Equation Chapter 1 Section 1
MỤC LỤC TRANG

Phần mở đầu………………………………………… 1
Lý do chọn đề tài……………………………………… 1
Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu………………………. 1
Đối tượng, phạm vi nghiêncứu……………………… 2
Giả thiết khoa học………………………………… 2
Phương pháp nghiên cứu……………………………… 2
Đóng góp về tính khoa học của đề tài………………… 2
Nội dung nghiên cứu……………………………… 2
Cơ sở lý luận………………………………………… 2
Cơ sở thực tiễn……………………………………… 3
Nội dung chính……………………………………… 3 - 13
Kết luận – Kiến nghị………………………………… 13
1111
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“ ỨNG DỤNG CỦA MỘT HỆ THỨC HÌNH HỌC
VÀO GIẢI TOÁN”
A. PHẦN MỞ ĐẦU:
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong quá trình dạy học môn toán ở trường THCS chúng ta thường có thói quen
giải các bài tập một cách đơn điệu và dừng lại ở đó mà chưa quan tâm nhiều đến kết
quả. Vì vậy khi học sinh gặp bài toán mới thường bị động, không biết bắt đầu từ đâu
để tìm lời giải. Những kết quả đó có thể đơn giản nhưng không tầm thường. Bởi đôi
khi kết quả đó lại là công cụ hữu hiệu để giải quyết các bài toán khác khó hơn hoặc
làm cầu nối giữa những bài toán lạ với những bài toán đã biết.
Vì vậy người thầy không nên xem nhẹ kiến thức cơ bản mà cần phát huy tính sáng
tạo của học sinh trước kết quả của mỗi bài toán được giải xong. Kết quả đó cần được
phân tích, phát triển, tổng quát hóa, đặc biệt hóa…từ đó tạo nên một lớp bài toán
“cùng họ hàng với nhau” hoặc những bài toán có chung bài toán gốc.Biển cả bao la

IV. GIẢ THIẾT KHOA HỌC:
1. Dự kiến: Đề tài sẻ được lấy ý kiến của giáo viên toán tại trường sau đó áp dụng
thể nghiệm cho học sinh khá giỏi môn toán trong toàn trường.
2. Dự báo: Đề tài sẻ áp dụng có hiệu quả đối với những buổi dạy nâng cao kiến
thức, bồi dưởng học sinh giỏi
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
1. Phương pháp điều tra.
Đã tiến hành điều tra đối với 32 học sinh lớp 9A giải một số bài toán liên quan đến hệ
thức có bảng số kèm theo
2. Phương pháp thực nghiệm.
Đã áp dụng thực nghiệm tương đối thành công khi giảng dạy nâng cao kiến thức cho
32 học sinh lớp 9A.
3. Phương pháp quy nạp.
Sau khi tiến hành phương pháp điều tra và thực nghiệm bản thân đã rút ra được kết
luận tương đối về sự thụ động của học sinh có năng lực khá giỏi trong việc tiếp cận
và giải quyết các bài toán có liên quan đến hệ thức đưa ra.
VI. ĐÓNG GÓP VỀ TÍNH KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI:
1. Đối với tập thể:
Phù hợp với đổi mới phương pháp dạy học hiện nay
Giúp cho tập thể giáo viên toán thay đổi cách nhìn khi giảng dạy các tiết luyện
tập ôn tập, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi…
2. Đối với cá nhân:
Đã từng bước thay đổi phương pháp dạy học phù hợp giúp học sinh tích cực,
chủ động, tự tin, sáng tạo trong học tập.
B. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU:
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Trong khung chương trình, sách giáo khoa hiện hành của bộ GD&ĐT bậc
THCS môn toán học sinh được học 4 tiết/tuần nên đa số thời gian chỉ để truyền đạt
kiến thức lý thuyết cơ bản. Học sinh được thực hành qua các tiết luyện tập, ôn tập
chủ yếu bằng phương pháp thụ động, giải bài tập là chính. Ngoài ra không ít giáo

Tôi đã tiến hành điều tra thực nghiệm 32 học sinh khá, giỏi lớp 9A trường
THCS nơi tôi đang công tác việc giải bài toán 4 và bài toán 7 trong đề tài có liên
quan đến hệ thức hình học đã học năm học 2012 – 2013:
Kết quả thu được như sau:
Số lượng
HS được
điều tra
Nội điều tra SL, TL học
sinh có liên hệ
đến hệ thức
SL học sinh
không có sự liên
hệ
SL học sinh
liên tưởng đến
kiến thức khác
32
Điều tra việc giải các
bài toán có liên quan
đến hệ thức hình học
SL: 5 em
TL: 16%
SL: 18 em
TL: 56%
SL: 9em
TL: 28%
4444
Nhận xét : Nhìn vào bảng kết quả ta thấy đa số học sinh không có sự liên hệ
với hệ thức đã học để giải các bài toán có liên quan.
1.4. Các giải pháp đã thực hiện.

ACAB
AFAE
ACAB
AFAE
ACBK
EHAF
S
S
ABC
AEF
.
.
.
2
1
.
2
1
.
2
1
.
2
1
===
Vậy:
.
.
AEE
ABC

AE AF
S AB AC
=

Một số ứng dụng của bài toán gốc.
Bài 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Đường thẳng bất kỳ cắt các cạnh
AB, AC và AM thứ tự tại E, F và I.
Chứng minh:
2.
AB AC AM
AE AF AI
+ =
Chứng minh: Ta có:
) ( 2
.
.
.
.
2
1
.
.
22
ABAFACAEAIAMAFAE
AMAC
AIAF
AMAB
AIAE
ACAB
AFAE

M
I
F
E
C
B
A
Hình 2
Vậy:
2.
AB AC AM
AE AF AI
+ =
Đặc biệt khi I là trọng tâm ta có bài tập sau:
Bài 2: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Đường thẳng bất kỳ đi qua trọng tâm
G cắt các cạnh AB và AC thứ tự tại E và F.
Chứng minh:
3
AB AC
AE AF
+ =
Giải: Ta có thể giải bài này theo nhiều cách khác nhau:
Lời giải 1(Hình 3): Từ kết quả của bài 1 ta có ngay kết quả
3
AB AC
AE AF
+ =
6666

M

+
+ =
Mặt khác:
(2)BIM CKM MI MK∆ = ∆ ⇒ =
Từ (1) và (2) suy ra:
2. 3
AB AC AM
AE AF AG
+ = =
.
Vậy:
3
AB AC
AE AF
+ =
Lời giải 3(Hình 5):

K
I
M
G
F
E
B
C
A
Hình 5
Kẻ BI, CK lần lượt song song với AM (I, K thuộc d)khi đó MG là đường trung bình
của hình thang BCKI nên BI + CK = 2GM (*):
(1)

I
F
E
C
B
A
M
Hình 6
Do AK // MP
2 2
AK AG
AK MP
MP GM
⇒ = = ⇒ =
kết hợp với (1)
⇒
BI + CQ = AK
Ta có:
2 2 2 2 3
AB AC AE EB AF FC EB CF BI CQ BI CQ AK
AE AF AE AF AE AF AK AK AK AK
+ + +
+ = + = + + = + + = + = + =
Vậy:
3
AB AC
AE AF
+ =
Nhận xét: Từ kết quả của bài tập 2 ta thấy
AB AC

   
= + ≤ + +
 ÷  ÷
   
⇔ + ≥ =
+
Vậy:

2 2 2
1 1 9
AE AF BC
+ ≥
F
E
G
M
C
B
A
Hình 7
Lời giải 2(Hình 8):

F
E
G
H
M
C
B
A

F
E
B
C
A
Hình 9
Áp dụng bất đẳng thức (a + b)
2

≥
4ab. Đẳng thức xẩy ra khi a = b ta có:
2
9
( ) 4 . 9 4
4
ABC
AEF ABC
AEF
S
AB AC AB AC
S S
AE AF AE AF S
+ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
9999
Đẳng thức xẩy ra
BCd
AF
AC
AE
AB

AE
AC
x
AF
= ≤ ≤
⇒ = −

Ta có:
. 1
(3 ) ( 1)(2 ) 2 2
. 2
ABC
AEE ABC
AEF
S
AB AC
x x x x S S
S AE AF
= = − = − − + ≥ ⇒ ≤
không đổi. Đẳng
thức xấy ra khi và chỉ khi x = 1 hoặc x = 2
Vậy GTLN của
1
2
AEF ABC
S S=
. Dấu bằng đạt được khi E trùng B hoặc F trùng C
Nhận xét:
Từ bài 4 và bài 5 ta có thể tìm được GTNN và GTLN của tứ giác BCFE
Bài 6: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Đường thẳng bất kỳ đi qua trọng tâm

(3)
10101010
Từ (1), (2), (3) suy ra:
BEF CEF
S S+
9
4
ABC
S≥
Vậy GTNN(
BEF CEF
S S+
) =
9
4
ABC
S

BCd //
⇔
Tiếp tục dùng kết quả của bài toán gốc . Ta có các bài tập sau:
Bài 7: Gọi AP, BF, CE lần lượt là các đường cao của tam giác nhọn ABC.
Chứng minh rằng:
2 2 2
1
EFP
ABC
S
cos A cos B cos C
S

= =
Do đó:
2 2 2
1
EFP
ABC
S
cos A cos B cos C
S
= − − −
.Bài 8: Gọi AP, BF, CE lần lượt là các đường phân giác trong của tam giác nhọn
ABC. Tìm điều kiện của tam giác ABC để GTLN của
AEF
S
11111111
P
F
E
C
B
A
Lời giải(Hình 12): Đặt AB = c, AC = b, BC = a
Ta có:
.
. .
.
AEF

( )( )( )
EFP
ABC
S abc
S a b b c c a
=
+ + +
(1) Hình 12
Do:
abccacbbaacacbccbabba 8))()((2;2;2
≥+++⇒≥+≥+≥+
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
ABCAEF
ABC
AEF
SS
S
S
4
1
4
1
≤⇒≤
.
Dấu “ = ” đạt được khi và chỉ khi a = b = c.
Vậy GTLN(
AEF
S
) =

1
1
BM CN PA
AB BC AC k
= = =
+
(t/c tỉ lệ thức)
( )
2
.
.
1
AMP
ABC
S AM AP k
S AB AC
k
= =
+
. Tương tự:
( ) ( )
2 2
;
1 1
BMN CNP
ABC ABC
S S
k k
S S
k k

⇔
1-
( )
2
3
1
k
k +
=
5
8

⇔
k
2
– 6k + 1 = 0. Bài toán có hai nghiệm:
1 2
3 2 2 ; 3 2 2k k= + = −
thoả mãn

Hình 13
Bài 10: Cho hình bình hành ABCD trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy các điểm M,
N sao cho
2
BM CN
k
MC DN
= =
. Gọi P, Q theo thứ tự là giao điểm của AM, AN với BD.
a) So sánh diện tích của PMNQ và APQ

+ +
= = + =
1 2
CD DN CN
k
DN DN
+
= = +
Kết hợp với định lý talét ta có:
1
PM BM BM k
AP AD BC k
= = =
+
và
1
2 1
QN DN DN
AQ AB DC k
= = =
+
. Thay vào (*) ta có:
AMN
APQ
S
S
=
1
1 1
1 2 1

= = =
+
Ta có:
2 1
1 ;
2
CB CD k
k
CM CN k
+
= + =
Suy ra:
13131313

( )
( ) ( )
( ) ( )
2
1
2 2 2
1 1 2
1
2 1 2 1 1 2 1
2 2 1
2 1 2 1
ABCD ABM ADN CMN
AMN
ABCD ABCD
ADN CMN
ABM

Sau khi đề tài hoàn thiện tôi đã áp dụng với lớp 9A trường THCS nơi đang công
tác năm học 2013 – 2014 thấy hiệu quả khá rõ nét. Không những thế khi tôi dạy
những bài toán đơn giản ở sách giáo khoa học sinh từng bước hình thành được thói
quen phân tích, tìm tòi, sáng tạo và tự tin tiếp cận kiến thức.
Kết quả cụ thể:
Số lượng
HS được
điều tra
Nội điều tra SL, TL học
sinh có liên hệ
đến hệ thức
SL học sinh
không có sự liên
hệ
SL học sinh
liên tưởng đến
kiến thức khác
30
Điều tra việc giải các
bài toán có liên quan
đến hệ thức hình học
SL: 16 em
TL: 53%
SL: 5em
TL: 17%
SL: 9em
TL: 30%
Nhận xét: Qua bảng số liệu ta thấy sau khi thay đổi phương pháp dạy số lượng HS có
sự liên hệ giữa kiến thức đã học với kiến thức mới chiếm tỉ lệ tương đối cao.
Sau đây kết quả học sinh giỏi cấp Huyện, cấp Tĩnh của trường trong 3 năm học

lên hết những hệ thức khác. Đây chỉ là kinh nghiệm nhỏ của bản thân trong quá trình
dạy học, nghiên cứu, tích lũy được mong được sự góp ý từ các bạn đồng nghiệp và
các em học sinh để đề tài được phong phú hơn về nội dung.
Với những thử nghiệm mang lại hiệu quả như vậy hy vọng đề tài sẻ được đồng
nghiệp đón nhận và nhân rộng trong đội ngũ giáo viên toán rong quá trình dạy học ôn
tập kiến thức, dạy bồi dưỡng cho học sinh
Phạm vi ứng dụng của đề tài chỉ bó hẹp trong khoảng 1 đến 2 buổi dạy nhưng
điều tác giả muốn gữi gắm ở đây chính là người thầy cần phải thay đổi tư duy, phương
pháp dạy học để những hệ thức tương tự sẻ được ứng dụng triệt để trong quá trình dạy
học nhằm đi tới mục đích cuối cùng là sự chủ động sáng tạo của thầy và trò sau mỗi
giờ lên lớp.
Để đề tài được hoàn thiện thời gian tới tác giả tiếp tục nghiên cứu các vấn đề
tương tự, kính mong các cấp, bạn đồng nghiệp tiếp tục ủng hộ để đề tài hoàn thiện
trong thời gian tới.
15151515
2. Kiến nghị:
* Với câp trên: Tăng cường bồi dưỡng các chuyên đề chuyên sâu về phương
pháp dạy học theo từng chủ đề cụ thể để giáo viên trao đổi kinh nghiệm và học hỏi lẫn
nhau. Có thể mời các chuyên viên giàu kinh nghiệm về lên lớp.
* Đối với chuyên môn nhà trường: Chú trọng công tác đội ngũ, có kế hoạch
bồi dưỡng thường xuyên, dài hơi nhằm đáp ứng yêu cầu, nhiệm vụ mới.
* Đối với tổ chuyên môn: Nên đi sâu các chuyên đề, chuyên đề phải có tính
ứng dụng thực tế cao, đổi mới công tác sinh hoạt tổ chuyên môn, tránh hình thức.
* Đối với giáo viên: Thường xuyên trau dồi kiến thức, nghiệp vụ, cần tiếp cận
những kiến thức mới qua nhiều kênh thông tin khác nhau.
* Với học sinh: Cân có thái độ nghiêm túc trong học tập, có ý thức tự giác, tự
học, tự nghiên cứu từ đó xuất hiện tính sáng tạo trong học toán.
Hà Tĩnh, ngày 22 tháng 11 năm 2013
Người viết