MỤC LỤC

CHƯƠNG 1. Nửa nhóm và nhóm 1
1.1. Nửa nhóm 1
1.1.1. Phép toán hai ngôi 1
1.1.2. Nửa nhóm 2
1.2. Nhóm 3
1.2.1. Nhóm 3
1.2.2. Nhóm con 4
1.2.3. Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương 6
1.2.4. Nhóm con Sylow 8
1.2.5. ðồng cấu nhóm 8
1.2.6. ðối xứng hoá 11
CHƯƠNG 2. Vành và trường 20
2.1. Vành và miền nguyên 20
2.1.1. Vành 20
2.1.2. Ước của không, miền nguyên 21
2.1.3. Vành con 21
2.1.4. Iñêan và vành thương 22
2.1.5. ðồng cấu 23
2.2. Trường 24
2.2.1. Trường 24
2.2.2. Trường con 24
2.2.3. Trường các thương 25
2.2.4. Trường hữu hạn 26
CHƯƠNG 3. Vành ña thức 31
3.1. Vành ña thức một ẩn 31
3.1.1. Vành ña thức một ẩn 31
3.1.2. Bậc của một ña thức 32
3.1.2. Phép chia với dư 33
3.1.3. Nghiệm của một ña thức 34

ánh xạ f từ X
×
X ñến X. Giá trị f(x,y) gọi là cái hợp thành của x và y.
- Chú ý: Người ta hay ký hiệu phép toán hai ngôi bằng hai dấu: “+” và “.” (ñược gọi là phép
cộng và phép nhân). Thông thường ñối với dấu “.” ta thường quy ước bỏ ñi.
Sau ñây trong lý luận tổng quát, ta viết cái hợp thành của x và y là xy, nếu không có lý
do nào khiến ta phải viết khác.
- Ví dụ:
1) Trong tập
ℕ
các số tự nhiên, phép cộng và nhân thông thường hai số tự nhiên là những
phép toán hai ngôi.
Trong tập hợp
ℕ
*
=
ℕ
- {0}, phép hợp thành x
y
của x và y là một phép toán hai ngôi.
2) Trong tập
ℤ
các số nguyên, phép trừ hai số nguyên thông thường là một phép toán hai
ngôi, nhưng trong tập
ℕ
các số tự nhiên phép trừ hai số tự nhiên thông thường không là một
phép toán hai ngôi.
- ðịnh nghĩa 2: Một bộ phận A của X gọi là ổn ñịnh ñối với phép toán hai ngôi trong X nếu
và chỉ nếu xy thuộc A với mọi x, y
∈

xe x
=
, với mọi
x X
∈
.
Trong trường hợp một phần tử e của X vừa là phần tử ñơn vị trái, vừa là phần tử ñơn vị phải
thì e gọi là phần tử ñơn vị (hay phần tử trung lập) của phép toán hai ngôi.
- Ví dụ: Trong ví dụ 1) ở trên, phần tử 0 là phần tử trung lập của phép cộng trong
ℕ
, phần tử
1 là phần tử ñơn vị của phép nhân trong
ℕ
.
- ðịnh lý 1: Nếu một phép toán hai ngôi trong một tập hợp X có một ñơn vị trái e’ và một ñơn
vị phải e’’, thì e’= e’’.
Hệ quả: Một phép toán hai ngôi có nhiều nhất một phần tử trung lập.

1.1.2. Nửa nhóm
- ðịnh nghĩa 5:
- Ta gọi là nửa nhóm một tập hợp X cùng với một phép toán hai ngôi kết hợp ñã cho
trong X.
- Một nửa nhóm X có phần tử trung lập ñược gọi là một vị nhóm.
- Một nửa nhóm là giao hoán nếu phép toán của nó là giao hoán.
- Một bộ phận ổn ñịnh A của nửa nhóm X, cùng với phép toán cảm sinh trên A ñược gọi
là nửa nhóm con A của nửa nhóm X.
- Ví dụ: Tập hợp
ℕ
cùng với phép toán + các số tự nhiên thông thường trên ñó là một nửa
nhóm, hơn nữa là một vị nhóm với phần tử trung lập là 0; Tập hợp

1
, x
2
, …. x
n
lấy theo thứ tự ñó.
- ðịnh lý 2 (ñịnh lý kết hợp):
Giả sử x
1
, x
2
,….x
n
là n phần tử của một nửa nhóm X (n
≥
3) , thế thì:
x
1
x
2
……x
n
= (x
1
….x
i
)(x
i+1
….x
j

- ðịnh lý 3: Trong một nửa nhóm giao hoán X, tích:
x
1
x
2
…x
n

không phụ thuộc vào thứ tự các nhân tử.
- Ví dụ:
1) Tập hợp các số tự nhiên
ℕ
với một trong các phép toán hai ngôi sau: phép cộng, phép
nhân, phép lấy ƯCLN, phép lấy BCNN là một nửa nhóm giao hoán. ðối với phép cộng, phép
nhân
ℕ
còn là một vị nhóm giao hoán.
2) Tập hợp
( )
P X
các bộ phận của một tập X là một vị nhóm giao hoán với mỗi phép toán hai
ngôi là phép giao hai tập hợp và phép hợp hai tập hợp.

1.2. Nhóm
1.2.1. Nhóm
- ðịnh nghĩa 1:
* Nhóm X là một nửa nhóm X có các tính chất sau:
(i) Có phần tử trung lập e.
(ii) Với mọi x
∈

của chúng ñược xem như các bài tập:
- ðịnh lý 1: Mỗi phần tử của nhóm chỉ có một phần tử ñối xứng.
- Chú ý:
4

+ Nếu phép toán hai ngôi của nhóm ký hiệu là dấu . (dấu +) thì phần tử ñối xứng của x ký
hiệu là x
-1
(-x) gọi là phần tử nghịch ñảo (phần tử ñối) của x.
+ Từ ñịnh nghĩa ta có:
(x
-1
)
-1
= x ( hay -(- x) = x ).
+ Nếu nhóm là abel và phép toán của nhóm ký hiệu bằng dấu . (tương ứng dấu +) thì phần
tử xy
-1
= y
-1
x (tương ứng x + (-y) = (-y) + x) ký hiệu là x/y (tương ứng x-y) và gọi là thương
của x trên y (hiệu của x và y).
- ðịnh lý 2 (luật giản ước): Trong một nhóm, ñẳng thức xy = xz ( yx = zx ) kéo theo ñẳng
thức y = z.
- ðịnh lý 3: Trong một nhóm, phương trình ax =b (xa = b) có nghiệm duy nhất x = a
-1
b
(x=ba
-1
).

n
)
-1
= (a
-1
)
n

* Quy ước:
+ Ký hiệu: a
-n
= (a
n
)
-1
, vậy ta có:
a
-n
= (a
n
)
-1
= (a
-1
)
n
.
+ a
0
= e.

x X
∈
sao cho
'
x x e
=
.
- Chú ý: Ta cũng ñược ñịnh lý tương tự nếu thay (i) và (ii) bởi phần tử ñơn vị phải và nghịch
ñảo phải.
- ðịnh lý 6: Một nửa nhóm khác rỗng X là một nhóm nếu và chỉ nếu các phương trình: ax = b
và ya = b có nghiệm trong X với mọi
,
a b X
∈
.

1.2.2. Nhóm con
- ðịnh nghĩa 2: Một bộ phận ổn ñịnh A của nhóm X là một nhóm con của X nếu A cùng với
phép toán cảm sinh là một nhóm.
- Ví dụ:
+ Nhóm cộng các số nguyên
Z
là một nhóm con của nhóm cộng các số hữu tỷ
ℚ
.
5

+ Tập con {1,-1} là 1 bộ phận ổn ñịnh của nhóm nhân
Z
, nhưng lại không là 1 nhóm con

∈ ∈
và
1
x A
−
∈
,
(c) Với mọi
1
, ,
x y A xy A
−
∈ ∈
.
- Ví dụ:
1) Bộ phận
{ , }
m ma a
= ∈
Z Z
, gồm tất cả các số nguyên là bội của số nguyên m cho trước là
một nhóm con của nhóm cộng các số nguyên
Z
.
2) Cho nhóm con X, bộ phận
{ , }
A a
λ
λ
= ∈

∈
Z
, của một phần tử
a X
∈
.
- Ví dụ:
1) Xét nhóm phép thế S
3
, mà các phần tử lần lượt là:
1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
; ; ;
1 2 3 2 3 1 3 1 2
e f f
     
= = =
     
     
3 4 5
1 2 3 1 2 3 1 2 3
; ;
2 1 3 3 2 1 1 3 2
f f f
     
= = =
     
     

6

q r q r q r r r
f f f f f f ef f
λ
+
= = = = =
.
Vỉ r chỉ có thể lấy một trong 3 giá trị 0,1,2 nên
1
f
λ
chỉ có thể là một trong 3 phần tử:
0 1 2
1 1 1 1 2
; ;
f e f f f f
= = =
. Do ñó, nhóm con A của S
3
sinh ra bởi
1
f
là:
1 2
{ , , }
A e f f
=

Lập luận tương tự, ta ñược:
+
3

3
không ñược sinh ra bởi bất kỳ phần tử nào của nhóm nên S
3
không là nhóm xyclic,
còn các nhóm con của nhóm S
3
kể trên là những nhóm con xyclic.
2) Nhóm cộng các số nguyên
Z
là nhóm xyclic với phần tử sinh là 1 và -1. Ngoài hai phần tử
sinh này, nhóm không có phần tử sinh nào khác. Ta thấy:
Z
là nhóm vô hạn, còn các nhóm ở
ví dụ 1 là hữu hạn.
- Nhận xét: Giả sử X là một nhóm, và e là phần tử trung lập của X. Khi ñó:
+ Nếu không có một số nguyên dương nào sao cho a
n
= e thì nhóm con sinh ra bởi a là vô
hạn.
+ Ngược lại, gọi m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho: a
m
= e, lập luận tương tự ví dụ
trên ta có nhóm con sinh ra bởi a có m phần tử là: a
0
= e; a
1
= a, a
2
,…, a
m-1

- Nhận xét:
+ Do
∼
là một quan hệ tương ñương trên X, nên ta xác ñịnh ñược tập thương
/
X
∼
. Với mỗi
phần tử
x X
∈
, ta kí hiệu lớp tương ñương chứa x là
x
.
7

+ Ta kí hiệu bộ phận của X gồm các phần tử có dạng xa với a chạy khắp A là xA, tức
{ }
xA xa a A
= ∈
.
- Bổ ñề 2:
x xA
=

- ðịnh nghĩa 6: Các bộ phận xA gọi là các lớp trái của nhóm con A trong X. Tương tự, các
lớp phải Ax của nhóm con A trong X bộ phận mà các phần tử của nó có dạng là ax với
a A
∈
.

nhóm con của nó.
- Vì mọi phần tử x của nhóm X sinh ra một nhóm con có cấp bằng cấp của x, nên:
- Hệ quả 1: Cấp của một phần tử tùy ý của một nhóm hữu hạn X là ước cấp của X.
- Vì mọi phần tử
x e
≠
của một nhóm X ñều sinh ra một nhóm có cấp không nhỏ hơn 2, nên:
- Hệ quả 2: Mọi nhóm hữu hạn có cấp nguyên tố ñều là xyclic ñược sinh ra bởi một phần tử
bất kỳ khác phần tử trung lập của nhóm.
- ðịnh nghĩa 7: Một nhóm con A của X gọi là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu
1
x ax A
−
∈
với mọi
,
a A x X
∈ ∈
.
- ðịnh lý 10: Nếu A là một nhóm con chuẩn tắc thì:
(i) Quy tắc cho tương ứng cặp (xA,yA) lớp trái xyA là một ánh xạ từ
/ /
X A X A
×
ñến
/
X A
.
(ii) X/A cùng với phép toán hai ngôi:
( , )

lớp trái và các lớp phải của
n
Z
là trùng nhau. Các lớp của
n
Z
ñược ký hiệu là
,x n x
+ ∈
Z Z
.
Quan hệ tương ñương xác ñịnh bởi
n
Z
là:
x y x y n x y
⇔ − ∈ ⇔ −
∼
Z
là bội của n.
Quan hệ này là quan hệ ñồng dư môñun n.
Vậy, nhóm thương
/
n
Z Z
gồm n lớp tương ñương:
/ {0 ,1 , ,( 1) }
n n n n n
= + + − +
Z Z Z Z Z

∈
, nên
3 1 3 2 3
eA f A f A
= =
.
Vì các lớp trái của A
3
là các lớp tương ñương, nên chúng thành lập một sự chia lớp của S
3
, vậy
ngoài lớp trái eA
3
ra ta chỉ còn một sự chia lớp trái gồm các phần tử còn lại f
3
, f
4
, f
5
. Ta suy ra
f
3
A
3
= f
4
A
3
= f
5

3
= A
3
f
4
= A
3
f
5
={f
3
, f
4
, f
5
}
Do ñó, A
3
là chuẩn tắc theo ðịnh lý 11.

1.2.4. Nhóm con Sylow
ðịnh nghĩa 8. Giả sử p là một số nguyên tố.
(i) Nhóm H ñược gọi là một p- nhóm nếu cấp của nó là một lũy thừa của p.
(ii) Nhóm H ñược gọi là một p- nhóm con của G nếu H vừa là một nhóm con của G
vừa là một p- nhóm.
(iii) Nhóm H ñược gọi là một p- nhóm con Sylow của G nếu H là một p- nhóm con
của G và
n
H p
=


:
f X Y
→
.
Trong trường hợp X, Y là những nửa nhóm ta cũng ñịnh nghĩa ñồng cấu nửa nhóm tương
tự.
- Ví dụ:
1) Giả sử A là một nhóm con của nhóm X. ðơn ánh chính tắc:
A X
→

a a
֏

là một ñồng cấu gọi là ñơn cấu chính tắc.
2) Ánh xạ ñồng nhất của một nhóm X là một ñồng cấu gọi là tự ñẳng cấu ñồng nhất của X.
3) Xét ánh xạ từ nhóm nhân các số thực dương
+
ℝ
ñến nhóm cộng các số thực
ℝ
:
log :
+
→
ℝ ℝlog

1
:
f X Y
−
→
cũng là một ñẳng cấu.
- ðịnh nghĩa 10: Giả sử
:
f X Y
→
là một ñồng cấu từ nhóm X ñến nhóm Y, các phần tử
trung lập của X và Y ñược ký hiệu theo thứ tự là e
X
và e
Y
. Ta kí hiệu:
Imf= f(X); Kerf= f
-1
(e
Y
)
và gọi Imf là ảnh của ñồng cấu f, Kerf là hạt nhân của ñồng cấu f.
- ðịnh lý 13: Giả sử X, Y, Z là những nhóm và
:
f X Y
→
và
:
g Y Z
→

f X Y
→
là một ñồng cấu từ nhóm X ñến nhóm Y, A là một nhóm con
của X, B là một nhóm con chuẩn tắc của Y. Khi ñó
(i) f(A) là một nhóm con của Y
(ii) f
-1
(B) là một nhóm con chuẩn tắc của X.
- Hệ quả: Giả sử
:
f X Y
→
là một ñồng cấu nhóm từ nhóm X ñến nhóm Y. Thế thì Imf là
nhóm con của Y và Kerf là nhóm con chuẩn tắc của X.
- ðịnh lý 16: Giả sử
:
f X Y
→
là một ñồng cấu nhóm từ nhóm X ñến nhóm Y. Thế thì:
(i) f là một toàn ánh nếu và chỉ nếu Imf= Y
(ii) f là một ñơn ánh nếu và chỉ nếu Kerf= {e
X
}
- ðịnh lý 17: Giả sử
:
f X Y
→
là một ñồng cấu nhóm từ một nhóm X ñến một nhóm Y,
: /
p X X Kerf

:
f X Y
→
từ một nhóm X ñến nhóm Y, ta có:
( ) /
f X X Kerf
≃

- Ví dụ:
1) Giả sử A là một nhóm con chuẩn tắc của X, và
: /
h X X A
→
là một toàn cấu chính tắc.
Khi ñó, Kerf= A.
+ Trong trường hợp A={e} thì h còn là ñơn cấu chính tắc, do ñó h là một ñẳng cấu. Vậy, ta
có:
/{ }
X X e
≃
.
+ Trong trường hợp A= X, khi ñó nhóm thương X/X chỉ có một phần tử là lớp eX, do ñó h
trở thành một ñồng cấu tầm thường.
2) Giả sử f là một ánh xạ từ nhóm cộng các số nguyên
ℤ
ñến nhóm nhân
*
ℂ
các số phức
khác 0 xác ñịnh như sau:

π π π π
= + + =

Mặt khác, vì
2 2
(cos sin ) cos 2 sin 2 1
n
k k
i k i k
n n
π π
π π
+ = + =
nên các phần tử của
( )
f
ℤ
là căn
bậc n của ñơn vị cùng với phép nhân các số phức là một nhóm. Xét Kerf, là bộ phận của
ℤ

gồm các số nguyên k sao cho
2 2
cos sin 1
k k
i
n n
π π
+ =


*
là bộ phận
của X gồm những phần tử chính quy của X. Có một vị nhóm giao hoán
X
và một ñơn cấu f từ
X ñến
X
có các tính chất sau:
1) Các phần tử của f(X
*
) có ñối xứng trong
X

2) Các phần tử của
X
có dạng f(a)f(b)
-1
với a
∈
X, b
∈
X
*

- Hệ quả: Nếu tất cả các phần tử của X ñều chính quy thì tất cả các phần tử của
X
ñều có
ñối xứng, do ñó
X
là một nhóm.

− =
là số tự nhiên
sao cho m=n +p. Nếu m<n, ta có m - n= -p, p là số tự nhiên sao cho m+p=n. Vậy các phần tử
của
ℤ
là … -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 ……
12

2) Số hữu tỉ dương: Lấy
*
ℕ
tập hợp các số tự nhiên khác 0 làm X , phép toán là phép nhân
thông thường các số tự nhiên; mọi phần tử của X là chính quy nên
X
là một nhóm. Trong
trường hợp này
X
ký hiệu là
+
ℚ
và các phần tử của nó ñược gọi là tập hợp các số hữu tỷ
dương. Mỗi phần tử của
+
ℚ
viết dạng
1
pq
−
với
*

T
ạ
i sao v
ớ
i
ℤ
ta có
{
}
1, 2, 3, , ,
n= ∪ − − − −
ℤ ℕ

Trong khi
ñố
i v
ớ
i
+
ℚ
ta không có
*
1 1 1 1
, , , , ,
2 3 4 n
+
 
= ∪
 
 

ế
t X
*
=X. Theo h
ệ
qu
ả
c
ủ
a
ðị
nh lý 17, ta có
X
là m
ộ
t
nhóm, mà các ph
ầ
n t
ử
có d
ạ
ng ab
-1
v
ớ
i a,b
X
∈
(

bx=a có nghiệm trong X.
Từ hai ñịnh lý trên ta thấy rằng:
Với mọi a,b
∈
ℕ
thì phương trình a+x=b có nghiệm trong
ℕ
, hoặc phương trình
b+x=a có nghiệm trong
ℕ
. Cho nên:
{
}
1, 2, 3, , ,
n= ∪ − − − −
ℤ ℕ

Trong khi ñó, với mọi a,b
*
∈
ℕ
, không phải bao giờ ta cũng có ax=b có nghiệm trong
*
ℕ
, hay bx=a có nghiệm trong
*
ℕ
. Chẳng hạn, a=2, b=3, cả 2x=3 và 3x=2 ñều không có
nghiệm trong
*

n
b
n
với mọi số tự nhiên
1
n
>
. Nếu a và b là hai phần tử sao cho (ab)
2
=a
2
b
2
thì ta có
suy ra ñược ab=ba hay không?
Bài 1.2: Gọi X là tập hợp thương của
ℤ
trên quan hệ ñồng dư mod n (chI, ð2, 2, ví dụ)
a) Với mỗi cặp (C(a),C(b)) ta cho tương ứng lớp tương ñương C(a+b). Chứng minh như vậy
ta có một ánh xạ từ
X X
×
ñến X.
b) Chứng minh X là một vị nhóm giao hoán ñối với phép toán hai ngôi xác ñịnh ở a)
c) Nếu với mỗi cặp (C(a),C(b)) ta cho tương ứng lớp C(ab), chứng minh lúc ñó X cũng là một
vị nhóm giao hoán.
Bài 1.3: Giả sử X là một tập hợp tuỳ ý. Xét ánh xạ:
X X X
× →


n
≥
) với
ℕ
là vị nhóm cộng giao hoán các số tự nhiên.
a) Chứng minh
n
ℕ
ta ñã xác ñịnh một quan hệ thứ tự (ch.I, ð2, bài tập 10). Chứng minh nếu
,
n
α β
∈
ℕ
sao cho
α β
<
thì
,
n
α γ β γ γ
+ < + ∀ ∈
ℕ
.

Phần: Nhóm
Bài 1.6: Lập các bảng toán cho các tập hợp gồm hai phần tử, ba phần tử ñể ñược những
nhóm.
Bài 1.7: Thử xem các tập hợp sau ñây với phép toán ñã cho có lập thành một nhóm:
1) Tập hợp các số nguyên với phép cộng.

2 2
0
a b
+ ≠
với phép nhân.
16) Tập hợp các số phức dạng
( , )
a ib a b
+ ∈
ℤ
với phép cộng
17) Tập hợp các véctơ n chiều của không gian
n
ℝ
với phép cộng véctơ
18) Tập hợp các ma trận vuông cấp n với phép cộng ma trận.
19) Tập hợp các ma trận vuông cấp n không suy biến với phép nhân ma trận.
20) Tập hợp các ma trận vuông cấp n có ñịnh thức bằng 1 với phép nhân ma trận.
21) Tập hợp các ma trận vuông cấp n có ñịnh thức bằng
1
±
với phép nhân ma trận.
22) Tập hợp các ña thức (có hệ số thực) với phép cộng các ña thức.
23) Tập hợp gồm ña thức 0 và các ña thức có bậc không quá n ( n là số nguyên
0
n
≥
)
với phép cộng ña thức.
Bài 1.8: Chứng minh rằng mọi nửa nhóm khác rỗng hữu hạn X là một nhóm nếu và chỉ nếu

I I I
x y x y
α α α α α α α
∈ ∈ ∈
=

là một nhóm (gọi là tích các nhóm
X
α
).
Bài 1.12: Cho X là một tập hợp khác rỗng cùng với một phép toán hai ngôi kết hợp trong X, a
là một phần tử của X. Ký hiệu:
{
}
{ }
|
|
aX ax x X
Xa xa x X
= ∈
= ∈

15

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng X là m
ộ

ữ
u h
ạ
n X là m
ộ
t nhóm
con c
ủ
a X.
Bài 1.14:
Trong các nhóm
ở
bài 1.7, nhóm nào là nhóm con c
ủ
a nhóm nào?
Bài 1.15:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng trong nhóm c
ộ
ng các s
ố
nguyên
ℤ
, m
ộ
t b
ộ

S
4
, ch
ứ
ng minh r
ằ
ng các phép th
ế
sau: e, a=(1 2) (3 4), b=(1
3) (2 4) và c=(1 4) (2 3 ) thành l
ậ
p m
ộ
t nhóm con c
ủ
a S
4
. Nhóm con
ñ
ó có aben không?
Bài 1.17:
Cho Y là m
ộ
t b
ộ
ph
ậ
n c
ủ
a t

ầ
n t
ử
c
ủ
a S(X) trong tr
ườ
ng h
ợ
p X có n ph
ầ
n t
ử
và Y có m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
.
Bài 1.18:
Cho A và B là hai b
ộ
ph
ậ
n c
ủ
a m
ộ
t nhóm X . Ta

-1
=B
-1
A
-1

d) N
ế
u A là m
ộ
t nhóm con c
ủ
a X thì A
-1
=A.
Bài 1.19:
Cho X là m
ộ
t nhóm và A là m
ộ
t b
ộ
ph
ậ
n khác r
ỗ
ng c
ủ
a X. Ch
ứ

.
Bài 1.21:
Trong m
ộ
t nhóm X ch
ứ
ng minh r
ằ
ng nhóm con sinh ra b
ở
i b
ộ
ph
ậ
n
∅
là nhóm con
t
ầ
m th
ườ
ng {e} v
ớ
i e là ph
ầ
n t
ử
trung l
ậ
p c

i S là các ph
ầ
n t
ử
có d
ạ
ng
1 2

n
x x x
v
ớ
i
1 2
, , ,
n
x x x S
∈
ho
ặ
c
1
S
−
∈
. Tìm
nhóm con c
ủ
a nhóm nhân các s

Bài 1.24:
Cho X là m
ộ
t nhóm v
ớ
i ph
ầ
n t
ử

ñơ
n v
ị
là e,
a X
∈
có c
ấ
p là n. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
a
k
= e khi và ch
ỉ
khi k chia h
ế
t cho n.

t ph
ầ
n t
ử
sinh c
ủ
a nó. Xét ph
ầ
n
t
ử
b = a
k
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a) C
ấ
p c
ủ
a b b
ằ
ng n/d,
ở

ñ
ây d là UCLN c
ủ

s
ử
a,b là hai ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a m
ộ
t nhóm, và gi
ả
s
ử
ta có c
ấ
p c
ủ
a a là r, c
ấ
p c
ủ
a b là
s, v
ớ
i r,s nguyên t
ố
cùng nhau, và thêm n
ữ
a ab = ba. Ch

ấ
p m và n. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
X Y
×
là m
ộ
t
nhóm xyclic khi và ch
ỉ
khi m, n nguyên t
ố
cùng nhau.
Bài 1.30:
Cho A là m
ộ
t nhóm con c
ủ
a m
ộ
t nhóm X. Gi
ả
s
ử
t
ậ
p h

m các phép th
ế
ch
ẵ
n là nhóm con chu
ẩ
n
t
ắ
c c
ủ
a S
n
.
Bài 1.32:
Gi
ả
s
ử
X là m
ộ
t nhóm con xyclic vô h
ạ
n, và
a X
∈
là m
ộ
t ph
ầ

p
ñ
ó b
ằ
ng 3.
Bài 1.33:
Gi
ả
s
ử
X là m
ộ
t nhóm, ta g
ọ
i tâm c
ủ
a nhóm X là b
ộ
ph
ậ
n
{
}
( ) | ,
C X a X ax xa x X
= ∈ = ∀ ∈

Ch
ứ
ng minh r

c c
ủ
a nhóm các phép th
ế
S
3
.
Bài 1.35:
Gi
ả
s
ử
X là m
ộ
t nhóm, x và y là hai ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a X. Ta g
ọ
i là hoán t
ử
c
ủ
a x và y ph
ầ
n
t

a X là m
ộ
t nhóm con chu
ẩ
n t
ắ
c c
ủ
a X g
ọ
i là nhóm các hoán t
ử
, và nhóm th
ươ
ng X/A
là aben.
Bài 1.36:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng mu
ố
n cho m
ộ
t nhóm th
ươ
ng X/H c
ủ
a m

ọ
i nhóm có c
ấ
p bé h
ơ
n ho
ặ
c b
ằ
ng 5 là aben.
Bài 1.39:
Hãy tìm các nhóm th
ươ
ng c
ủ
a:
a) Nhóm công các s
ố
nguyên là b
ộ
i c
ủ
a 3 trên nhóm con các s
ố
nguyên là b
ộ
i c
ủ
a 15.
b) Nhóm c

p các
ñườ
ng th
ẳ
ng
∆
trong m
ặ
t ph
ẳ
ng có ph
ươ
ng trình là y=ax+b
(
0
a
≠
, b là nh
ữ
ng s
ố
th
ự
c). Ánh x
ạ
:
1 1
( , )
D D D
× →

2
) xác
ñị
nh m
ộ
t phép toán hai ngôi trong D.
a) Ch
ứ
ng minh D là m
ộ
t nhóm v
ớ
i phép toán trên.
b) Ánh x
ạ
:
*
: D
a
ϕ
→
∆
ℝ
֏

trong
ñ
ó
*
ℝ

1
,G
2
là nh
ữ
ng nhóm v
ớ
i
ñơ
n v
ị
theo th
ứ
t
ự
là e
1
, e
2
và G là nhóm tích
1 2
G G
×
, A, B là các b
ộ
ph
ậ
n
{
}

x x x
q G G
x x e
q G G
x e x
→
→
→
→
֏
֏
֏
֏

a) Ch
ứ
ng minh p
1
, p
2
là nh
ữ
ng toàn c
ấ
u. Xác
ñị
nh Ker p
1
và Ker p
2

v
ớ
i A, G
2

ñẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i B.
c) Ch
ứ
ng minh A và B là nh
ữ
ng nhóm con chu
ẩ
n t
ắ
c và AB = BA = G.
Bài 1.42:
Ch
ứ
ng minh m
ọ
i nhóm xyclic h
ữ
u h
ạ
n c

i nhóm xyclic vô h
ạ
n
ñề
u
ñẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i nhau (
ñẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i nhóm
c
ộ
ng các s
ố
nguyên
ℤ
)
Bài 1.44:
Gi
ả
s
ử
X là m

ớ
i m
ọ
i
,
a b X
∈
. Ch
ứ
ng minh Y cùng phép toán
ñ
ã cho là
m
ộ
t nhóm; thêm n
ữ
a là aben n
ế
u X aben, là xyclic n
ế
u X xyclic.
Bài 1.45:
Cho X và Y là hai nhóm xyclic có các ph
ầ
n t
ử
sinh t
ươ
ng
ứ

( )
k
y Y
α
∈
, trong
ñ
ó k là s
ố
t
ự
nhiên khác 0 cho tr
ướ
c, là m
ộ
t
ñồ
ng c
ấ
u khi và ch
ỉ
khi sk là b
ộ
i c
ủ
a t.
b) N
ế
u sk = mt và
ϕ

ướ
c, là m
ộ
t
ñồ
ng c
ấ
u. Xác
ñị
nh Ker
ϕ

Bài 1.47:
Cho X là m
ộ
t nhóm. Ánh x
ạ
:
1
:
X X
a a
ϕ
−
→
֏

là m
ộ
t t

ớ
i phép
nhân ánh x
ạ
là m
ộ
t nhóm.
18

Bài 1.49:
Gi
ả
s
ử
X, G
1
, G
2
là nh
ữ
ng nhóm,
1 2
G G G
= ×
và
1 2
: , :
f X G g X G
→ →
là nh

ñồ
ng c
ấ
u.
Bài 1.50:
Trong t
ậ
p h
ợ
p
3
X
=
ℤ
, v
ớ
i
ℤ
là t
ậ
p h
ợ
p các s
ố
nguyên, ta xác
ñị
nh m
ộ
t phép toán
hai ngôi nh

n t
ử
(1,0,0) là chu
ẩ
n t
ắ
c.
c) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng nhóm th
ươ
ng X/A
ñẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i nhóm c
ộ
ng các s
ố
ph
ứ
c có d
ạ
ng a+ib v
ớ
i

ộ
ng các s
ố
ph
ứ
c có d
ạ
ng a+ib v
ớ
i a,b nguyên
ñẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i nhóm tích
×
ℤ ℤ
trong
ñ
ó
ℤ
là nhóm c
ộ
ng các s
ố
nguyên.
Bài 1.52:
Cho X là m
ộ

ự

ñẳ
ng c
ấ
u c
ủ
a X, g
ọ
i là t
ự ñẳng cấu trong xác ñịnh bởi phần tử a.
b) Chứng minh các tự ñẳng cấu trong lập thành một nhóm con của nhóm các tự ñẳng cấu của
X.
c) Chứng minh một nhóm con H của X là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu f
a
(H)=H với mọi tự ñẳng
cấu trong f
a
của X. Vì lí do ñó, các nhóm con chuẩn tắc cũng gọi là các nhóm con bất biến.
Bài 1.53: Chứng minh rằng nếu
:
f X Y
→
là một ñồng cấu từ một nhóm hữu hạn X ñến một
nhóm Y thì:
a) Cấp của
a X
∈
chia hết cho cấp của f(a).
b) Cấp của X chia hết cho cấp của f(X).

là nhóm cộng các số thực,
ℤ
là nhóm
cộng các số nguyên) ñẳng cấu với nhóm U (bài tập 1.57)
Bài 1.59: Gọi X là nhóm nhân các ma trận vuông cấp n không suy biến mà các phần tử là
thực. Hãy chứng minh
a) Nhóm thương của X trên nhóm con các ma trận có ñịnh thức bằng 1 ñẳng cấu với nhóm
nhân các số thực khác 0.
b) Nhóm thương của X trên nhóm con các ma trận có ñịnh thức bằng
1
±
ñẳng cấu với nhóm
nhân các số thực dương.
c) Nhóm thương của X trên nhóm con các ma trận có ñịnh thức dương và một nhóm xyclic
cấp hai.
Bài 1.60: Giả sử X là một vị nhóm nhân sinh bởi một phần tử a có cấp vô hạn, nghĩa là:

{
}
|
n
X a n= ∈
ℕ

Chứng minh vị nhóm
X
(ðịnh lý 17) là nhóm và các phần tử của
X
là:
3 2 1 0 1 2 3
20

CHƯƠNG 2
Vành và trường
Số tiết: 15 (Lý thuyết:12 tiết; bài tập, thảo luận: 03 tiết) *) Mục tiêu:
- Cung cấp và giúp sinh viên hiểu các kiến thức cơ bản về các cấu trúc ñại số: vành,
trường, các phương pháp vận dụng các kiến thức này ñể giải toán. Trên cơ sở ñó hiểu sâu hơn
về toán ở bậc phổ thông về phương pháp tiên ñề trong toán học và các phương pháp tư duy
trừu tượng khái quát.
- Vận dụng các kiến thức cơ bản vào giải bài tập, từ ñó giúp sinh viên nắm vững các
kiến thức cơ bản về các cấu trúc ñại số. Trên cơ sở ñó hiểu sâu hơn về toán ở bậc phổ thông
về phương pháp tiên ñề trong toán học và các phương pháp tư duy trừu tượng khái quát.
- Rèn luyện tính chính xác, tính cẩn thận, linh hoạt; tư duy trừu tượng hóa, khái quát
hóa, tương tự hóa.

2.1. Vành và miền nguyên
2.1.1. Vành
- ðịnh nghĩa 1: Ta gọi là vành một tập hợp X cùng với phép toán hai ngôi ñã cho trong X ký
hiệu theo thứ tự bằng các dấu + và . và gọi là phép cộng và phép nhân sao cho các ñiều kiện
sau ñược thoả mãn:
1) X cùng với phép cộng là một nhóm abel,
2) X cùng với phép nhân là một nửa nhóm,

- Phép cộng:
( , ) (( )( ) ( ) ( ))
f g f g f g x f x g x
+ + = +
֏
làm cho E là một nhóm cộng giao
hoán với phần tử không là ánh xạ 0, xác ñịnh bởi 0(x)=0 với mọi
x X
∈
, phần tử ñối của f là
–f xác ñịnh bởi (– f)(x)= – f(x) với mọi
x X
∈

- Phép nhân:
( , )
f g fg
֏
. Ta có
( ) ; ( )
g h f gf hf f g h fg fh
+ = + + = +

Vậy, E cùng với hai phép toán ñó lập thành một vành, gọi là vành các tự ñồng cấu nhóm của
nhóm X, vành này có ñơn vị là ñồng cấu ñồng nhất id
X
.
Ngoài các tính chất là một nhóm cộng giao hoán và một nửa nhóm nhân, một vành
còn có các tính chất suy ra từ luật phân phối.
- ðịnh lý 1: Cho X là một vành. Với mọi x,y,z


- ðịnh nghĩa 3: Phần tử
0
a
≠
ñược gọi là ước của không, nếu có
0
b
≠
sao cho ab=0.
- Ví dụ: Trong vành
6
ℤ
ℤ
thì phần tử
2;3
là các ước của không, do
2.3 6 0
= =

- Chú ý: Trong vành không có ước của không, mọi phần tử khác không ñều là chính quy. Thật
vậy, quan hệ ab=ac tương ñương với quan hệ a(b - c)=0.
- ðịnh nghĩa 4: Ta gọi là miền nguyên, một vành có nhiều hơn một phần tử, giao hoán, có
ñơn vị và không có ước của 0.
- Ví dụ: Vành các số nguyên
ℤ
là một miền nguyên.

2.1.3. Vành con
- ðịnh nghĩa 5: Giả sử X là một vành, A là một bộ phận của X ổn ñịnh ñối với hai phép toán

- Ví dụ:
1) Bộ phận {0} chỉ gồm một phần tử 0 và bộ phận X là hai vành con của vành X.
22

2) Bộ phận
m
ℤ
gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trước là một vành con
của vành các số nguyên
ℤ
.
- ðịnh lý 3: Giao của một họ bất kỳ những vành con của một vành X là một vành con của
vành X.

2.1.4. Iñêan và vành thương
- ðịnh nghĩa 6: Ta gọi là iñêan trái (iñêan phải) của một vành X, một vành con A của X thoả
mãn ñiều kiện xa
A
∈
(ax
A
∈
) với mọi x
X
∈
. Một vành con A của X ñược gọi là một iñêan
nếu nó vừa là iñêan trái vừa là iñêan phải của X.
Từ ñịnh nghĩa ta suy ra:
- ðịnh lý 4: Một bộ phận A khác rỗng của một vành X là một iñêan của X nếu và chỉ nếu các
ñiều kiện sau là thoả mãn:

iñêan của X.

Giả sử U là một bộ phận của một vành X. Thế thì U chứa trong nó ít nhất một iñêan,
cụ thể là X. Theo ðịnh lý 5, giao A của tất cả các iñêan của X chứa U là một iñêan của X,
iñêan này ñược gọi là iñêan sinh bởi U; Nếu
1 2
{ ; ; ; }
n
U a a a
=
thì A ñược gọi là iñêan sinh
bởi các phần tử
1 2
; ; ;
n
a a a
. Iñêan sinh bởi một phần tử gọi là iñêan chính.
- ðịnh lý 6: Giả sử X là một vành giao hoán có ñơn vị và
1 2
; ; ;
n
a a a X
∈
. Bộ phận A của X
gồm các phần tử có dạng
1 1 2 2

n n
x a x a x a
+ + +

+ + + +
+ + +
֏
֏

là m
ộ
t vành g
ọ
i là vành th
ươ
ng c
ủ
a X trên A.
- Ví dụ:
Vành th
ương của
ℤ
trên iñêan
n
ℤ
gọi là vành các số nguyên mod n. Phép cộng và
phép nhân trong
n
ℤ
ℤ
xác ñịnh bởi:
( ) ( )
( )( )
x n y n x y n

ọ
i
,
a b X
∈
. N
ế
u X=Y thì
ñồ
ng c
ấ
u f
ñượ
c g
ọ
i là t
ự

ñồ
ng c
ấ
u c
ủ
a X. N
ế
u f là
ñơ
n ánh,
toàn ánh, song ánh thì ta g
ọ

֏

là một ñồng cấu vành từ vành X ñến vành thương X/A. ðồng cấu này ñược gọi còn là một toàn
cấu, và ñược gọi là toàn cấu chính tắc.
4) Giả sử X và Y là hai vành, ánh xạ
0
X Y
x
→
֏

Với 0 là phần tử không của vành Y là một ñồng cấu gọi là ñồng cấu không.

Dưới ñây chúng ta ñưa ra các ñịnh lý tương tự như trong nhóm mà việc chứng minh tương tự
áp dụng kết quả trong nhóm.
- ðịnh lý 9: Giả sử X, Y, Z là những vành,
: , :
f X Y g Y Z
→ →
là những ñồng cấu vành. Thế
thì ánh xạ tích
:
gf X Z
→

cũng là một ñồng cấu. ðặc biệt tích của hai ñẳng cấu là một ñẳng cấu.
24

- ðịnh lý 10: Giả sử
:

(ii) f là một toàn cấu khi và chỉ khi Imf=Y
- ðịnh lý 13: Giả sử
:
f X Y
→
là một ñồng cấu từ một vành X ñến một vành Y,
:
X
f X
Kerf
→
là toàn cấu chính tắc từ vành X ñến vành thương của X trên Kerf. Thế thì:
(i) Có một ñồng cấu duy nhất:
:
X
f Y
Kerf
→
sao cho tam giác

X f Y
p
f X/Kerf

là giao hoán.
(ii) ðồng cầu
f

2.2.2. Trường con