1 ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN
SỐ ĐẠI SỐ
(Dùng cho sinh viên hệ Đại học Sư Phạm Toán – 3 TC)
2
CHƯƠNG 1
Sơ lược về một số cấu trúc đại số
Số tiết: 10 (Lý thuyết 8 tiết; bài tập, thảo luận: 2 tiết)
A) MỤC TIÊU:
Sinh viên và hiểu được các khái niệm, các tính chất, các kiến thức về cơ bản về đại số: Vành,
một số bổ đề về iđêan, tính chia hết trong vành, vành chính; Không gian véctơ, vết và định thức
và đa thức đặc trưng; Môđun, môđun tự do, môđun kiểu hữu hạn, hạng của một mô đun, môđun
trên vành chính; Trường, căn đơn vị trong một trường, đặc số của một trường, trường hữu hạn.
Vận dụng giải các bài tập về các cấu trúc đại số.
B) NỘI DUNG :
1.1. Vành
c n
bi
ế
n và
[[X]]
A
vành các chu
ỗ
i hình th
ứ
c.
Theo quy
ướ
c
ở
đ
ây, m
ộ
t vành con A c
ủ
a m
ộ
t vành B ch
ứ
a
đơ
n v
ị
c
và
x
,
đ
ó là giao
c
ủ
a các vành con c
ủ
a
B
ch
ứ
a
A
và
x
; các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
[ ]
A x
có d
ạ
ng
0 1
ạ
n
1
( , , )
n
x x
…
nh
ữ
ng ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a B.
M
ộ
t vành A g
ọ
i là mi
ề
n nguyên (hay không có
ướ
c c
ủ
a không) n
ế
u a khác vành 0 và n
ế
ng c
ủ
a nhóm c
ộ
ng A sao cho
x I
∈
và
a A
∈
kéo theo
ax I
∈
; A và
{0}
là nh
ữ
ng I
đ
êan c
ủ
a A, g
ọ
i là I
đ
êan t
ầ
m th
ườ
ng. M
ầ
n t
ử
c
ủ
a vành
A, giao c
ủ
a các I
đ
êan c
ủ
a A ch
ứ
a các
i
b
là m
ộ
t I
đ
êan c
ủ
a A, g
ọ
i là I
đ
êan sinh b
ở
i
êan sinh b
ở
i m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
b
g
ọ
i là
I
đ
êan chính
, kí
hi
ệ
u
Ab
hay (
b
).
Cho m
ộ
t vành
A
và m
ộ
c
ủ
a
A
b
ở
i
I
và kí hi
ệ
u
A
/
I
. Các I
đ
êan c
ủ
a
A
/
I
có d
ạ
ng
J
/
I
trong
đ
ườ
ng c
ầ
n và
đủ
là t
ố
i
đạ
i trong các
I
đ
êan c
ủ
a
A
khác
A
; lúc
đ
ó ta b
ả
o
I
là
i
đ
êan
t
đơ
n v
ị
e và
'
e
, m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u vành
: '
f A A
→
ph
ả
i hi
ể
u
đ
ây là
bi
ế
n
đơ
n v
ị
thành
đượ
c trang b
ị
m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u
:
A B
ϕ
→
, ta
đặ
t
( )
ax a x
ϕ
=
, v
ớ
i
a A
∈
và
x B
∈
A
ϕ
c
ủ
a nó,
( )
A
ϕ
là m
ộ
t vành con c
ủ
a vành
B
.
1.1.2. Một số bổ đề về iđêan
Bổ đề 1.
Gi
ả
s
ử
X là m
ộ
t vành, A và B là nh
ữ
ng i
đ
êan c
ủ
a X sao cho
=
; do
đ
ó ta có
đẳ
ng c
ấ
u
:
X X X
f
AB A B
→ ×
ɶ
Bổ đề 2.
(Định lí Trung Hoa dư)
Gi
ả
s
ử
X là m
ộ
t vành, và
(
)
1
i
n
n i
i
X X
A A A
=
→
∏
1.1.3. Khái niệm chia hết trong một vành
Gi
ả
s
ử
A là m
ộ
t mi
ề
n nguyên, K là m
ộ
t tr
ườ
ng các th
ươ
ng c
ủ
a nó,
x
và
y
; ta c
ũ
ng nói
x
là
ướ
c c
ủ
a
y
,
y
là
b
ộ
i c
ủ
a
x
; ta kí hi
ệ
u
x|y
. Quan h
ệ
gi
ữ
a
x
và
∈
, t
ậ
p h
ợ
p các b
ộ
i c
ủ
a
x
là
Ax
. Nh
ư
v
ậ
y
x|y
y Ax
⇔ ∈
Ay Ax
⇔ ⊂
. T
ậ
p h
ợ
p
sinh b
ở
i
x
. Vì quan h
ệ
chia h
ế
t
x|y
t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i quan h
ệ
th
ứ
t
ự
:
| ; |
x y x y
và
| |
y z x z
⇒
đượ
c
( )
x vy v A
= ∈
,
( )
y ux u A
= ∈
hay
x uvx
=
, hay
1
uv
=
,
đ
i
ề
u
đ
ó cho ta
u
và
v
là nh
ữ
ng ph
ầ
ị
ch c
ủ
a
A
g
ọ
i là
liên k
ế
t
, ng
ườ
i ta không phân bi
ệ
t chúng d
ướ
i quan
đ
i
ể
m chia
h
ế
t.
Các ph
ầ
n t
ử
c
c
ủ
a
A
, chúng l
ậ
p thành m
ộ
t nhóm
đố
i v
ớ
i phép nhân, kí hi
ệ
u
A
*. Vi
ệ
c xác
đị
nh
đơ
n v
ị
c
ủ
a m
ộ
t vành là m
t s
ố
vành
đơ
n gi
ả
n:
1) N
ế
u
A
là m
ộ
t tr
ườ
ng,
A
* là
A
– {0};
2) N
ế
u
{
}
*
; 1; 1
A A
= = −
ℤ
A B
=
.
4) Các
đơ
n v
ị
c
ủ
a vành các chu
ỗ
i hình th
ứ
c
[[X]]
B A
=
là các chu
ỗ
i hình th
ứ
c mà h
ạ
ng
t
ử
h
ằ
ng là kh
ả
( ) ( ) 1
k
k k k
fg a b a b a b X a b a b a b X
= + + + + + + + + =
V
ậ
y
0 0
1
a b
=
, ngh
ĩ
a là
0
a
kh
ả
ngh
ị
ch.
Đả
o l
ạ
i gi
ả
s
ử
1
1 0 1 0
( )
b a a b
−
= −
……………….
1
0 1 1 0
( )
k k k
b a a b a b
−
−
= − + +
……………
T
ươ
ng t
ự
, ta c
ũ
ng có các
đơ
n v
ị
ươ
ng t
ự
b
ằ
ng cách vi
ế
t m
ỗ
i
f B
∈
nh
ư
sau:
0 1
( , , , , )
k
f f f f
=
Trong
đ
ó f là m
ộ
t dãy nh
ữ
ng
đ
ng và phép nhân là nh
ư
sau:
0 0 1 1
( , , , , )
k k
f g f g f g f g
+ = + + +
0 0 0 1 1 0 0 1 1 0
( , , , )
k k k
fg f g f g f g f g f g f g
−
= + + + + + +
N
ế
u
f
có ngh
ị
ch
đả
o là
g
thì
1
fg
=
ứ
t
ự
có các
đ
a th
ứ
c thu
ầ
n nh
ấ
t
0 1
, , , ,
k
g g g v
ớ
i
k
g
ho
ặ
c
b
ằ
ng 0 ho
ặ
c có b
ậ
c k, sao cho
1 0 1 0
g f f g
−
= −
……………….
1
1 0 1 1 0
( )
k k k
g f f g f g
−
−
= − + +
……………….
Và rõ ràng
k
g
là b
ằ
ng 0 ho
ặ
c có b
ậ
c k.
Đặ
t
0
ạ
i quan h
ệ
chia
h
ế
t trong K
đố
i v
ớ
i A, trong tr
ườ
ng h
ợ
p A là m
ộ
t vành chính; nó t
ổ
ng quát hoá khái ni
ệ
m chia hêt
trong vành chính A.
Hai ph
ầ
n t
ử
,
u v K
∈
a Au và Av có Ad là i
đ
êan bé nh
ấ
t trong t
ậ
p h
ợ
p s
ắ
p x
ế
p th
ứ
t
ự
các i
đ
êan phân
chính ch
ứ
a chúng:
A
Au x
⊂
và
A A ,
Av x Ad x x K
⊂ ⇔ ⊂ ∀ ∈
.
đượ
c:
1 1
( )
Au Av Ap Ar Aq A
s s
+ = + = ∈
v
ớ
i
/
d q s
=
. V
ậ
y
Ad
là i
đ
êan bé nh
ấ
t trong các i
đ
êan phân
chính ch
ứ
a Au và Av. Nh
ư
v
ậ
= +
V
ớ
i hai ph
ầ
n t
ử
,
a b A
∈
nào
đ
ó, t
ừ
đẳ
ng th
ứ
c i
đ
êan:
Ad Au Av
= +
.
Hai ph
ầ
n t
ử
ấ
t trong t
ậ
p h
ợ
p s
ắ
p th
ứ
t
ự
các i
đ
êan ph
ầ
n chính ch
ứ
a trong Au và Av.
C
ũ
ng lí lu
ậ
n nh
ư
trên, v
ớ
i A là vành chính thì b
ộ
i chung nh
ỏ
u quan h
ệ
chia h
ế
t và cho ta:
BCNN (u, v)= (
Ư
CLN(
1
u
−
,
1
v
−
))
1
−
(v
ớ
i
, 0
u v
≠
).
T
ừ
đ
ó ta có công th
CLN(a, b) là môt
đơ
n v
ị
. Trong m
ộ
t vành
chính A, gi
ả
s
ử
, ,
a b c A
∈
và a|bc: n
ế
u a nguyên t
ố
v
ớ
i b thì a ph
ả
i chia h
ế
t cho c.
Cu
ố
i cùng ta nh
ắ
ph
ậ
n P (nh
ữ
ng ph
ầ
n t
ử
b
ấ
t kh
ả
quy) c
ủ
a A sao cho m
ọ
i
*
c K
∈
vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng duy nh
ấ
t.
ố
nguyên b
ằ
ng 0 t
ấ
t c
ả
tr
ừ
m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n.
1.2. Không gian véctơ
1.2.1.
Định nghĩa không gian vectơ.
6
Gi
ả
s
ử
ằ
ng
λ
,
,
µ γ
Gi
ả
s
ử
cho hai phép gi
ả
i toán.
- Phép c
ộ
ng:
E E E
× →( , )
x y x y
+
֏
- Phép nhân m
ộ
t ph
ầ
n t
i m
ọ
i
,
K
λ µ
∈
.
1) E cùng v
ớ
i phép c
ộ
ng là m
ộ
t nhóm Aben.
2) Phép nhân phân ph
ố
i v
ớ
i phép c
ộ
ng c
ủ
a K:
( )
x x x
λ µ λ µ
+ = +
3) Phép nhân phân ph
, 1 là
đơ
n v
ị
c
ủ
a tr
ườ
ng K.
Lúc
đ
ó ta b
ả
o E cùng v
ớ
i các phép c
ộ
ng trong E và phép nhân v
ớ
i m
ộ
t phân t
ử
c
ủ
a tr
ườ
ng K,
tho
ả
t t
ự
đồ
ng c
ấ
u c
ủ
a E,
(
)
1
i
i n
e
≤ ≤
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a E,
( )
ij
a
là ma tr
c
ủ
a u:
( )
1
det( ) det( ), det( )
n
ii ii E
i
Tr u a u a XI u
=
= = −
∑
.
Các
đạ
i l
ượ
ng trên không ph
ụ
thu
ộ
c vào c
ơ
s
ở
ta ch
ọ
n, và ta có:
p h
ợ
p mà các ph
ầ
n t
ử
đượ
c kí hi
ệ
u b
ằ
ng x, y, z…., và A là m
ộ
t vành
(v
ẫ
n gi
ả
s
ử
là giao hoán có
đơ
n v
ị
nh
ư
đ
ã quy
( , )
x y x y
+
֏
- Phép nhân m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a A v
ớ
i m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a E;
( , )
A E E
x x
1) E cùng v
ớ
i phép c
ộ
ng là m
ộ
t nhóm Aben.
2) Phép nhân phân ph
ố
i v
ớ
i phép c
ộ
ng c
ủ
a vành A:
( )
x x x
λ µ λ µ
+ = +
3) Phép nhân phân ph
ố
i v
ớ
i phép c
ộ
ng c
ủ
ả
o E cùng v
ớ
i phép c
ộ
ng trong E và phép nhân v
ớ
i m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a vành A
tho
ả
mã các tính ch
ấ
t 1, 2, 3, 4, 5 là môt mô
đ
un trên vành A, hay A- mô
đ
un, hay môn
đ
un A
đượ
c
hi
V
ớ
i c
ấ
u trúc A- mô
đ
un xác
đị
nh b
ở
i các thành ph
ầ
n:
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) : , ,
i i i i i i i i
a b a b a a a b A
λ λ λ
+ = + = ∈
Ta kí hi
ệ
u b
ằ
ng
(
)
1
A
mô
u h
ạ
n}.
Trong
(
)
1
A
ta xét các ph
ầ
n t
ử
( )
j ji j I
e
δ
∈
=
sao cho
1
ji
δ
=
và
0
ji
δ
=
v
ướ
i d
ạ
ng m
ộ
t t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính h
ữ
u h
ạ
n các
j
e
(do
0
j
a
=
t
ấ
t c
ả
tr
ừ
ơ
s
ở
chính t
ắ
c c
ủ
a
(
)
1
A
và
(
)
1
A
là m
ộ
t môn
đ
un t
ự
do vì có c
ơ
s
ở
. Khi I
h
ữ
un t
ự
do v
ớ
i
c
ơ
s
ở
chính t
ắ
c là {1}, ph
ầ
n t
ử
đơ
n v
ị
c
ủ
a vành A.
Gi
ả
s
ử
M là m
ộ
t A–mô
đ
∈
֏
m
ở
r
ộ
ng m
ộ
t cách duy nh
ấ
t thành m
ộ
t ánh x
ạ
tuy
ế
n tính t
ừ
mô
đ
un t
ự
do
(
)
1
A
vào mô
đ
un M
i i I
x
∈
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính
⇔
f
đơ
n ánh
( )
i i I
x
∈
là h
ệ
sinh
⇔
f toàn ánh
( )
i i I
x
∈
là c
ơ
đ
ây là t
ươ
ng
đươ
ng:
a) M
ọ
i h
ọ
không r
ỗ
ng nh
ữ
ng ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a E có m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
t
ố
i
đạ
0
n n
x x
=
v
ớ
i
m
ọ
i
0
n n
≥
).
Chứng minh:
a)
⇒
b). Gi
ả
s
ử
x
m
là m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
t
n
= x
m
.
b)
⇒
a). Gi
ả
s
ử
S E
∅ ≠ ⊂
, và S không có ph
ầ
n t
ử
t
ố
i
đạ
i. X
ớ
i m
ỗ
i x
∈
S, g
ọ
i
ử
t
ố
i
đạ
i. Theo
tiên
đề
ch
ọ
n ta có m
ộ
t ánh x
ạ
f: S
S sao cho f(x)
∈
σ
(x) hay f(x) > x v
ớ
i m
ọ
i x
∈
S. Vì S
≠
Ø,
ta ch
ng, v
ậ
y không d
ừ
ng, trái v
ớ
i b). T
ừ
đ
ó có
đ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
Định lý 1.
Gi
ả
s
ử
M là m
ộ
t A – mô
đ
ử
t
ố
i
đạ
i (
đố
i v
ớ
i quan h
ệ
bao hàm)
b) M
ọ
i dãy t
ă
ng
(
)
0
n
n
M
≥
(
đố
i v
ớ
i quan h
ệ
ộ
t mô
đ
un con c
ủ
a M và E là h
ọ
các mô
đ
un con ki
ể
u h
ữ
u h
ạ
n c
ủ
a N. E
≠
Ø vì (0)
∈
E. Theo a) E có m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
t
ố
n là h
ợ
p c
ủ
a h
ệ
sinh h
ữ
u h
ạ
n c
ủ
a P v
ớ
i
{
}
x
. V
ậ
y, P + Ax
∈
E. Nh
ư
ng P t
ố
i
đạ
i trong E nên P + Ax = P, t
ừ
)
n ≥ 0
là m
ộ
t dãy t
ă
ng nh
ữ
ng mô
đ
un con c
ủ
a M. Th
ế
thì N =
0
n
n
M
≥
∪
là m
ộ
t
mô
đ
un con c
ủ
a M. Theo c) N có m
ộ
i
nào
đ
ó. Gi
ả
s
ử
n
0
là s
ố
l
ớ
n nh
ấ
t trong các n
1
, ,
n
s
. V
ậ
y ta có x
i
∈
0
n
M
⊂
M
n
⊂
N và
đẳ
ng th
ứ
c
0
n
N
M
=
cho ta
0
n
M
M
=
. V
ậ
y dãy (M
n
) là d
ừ
ng t
ừ
n
a A có m
ộ
t phàn t
ử
t
ố
i
đạ
i.
Chứng minh:
Th
ậ
t v
ậ
y, các mô
đ
un con c
ủ
a A - mô
đ
un A là các i
đ
êan c
ủ
a nó. Các i
đ
êan này có
d
ạ
ng Ax vì A là chính, v
ườ
ng các th
ươ
ng c
ủ
a nó. Xét A – mô
đ
un t
ự
do A
(I)
và K–
không gian vect
ơ
K
(I)
, v
ớ
i I là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p nào
đ
ó. Hi
ể
n nhiên ta c
ũ
ủ
a
A
(I)
, nó c
ũ
ng là m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ
a A–mô
đ
un K
(I)
. G
ọ
i E là K–không gian sinh b
ở
i A–mô
đ
un con
M trong K
(I)
, các ph
ầ
n t
ử
c
+ = + = = ∈ = + ∈
1 1 1
; , ;
b
x bx y d ca A y bx M
c a ca d
= = = ∈ = ∈
Và hi
ể
n nhiên E ch
ứ
a M. Cu
ố
i cùng, m
ọ
i không gian con c
ủ
a K
(I)
ch
ứ
a M
đề
u ch
ứ
ử
F và
K–không gian sinh b
ở
i A–mô
đ
un con N trong K
(I)
. Th
ế
thì f có th
ể
m
ở
r
ộ
ng thành
đẳ
ng c
ấ
u (K -
không gian vect
ơ
).
( )
1 1 1
:
x x f x
a a a
ϕ ϕ
a a
f a x f ax a f x af x f x f x
aa aa
= ⇒ = ⇒ =10
( ) ( )
1 1 1 1
' '
' '
f x f x x x
a a a a
ϕ ϕ
⇒
=
⇒
=
Ta có th
ể
ki
ể
m tra
đượ
c
a m
ộ
t A – mô
đ
un t
ự
do X, và gi
ả
s
ử
(x
i
)
i
∈
I
là m
ộ
t
c
ơ
s
ở
c
ủ
a X. Theo k
ế
t qu
ả
trên ta có song ánh x
∈
I
c
ủ
a A–mô
đ
un t
ự
do A
(I)
cho ta
đẳ
ng c
ấ
u f gi
ữ
a A–mô
đ
un t
ự
do X và A–mô
đ
un t
ự
do A
(I)
.
Lúc
đ
ó f h
n, thì
song ánh
'
i i
x e
֏
cho ta m
ộ
t
đẳ
ng c
ấ
u
( )
':
I
f X A
≃
và
(
)
'
M f M
≃
. Nh
ư
v
ậ
y, n
ế
nh nhúng
đề
u
đẳ
ng c
ấ
u.
Định nghĩa 1.
Gi
ả
s
ử
M là m
ộ
t mô
đ
un con c
ủ
a m
ộ
t mô
đ
un t
ự
do
(
)
I
X A
=
(
)
I
A
đượ
c nhúng trong
(
)
I
K
. Chi
ề
u c
ủ
a không gian con sinh b
ở
i M g
ọ
i là h
ạ
ng c
ủ
a M.
1.3.5. Môđun trên vành chính
Định lí 1.
M
ọ
i mô
đ
un con M c
i c
ơ
s
ở
{
}
i
i I
e
∈
đề
u
đẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i A– mô
đ
un
t
ự
do A
(I)
, cho nên
để
ch
ứ
. Ta hãy trang b
ị
cho I m
ộ
t th
ứ
t
ự
t
ố
t, và kí hi
ệ
u b
ằ
ng X
i
mô
đ
un con sinh b
ở
i
{
}
j
j i
e
≤
,
đặ
t
a A–mô
đ
un A. Nh
ư
ng các mô
đ
un con c
ủ
a A–
mô
đ
un A là các i
đ
êan c
ủ
a vành chính A, nên pr
i
(M
i
) = Aa
i
, a
i
∈
A. trong M
i
ta ch
ọ
n m
ạ
p siêu h
ạ
n
(
)
j
j i
b
≤
sinh ra M
i
v
ớ
i m
ọ
i i
∈
I, t
ừ
đ
ó kéo theo h
ọ
(
)
i
i I
b
a
1
,
α
∈
A; v
ậ
y pr
i
(x –
α
b
i
) = pr
i
(x) – pr
i
(
α
b
i
) =
α
a
i
–
α
a
i
= 0, t
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a h
ọ
(
)
j
j k
b
≤
, v
ậ
y x là m
ộ
t t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính
c
ủ
a h
ọ
p tuy
ế
n tính
. Ta hãy ch
ứ
ng
minh b
ằ
ng ph
ả
n ch
ứ
ng. Gi
ả
s
ử
có m
ộ
t t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính nh
ữ
ng b
i
khác 0 sao cho
l
ớ
n nh
ấ
t sao cho
0
m
β
≠
vì b
m
≠
0 nên
a
m
≠
0 và do
đ
ó
0
m m
a
β
≠
(vì A là m
ộ
t mi
ề
n nguyên ). M
m m
a
β
≠
. V
ậ
y các ph
ầ
n t
ử
khác 0 c
ủ
a h
ọ
(b
i
)
i
∈
I
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a mô
ủ
a X
là m
ộ
t mô
đ
un t
ự
do có h
ạ
ng
n
≤
.
Định lí 2.
Gi
ả
s
ử
X là m
ộ
t mô
đ
un t
ự
do trên m
ộ
t vành chính A, và M là m
ộ
t mô
(1 )
A i n
≤ ≤
sao cho:
a) Các
i i
e
α
l
ậ
p thành m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a M;
b)
i
α
chia h
ế
t
1
,1 1
i
i n
α
nh lí 1 ta l
ấ
y X là mô
đ
un t
ự
do A
(I)
,
đ
i
ề
u không
ả
nh h
ưở
ng vi
ệ
c ch
ứ
ng minh.
V
ớ
i m
ọ
i d
ạ
ng tuy
ế
n tính f: X
ng
ứ
ng v
ớ
i d
ạ
ng tuy
ế
n tính f
1
; gi
ả
s
ử
u là ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a M
sao cho
f
1
(u) =
1
α
. Ta có
1
0
. Th
ậ
t v
ậ
y, gi
ả
s
ử
(
)
g u
β
=
; i
đ
êan
1
A A
α β
+
là m
ộ
t i
đ
êan
chính
A
γ
, t
1 1
f u f u g u f M
λ µ λα µβ γ
= + = + = ∈
t
ừ
đ
ó
(
)
1
f M A A
γ α
⊃ ⊃
; do tính ch
ấ
t t
ố
i
đạ
i
c
ủ
a f
1
(M), ta có f(M) = A
1
α
và do
∈
I
→
x
i
, cho ta pr
i
(u)
∈
A
1
α
, ngh
ĩ
a là m
ỗ
i t
ọ
a
độ
c
ủ
a u
ph
ả
i là b
ộ
i c
ủ
a
, và
(
)
(
)
1 1 1 1 1
.
f u f e
α α
= =
Vì A là mi
ề
n nguyên nên ta suy ra f
1
(e
1
) = 1. Chúng ta hãy ch
ứ
ng
minh m
ỗ
i mô
đ
un con Ae
1
và
1 1
A e
α
có m
ử
1
i
x Ae X
∈ ∩
, th
ế
thì ta ph
ả
i có
1
x e
ξ
=
và
(
)
(
)
1 1 1
.1 0
f x f e
ξ ξ ξ
= = = =
t
ừ
đ
ó x = 0 . M
(x – f
1
(x)e
1
) = f
1
(x)– f
1
(x)f
1
(e
1
) = f
1
(x) – f
1
= 0. Bây gi
ờ
ta ch
ứ
ng
minh
(
)
1 1 1 1
M e M M X
α
= ⊕ = ∩
. Hi
ể
1
(M) = A
1
α
, v
ậ
y f
1
(x) =
1
λα
; cho nên m
ỗ
i x
∈
M
có th
ể
vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng
(
)
(
)
1 1 1 1 1 1 1 1
)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
0
f x a e f x f e
λ λα λα λα
− = − = − =
.
12
Gi
ả
s
ử
g: X
→
A là m
ộ
t d
ạ
ng tuy
ế
n tính tùy ý. Ta có, th
ậ
t v
ậ
y gi
ả
s
ử
ẽ
có
(
)
(
)
1 1 1
f M A g M A
α α
≠
= + ⊃
, trái v
ớ
i tính t
ố
i
đạ
i c
ủ
a
1
A
α
.
Bây gi
ờ
ta hãy ch
ứ
ng minh
đị
s
ở
B
1
c
ủ
a X
1
, n – 1 ph
ầ
n t
ử
e
2
,…, e
n
c
ủ
a B
1
và n – 1
ph
ầ
n t
ử
1
, ,
n
α α
ớ
i 2
2 1
i n
≤ ≤ −
. V
ậ
y B =
{
}
1 1
B e B
= ∪
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a X và
(
)
1 1 2 2
, , ,
n n
e e e
α α α
là m
y ta hãy xét
d
ạ
ng tuy
ế
n tính g: X
→
A xác
đị
nh trên các ph
ầ
n t
ử
c
ơ
s
ở
c
ủ
a B v
ớ
i g(e
2
) = 1 và g(e) = 0 v
ớ
i m
ọ
i
{
}
Các i
đ
êan
i
A
α
trong
đị
nh lý 2 g
ọ
i các các b
ấ
t bi
ế
n c
ủ
a M trong X. Ng
ườ
i ta ch
ứ
ng minh
đượ
c chúng là xác
đị
nh duy nh
ấ
t khi cho M và X.
Hệ quả 1.
A A A
α α α
× × × trong
đ
ó các
i
α
thu
ộ
c A và
i
α
chia h
ế
t
1
,1 1
i
i n
α
+
≤ ≤ −
.
Chứng minh:
Gi
ả
s
ử
(x
1
t c
ơ
s
ở
(e
1
, e
2
, , e
n
) c
ủ
a A
n
, q ph
ầ
n t
ử
1
, ,
q
α α
⋯
khác 0
thu
ộ
c A v
ớ
i q
i
1 1
i q
≤ ≤ −
. Ta
đặ
t
1
0
a n
α α
+
= = =
. Lúc
đ
ó, A
n
/Kerf
đẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i tích
1
1
n
n
AeAe
Ae x Ae x
ọ
i là không xo
ắ
n n
ế
u quan h
ệ
0
x
α
=
kéo theo
0
α
=
ho
ặ
c x = 0.
Hệ quả 2.
M
ọ
i mô
đ
un X trên vành chính A, không xo
ắ
n v
ớ
i ki
ể
≃
A
n
,
v
ậ
y
X t
ự
do. N
ế
u các
i
α
không b
ằ
ng 0 t
ấ
t c
ả
, ch
ẳ
ng h
ạ
n
1
0
α
≠
, th
không xo
ắ
n. V
ậ
y các
i
α
đề
u b
ằ
ng 0.
Hệ quả 3.
Trên m
ộ
t vành chính A, m
ọ
i mô
đ
un X ki
ể
u h
ữ
u h
ạ
n
đẳ
ng c
ấ
A
s
Ap
v
ớ
i p là nguyên t
ố
trong A.
13
Chứng minh:
Áp d
ụ
ng h
ệ
qu
ả
1, ta có
1
n
A A
X
A A
α α
× ×
≃
, v
ớ
1
1
s
i
r
s
r
u
p p
α
=
ta
đượ
c
1
A
A
α
đẳ
ng
c
ấ
u v
ớ
i tích các
j
s
j
ấ
t c
ủ
a
các c
ấ
p c
ủ
a ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a X.
Chứng minh:
Nhóm X là m
ộ
t
ℤ
– mô
đ
un n
ế
u ta kí hi
ệ
u phép toán c
ủ
a X b
ằ
− − − − <
M
ặ
t khác X h
ữ
u h
ạ
n, nên có ki
ể
u h
ữ
u h
ạ
n. Áp d
ụ
ng h
ệ
qu
ả
1, ta
đượ
c
1
n
X
ạ
n. L
ấ
y
(0,0, ,1 )
x
= +
ℤ
hi
ể
n nhiên x có c
ấ
p
n
α
. L
ấ
y m
ộ
t
ph
ầ
n t
ử
tùy ý
(
)
1
, , ,
n
y
n
α
là b
ộ
i c
ủ
a c
ấ
p c
ủ
a y, và ph
ầ
n t
ử
c
ầ
n tìm chính là x.
1.4. Trường
1.4.1. Căn đơn vị trong một trường
Định lí 1.
Gi
ả
s
ử
K là m
ộ
t tr
Theo k
ế
t qu
ả
trên, t
ồ
n t
ạ
i
x X
∈
có c
ấ
p n sao cho y
n
= 1 v
ớ
i m
ọ
i
y X
∈
. V
ậ
y các
ph
ầ
n t
ử
y X
c c
ủ
a nó b
ằ
ng n. Do
đ
ó X có t
ố
i
đ
a n ph
ầ
n t
ử
. M
ặ
t khác n ph
ầ
n t
ử
x, x
2
,…, x
n
= 1 là
phân bi
ệ
t, vì c
ấ
p c
ng c
ấ
u v
ớ
i
n
ℤ
ℤ
. M
ộ
t ph
ầ
n t
ử
sinh c
ủ
a X g
ọ
i là c
ă
n nguyên th
ủ
y b
ậ
c n c
ủ
a
đơ
n v
ị
ộ
t tr
ườ
ng
đặ
c s
ố
0
p
≠
ta có
0
px
=
v
ớ
i m
ọ
i
x K
∈
, và ( )
p p p
x y x y
+ = +
cho x, y tu
ỳ
ý thu
14
th
ứ
c, ta có
( )
1
1
p
p p j p j
p
j
p
x y x y x y
j
−
−
=
+ = + +
∑
trong
đ
ó h
ệ
s
ố
ố
và không có m
ặ
t
ở
m
ẫ
u s
ố
, v
ậ
y
p
j
là m
ộ
t b
ộ
i c
ủ
a
p
v
ớ
i m
ọ
i
0
n
≥
.
1.4.3. Trường hữu hạn
Định lí 1.
Gi
ả
s
ử
K là m
ộ
t tr
ườ
ng h
ữ
u h
ạ
n.
Đặ
t q = card(K). Th
ế
thì:
a)
Đặ
c s
ố
K là m
ộ
1.
q
−
c)
Ta có
1
1
q
x
−
=
v
ớ
i m
ọ
i
*
x K
∈
và
q
x x
=
v
ớ
i m
ọ
i
x K
ạ
n. V
ậ
y
K
ch
ứ
a
p
F
v
ớ
i
p
nguyên t
ố
, và
đặ
c s
ố
c
ủ
a
K
là
p
. Ta có th
ể
coi
K
s
ẽ
vô h
ạ
n. V
ậ
y
(
)
s
p
K F
≈ ,
không gian tích này có
s
p
ph
ầ
n t
ử
, nên ta có
s
q p
=
.
b) Theo
đị
nh lý trên,
*
ộ
i.
[2]. Tom Weston (2001),
Algebraic Number Theory, Massachusetts.
D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN CỦA CHƯƠNG:
Câu 1.
Trình bày và ch
ứ
ng minh các tính ch
ấ
t c
ủ
a vành, I
đ
êan, khái ni
ệ
m chia h
ế
t trong m
ộ
t
vành, vành chính.
Câu 2.
Trình bày và ch
ứ
ng minh các tính ch
ấ
t c
ủ
a không gian véct
un ki
ể
u h
ữ
u h
ạ
n.
Câu 4.
Trình bày và ch
ứ
ng minh các tính ch
ấ
t c
ủ
a tr
ườ
ng, c
ă
n
đơ
n v
ị
trong m
ộ
t tr
ườ
ng,
đặ
c s
ố
ậ
n: 5 ti
ế
t)
A) MỤC TIÊU:
Sinh viên và hi
ể
u
đượ
c các khái ni
ệ
m, các tính ch
ấ
t v
ề
ph
ầ
n t
ử
nguyên trên m
ộ
t vành, vành
đ
óng nguyên, ph
ầ
n t
ử
đạ
i s
a các tr
ườ
ng toàn ph
ươ
ng; chu
ẩ
n, v
ế
t và bi
ệ
t th
ứ
c, tr
ườ
ng
đ
óng
đạ
i s
ố
, tr
ườ
ng
chia
đườ
ng tròn. V
ậ
n d
ụ
ng gi
ộ
t vành,
A
là m
ộ
t vành con c
ủ
a
R
, và x là m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
R
. Các
tính ch
ấ
t sau t
ươ
ng
đươ
ng:
a) T
ồ
n t
a th
ứ
c
đơ
n v
ị
(
đ
a th
ứ
c có h
ệ
cao nh
ấ
t b
ằ
ng
đơ
n v
ị
)
trên
A
.
b) Vành
[
]
A x
là m
ộ
ể
u h
ữ
u h
ạ
n.
Chứng minh:
a)
⇒
b) Tr
ướ
c h
ế
t R là m
ộ
t A-mô
đ
un. G
ọ
i M là A-mô
đ
un con c
ủ
a R sinh b
ở
i
1
1, , ,
n
x x
ể
n
nhiên
đ
i
ề
u
đ
ó
đ
úng v
ớ
i k = 0. Gi
ả
s
ử
1n k
x M
+ +
∈ , ngh
ĩ
a ta có:
1 1
1 1 0
,
n k n
n i
x b x b x b b A
+ + −
n k
x
+
∈
M. Bây gi
ờ
l
ấ
y 1
đ
a th
ứ
c tùy ý f(x)
∈
A[x],
(
)
1
1 1 0
m m
m m
f x c x c x c x c
−
−
= + + + +
v
ớ
i các
i
ó có ngh
ĩ
a A[x] là A–mô
đ
un M sinh b
ở
i
1
1, , ,
n
x x
−
. V
ậ
y A[x] có ki
ể
u h
ữ
u h
ạ
n.
b)
⇒
c). Hi
ể
n nhiên.
c)
⇒
a). Gi
ả
,
x B y B
∈ ∈
, và B là m
ộ
t vành con c
ủ
a R, nên
, 1,2, ,
i
xy B i n
∈ =
, do
đ
ó
t
ồ
n t
ạ
i nh
ữ
ng ph
ầ
n t
ử
ij
, 1,2, , , 1,2, , ,
a A i n j n
∈ = = sao cho:
x a y a y a y
a y x a y a y
a y a y x a y
− − − − =
− + − − − =
− − − + − =
…
Ta
đượ
c m
ộ
t h
ệ
n ph
ươ
ng trình tuy
ế
n tính thu
ầ
n nh
ấ
t
đố
i v
ớ
i
1, 2
( , , )
n
v
ớ
i m
ọ
i i. Vì
1
n
B Ay Ay
= + +
, ta suy ra
1
0
n
Bd Ady Ady
= + + =
. Nh
ư
v
ậ
y bd = 0 v
ớ
i
m
ọ
i b
∈
B; l
ấ
y b = 1, Ta
đ
a th
ứ
c b
ậ
c n v
ớ
i h
ệ
t
ử
thu
ộ
c A,
h
ệ
t
ử
c
ủ
a
n
x
b
ằ
ng 1 vì ta
đượ
c
n
x
t vành con c
ủ
a
R
. M
ộ
t ph
ầ
n t
ử
x
c
ủ
a R
đượ
c g
ọ
i
là
nguyên trên A n
ế
u nó th
ỏ
a mãn 3
đ
i
ề
u ki
ệ
(
đ
i
ề
u ki
ệ
n a), quan h
ệ
( ) 0
f x
=
g
ọ
i là
ph
ươ
ng trình ph
ụ
thu
ộ
c nguyên c
ủ
a x trên A.
Định lý 2.
Gi
ả
s
ử
A
, ,
i
A x x
−
(ch
ẳ
ng h
ạ
n n
ế
u m
ọ
i
i
x
đề
u nguyên trên A thì
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đ
ó
đượ
c
p theo n. V
ớ
i n = 1 kh
ẳ
ng
đị
nh là
đ
úng theo
đị
nh lí 1.b). Gi
ả
s
ử
kh
ẳ
ng
đị
nh
đ
úng t
ớ
i n–1, lúc
đ
ó B = A[x
1
,…,x
n–1
] là m
ữ
u h
ạ
n,
1
[ ]
q
n k
k
B x Bc
=
=
∑
, và ta suy ra :
[ ] [ ]
1
1 1 ,
, ,
q p
n n j k j k
j j j k
A x x B x Ab c Ab c
= =
… = = =
∑ ∑ ∑
.
V
ộ
t vành con c
ủ
a m
ộ
t vành
R
,
x
và
y
là nh
ữ
ng ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a R nguyên
trên A. Th
ế
thì
, ,
x y x y xy
+ −
là nguyên trên A.
Hệ quả 2.
Gi
ả
.
17
Định nghĩa 2.
Gi
ả
s
ử
A
là m
ộ
t vành con c
ủ
a
R
; vành B g
ồ
m các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a R nguyên trên
A
g
ọ
ủ
a
A
trong
K
g
ọ
i là cái
đ
óng nguyên c
ủ
a A. Gi
ả
s
ử
A
là m
ộ
t vành
con c
ủ
a C; ta b
ả
o C là nguyên trên A n
ế
u m
ọ
i ph
ầ
ủ
a vành B, và B là m
ộ
t vành con c
ủ
a vành C. N
ế
u B
nguyên trên
A
và C nguyên trên B, thì C nguyên trên
A
(tính b
ắ
c c
ầ
u).
Chứng minh:
Gi
ả
s
ử
x C
∈
. Vì x nguyên trên B, nên x th
ỏ
a mãn ph
ươ
ng trình ph
nh lý 2, B’ là m
ộ
t A-mô
đ
un ki
ể
u
h
ữ
u h
ạ
n. M
ặ
t khác, t
ừ
ph
ươ
ng trình ph
ụ
thu
ộ
c nguyên c
ủ
a x, ta có x nguyên trên B’. Theo
đị
nh lý
2,
[
]
[
ộ
t vành con c
ủ
a mi
ề
n nguyên B, và B là nguyên trên
A
. Th
ế
thì B là
m
ộ
t tr
ườ
ng khi và ch
ỉ
khi
A
là m
ộ
t tr
ườ
ng.
Chứng minh:
Gi
ả
s
ử
A là m
ộ
y xy
֏
ϕ
là tuy
ế
n tính và
đơ
n ánh vì B là mi
ề
n nguyên. Do A[x] có chi
ề
u h
ữ
u h
ạ
n, nên m
ộ
t
đơ
n c
ấ
u là
m
ộ
t
đẳ
ng c
ấ
u, vì v
ị
ch
đả
o trong
,
ta suy ra mi
ề
n nguyên B
là m
ộ
t tr
ườ
ng.
Đả
o l
ạ
i gi
ả
s
ử
b là m
ộ
t tr
ườ
ng và 0
≠
x
∈
A. Xét ngh
−
+ +…+ + = ∈
.
Nhân hai v
ớ
i x
n
:
1
1 1 0
1 0,
n n
n i
a x a x a x a A
−
−
+ +…+ + = ∈
hay
(
)
2 1
1 1 0
1 .
n n
n
x a a x a x
− −
−
= − −…− −
nó.
Định lý 1.
M
ọ
i vành chính là
đ
óng nguyên.
Chứng minh:
Gi
ả
s
ử
A là m
ộ
t vành chính và K là tr
ườ
ng các th
ươ
ng c
ủ
a A. Gi
ả
s
ử
x
∈
K và x
nguyên trên
A; ta có m
cùng nhau. T
ừ
đ
ó thay x b
ằ
ng
a/b trong (1) và nhân v
ớ
i b
n
.
(
)
1 2 1
1 1 0
0
n n n n
n
a b a a a ab a b
− − −
−
+ +…+ + =18
Nh
ư
vây b chia h
y x = a/b
∈
A, và A là
đ
óng nguyên.
Chú ý:
+ N
ế
u l
ấ
y
A
=
ℤ
thì K
=
ℚ
, trong tr
ườ
ng h
ợ
p này ta nói r
ằ
ng m
ọ
i s
ố
h
ữ
u t
khác không có s
ự
phân tích duy nh
ấ
t thành tích nh
ữ
ng ph
ầ
n t
ử
b
ấ
t kh
ả
quy, còn g
ọ
i là vành Gauss)
2.2. Phần tử đại số trên một trường. Mở rộng đại số
2.2.1. Phần tử đại số trên một trường. Mở rộng đại số.
Định nghĩa 1.
Gi
ả
s
ử
K
là m
ộ
t tr
ử
không b
ằ
ng 0 t
ấ
t c
ả
0
, ,
n
a a K
∈
sao cho
1 0
0
n
n
a x a x a
+ + + =
Định lý 1.
Gi
ả
s
ử
K
là m
ộ
đạ
i s
ố
trên
K
khi và ch
ỉ
khi s
ố
chi
ề
u, kí hi
ệ
u
[
]
:
K x K
c
ủ
a
K
- không gian véc t
ơ
[
]
K x
c K[x] có chi
ề
u h
ữ
u h
ạ
n trên K.
Đả
o
l
ạ
i, gi
ả
s
ử
[K[x]:K] h
ữ
u h
ạ
n, thì x nguyên trên K.
Định nghĩa 2.
Ta b
ả
o m
ộ
t vành
R
ch
ứ
a m
R
l
ạ
i là m
ộ
t tr
ườ
ng, lúc
đ
ó ta b
ả
o
R
là m
ộ
t m
ở
r
ộ
ng
đạ
i s
ố
trên
K
.
Định nghĩa 3.
Gi
ả
s
ủ
a L trên
K
còn g
ọ
i là b
ậ
c c
ủ
a
K
trên
K
.
Định lý 2.
Gi
ả
s
ử
K
là m
ộ
t tr
ườ
ng con c
ủ
a tr
ườ
ng L. N
đạ
i s
ố
m
ọ
i m
ở
r
ộ
ng có b
ậ
c h
ữ
u h
ạ
n c
ủ
a
ℚ
.
Định lý 3.
Gi
ả
s
ử
K
là m
ộ
t tr
thì M là m
ở
r
ộ
ng
đạ
i s
ố
c
ủ
a
K
. Ngoài ra ta có
[
]
[
]
[
]
: : . :
M K M L L M
=
.
Chứng minh:
Ta có L nguyên trên K và M nguyên trên L, áp d
ụ
ng (2.1.
Đị
nh lý 3) ta có M
nguyên trên
j j J
y
∈
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a L trên M, th
ế
thì
(
)
( )
,
i j
i j I J
x y
∈ ×
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
ấ
t c
ả
tr
ừ
m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n,
19
j ji i
i I
b a x
∈
=
∑
, a
ji
∈
K v
ớ
i a
ji
∑ ∑ ∑
T
ừ
đẳ
ng th
ứ
c cu
ố
i c
ủ
a (1) ta có
(
)
( )
,
i j
i j I J
x y
∈ ×
là m
ộ
t h
ệ
sinh c
ủ
a
M
ọ
i
j J
∈
do
(
)
j
j J
y
∈
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n
tính, nh
ư
ng
(
)
i
i I
x
∈
c
ũ
ng
)
,
i j I J
∈ ×
.
Định lý 4.
Gi
ả
s
ử
K
là m
ộ
t tr
ườ
ng con c
ủ
a vành
R
. Th
ế
thì:
a)
T
ậ
p h
ợ
p L các ph
ề
n nguyên, thì L là m
ộ
t tr
ườ
ng.
Chứng minh:
a)
L
c
ũ
ng là t
ậ
p h
ợ
p các ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
R
nguyên trên
K
(
Đị
nh lí 1). Áp d
ụ
ng(2.1.1 H
nh lí 4) ta có
L
là m
ộ
t tr
ườ
ng.
Định lý 5.
Gi
ả
s
ử
K
là m
ộ
t tr
ườ
ng con c
ủ
a vành
R
, và
x
là m
ộ
t ph
ầ
=
và
( )
a a
ϕ
=
v
ớ
i m
ọ
i
a K
∈
;
ả
nh c
ủ
a
ϕ
là
[
]
K X
.
b)
x
đạ
i s
[
]
K X
sinh b
ở
i
đ
a th
ứ
c
đơ
n v
ị
[
]
F X
xác
đị
nh b
ở
i
K
và
x
. Ta g
ọ
i
[
]
ủ
a
x
và
[
]
[
]
[
]
, ì 0
G X K X th G X
∈ =
khi và ch
ỉ
khi
[
]
G X
là
b
ộ
i c
ủ
a
[
]
F X
trong
[
F X
là
đ
a th
ứ
c t
ố
i ti
ể
u c
ủ
a
x
, thì:
[
]
K X
là m
ộ
t tr
ườ
ng
⇔
[
]
K X
là m
ộ
t mi
ề
(
)
[
]
1 0
a
m
m
f x a X a X K X
= +…+ + ∈20
n
ế
u
ϕ
:
K
[
X
]
→
R
th
ỏ
a mãn
a
0
)
=
ϕ
(
a
m
X
m
) + … +
ϕ
(
a
1
X
)+
ϕ
(
a
0
)
=
ϕ
(
a
m
)
ϕ
(
ng:
(1)ϕ
(
f
(
X
)) =
a
m
x
m
+ … +
a
1
x
+
a
0
Bây gi
ờ
ta hãy ch
ứ
ng minh ánh x
ạ
ϕ
) =
b
n
X
m
+… +
b
1
X
+
b
0
là hai
đ
a th
ứ
c thu
ộ
c
K
[
X
], th
ế
thì ta có:
(
)
(
)
(
( )
0 0
. .
j k
j k
j k i
f X g X a b a b X
ϕ ϕ
+
+ =
= + + +…
∑0 0
j k
j k
j k i
a b a b x
+
+ =
= +…+ +…
∑(
ử
x
đạ
i s
ố
trên K; th
ế
thì t
ồ
n t
ạ
i f(X)
≠
0 thu
ộ
c K[X] sao cho f(x) = 0 = ϕ(f(X)) (
Đị
nh
ngh
ĩ
a 1). V
ậ
y 0
≠
f(X) ∈Kerϕ , do
đ
ó Kerϕ
≠
0.
Đả
x
đạ
i s
ố
trên K, theo b), Kerϕ
≠
0 là m
ộ
t i
đ
êan c
ủ
a vành chính K[X] (do K là m
ộ
t
tr
ườ
ng), v
ậ
y Kerϕ là m
ộ
t i
đ
êan chính sinh ra b
ở
i m
ộ
t
đ
a th
c,
đ
i
ề
u mà ta
đượ
c phép làm vì K là m
ộ
t
tr
ườ
ng. Ta hãy ch
ứ
ng minh F[X] là duy nh
ấ
t. Gi
ả
s
ử
có m
ộ
t
đ
a th
ứ
c
đơ
n v
ị
G(X) sao cho Kerϕ =
c G(X) = aF(X)
đẳ
ng
t
ứ
c này cho ta a = 1 vì F(X) và G(X)
đề
u là
đ
a th
ứ
c
đơ
n v
ị
d) Gi
ả
s
ử
0 = G(x) = ϕ(G(X)); v
ậ
y g(X)∈Kerϕ =(F(X)), t
ứ
c là có f(X)
∈
K[X]
để
G(X) = f(X)F(X).
Đả
F(X) là
đ
a th
ứ
c t
ố
i thi
ể
u c
ủ
a x. Hi
ể
n nhiên ta có: K[x] là m
ộ
t tr
ườ
ng
⇒
K[x] là m
ộ
t
mi
ề
n nguyên. Chi
ề
u ng
ượ
c l
ạ
i suy ra t
t kh
ả
quy ⇔ (F(X)) nguyên t
ố
⇔ K[X]/F(X) là mi
ề
n nguyên. Nh
ư
ng ta có K[X]/F(X)) =
K[x], v
ậ
y: K[x] là mi
ề
n nguyên ⇔ F(X) b
ấ
t kh
ả
quy trên K
Nhận xét:
1) N
ế
u
x
là siêu vi
ệ
t trên
K
, thì
Ker 0
ứ
không th
ể
là m
ộ
t tr
ườ
ng.
2) Theo ph
ầ
n tr
ướ
c, ta có (
1
, , ,1
n
x x
−
) là m
ộ
t h
ệ
sinh c
ủ
a
K
- không gian véct
ơ
[
ng minh h
ệ
sinh
đ
ó
độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính. Th
ậ
t
v
ậ
y gi
ả
s
ử
có
1 1 0
, , ,
n
a a a K
−
∈
không b
ằ
ng 0 t
ấ
]
'
K K X
=
là m
ộ
t tr
ườ
ng. Coi
( )
F X
nh
ư
m
ộ
t
đ
a th
ứ
c trên K’; ta có
'
x K
∈
và
( ) 0
F x
=
, v
ậ
y
ề
n nguyên,
thì
( )
K X
c
ũ
ng là tr
ườ
ng các phân th
ứ
c c
ủ
a nó, kí hi
ệ
u
( )
K x
; trong khi
đ
ó tr
ườ
ng các phân th
ứ
c
c
ủ
a vành
[
]
c có b
ậ
c
0
m
>
. Th
ế
thì t
ồ
n
t
ạ
i m
ộ
t m
ở
r
ộ
ng
đạ
i s
ố
L c
ủ
a
K
có b
ậ
c
Đị
nh lí là hi
ể
n nhiên khi m = 1. Gi
ả
s
ử
kh
ẳ
ng
đị
nh
đ
úng cho m – 1. Xét m
ộ
t nhân t
ử
F(X) b
ấ
t kh
ả
quy c
ủ
a G(X). Ta v
ừ
th
ấ
y có m
ộ
y ta có G(x) = (X – x)G'(X) v
ớ
i G'(X) ∈ K'[X]. Theo gi
ả
thi
ế
t quy
n
ạ
p, G'(X) phân tích thành nh
ữ
ng phân t
ử
tuy
ế
n tính trong m
ộ
t m
ở
r
ộ
ng L c
ủ
a K' có b
ậ
c h
ữ
u h
ạ
n
Trên
đ
ây ta th
ấ
y có m
ộ
t m
ở
r
ộ
ng c
ủ
a K
để
đ
a th
ứ
c
( )
G X
phân tích
đượ
c thành nh
ữ
ng
nhân t
ử
tuy
n tính trên tr
ườ
ng
đ
ó, ngh
ĩ
a là nó ch
ứ
a
đầ
y
đủ
n nghi
ệ
m c
ủ
a
đ
a th
ứ
c
n
ế
u
đ
a th
ứ
c có b
ậ
c n; m
đ
ó là tr
ườ
ng s
ố
ph
ứ
c
ℂ
. M
ọ
i tr
ườ
ng h
ữ
u h
ạ
n
q
F
không th
ể
đ
óng
đạ
i s
ố
đượ
1 2
( )( ) ( ) 1
q
X x X x X x
− − − +
không có
nghi
ệ
m nào trong
q
F
.
Ng
ườ
i ta ch
ứ
ng minh
đượ
c r
ằ
ng m
ọ
i tr
ườ
ng là m
ộ
t tr
ườ
ng con c
ủ
u :
L L
ϕ
→
sao cho ( )
a a
ϕ
=
v
ớ
i m
ọ
i
a K
∈
, thì
ϕ
g
ọ
i là
K
–
đẳ
ng c
ấ
u; n
ế
u
thêm L và L’ là
đạ
∈
g
ọ
i là liên h
ợ
p trên
K
n
ế
u có m
ộ
t
K
-
đẳ
ng c
ấ
u
: ( ) ( ')
K x K x
ϕ
→
sao cho
( ) '
x x
ϕ
=
(lúc
đ
, ho
ặ
c
đề
u
đạ
i s
ố
trên
K
, và cùng có
đ
a th
ứ
c t
ố
i ti
ể
u.
Ví dụ.
Gi
ả
s
ử
[
]
[
]
F X K X
ế
thì các tr
ườ
ng
[
]
i
K x
là
đ
ôi m
ộ
t liên h
ợ
p trên K và các
i
x
c
ũ
ng là
đ
ôi m
ộ
t liên h
ợ
p trên K. Th
ậ
t v
ậ
y, ta có các
( )
( )
i j
i j
K x K x
f x f x
→
֏
Bổ đề 1.
Gi
ả
s
ử
K
là m
ộ
t tr
ườ
ng
đặ
c s
ố
0 hay m
ộ
t tr
ườ
∏
là phân tích c
ủ
a nó thành nh
ữ
ng ph
ầ
n t
ử
tuy
ế
n tính
trong m
ở
r
ộ
ng
L
c
ủ
a
K
. Th
ế
thì
n
nghi
ệ
m
1
ệ
m b
ộ
i
x
, v
ậ
y
x
s
ẽ
là nghi
ệ
m c
ủ
a
đạ
o hàm
(
)
'
F X
và do
đ
ó
(
)
F X
và
ặ
t khác b
ậ
c c
ủ
a
(
)
'
F X
nh
ỏ
h
ơ
n b
ậ
c
c
ủ
a
(
)
F X
, v
ậ
y
(
)
'
F X
n
F X nX n a X a
− −
−
= + − +
.
V
ậ
y ta có
.1 0
n
=
và
. 0
j
j a
=
v
ớ
i
1, , 1
j n
= −
.
Đ
i
ề
u này không th
ể
có v
ố
nguyên t
ố
) và ánh x
ạ
p
x x
֏
t
ừ
K vào K là
đơ
n ánh (vì
p p
x y
=
⇒
( )
0
p
p p
x y x y
= − = −
⇒
0
x y
y x
=
. T
ừ
.1 0
n
=
và
. 0
j
j a
=
v
ớ
i
1, , 1
j n
= −
ta suy ra p chia h
ế
t cho n và
0
j
a
=
v
ớ
i
j
23
hay
(
)
(
)
1
1 1 0
,
q p
qp p p p p
q i
F X X c X c X c c K
−
−
= + + + + ∈(
)
1
1 1 0
p
q q
q
X c X c X c
ộ
t tr
ườ
ng
đặ
c s
ố
0 hay m
ộ
t tr
ườ
ng h
ữ
u h
ạ
n,
L
là m
ộ
t m
ở
r
ộ
ng có b
ậ
c
h
ữ
u h
ố
ch
ứ
a
K
. Lúc
đ
ó có n
K
-
đẳ
ng c
ấ
u t
ừ
L
vào
C
.
Chứng minh:
Tr
ướ
c h
ế
t ta th
ấ
y kh
ẳ
)
F X
c
ủ
a
x
lúc
đ
ó có b
ậ
c n; nó có n nghi
ệ
m
1
, ,
n
x x
trong C và các nghi
ệ
m
đ
ó
là phân bi
ệ
t theo b
ổ
đề
1. V
ậ
i
f x f x
֏
.
Bây gi
ờ
ta hãy ch
ứ
ng minh
đị
nh lí b
ằ
ng quy n
ạ
p trên b
ậ
c n c
ủ
a L. Gi
ả
s
ử
x L K
∈ −
; ta
xét các tr
ườ
ng
[
=
, và
1
l
>
theo cách ta l
ấ
y
x L
∈
. N
ế
u
l n
=
thì
[
]
L K x
=
và ta có tr
ườ
ng h
ợ
p nh
ư
ở
trên, không còn ph
trên ta có
1
K
-
đẳ
ng c
ấ
u phân bi
ệ
t
i
σ
t
ừ
[
]
K x
vào C, bi
ế
n
x
thành
x
σ
,
1, ,
i l
=
. Các
ự
là tr
ườ
ng h
ữ
u
h
ạ
n) thì
[
]
K x
có
đặ
c s
ố
0 (theo th
ứ
t
ự
là tr
ướ
c h
ữ
u h
ạ
n). V
ớ
i m
ỗ
ủ
a
[
]
K x
có b
ậ
c
m n
<
, ta
đượ
c
[
]
m K x
–
đẳ
ng c
ấ
u phân bi
ệ
t
ij
σ
( 1, , )
j m
=
v
ớ
i
(
)
i
x
σ
, th
ự
c ch
ấ
t
ij
σ
là m
ộ
t m
ở
r
ộ
ng c
ủ
a
i
σ
. Bây
gi
ờ
ta hãy ch
ij K x i j K x
σ σ σ σ
= = =
.
Vì các
i
σ
phân bi
ệ
t, nên ta ph
ả
i có
'
i i
=
. T
ừ
'
ij ij
σ σ
=
, ta l
ạ
i suy ra
'
j j
=
, vì v
ớ
là
.
l m n
=
.24
Bổ đề 2.
Gi
ả
s
ử
A là m
ộ
t mi
ề
n nguyên có vô h
ạ
n ph
ầ
n t
ử
; gi
ả
s
ử
1
, , ,
n
A X X X
, có vô s
ố
ph
ầ
n t
ử
1 2 1 2
( , , , )
n n
x x x x H H H
= ∈ × × ×
sao cho
( ) 0
f x
≠
.
Chứng minh:
Kh
ẳ
ng
đị
nh là
đ
úng cho
1
n
m
ộ
t
đ
a th
ứ
c
đố
i v
ớ
i
n
X
, l
ấ
y t
ừ
h
ệ
t
ử
trong vành
[
]
1 2 1
, , ,
n
A X X X
−
−
∈
khác 0. Theo gi
ả
thi
ế
t quy n
ạ
p,
có
1 1 1 1
( , , )
n n
x x H H
− −
∈ × ×
sao cho
(
)
1 1
, , 0
i n
g x x
−
≠
. Ta suy ra
đ
a th
ứ
c
trong A, nên có vô s
ố
ph
ầ
n t
ử
n n
X H
∈
sao cho
(
)
0
n
h x
≠
. Vì
(
)
(
)
1 1
, , ,
n n n
h x f x x x
−
=
, nên ta suy ra
đ
đặ
c s
ố
0 hay m
ộ
t tr
ườ
ng
h
ữ
u h
ạ
n, và là m
ộ
t m
ở
r
ộ
ng c
ủ
a
K
có b
ậ
c
n
. Th
ế
thì có m
ộ
n thì L c
ũ
ng h
ữ
u h
ạ
n, và nhóm nhân
{
}
* 0
L L= −
c
ủ
a nó g
ồ
m các
l
ũ
y th
ừ
a c
ủ
a m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
*
n K
–
đẳ
ng c
ấ
u
i
σ
t
ừ
L
vào m
ộ
t tr
ườ
ng
đ
óng
đạ
i s
ố
C ch
ứ
a K. M
ặ
t khác L là m
ộ
t K – không gian vect
ơ
n chi
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
, ,
n
i j i n j n
e e e e C
σ σ σ σ
− − ∈ ,
Ph
ầ
n t
ử
đ
ó ph
ả
i khác 0, vì n
ế
u b
ằ
ng 0 ta s
ẽ
[
]
1
, ,
n
C X X
. Ta có K vô h
ạ
n ch
ứ
a trong C; áp d
ụ
ng b
ổ
đề
2, ta có vô s
ố
ph
ầ
n t
ử
(
)
1
, ,
n
n
k k k K
)
0
i j
i j
f k x x
σ σ
≠
≠ = −
∏
.
25
V
ậ
y ta có
x L
∈
sao cho các
(
)
i
x
σ
là m
ộ
t
đ
ôi khác nhau.
Đ
ó là các
(
)
i
x
σ
trong C; v
ậ
y
( )
F X
có b
ậ
c
n
≥
, ngh
ĩ
a là
[
]
:
K x K n
≥
. Nh
ư
ng
[
ố
0 hay m
ộ
t tr
ườ
ng h
ữ
u h
ạ
n,
L
là m
ộ
t tr
ườ
ng m
ở
r
ộ
ng
có b
ậ
c n c
ủ
a
K
, và
C
là m
ộ
.
Chứng minh: Đị
nh lí 1 cho th
ấ
y t
ồ
n t
ạ
i c
ủ
a nhi
ề
u
đẳ
ng c
ấ
u phân bi
ệ
t
1
, ,
n
σ σ
t
ừ
L vào C.
Đị
nh lí 2 cho ta s
ự
t
u t
ừ
L vào C; ta ch
ứ
ng minh
i
τ σ
=
v
ớ
i m
ộ
t
i
nào
đ
ó. Th
ậ
t v
ậ
y,
đ
a th
ứ
c t
ố
i ti
ể
u
(
ặ
t khác
(
)
x
τ
c
ũ
ng là nghi
ệ
m c
ủ
a
(
)
F X
, v
ậ
y
(
)
x
τ
ph
ả
i trùng v
ớ
i m
ộ
ủ
y c
ủ
a L, nên
(
)
1
1, , ,
n
x x
−
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a L trên K. Vì
(
)
(
)
1
x x
τ σ
=
, nên
(
y y
τ σ
=
v
ớ
i m
ọ
i
y L
∈
hay
1
τ σ
=
.
■
2.2.3. Phần tử nguyên của các trường toàn phương.
Định nghĩa 1.
Ng
ườ
i ta g
ọ
i là
tr
ườ
ng toàn ph
ươ
ng m
ng
d
ℚ
trong
đ
ó d là m
ộ
t s
ố
nguyên không có
nhân t
ử
là bình ph
ươ
ng c
ủ
a m
ộ
t s
ố
nguyên khác 1.
Chứng minh:
Gi
ả
s
ử
K là m
ộ
F X X
∈
ℚ
c
ủ
a
x
có b
ậ
c 2), v
ậ
y là m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
nguyên th
ủ
y c
ủ
a
[
]
:
K K x
=
ℚ
và
u c
ủ
a
x
có d
ạ
ng
(
)
2
F X X bX c
= + +
( , )
b c
∈
ℚ
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai
2
0
x bx c
+ + =
, ta
đượ
ầ
n t
ử
c
ủ
a K mà bình ph
ươ
ng là
2
4
b c
−
. Nh
ư
ng
2
4
b c
−
là m
ộ
t s
ố
h
ữ
u t
ỉ
2
u uv
∈
ℤ
và
d
không ch
ứ
a nhân t
ử
chính
ph
ươ
ng, th
ế
thì
K d
=
ℚ
.
Nhận xét 1.
1)
Đ
a th
ứ
c t
ố
i ti
ể
ng c
ấ
u c
ủ
a
K
bi
ế
n
d
thành
d
− .
Copyright: Tài liệu đại học ©