
cho biến X, Tính
2
2
2 3 5



1,0
2
2.1 Giải hệ phơng trình:
4 3 5 2
450 6x a x b xc x x+ + =
(hệ số ứng với x lần
lợt thay bằng 2, 3, 5; ẩn số là a, b, c). Dùng chức
năng giải hệ 3 phơng trình, các hệ số a
i
, b
i
, c
i
, d
i
có
thể nhập vào trực tiếp một biểu thức, ví dụ
6 2^ 5 2 ^ 2 450 ì
cho hệ số d
i
ứng với x = 2.
Sơ lợc cách
giải
Kết quả
a = -59
b = 161
c = -495
0.5

=

=
Lời giải
Kết quả
0,5
Xét
5
3 240677
72
19
x
y x

=
(điều kiện:
9x >
)
9 STO X, ALPHA X, ALPHA =, ALPHA X+1,
ALPHA : , 72 ALPHA X - ( 3 ALPHA X^5-
240677), bấm = liên tiếp. Khi X = 32 thì đợc kết quả
của biẻu thức nguyên y = 5.
Thay x = 32 vào phơng trình (*), giải pt bậc 2 theo y,
ta đợc thêm nghiệm nguyên dơng y
2
=4603.
( )
( )
32; 5 ;
32; 4603

12 ( 1) 0x Bq m q q q q= + + + + =
, ta đợc
156819m
=
Cách giải
Kết quả
cuối cùng
đúng
0,5
0,5
2
4.2 Tháng thứ nhất, sau khi góp còn nợ:
A = 5000000 -100000 = 4900000 (đồng).
4900000 STO A, 100000 STO B, thì:
Tháng sau góp: B = B + 200000 (giá trị trong ô nhớ
B cộng thêm 20000), còn nợ: A= Aì1,007 -B.
Thực hiện qui trình bấm phím sau:
4900000 STO A, 100000 STO B, 1 STO D, ALPHA
D, ALPHA =, ALPHA D+1, ALPHA : , ALPHA B,
ALPHA =, ALPHA B + 20000, ALPHA : , ALPHA
A, ALPHA =, ALPHA Aì1,007 - ALPHA B, sau đó
bấm = liên tiếp cho đến khi D = 19 (ứng với tháng
19 phải trả góp xong còn nợ: 84798, bấm tiếp =, D =
20, A âm. Nh vậy chỉ cần góp trong 20 tháng thì hết
nợ, tháng cuối chỉ cần góp : 84798ì1,007 = 85392
đồng.
Cách giải
Kết quả
cuối cùng
đúng

=
ã
0
133 27'5"ABC
15.58971171
ABCD
S
6
.
27.29018628; 4.992806526
SH MH
SH IH
MH MS
= = =
+
= R (bán kính mặt cầu nội tiếp).
Thể tích hình cầu (S
1
):
3
3
4
3
521.342129( )
V R
cm

=

.

gán 1 cho biến đếm D, thực hiện các thao tác:
ALPHA D, ALPHA =, ALPHA D+2, ALPHA : ,
11237 ữALPHA D, bấm = liên tiếp (máy 570ES thì
bấm CALC sau đó mới bấm =). Nếu từ 3 cho đến
105 phép chia không chẵn, thì kết luận F là số
nguyên tố.
Qui trình
bấm phím
Kết quả:
F: không
nguyên tố
0,5
0,5
(1897,2981) 271UCLN =
. Kiểm tra thấy 271 là số
nguyên tố. 271 còn là ớc của3523. Suy ra:
( )
5 5 5 5
271 7 11 13M = + +
Bấm máy để tính
5 5 5
7 11 13 549151A = + + =
.
gán 1 cho biến đếm D, thực hiện các thao tác:
ALPHA D, ALPHA =, ALPHA D+2, ALPHA : ,
549151 ữALPHA D, bấm = liên tiếp , phép chia
chẵn với D = 17. Suy ra:
0,5
72
0


ì =


Nh vậy các luỹ thừa của 103 có chữ số tận cùng liên
tiếp là: 3, 9, 7, 1 (chu kỳ 4).
2006 2(mod10)
, nên
2006
103
có chữ số hàng đơn
vị là 9.
0,5
0,5
2
1 2
3 4
5 6
29 29( 1000); 29 841(mod1000);
29 389(mod1000);29 281(mod1000);
29 149(mod1000);29 321(mod1000);
Mod ( )
2
10 5 2
20 2
40 80
29 29 149 201(mod1000);

4 5 6
113 3401 967
; ; ;
144 3600 1200
u u u= = =
1,0
2

20
0,8474920248;u
u
25
0,8895124152;
u
30
0.8548281618
1,0
10
u
10
= 28595 ; u
15
= 8725987 ; u
21
= 9884879423 1,0
2
S
10
= 40149 ; S
15

3 1
x x
y
x x

=
+
,
1 2
' 0 1.204634926; 0.1277118491y x x= = =
1 2
0.02913709779; 3.120046189y y= =
1 2
3.41943026d M M= =
Y"=-6*(13*x^3-21*x^2-6*x+3)/(3*x^2-x+1)^3
Bài 3:
0.4196433776x

( )
3 2
3
2
6(13 21 6 3)
"
3 1
x x x
y
x x
+
=

Sau năm thứ nhất, Châu còn nợ:
1
12x Aq m=
Sau năm thứ hai, Châu còn nợ:
( )
2
2
12 12 12 ( 1)x Aq m q m Aq m q= = +
Sau năm thứ năm, Châu còn nợ
5 4 3 2
5
12 ( 1)x Bq m q q q q= + + + +
.
Giải phơng trình
5 4 3 2
5
12 ( 1) 0x Bq m q q q q= + + + + =
, ta đợc
156819m
=
Bài 6:
.
27.29018628; 4.992806526
SH MH
SH IH
MH MS
= = =
+
: bán kính mặt cầu ngoại tiếp.
Thể tích hình cầu (S