1. MỞ ĐẦU
1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GỢI ĐỘNG CƠ CHO VIỆC
HÌNH THÀNH ĐỊNH LÝ VÀ ĐỊNH HƯỚNG GIẢI
MỘT SỐ BÀI TẬP Ở CHƯƠNG II, III .HÌNH HỌC
LỚP 11
Người thực hiện: Cao Tú Cường
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2014
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Định hướng đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay nhằm
phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo và độc lập suy nghĩ của học sinh, đòi
hỏi học sinh chủ động trong quá trình tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm vụ
nhận thức dưới sự tổ chức, hướng dẫn của giáo viên. Vì vậy, việc giáo dục
Toán học ở trường THPT đặt ra yêu cầu đối với người học phải có nền tảng tri
thức cơ bản vững vàng, nâng cao khả năng ứng dụng, vận dụng vào học tập
và đời sống. Dù khai thác theo định hướng nào, đều có quan điểm chung trên
tinh thần đổi mới phương pháp giảng dạy theo Lý thuyết kiến tạo, tức là: học
sinh phải huy động kiến thức, tập trung suy nghĩ, độc lập sáng tạo để giải
quyết vấn đề dưới sự hướng dẫn, gợi động cơ của giáo viên.
Ở những lớp dưới, thầy giáo thường dùng những cách như: cho điểm,
khen chê, thông báo kết quả học tập cho gia đình… để gợi động cơ. Càng lên
lớp cao, cùng với sự trưởng thành của học sinh, với trình độ nhận thức và giác
ngộ chính trị ngày càng được nâng cao, những cách gợi động cơ xuất phát từ
nội dung hướng vào những nhu cầu nhận thức, nhu cầu của đời sống, trách
nhiệm đối với xã hội ngày càng trở nên quan trọng.

2. 3. Giải pháp thực hiện
a) Gợi động cơ cho việc hình thành định lý:
Đối với việc dạy học định lý Toán học, người ta phân biệt hai con đường:
con đường có khâu suy đoán và con đường suy diễn. Hai con đường này
được minh họa bằng sơ đồ sau:
Con đường có khâu suy đoán Con đường suy diễn
3
Gợi động cơ và phát biểu vấn đề
Gợi động cơ và phát biểu vấn đề
Dự đoán và phát biểu định lí Suy diễn định lý
Chứng minh định lí Phát biểu định lí
Vận dụng định lí để giải quyết vấn đề dặt ra
Củng cố định lí
Qua sơ đồ trên cho thấy, dù đi theo con đường nào chúng ta cũng phải
chú ý tới bước gợi động cơ cho việc hình thành định lý. Việc gợi động cơ cho
việc hình thành định lý xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc
trong nội bộ Toán học [1, tr.383].
Dưới đây chúng ta xét cụ thể một số ví dụ thông qua dạy học các định lý
về hai đường thẳng chéo nhau quan hệ vuông góc:
Ví dụ 1: Gợi động cơ cho việc hình thành định lý đường vuông góc chung
của hai đường thẳng chéo nhau:
"Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, luôn luôn có duy nhất một
đường thẳng
∆
cắt cả a và b, và vuông góc với mỗi đường thẳng ấy. Đường
thẳng
∆
đó được gọi là đường vuông góc chung của a và b" [2, tr.80].
Để dạy học định lý này, đầu tiên chúng ta có thể gợi động cơ cho học sinh
như sau:

ba cắt và vuông góc làm bằng các thanh thép (hoặc nhôm) được hàn kết với
nhau.
Từ các trường hợp riêng hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với
nhau và xét mô hình trực quan để học sinh phát biểu mệnh đề tổng quát về
sự tồn tại và duy nhất đường thẳng cắt và vuông góc với hai đường thẳng
chéo nhau.
Ví dụ 2: Xét định lý mở đầu về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
"Nếu đường thẳng
∆
vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm
trong mặt phẳng (P) thì
∆
vuông góc với mọi đường thẳng c nằm trong mặt phẳng
(P)" [2, tr.59].
Tạo tình huống: Chúng ta có thể dùng các mô hình (có thể làm bằng tấm
bìa nhỏ và các dây thép nhỏ) và gợi ý cho học sinh như sau:
Vật liệu: Hai thanh thép (hoặc nhôm) mảnh, thẳng được hàn kết với nhau
ở giữa và tạo lỗ thủng để có thể cắm vừa vào thanh thép thứ ba vuông góc với
hai thanh nói trên; chúng mô tả các đường thẳng a, b cắt nhau và đường
thẳng thứ ba vuông góc với hai đường thẳng kia.
5
C
O
d
y
x
z
A
Hình 1.2
B

đường thẳng a và b cắt nhau và hai đường thẳng này cùng song song với mặt
phẳng (
β
) cho trước thì mặt phẳng (
α
) và (
β
) song song với nhau" [2, tr.33].
Tạo tình huống: Hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
(hình 1.4a) làm bằng
bìa hoặc gỗ mỏng được cắt thành hai nửa ((hình 1.4b) và (hình 1.4c)) và
chúng có thể gắn kết lại bằng những nam châm mỏng.
Giáo viên cho học sinh quan sát (hình 1.4a) và nhận xét mặt phẳng
(ABCD) song song với mặt phẳng (A
1
B
1
C
1
D
1
). Cho học sinh nhận xét tiếp các
6


cắt nhau song song với mặt phẳng (B
1
C'
1
A'
1
) và (hình 1.9c) chỉ có cặp
đường thẳng (DA", DC") mỗi đường song song với mặt phẳng (A"
1
C"
1
D
1
). Tuy
nhiên vẫn giữ nguyên các cặp mặt phẳng (A
1
BC
1
); (A'
1
B
1
C'
1
) song song với
nhau và (DA"C"), (D
1
A"
1

B
B
1
C'
1
C'
A'
D
A"
C"
1
C"
A"
1
A'
1
D
1
b) c)
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài.
* Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thể thoả mãn các điều
kiện cho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn?
* Hãy vẽ hình. Hãy sử dụng kí hiệu thích hợp.
* Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các điều
kiện đó thành công chức hay không?
Bước 2: Tìm cách giải
* Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một
dạng hơn khác?
* Hãy xét kỹ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng
cái chưa biết hay có cái cho biết tương tự?

củng cố các khái niệm, định lý. Hệ thống bài tập gốc đóng vai trò hết sức quan
trọng và ngoài chức năng củng cố kiến thức cho học sinh, hệ thống bài tập gốc
còn góp phần định hướng tìm tòi lời giải cho các dạng toán, nhất là các dạng
toán có quy trình giải. Việc thực hiện quy trình trong dạy học toán không
những hướng cho học sinh tới tư tưởng thuật toán mà còn tạo điều kiện cho
sử dụng mềm mại, uyển chuyển các phương pháp dạy học khác nhau, dựa vào
những kiến thức cần truyền đạt để dạy học sinh tưởng tượng, phát triển trực
giác Toán học, giúp học sinh phát triển tư duy tích cực, độc lập sáng tạo. Chúng
ta hãy xét các ví dụ sau:
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD thuộc mặt phẳng (P). Gọi S là điểm
không thuộc mặt phẳng (P). Các điểm M, N lần lượt là trung điểm các đoạn AB
và SD. Xác định giao tuyến của các mặt phẳng.
a) (SMN) và (P)
b) (SMN) và (SAC)
Giáo viên gợi động cơ định hướng tìm lời giải bài toán trên bằng các câu
hỏi sau:
9
- Cho hai mặt phẳng (α) và (β) tìm giao tuyến hai mặt phẳng đó ta phải
làm như thế nào?
+ Ta phải tìm ra hai điểm chung A, B của 2 mặt phẳng đó. Vì A, B ∈ (α)
nên theo tiên đề hai của mặt phẳng thì mọi điểm trên đường thẳng AB đều
thuộc mặt phẳng (α). Tương tự với A, B ∈ (β). Vậy giao tuyến của (α) và (β) là
đường thẳng AB.
- Hãy vận dụng quy trình trên để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN)
và (P)?
a) Hãy tìm hai điểm chung của (SMN) và (P)?
D ∈ SN ∈ (SMN) ⇒ D ∈ (SMN) (1)
D ∈ (P) (2)
Từ (1) (2) ta có D là điểm chung thứ nhất
Lại có M ∈ AB ∈ (P)

thẳng BB' và AC' [3, tr.86].
Giáo viên có thể hướng đích gợi
động cơ cho học sinh giải các bài tập
trên bằng câu hỏi sau: "Để tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a
và b ta phải làm như thế nào?".
Học sinh có thể dựa vào bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau: "Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Một mặt phẳng (P) chứa
b và song song với a. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng a,
b bằng khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)" để lập quy trình
giải bài toán này như sau:
Bước 1: Xác định mặt phẳng (P) chứa b và song song với a.
Bước 2: Trên a chọn một điểm M sao cho hình chiếu của A xuống mặt
phẳng (P) là H dễ dàng xác định được.
Bước 3: Gắn MH vào trong một "hình" nào đó để thuận lợi cho việc tính
độ dài đoạn MH.
Học sinh vận dụng quy trình trên vào giải ví dụ thông qua việc trả lời các
câu hỏi sau:
• Xác định mặt phẳng (P) chứa BB' và song song với AC' hoặc ngược lại
chứa AC' song song với BB'?
Vì BB' // AA'
BB' // CC' ⇒
AC' ⊂ (ACC')
11
mặt phẳng (ACC') chứa AC' và
(ACC') song song với BB'.
A'
D'
C'
B'

ab
+
.
Đối với các dạng toán cần quan tâm tới trình tự sau:
Khái niệm, Định lý ⇒ dạng toán ứng dụng ⇒ quy trình giải ⇒ xây dựng
các bài tập gốc vận dụng quy trình ⇒ các bài toán nâng cao vận dụng lược đồ
trên nhằm thực hiện mục đích kép: vừa để khắc sâu khái niệm, định lý; vừa bồi
dưỡng năng lực huy động kiến thức cho học sinh khi giải các bài toán nâng
cao.
Ví dụ 6: Dạng toán xác định giao điểm
của một đường thẳng với một mặt phẳng.
Trước tiên giả thiết rằng đường thẳng
a cắt mặt phẳng (P) (đường thẳng a và mặt
phẳng (P) chỉ có một điểm chung I) (hình
2.3).
a) Quy trình xác định điểm I:
1. Xác định mặt phẳng (Q) chứa a và (Q) cắt (P): (Q) = (a, M); M ∈ (P).
2. Xác định giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng (P) và (Q).
12
(Q)
(P)
a
M I
Hình 2.3
3. Trong mặt phẳng (Q) xác định giao của đường thẳng a và ∆. Khi đó
I ∈ a và I ∈ ∆ nên I ∈ (P) ⇒ I là giao điểm cần tìm.
b) Bài toán gốc vận dụng quy trình nhằm khắc sâu quy trình và khắc sâu
các tính chất của mặt phẳng. Chẳng hạn xét bài toán:
Bài toán 1: "Cho tam giác ABC và điểm O nằm ngoài mặt phẳng (ABC).
Trên các đoạn thẳng OA, OB, OC lần lượt lấy các điểm A', B', C' không trùng

Giải:
- Mặt phẳng (SMC) chứa M, N vì chứa S và C (theo tiên đề 2).
- AI cắt MC tại K; K là điểm chung của (SMC) và (SAI).
- Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAI) và (SMC) là đoạn thẳng SK. Trong
mặt phẳng (SMC), đường thẳng MN cắt SK tại H - điểm cần tìm.
Ví dụ 2: Tìm thiết diện của mặt phẳng (P) với khối đa diện.
a) Quy trình xác định thiết diện:
Cho khối đa diện (K) và một mặt phẳng (P). Nếu (P) cắt một số cạnh của
(K) thì hình phẳng tạo bởi các giao điểm ấy gọi là thiết diện của K với (P).
Dựng thiết diện của (K) với (P) thực tế là dựng các giao điểm của (P) với các
cạnh có thể có của (K).
b) Nêu bài toán gốc (các bài toán
vận dụng trực tiếp quy trình).
Bài toán 1: Cho tứ diện ABCD. M
là một điểm trên cạnh BC. Tìm thiết diện
của tứ diện với mặt phẳng (D) qua M song
song với CD.
Ta có:
CD ⊂ (BCD)
CD // (D) ⇒ MN // CD (1)
(P) ∩ (BCD) = MN
Tương tự ta có RS // CD (2)
Từ (1), (2) ta có thiết diện MNRS là hình thang.
c) Bài toán nâng cao:
14
A
B D
C
M
N

C
N
B
E
A
M
I
D
Hình 2.6
Tính chất 1: Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b. Một mặt phẳng (P)
chứa b song song với a. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng
a và b bằng khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
Quy trình:
- Xác định mặt phẳng (P) chứa b và song song với a.
- Trên a chọn một điểm M sao cho hình chiếu của M xuống mặt phẳng
(P) là H dễ dàng xác định được.
- Gắn MH vào một trong hình H nào đó để thuận lợi cho việc tính toán.
Tính chất 2: Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b. Mặt phẳng (P) chứa
a và song song (Q) chứa b. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường
thẳng a và b bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Quy trình:
- Xác định hai mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau lần lượt chứa a và b.
- Trên (P) hoặc (Q) chọn một điểm M sao cho hình chiếu của M lên (Q)
(hoặc (P)) là H dễ dàng thực hiện được.
- Tính độ dài MH.
Tính chất 3: Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau. Khoảng cách giữa
hai đường thẳng a và b là độ dài đoạn vuông góc chung của a và b.
Quy trình:
- Xác định mặt phẳng (P) chứa a và song song với b.
- Xác định hình chiếu a' của b lên (P), giao điểm M của b với a' trong (P).

Bài toán 2: Cho hình chóp S.ABCD
có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh
SA = h và vuông góc mặt phẳng (ABCD).
Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc
chung của SC và DB.
Giải:
Ta có:
BD ⊥ SA
BD ⊥ AC
Trong mặt phẳng (SAC) từ O hạ OH ⊥ SC tại H, ta có:
OH ⊥ SC
OH ⊥ BD (do BD ⊥ mp(SAC))
Vậy OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC.
17
⇒ AD // mp(SBC)
⇒ BD ⊥ mp(SAC) tại O
S
D
B
C
A
O
H
Hình 2.8
Ta có:
SC
SA

OC
OH

Kết quả kiểm tra bài số 1 như sau:
Điểm
Lớp
3 4 5 6 7 8 9 10 Tổng số bài
Thực nghiệm 4 3 4 8 9 9 5 0 42
Đối chứng 6 6 7 9 8 5 2 0 43
Lớp thực nghiệm có 35/42 (83, 3%) đạt trung bình trở lên, trong đó có
54, 8% khá giỏi. Có 5 em đạt điểm 9, không có em nào đạt điểm tuyệt đối.
Lớp đối chứng có 31/43 (72%) đạt trung bình trở lên, trong đó có 34, 9%
đạt khá giỏi. Có 2 em đạt điểm 9, không có em nào đạt điểm tuyệt đối.
Kết quả kiểm tra bài số 2 như sau:
Điểm
Lớp
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tổng số
bài
Thực nghiệm 1 1 3 5 7 9 9 8 1 42
Đối chứng 2 5 6 6 10 7 4 3 0 43
18
Lớp thực nghiệm có 37/42 (88, 9%) đạt trung bình trở lên, trong đó 60%
khá giỏi. Có 1học sinh đạt điểm tuyệt đối.
Lớp đối chứng có 30/43 (60, 8%) đạt trung bình trở lên, trong đó có 32, 6%
khá giỏi. Không có học sinh đạt điểm tuyệt đối.
Qua quan sát hoạt động dạy, học ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng,
tôi thấy:
- Ở lớp thực nghiệm, học sinh tích cực hoạt động, chịu khó suy nghĩ, tìm
tòi và phát huy tư duy độc lập, sáng tạo hơn ở lớp đối chứng. Hơn nữa, tâm lý
học sinh ở lớp thực nghiệm thoải mái, tạo mối quan hệ thân thiết, cởi mở giữa
thầy và trò.
- Khả năng tiếp thu kiến thức mới, giải các bài tập Toán cao hơn hẳn so

[3] Văn Như Cương (chủ biên), Trần Đức Huyên, Nguyễn Mộng Hy (2000),
Bài tập Hình học 11 (Sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000), Nxb Giáo dục,
Hà Nội.
[4] Văn Như Cương (chủ biên), Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh (2000), Tài
liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 11 (Sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000),
Nxb Giáo dục, Hà Nội.
[5] Nguyễn Sinh Nguyên (chủ biên), Nguyễn Cương Nghi, Nguyễn Văn
Thông, Võ Quang Đa, Lê Hoành Phò (2001), Tuyển tập 750 bài tập
Toán Hình học 11, Nxb Đà Nẵng.
[6] Đào Tam (2005), Phương pháp dạy học Hình học ở trường THPT, Nxb
Đại học sư phạm, Hà Nội.
[7] Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Phương pháp luận duy vật biện chứng
với việc học, dạy, nghiên cứu Toán học, Tập 1, Nxb Đại học quốc gia,
Hà Nội.
20
21