Equation Chapter 1 Section 1
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
" ỨNG DỤNG CỦA MỘT HỆ THỨC HÌNH HỌC VÀO GIẢI
TOÁN"
A. PHẦN MỞ ĐẦU:
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong quá trình dạy học môn toán ở trường THCS chúng ta thường có thói quen giải
các bài tập một cách đơn điệu và dừng lại ở đó mà chưa quan tâm nhiều đến kết quả. Vì
vậy khi học sinh gặp bài toán mới thường bị động, không biết bắt đầu từ đâu để tìm lời
giải. Những kết quả đó có thể đơn giản nhưng không tầm thường. Bởi đôi khi kết quả đó
lại là công cụ hữu hiệu để giải quyết các bài toán khác khó hơn hoặc làm cầu nối giữa
những bài toán lạ với những bài toán đã biết.
1111
Vì vậy người thầy không nên xem nhẹ kiến thức cơ bản mà cần phát huy tính sáng tạo
của học sinh trước kết quả của mỗi bài toán được giải xong. Kết quả đó cần được phân
tích, phát triển, tổng quát hóa, đặc biệt hóa…từ đó tạo nên một lớp bài toán “cùng họ
hàng với nhau” hoặc những bài toán có chung bài toán gốc.Biển cả bao la cũng bắt
nguồn từ những con suối nhỏ, một bài toán dù khó đến đâu cũng có cội nguồn từ bài toán
đã biết. Như vậy với mỗi buổi học ôn tập kiến thức, dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi
thầy và trò không cần phải giải thật nhiều bài toán, đôi khi chỉ cần một đến hai bài là đủ
và bài toán đó không phải ở đâu xa mà ở ngay trong sách giáo khoa hoặc sách bài tập.
Thực tế qua hoạt động dạy học như vậy người thầy cũng rút ra được nhiều kinh nghiệm
quý báu cho bản thân, thậm chí học tập được từ học trò thêm những điều bổ ích.
Làm như vậy là chúng ta đã tạo được sự hứng thú cho người học, phát huy được tính
tích cực, độc lập, chủ động, sáng tạo của học sinh, khơi nguồn cảm hứng tự nghiên cứu
tài liệu cho học sinh đó chính là tiền đề cho các em từng bước chiếm lĩnh tri thức một
cách chủ động trước những vấn đề mới và khó. Qua đó nhằm giáo dục tính kiên trì, bản
lĩnh cá nhân góp phần giáo dục kỷ năng sống cho học sinh trong suốt quá trình học tập.
Chính vì những lý do trên nên bước đầu tôi đã chọn tên đề tài nghiên cứu: “ Ứng
dụng của một hệ thức hình học vào giải toán” đây chỉ là một phần kiến thức nhỏ hẹp

quyết các bài toán có liên quan đến hệ thức đưa ra.
VI. ĐÓNG GÓP VỀ TÍNH KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI:
1. Đối với tập thể:
Phù hợp với đổi mới phương pháp dạy học hiện nay
Giúp cho tập thể giáo viên toán thay đổi cách nhìn khi giảng dạy các tiết luyện tập
ôn tập, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi…
2. Đối với cá nhân:
Đã từng bước thay đổi phương pháp dạy học phù hợp giúp học sinh tích cực, chủ
động, tự tin, sáng tạo trong học tập.
B. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU:
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Trong khung chương trình, sách giáo khoa hiện hành của bộ GD&ĐT bậc THCS
môn toán học sinh được học 4 tiết/tuần nên đa số thời gian chỉ để truyền đạt kiến thức lý
thuyết cơ bản. Học sinh được thực hành qua các tiết luyện tập, ôn tập chủ yếu bằng
phương pháp thụ động, giải bài tập là chính. Ngoài ra không ít giáo viên nhận thức chưa
đúng về chuẩn KTKN, giảm tải nên chưa mạnh dạn đổi mới phương pháp dạy học. Mặt
khác bản thân giáo viên cũng chưa quen phát triển, tổng quát hóa, đặc biệt hóa, khai
thác sâu thêm các kết quả của những bài toán "điển hình" để phục vụ học sinh khá giỏi.
Vì vậy đối tượng học sinh khá giỏi thường tự hài lòng với kết quả đó.
4444
II. CƠ SỞ THỰC TIỂN:
1. Thực trạng.
1.1. Thuận lợi:
Thực tế tại trường chúng tôi việc dạy học theo hướng mở cũng đã được nhà trường, tổ
chuyên môn quan tâm đúng mức nhằm giúp giáo viên và học sinh nhìn nhận sâu sắc
những kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa, sách bài tập. Đa số giáo viên giảng dạy
môn toán đã chú ý đến phương pháp dạy học, chú trọng khắc sâu kiến thức cơ bản, từ đó
phân tích, khai thác thêm, phát hiện những vấn đề mới liên quan.
Tỉ lệ học sinh khá giỏi ở trường nơi đang công tác tương đối cao nên thuận lợi cho
công tác giảng dạy.

SL học sinh
liên tưởng
đến kiến
thức khác
32
Điều tra việc giải
các bài toán có
liên quan đến hệ
thức hình học
SL: 5 em
TL: 16%
SL: 18 em
TL: 56%
SL: 9em
TL: 28%
Nhận xét : Nhìn vào bảng kết quả ta thấy đa số học sinh không có sự liên hệ với hệ
thức đã học để giải các bài toán có liên quan.
1.4. Các giải pháp đã thực hiện.
Thay đổi phương pháp dạy học: Đối với những kiến thức, những bài tập có tính
điển hình có thể áp dụng làm được nhiều bài tập khác. Giáo viên nên phân tích kỷ, nhìn
nhiều góc độ khác nhau. Tiếp đến có thể đề xuất các bài toán tương tự. Đặc biệt là hình
thành kỷ thuật phân tích bài toán để làm tái hiện các kiến thức đã học. Thực tế nếu giáo
viên làm được như vậy thì sẻ phát huy được tính chủ động của học sinh trong quá trình
học tập.
6666
Kiến thức: Đề tài còn liên quan đến một số kiến thức về đại số như các bất đẳng
thức quen thuộc.
Sau đây là nội dung chính của đề tài nghiên cứu, đã áp dụng dạy nâng cao kiến
thức tại Lớp 9A trường THCS nơi bản thân đang công tác.
III. NỘI DUNG CHÍNH.

.
.
2
1
.
2
1
.
2
1
.
2
1
===
Vậy:
.
.
AEE
ABC
S AE AF
S AB AC
=
.

K
H
F
E
C
B

AE AF AI
+ =
Chứng minh: Ta có:
) ( 2
.
.
.
.
2
1
.
.
22
ABAFACAEAIAMAFAE
AMAC
AIAF
AMAB
AIAE
ACAB
AFAE
S
S
S
S
S
S
ACM
AIF
ABM
AEI

2.
AB AC AM
AE AF AI
+ =
Đặc biệt khi I là trọng tâm ta có bài tập sau:
Bài 2: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Đường thẳng bất kỳ đi qua trọng tâm G
cắt các cạnh AB và AC thứ tự tại E và F.
Chứng minh:
3
AB AC
AE AF
+ =
Giải: Ta có thể giải bài này theo nhiều cách khác nhau:
Lời giải 1(Hình 3): Từ kết quả của bài 1 ta có ngay kết quả
3
AB AC
AE AF
+ =

M
G
F
E
B
C
A
Hình 3
Lời giải 2(Hình 4):
9999


.
Vậy:
3
AB AC
AE AF
+ =
Lời giải 3(Hình 5):

K
I
M
G
F
E
B
C
A
Hình 5
Kẻ BI, CK lần lượt song song với AM (I, K thuộc d)khi đó MG là đường trung bình của
hình thang BCKI nên BI + CK = 2GM (*):
(1)
EB BI AB BI AG
AE AG AE AG
+
= ⇒ =
10101010
(2)
CF CK AC CK AG
AF AG AF AG
+

2 2
AK AG
AK MP
MP GM
⇒ = = ⇒ =
kết hợp với (1)
⇒
BI + CQ = AK
Ta có:
2 2 2 2 3
AB AC AE EB AF FC EB CF BI CQ BI CQ AK
AE AF AE AF AE AF AK AK AK AK
+ + +
+ = + = + + = + + = + = + =
Vậy:
3
AB AC
AE AF
+ =
11111111
Nhận xét: Từ kết quả của bài tập 2 ta thấy
AB AC
AE AF
+
= 3 luôn không đổi khi đường
thẳng d thay đổi và cắt hai cạnh AB, AC của tam giác ABC. Kết quả quan trọng này
lại trở thành bài toán gốc để giải quyết một số bài toán khác.
Chẳng hạn:
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến AM. Đường thẳng bất kỳ đi qua
trọng tâm G của tam giác cắt các cạnh AB và AC thứ tự tại E và F.

1 1 9
AE AF BC
+ ≥
F
E
G
M
C
B
A
Hình 7
12121212
Lời giải 2(Hình 8):

F
E
G
H
M
C
B
A
Hình 8
Kẻ AH vuông góc với EF (H thuộc EF). Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông
AEF ta có:
2 2 2
1 1 1
(1)
AE AF AH
+ =

2

≥
4ab. Đẳng thức xẩy ra khi a = b ta có:
2
9
( ) 4 . 9 4
4
ABC
AEF ABC
AEF
S
AB AC AB AC
S S
AE AF AE AF S
+ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
Đẳng thức xẩy ra
BCd
AF
AC
AE
AB
//
⇔=⇔
. Vậy GTNN(
AEF
S
) =
9
4

Ta có:
. 1
(3 ) ( 1)(2 ) 2 2
. 2
ABC
AEE ABC
AEF
S
AB AC
x x x x S S
S AE AF
= = − = − − + ≥ ⇒ ≤
không đổi. Đẳng thức xấy ra
khi và chỉ khi x = 1 hoặc x = 2
Vậy GTLN của
1
2
AEF ABC
S S=
. Dấu bằng đạt được khi E trùng B hoặc F trùng C
Nhận xét:
Từ bài 4 và bài 5 ta có thể tìm được GTNN và GTLN của tứ giác BCFE
Bài 6: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Đường thẳng bất kỳ đi qua trọng tâm G
cắt các cạnh AB và AC thứ tự tại E và F.
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích các tam giác BFE và CEF
Lời giải (Hình 10): Hình 10
Kẻ BP, MI, CN cùng vuông góc với đường thẳng EF

S≥
Vậy GTNN(
BEF CEF
S S+
) =
9
4
ABC
S

BCd //
⇔
Tiếp tục dùng kết quả của bài toán gốc . Ta có các bài tập sau:
Bài 7: Gọi AP, BF, CE lần lượt là các đường cao của tam giác nhọn ABC.
Chứng minh rằng:
2 2 2
1
EFP
ABC
S
cos A cos B cos C
S
= − − −
Lời giải (Hình 11):
Ta có:
2
.
.
.
AEF

cos A cos B cos C
S
= − − −
.Bài 8: Gọi AP, BF, CE lần lượt là các đường phân giác trong của tam giác nhọn ABC.
Tìm điều kiện của tam giác ABC để GTLN của
AEF
S
P
F
E
C
B
A
Lời giải(Hình 12): Đặt AB = c, AC = b, BC = a
Ta có:
.
. .
.
AEF
ABC
s AE AF AE AF b c
S AB AC AB AC a b c a
= = =
+ +
Tương tự ta có:
. ; .
CFP

Do:
abccacbbaacacbccbabba 8))()((2;2;2
≥+++⇒≥+≥+≥+
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
ABCAEF
ABC
AEF
SS
S
S
4
1
4
1
≤⇒≤
.
Dấu “ = ” đạt được khi và chỉ khi a = b = c.
Vậy GTLN(
AEF
S
) =
ABC
S
4
1
∆⇔
ABC đều.
Nhận xét:
Như vậy nếu biết độ dài 3 cạnh kết hợp với định lý Hêrông ta sẻ tính được diện tích

2
.
.
1
AMP
ABC
S AM AP k
S AB AC
k
= =
+
. Tương tự:
( ) ( )
2 2
;
1 1
BMN CNP
ABC ABC
S S
k k
S S
k k
= =
+ +
.
18181818
Từ đó ta có:
( )
ABC AMP BMN CNP
MNP

=
5
8

⇔
k
2
– 6k + 1 = 0. Bài toán có hai nghiệm:
1 2
3 2 2 ; 3 2 2k k= + = −
thoả mãn

Hình 13
Bài 10: Cho hình bình hành ABCD trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy các điểm M, N
sao cho
2
BM CN
k
MC DN
= =
. Gọi P, Q theo thứ tự là giao điểm của AM, AN với BD.
a) So sánh diện tích của PMNQ và APQ
b) Tính diện tích tam giác AMN theo k và theo diện tích của ABCD
Lời giải (hình 14): a) Ta có:

.
.
.
AMN
APQ

= = +
Kết hợp với định lý talét ta có:
1
PM BM BM k
AP AD BC k
= = =
+
và
1
2 1
QN DN DN
AQ AB DC k
= = =
+
. Thay vào (*) ta có:
AMN
APQ
S
S
=
1
1 1
1 2 1
k
k k
  
+ +
 ÷ ÷
+ +
  

k
CM CN k
+
= + =
Suy ra:

( )
( ) ( )
( ) ( )
2
1
2 2 2
1 1 2
1
2 1 2 1 1 2 1
2 2 1
2 1 2 1
ABCD ABM ADN CMN
AMN
ABCD ABCD
ADN CMN
ABM
ABC ADC DBC
S S S S
S
S S
S S
S
S S S
k k

HS
được
điều tra
Nội điều tra SL, TL học
sinh có liên
hệ đến hệ
thức
SL học sinh
không có sự
liên hệ
SL học sinh
liên tưởng
đến kiến
thức khác
30 Điều tra việc giải
các bài toán có
SL: 16 em SL: 5em SL: 9em
21212121
liên quan đến hệ
thức hình học
TL: 53% TL: 17% TL: 30%
Nhận xét: Qua bảng số liệu ta thấy sau khi thay đổi phương pháp dạy số lượng HS có sự
liên hệ giữa kiến thức đã học với kiến thức mới chiếm tỉ lệ tương đối cao.
Sau đây kết quả học sinh giỏi cấp Huyện, cấp Tĩnh của trường trong 3 năm học gần
đây.
Năm học
HSG Huyện HSG cấp Tỉnh
Số
lượng
Tỉ lệ

nghiên cứu, tích lũy được mong được sự góp ý từ các bạn đồng nghiệp và các em học
sinh để đề tài được phong phú hơn về nội dung.
Với những thử nghiệm mang lại hiệu quả như vậy hy vọng đề tài sẻ được đồng
nghiệp đón nhận và nhân rộng trong đội ngũ giáo viên toán rong quá trình dạy học ôn tập
kiến thức, dạy bồi dưỡng cho học sinh
23232323
Phạm vi ứng dụng của đề tài chỉ bó hẹp trong khoảng 1 đến 2 buổi dạy nhưng điều
tác giả muốn gữi gắm ở đây chính là người thầy cần phải thay đổi tư duy, phương pháp
dạy học để những hệ thức tương tự sẻ được ứng dụng triệt để trong quá trình dạy học
nhằm đi tới mục đích cuối cùng là sự chủ động sáng tạo của thầy và trò sau mỗi giờ lên
lớp.
Để đề tài được hoàn thiện thời gian tới tác giả tiếp tục nghiên cứu các vấn đề tương
tự, kính mong các cấp, bạn đồng nghiệp tiếp tục ủng hộ để đề tài hoàn thiện trong thời
gian tới.
2. Kiến nghị:
* Với câp trên: Tăng cường bồi dưỡng các chuyên đề chuyên sâu về phương pháp
dạy học theo từng chủ đề cụ thể để giáo viên trao đổi kinh nghiệm và học hỏi lẫn nhau.
Có thể mời các chuyên viên giàu kinh nghiệm về lên lớp.
* Đối với chuyên môn nhà trường: Chú trọng công tác đội ngũ, có kế hoạch bồi
dưỡng thường xuyên, dài hơi nhằm đáp ứng yêu cầu, nhiệm vụ mới.
* Đối với tổ chuyên môn: Nên đi sâu các chuyên đề, chuyên đề phải có tính ứng
dụng thực tế cao, đổi mới công tác sinh hoạt tổ chuyên môn, tránh hình thức.
* Đối với giáo viên: Thường xuyên trau dồi kiến thức, nghiệp vụ, cần tiếp cận
những kiến thức mới qua nhiều kênh thông tin khác nhau.
* Với học sinh: Cân có thái độ nghiêm túc trong học tập, có ý thức tự giác, tự học,
tự nghiên cứu từ đó xuất hiện tính sáng tạo trong học toán.
Hà Tĩnh, ngày 22 tháng 11 năm 2013
Người viết

24242424