1

CHƯƠNG 1
Phương trình vi phân cấp 1
Số tiết: 12 (lý thuyết: 09 tiết; bài tập: 03 tiết)
A. MỤC TIÊU
- Sinh viên hiểu ñược các khái niệm cơ bản, ñịnh nghĩa về phương trình vi phân, cách giải một
số dạng phương trình vi phân thường cấp 1.
- Sinh viên vận dụng thành thạo lý thuyết vào giải các bài tập tìm nghiệm, tìm nghiệm riêng,
nghiệm kì dị của phương trình vi phân, tìm quỹ ñạo trực giao của họ ñường cong.
- Sinh viên hiểu rõ vai trò của môn phương trình vi phân ñối với các môn học khác, tích cực, chủ
ñộng tham gia các hoạt ñộng của môn học, có phương pháp học tập tích cực sáng tạo.

B. NỘI DUNG
1.1. Mở ñầu
Trong rất nhiều lĩnh vực ứng dụng, chuyển ñộng của một hệ ñược mô hình hoá bởi các
phương trình vi phân, tức là phương trình có chứa các ñạo hàm của ẩn hàm cần tìm.
Chẳng hạn, trong cơ học cổ ñiển (ñịnh luật Newton), trong thiên văn học (sự chuyển
ñộng của các hành tinh), trong hoá học (các phản ứng hoá học), trong sinh học (sự
phát triển của dân số), trong ñiện tử Trong hầu hết các lĩnh vực như thế, bài toán
chung nhất là mô tả nghiệm của các phương trình này (cả về ñịnh tính lẫn ñịnh
lượng).

1.1.1. Vài mô hình ñơn giản
Sự rơi tự do: Xét một vật có khối lượng m ñược thả rơi tự do trong khí quyển gần
mặt ñất. Theo ñịnh luật II Newton, chuyển ñộng của vật ñó có thể mô tả bởi phương
trình
F = ma (1.1)
trong ñó F là hợp lực tác ñộng lên vật và a là gia tốc chuyển ñộng. Hợp lực F có thể
giả thiết chỉ bao gồm lực hấp dẫn (tỷ lệ với khối lượng của vật và hướng xuống) và
lực cản (tỷ lệ với vận tốc chuyển ñộng và hướng lên trên). Ngoài ra, do gia tốc chuyển ñộng

kg
muối hòa tan trong 1000 lít nước. Ta cho chảy vào thùng một loại nước muối nồng ñộ a (kg/lít) với
lưu lượng r (lít/phút) và khuấy ñều. ðồng thời, cho hỗn hợp ñó chảy ra khỏi thùng cũng với tốc ñộ
như trên. Gọi x = x(t) là lượng muối trong thùng tại thời
ñiểm bất kỳ. Rõ ràng tỉ lệ thay ñổi lượng
muối trong thùng
dx
dt
bằng hiệu của tỉ lệ muối chảy vào ar (kg/phút) trừ ñi tỉ lệ muối chảy ra tại thời
ñiểm ñang xét
1000
rx
(kg/phút). Vậy ta có phương trình vi phân

ar
1000
dx rx
dt
= −
(1.3)
2

với dữ kiện ban ñầu
0 0
( )
x t x
=
.
1.1.2. Các khái niệm


ℝ ℝ
. Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm là vec tơ hàm (hàm giá trị vec tơ)
( )
1
( ) ( ), , ( ) , F
T
m
m
y x y x y x= ∈ ℝ
là một ánh xạ nhận giá trị trong
m
ℝ
và (1.4) ñược hiểu là hệ
phương trình vi phân.
Ta nói một phương trình vi phân có cấp n nếu n là cấp lớn nhất của ñạo hàm của ẩn xuất
hiện trong phương trình.
Phương trình vi phân thường cấp 1 có dạng tổng quát
( , , ') 0
F x y y
=
(1.5)
trong ñó F(x,y,z) ñược giả thiết liên tục cùng với các ñạo hàm riêng của nó trên miền
3
G ⊂
ℝ
.
Phương trình vi phân cấp 1 có thể viết dưới dạng sau (gọi là dạng giải ra ñối với ñạo hàm)
' ( , )
y f x y
=

(với I = (a,b) là khoảng nào ñó của
ℝ
) là nghiệm của phương trình (1.4) nếu nó có các ñạo hàm liên tục ñến cấp n trên I và thỏa
mãn
( )
( , ( ), '( ), ''( ), , ( )) 0
n
F x x x x x
φ φ φ φ
=
với mọi
x I
∈
(1.6)
Trong trường hợp phương trình vi phân cấp 1, nghiệm là một hàm thực một biến
( )
y x
φ
=
mà khi
thay vào (1.5), ta ñược một ñẳng thức ñúng.
Ví dụ 1.2. Dễ kiểm tra rằng họ hàm (phụ thuộc vào hai tham số tùy ý)
1 2
os sin
y C c x C x
= +
là
nghiệm của phương trình vi phân
'' 0
y yNgược lại cho trước họ ñường cong
( , , ) 0
x y C
ϕ
=
(1.8)
phụ thuộc vào tham số C sao cho
qua mỗi ñiểm chỉ có duy nhất một ñường cong của họ ñi qua. Ta
sẽ lập phương trình vi phân nhận họ ñường cong này làm nghiệm tổng quát như sau. ðạo hàm hai vế
của phương trình trên theo x, ta ñược
( , , ) ' ( , , ) 0
x y C y x y C
x y
ϕ ϕ
∂ ∂
+ =
∂ ∂

Từ phương trình (1.8), với mỗi (x, y) ta luôn tìm ñược duy nhất giá trị
( , )
C C x y
=
. Thay C vào
ñẳng thức trên ta nhận ñược
( , , ( , )) ' ( , , ( , )) 0
x y C x y y x y C x y

x
y C
= +
là
nghiệm tổng quát của phương trình
2
'
y x
=
. Dễ thấy
3
1
3
x
y
= +
là nghiệm duy nhất thỏa mãn y(0)=1.
Ta xét bài toán sau ñặt ra ñối với phương trình (1.5), gọi là bài toán Cauchy (hay bài toán giá
trị ban ñầu):
Bài toán: Tìm nghiệm y(x) thỏa mãn:
0 0
' ( , )

( )
y f x y
y x y
=


=

y x
la nghiệm của bài toán (1.9)
tích phân hai vế của phương trình trong (1.9) ta ñược phương trình
0
0
( ) ( , ( ))
x
x
y x y f t y t dt
= +
∫
. Mỗi
nghiệm của phương trình (1.9) cũng là nghiệm của phương trình trên và ngược lại.
Phép lặp Picard - Linñơliop
Về mặt toán tử nghiệm của phương trình
0
0
( ) ( , ( ))
x
x
y x y f t y t dt
= +
∫
chính là lời giải bài toán
ñiểm bất ñộng của các ánh xạ co trong không gian metric ñầy ñủ mà lời giải có thể cho bởi phương
pháp xấp xỉ liên tiếp Picard - Linñơliop sau:
Xét dãy các hàm xác ñịnh một cách ñệ quy bởi
0 0
( )
y x y

( , )
ax ( , )
x y D
M m f x y
∈
=
và
min( , )
b
h a
M
=
. Khi ñó với mọi
0 0
[x -h,x +h]
x I
∈ =
ta có
0
( )
k
y x y b
− ≤
với mọi k (nói cách khác, trong phép lặp Picard - Linñơliop các hàm
k
y
không ñi ra
khỏi phần hình chữ nhật D ứng với
x I
∈

2
D
⊂
ℝ
có ñạo hàm riêng
f
y
∂
∂
liên tục ñối với y thì nó là
hàm Lipschitz ñịa phương ñối với y.
+ ðiều kiện Lipschitz là yếu hơn so với ñiều kiện giới nội của ñạo hàm riêng
f
y
∂
∂
trên D.
ðịnh lý 1.3. (ðịnh lý tồn tại và duy nhất nghiệm). Giả sử hàm số
( , )
f x y
trong (1.9) liên tục và thỏa
mãn ñiều kiện Lipschitz theo biến y trên hình chữ nhật
{
}
2
0 0
( , ) / ,
D x y x x a y y b
= ∈ − ≤ − ≤
ℝ


ñường cong tích phân của phương trình (1.5) ñi qua ñiểm (x
0
, y
0
) D cho trước.
ðịnh nghĩa 1.4. Giả sử
2
D
⊂
ℝ
sao cho vế phải của phương trình (1.5) xác ñịnh và liên tục trên D.
Hàm số
( , )
y y x C
=
phụ thuộc liên tục vào hằng số C ñược gọi là nghiệm tổng quát của (1.5) nếu:
i) Với mỗi ñiều kiện ban ñầu (x
0
, y
0
) D ta luôn giải ñược C dưới dạng
0 0
( , )
C x y
ϕ
=
(*) trong ñó
ϕ
là hàm liên tục.

, ta luôn tìm ñược
(
)
0 0 0
C x , y
ϕ
=
sao cho
(
)
0
y y x, C
=
là nghiệm của
bài toán Cauchy tương ứng. Nói cách khác, bằng cách chọn các giá trị thích hợp cho
hằng số, ta có thể thu ñược các nghiệm riêng tuỳ ý của phương trình, không kể các
nghiệm kỳ dị.
Giải (hay còn gọi là tích phân) một phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm (biểu thức
nghiệm tổng quát) của phương trình ñó hoặc nghiệm của bài toán Cauchy với ñiều kiện ban ñầu cho
trước.
1.3. Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp 1
1.3.1. Phương trình với biến số phân ly
Phương trình vi phân cấp 1 dạng:
( ) ( ) 0
M x dx N y dy
+ =
(1.10)
ñược gọi là phương trình vi phân với biến số phân ly (hay phương trình tách biến).
Cách giải: Các hàm M(x), N(y) ñược giả thiết liên tục trên các khoảng nào ñó. Khi ñó chỉ cần
tích phân hai vế của (1.10) ta thu ñược tích phân tổng quát của nó là:

( ) ( )
N y M x
(với
giả thiết biểu thức này khác 0):
1 2
2 1
( ) ( )
0
( ) ( )
M x N y
dx dy
M x N y
+ =
.
Dó
ñ
ó tích phân t
ổ
ng quát là:
1 2
2 1
( ) ( )
( ) ( )
M x N y
dx dy C
M x N y
+ =
∫ ∫

6

3
x y y C
− + − + =

Ngoài ra ta có:
3
1 0 1 à 1 0 1
x x v y y
− = ⇔ = + = ⇔ = −

Thử trực tiếp vào phương trình thì
1 à 1
x v y
= = −
cũng là nghiệm của phương trình.
1.3.2. Phương trình vi phân ñẳng cấp, cấp một (phương trình thuần nhất).
1.3.2.1. ðịnh nghĩa: Phương trình vi phân ñẳng cấp, cấp một là phương trình có dạng:

( )
,
dy
f x y
dx
=
(1.12)
Trong ñó
(
)
,
f x y

y
dx x xy
x
 
−
 
−
 
= =
−
−

1.3.2.2. Cách giải: Phương trình (1.12) có thể viết dưới dạng:
dy y
dx x
ϕ
 
=
 
 
(1.13)
ðặt
( )
ux
y dy du
u y u x u
x dx dx
ϕ
= ⇒ = ⇒ = + =



ðặ
t
( )
( )
du
u
u u
φ
ϕ
=
−
∫
ta có:
(
)
(
)
ln ln
u
x u C x Ce
φ
φ
= + ⇒ =

Tích phân t
ổ
ng quát c
ủ
a ph

ph
ươ
ng trình (1.13) có d
ạ
ng:
dy y
dx x
=
(ph
ươ
ng trình tách
bi
ế
n)
⇒
.
y Cx
=

* N
ế
u
(
)
0
u u
ϕ
− =
t
ạ

x
dx x y
y
x
= =
−
 
−
 
 

7

ðặt
( )
ux
y dy du
u y u x u
x dx dx
ϕ
= ⇒ = ⇒ = + =( )
3 2
2 2
2
2 1
1 1
1

⇔ =
+

thay
y
u
x
=
vào ta có nghiệm
2 2
x y Cy
+ =
(tích phân tổng quát của phương trình)
*Ngoài ra ta thấy rằng tại
0
0 0
u y
= ⇔ =
cũng là nghiệm của phương trình (thử trực tiếp).
1.3.2.3. Phương trình ñưa về phương trình ñẳng cấp cấp một
Xét phương trình
1 1 1
ax
a x
dy by c
f
dx b y c
 
+ +
=

= =
thì
( )
1 1
1 1 1
ax
a x
a x
dy by c
f F b y
dx b y c
 
+ +
= = +
 
+ +
 
(phương trình
tách biến).
- Nếu hệ có nghiệm
(
)
1 1
,
x y
ta thực hiện phép biến ñổi sau:
ðặt
1 1
1 1
1 1

x y x
x y y
− + = = −
 
⇒
 
+ + = = −
 

ðặt
2 2
1 1
X x x X
Y y y Y
= + = −
 
⇔
 
= + = −
 
. Ta có
( ) ( )
( ) ( )
1
2 1 1
2 1 3
1
Y
X Y
dY X Y

Nói cách khác: Phương trình (1.15) là phương trình bậc nhất ñối với hàm phải tìm và ñạo
hàm của nó.
* Nếu
(
)
0
Q x
≡
thì (1.15) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất.
* Nếu
(
)
0
Q x
≠
thì (1.15) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất.
Cách giải: (Phương pháp biến thiên Lagrange)
Trước tiên giải phương trình thuần nhất tương ứng:
* Giải phương trình
(
)
' 0
y p x y
+ =
.
- Với
0
y
≠
ta có

( )
( )
p x dx p x dx
dy dC
e p x e C
dx dx
− −
∫ ∫
= −
(thế vào (1.15) và kết hợp với (1.16) ta ñược:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
p x dx p x dx p x dx
dC
e p x e C p x e C Q x
dx
− − −
∫ ∫ ∫
− + =

Hay
( ) ( )
( ) ( )
p x dx p x dx
dC
e Q x C Q x e dx

∫
+
( ) ( )
( )
p x dx p x dx
e Q x e dx
−
∫ ∫
∫

Nhận xét: Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất bằng nghiệm tổng
quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng cộng với một nghiệm riêng nào ñó của
chính nó.
Ví dụ 1.9: Giải phương trình:
1
' 3
y y x
x
+ =
. Tìm nghiệm riêng thỏa mãn:
1
1.
x
y
=
=

* Giải phương trình thuần nhất tương ứng:
1
' 0 ( 0)

ε
ε
= + = +

Với ñiều kiện ban ñầu ta có:
1 1 0.
ε ε
= + ⇒ =

Vậy nghiệm riêng của phương trình ñã cho ứng với ñiều kiện ban ñầu là
2
y x
=

1.3.4. Phương trình Bernoulli
9

Phương trình dạng:
( ) ( )
n
dy
P x y Q x y
dx
+ =

(1.18)
Trong ñó
(
)
(

1
n
z y
−
=
(lấy ñạo hàm 2 vế) ta có:
'
' (1 ) ' '
(1 )
n
n
z
z n y y y
n y
−
−
= − ⇒ =
−
. Thay vào (1.18):
'
( ) ( ).
(1 )
n
n
z
y p x z Q x
n y
−
−
+ =

3
2
'
' ' 2
z
y z xz x
y
−
⇒ = ⇒ + = −
−
(phương trình tuyến tính cấp một không thuần nhất).
Giải ra ta ñược nghiệm tổng quát của nó là:
2
2
1
x
z Ce x
−
= − +

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình trên là:
2
2
1
1
x
y
Ce x
−
=

M N
y x
∂ ∂
=
∂ ∂

Nếu ñiều kiện
M N
y x
∂ ∂
=
∂ ∂
thỏa mãn thì tích phân tổng quát của phương trình (1.19) có thể viết
dưới dạng
0 0
0
( , ) ( , )
y
x
x y
M x y dx N x y dy C
+ =
∫ ∫
hoặc
0 0
0
( , ) ( , )
y
x
x y

( , )
x y
µ
ñược gọi là thừa số tích phân.
ðịnh lý về sự tồn tại thừa số tích phân
Nếu phương trình (1.19) có tích phân tổng quát
( , )
U x y C
=
thì phương trình (1.19) có thừa số
tích phân.
* Chú ý: Phương trình (1.19) có thừa số tích phân
( , )
x y
µ
thì nó có vô số thừa số tích phân và
mọi thừa số tích phân của nó ñều có dạng
(
)
1
( , ) ( , )
x y u x y
µ φ µ
=
trong ñó
(
)
u
φ
là hàm số nào

ng h
ợ
p 2: N
ế
u
( , ) ( , )
( )
( , )
M x y N x y
y x
y
M x y
ψ
∂ ∂
−
∂ ∂
=
thì th
ừ
a s
ố
tích phân
( )
( , ) ( )
y dy
x y y e
ψ
µ µ
−
∫

dx x y x x x
µ
µ
− +
⇒ = = − ⇒ =
+

Do ñó
( ) ( )
2 2 2
2 2
1 1
0
x y dx x y x dy
x x
− + + =
là phương trình toàn phần
3
2
2
1
0 0
3
y y y
dx dx y dy dy hay dx d d
x x x
 
 
⇒ − + + = + + =
 


1.3.6. Phương trình Lagrange và phương trình Clero
1.3.6.1. Cách ñưa phương trình về dạng ñã giải ra ñối với ñạo hàm
Giả sử ñã cho phương trình
(
)
, , ' 0
F x y y
=
(1.20)
Giả sử phương trình (1.20) có thể biểu diễn ñược dưới dạng tham số:

(
)
(
)
(
)
, ; , ; ' ,
x u v y u v y u v
ϕ χ ψ
= = =
(1.21)
Khi ñó (1.20) và (1.21) tương ñương.
11

Nhờ việc ñưa phương trình (1.20) về dạng phương trình (1.21), ta có thể ñưa việc giải phương
trình dạng (1.20) về việc giải phương trình dạng (1.21).
Ví dụ 1.13. Giải phương trình
2

=
suy ra p = x + C.
Do ñó nghiệm tổng quát của phương trình ñã cho là
2
2
2
x
y Cx C
= + +
. Nếu 2p - x = 0 ta có
2
x
p
=
thay vào biểu thức tham số hóa ta có nghiệm
4
2
x
y =
nghiệm này là nghiệm kỳ dị.
1.3.6.2. Phương trình Lagrange
Ta gọi phương trình tuyến tính ñối với x và y dạng:
(
)
(
)
' '
y y x y
ϕ ψ
= +

dx
ϕ ϕ ψ
⇒ − = +
 
 

Coi p là biến ñộc lập, x là hàm của p ta có phương trình tuyến tính sau:
* Nếu
(
)
0
p p
ϕ
− ≠
ta có:
(
)
( )
(
)
( )
' '
p p
dx
x
dp p p p p
ϕ ψ
ϕ ϕ
− =
− −

)
0
p p
ϕ
− =
tại
(i=1,2, )
i
p p
=
thì phương trình
(
)
i i
y xp p
ψ
= +
cũng là nghiệm của
phương trình (có thể là nghiệm riêng hay kỳ dị tùy từng trường hợp).
Chú ý: Nghiệm kỳ dị của phương trình Lagrange nếu có thì chỉ có thể là ñường thẳng
(
)
i i
y xp p
ψ
= +
.
*
(
)

2 2
p p dx xp p dp
− = +

12

* Với
2
0
p p
− ≠
ta có:
2 2
1 1
dx x
dp p p
+ =
− −
(là phương trình tuyến tính cấp 1)
Giải phương trình trên ta ñược:
( )
2
1
1
C
x
p
= −
−



= −

−



=

−

(dạng tham số)
Khử p từ hệ phương trình trên ta ñược nghiệm tổng quát của phương trình là:
(
)
2
1
y x C
= + +

* Với
2
0 0 à 1
p p p v p
− = ⇔ = =

- Với
0
p
=

(
)
' '
y y
ϕ
=
thì phương trình Lagrange có dạng:
(
)
' '
y y x y
ψ
= +
(1.25)
Phương trình này gọi là phương trình Clero.
(
)
'
y
ψ
là hàm khả vi với
'
y
.
* Cách giải: ðặt
'
y p dy pdx
= ⇒ =

Và (1.25) trở thành

dp p C
= ⇒ =
. Thế vào
(
)
y px p
ψ
= +
ta ñược:
(
)
y Cx C
ψ
= +
(1.26) (nghiệm tổng quát
của (1.25) là họ ñường thẳng).
*
(
)
(
)
' 0 '
x p x p
ψ ψ
+ = ⇒ = −
. Thế vào
(
)
y px p
ψ

y y x y
= − − .
ðặt
2
' ( 1)
y p y p x p
= ⇒ = − −

Thế
'
y C
=
vào trên ta ñược nghiệm tổng quát của phương trình là họ ñường thẳng:
2
( 1)
y C x C
= − −

13

ðể tìm nghiệm kỳ dị, tức tìm bao hình của họ ñường thẳng trên ta xét hệ
2
2 1
( 1)
x C
y C x C
= +


= − −

. Do ñó phương trình (1.27) có thể viết lại dưới dạng
2
1, 1, (1, ) 0
m m n
y y y y
x A dx x B dy x H x d
x x x x
     
+ + =
     
     

Hay, sau khi chia 2 vế cho
m
x
và thu gọn, ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
2
[ 1, 1, ]dx+[ 1, 1, x ] 0
n m
A z zB z xB z H z dz
+ −
+ + =

+ +

ðây là phương trình Bernoulli của ẩn
)(zxx
=
xem như hàm theo
z
.
Ví dụ 1.15: Giải phương trình
2
( ) 0
xdx ydy x xdy ydx
+ + − =

ðây là phương trình Darboux, ñặt
xz
y
=
ta ñược
4
( ) 0
xdx xz xdz zdx x dz
+ + + =

Hay 0)()1(
32
=+++ dzxxzdxz
Hình 1.2
14


=−+






+++ xy
x
y
yxyxC
với
C
là hằng số tùy ý.
1.3.8. Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân
1.3.8.1. Hình bao của một họ ñường cong
Giả sử có phương trình dạng:
(
)
, , 0
x y C
φ
=
(1.28)
trong ñó x,y là các biến ñộc lập, c là thông số có thể lấy những giá trị khác nhau. Với mỗi giá trị
xác ñịnh của C, phương trình (1.28) xác ñịnh một ñường trên mặt phẳng Oxy. Cho C mọi giá trị
có thể ñược ta có một họ ñường phụ thuộc một thông số.
* Hai ñường cong gọi là tiếp xúc với nhau tại giao ñiểm nếu tại ñấy chúng có cùng một tiếp
tuyến chung.
* Cho một họ ñường cong phụ thuộc thông số C là

)
( )
'
, , 0
, , 0
c
x y C
x y C
φ
φ

=


=


ta ñược phương trình của hình bao.
1.3.8.2. Nghiệm kỳ dị
Giả sử phương trình
(
)
, , ' 0
F x y y
=
(1.29)
Có tích phân tổng quát:
(
)
, , 0

)
y x
ϕ
=
của nó gọi là kỳ dị nếu tính duy nhất
tại mỗi ñiểm của nó bị phá vỡ.
Ví dụ 1.16: Tìm nghiệm bất thường của phương trình:
(
)
2 2 2
1 '
y y R
+ =

( )
2 2
2
2 2
2 2
R y
dy ydy
dx x C y R
dx y
R y
−
⇒ = ± ⇒ = ⇒ − + =
± −

15


ñạo trực giao của họ (C
C C
C )
Cách tìm quỹ ñạo trực giao
Giả sử cho họ ñường cong (C
C C
C ) có phương trình:
(
)
, , 0
F x y C
=

Lập phương trình vi phân của họ (C
C C
C ) bằng cách khử C từ hệ phương trình:

(
)
( )
'
, , 0
, , 0
x
F x y C
F x y C

=




) ñi qua M cắt các ñường cong của họ (C
CC
C

) dưới góc
2
π
α
=
, nên hệ số góc của tiếp tuyến của nó tại M là
'
1
1
'
y
y
= −
do ñó
'
1
1
'y
y
= −

V
ậ
y ph
ươ

y
b
ở
i
1
'
y
−
:
1
, , 0
'
f x y
y
 
− =
 
 
. Nghi
ệ
m t
ổ
ng quát c
ủ
a ph
ươ
ng
trình trên cho ta
ñượ
c h

2 2 2
x y K
+ =

Vậy các quỹ ñạo trực giao phải tìm là họ các ñường tròn ñồng tâm và có tâm ở gốc tọa
ñộ.
C. TÀI LIỆU HỌC TẬP
[1]. Hoàng Hữu ðường (1977), Lý thuyết phương trình vi phân, Nhà xuất bản ðại học và Trung
học chuyên nghiệp.
[2]. Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung (1979), Bài tập Phương trình vi phân, Nhà xuất bản
ðại học và Trung học chuyên nghiệp.
16

[3]. Vũ Tuấn, Phan ðức Thành, Ngô Xuân Sơn (1998), Giải tích toán học tập 3 (Sách ðại học sư
phạm), Nhà xuất bản Giáo dục.

D. CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN
1.1. Giải các phương trình vi phân có biến số phân li
a)
( ) ( )
2 2
2 2
ln 1
1 1 0. ) ' .
ln 1
x
x y dx y x dy b y
y
+
+ + + = =

b xdy y ydx
− =
; Tìm nghiệm riêng thỏa mãn ñiều kiện:
0
1.
x
y
=
=

(
)
2 2
) 1 ' 4
c x y y
+ = +
; Tìm nghiệm riêng thỏa mãn ñiều kiện:
1
2.
x
y
=
=

) 'sin cos cos sin 0
d y x y y x y
+ =
; Tìm nghiệm
4
.

2 2
) ' 2 0.
a xyy x y
+ − =

2 2
) .
b xdy ydx x y dx
− = +

( ) ( )
) cos sin .
y y
c x ydx xdy xdy ydx
x x
+ = −

(
)
2 2
) ' ' 1 0.
d x y y xy y
+ − − =

( ) ( )
1
) ' . ) 2 2 1
1 0.
3
x y

a y xy xe b x y xy x+ = + − = +
( )
( )
3
2
0
2 1
) 2 6 0. ) ' 1 ;
1 2
x
y
c ydx y x dy d y x y
x
=
+ − = − = + =
+

1.6. Giải các phương trình vi phân sau (Phương trình Bernoulli)
( )
( )
2 3 2 2
) 1. ) 1 ' 3 5 0.
dy
a x y xy b xy x x yy x
dx
+ = + + + − =

( )
2
0

)
(
)
2 2
) 3 2 2 6 3 0.
a y xy x dx xy x dy
+ + + + + =

(
)
(
)
2 2
) 1 0.
b x y dx x y x dy
− + − =

(
)
(
)
2 3 2 2
) 2 3 3 3 2 0.
c xy x dx x y y dy
+ + + =

( )
3
2 2 2
) 2 0.

có nghiệm riêng dạng
1
y b
=

là phương trình với biến số phân li.
1.13. Cho hai nghiệm khác nhau
1
y
,
2
y
của phương trình tuyến tính cấp 1. Hãy biểu diễn nghiệm
tổng quát của phương trình ñó qua hai nghiệm này.
1.14. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
' ( ) 0
y p x y
+ =
nếu biết một nghiệm không tầm
thường
1
( )
y x
của nó.
1.15. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất
' ( ) 0
y p x y
+ =
bằng cách
ñưa nó về phương trình không chứa số hạng có hàm phải tìm qua phép thế

CHƯƠNG 2
Phương trình vi phân cấp cao
Số tiết: 09 (lý thuyết: 07 tiết; bài tập: 02 tiết)
A. MỤC TIÊU
- Sinh viên hiểu ñược các khái niệm ñịnh nghĩa về phương trình vi phân cấp hai, cấp ba cấp n,
Ý nghĩa hình học, cách giải phương trình vi phân cấp cao.
- Sinh viên vận dụng thành thạo lý thuyết vào giải các dạng bài tập về phương trình vi phân cấp
cao.
- Sinh viên tích cực, chủ ñộng tham gia các hoạt ñộng của môn học, có năng lực tự học cao, có
phương pháp học tập tích cực sáng tạo.

B. NỘI DUNG
2.1. Các khái niệm cơ bản

Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát:

( )
(
)
, , ', ", , 0.
n
F x y y y y
=
(2.1)
trong ñó F là một hàm xác ñịnh (liên tục) trên một tập mở nào ñó của
2
n
+
ℝ
và nhất thiết phải có

−
.
Hàm
(
)
y y x
=
ñược gọi là nghiệm của phương trình (2.2) trên khoảng (a; b) nếu:
i.
(
)
y x
liên tục và có ñạo hàm ñến cấp n liên tục trên (a; b) sao cho khi
(
)
;
x a b
∈
thì ñiểm
( ) ( )
( )
( )
(
)
1
; ; ' ; ; ;
n
x y x y x y x G
−
∈

)
(
)
(
)
(
)
1 1
0 0 0 0 0 0
, ' ' , ,
n n
y x y y x y y x y
− −
= = =
(2.3)
trong ñó
0
x I
∈ ⊂
ℝ
và
(
)
1
0 0 0 0
( , , , )
n
n
Y y y y
−

19

* ðịnh nghĩa nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp n
Nghiệm tổng quát của phương tình vi phân cấp n là hàm số
(
)
1
, , ,
n
y x C C
ϕ
=
phụ thuộc
vào n hằng số tùy ý
1 2
, , ,
n
C C C
sao cho:
* Hàm số thỏa mãn phương trình với mọi giá trị của hằng số
1 2
, , ,
n
C C C
.
Với ñiều kiện ban ñầu cho trước
0
0
0
( 1) ( 1)

)
1
, , ,
n
y x C C
ϕ
=
th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
ñ
ó.
* M
ọ
i hàm s
ố
có
ñượ
c t
ừ
nghi
ệ
m t
ổ

2.2.1. Phương trình chỉ chứa biến số và ñạo hàm cấp cao nhất
Phương trình chỉ chứa biến số và ñạo hàm cấp cao nhất là phương trình có dạng
( )
(
)
, 0.
n
F x y
=
(2.5)
(i) Từ phương trình (2.5) ta có thể biểu diễn ñược
(
)
n
y
qua x:
(
)
(
)
.
n
y f x
=
(2.6)
Giả sử
(
)
f x
liên tục trên khoảng (a; b) . Khi ñó bài toán Cauchy có nghiệm duy nhất ñối

2 1 1
0 0
0 0 0 0 0
1
' ( ) .
2 ! 1 ! 1 !
xn n
n n n
x
y y
y y y x x x x x x f t x t dt
n n n
− −
− − −
= + − + + − + − + −
− − −
∫

Tích phân lần lượt 2 vế của phương trình (2.6) ta ñược nghiệm tổng quát
(
)
(
)
1
1 1

â
.
n
n n

ϕ ψ
= =

Chú ý rằng
(
)
(
)
(
)
(
)
1
'
n n
dy y dx t t dt
ψ ϕ
−
= =
ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1 1 1

)
( )
1 2
,
, , , , .
n n
x t
y t C C C
ϕ
ψ
=
=

Ví dụ 2.1. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
.
x
y xe
′′
=
Tích phân lần lượt 2 vế ta ñược
(
)
1 2
2 .
x
y x e C x C
= − + +

Nghiệm thỏa mãn ñiều kiện ban ñầu
(

t
x e t y t
′′
= − =

(
)
2 .
t
dy y dx t e t dt
′ ′′
= = −

20

( )
( )
3
1 1
2
' 2 1 ;
3
t t
y t e t dt C e t t C
= − + = − − +
∫

( )
( )
3

n phép tính tích phân trong bi
ể
u th
ứ
c cu
ố
i, ta
ñượ
c nghi
ệ
m t
ổ
ng quát c
ủ
a ph
ươ
ng trình
ñ
ang xét d
ướ
i d
ạ
ng tham s
ố

2
,
t
x e t
= −

k
y z
=
với z là hàm mới phải tìm, phương trình (2.7) ñưa về phương
trình cấp n - k sau:
( )
(
)
, , , , 0.
n k
F x z z z
−
′
=
(2.8)
Nếu (2.8) giải ñược bằng cầu phương, nghĩa là ta tìm ñược
(
)
1 2
, , , ,
n k
z x C C C
ϕ
−
=
hay
(
)
1 2
, , , , , 0

=
ta có
2
.
z xz z
′ ′
= +

ðây là phương trình Clero. Giải nó ta ñược nghiệm tổng quát
2
1 1
z xC C
= +

Và nghiệm kỳ dị
2
.
4
x
z = −

Trở lại biến cũ y:
2
2
1 1
' , ' .
4
x
y C x C y= + = −


=
và coi
(
)
z z y
=
ta ñược
,
dz dz
y z
dx dy
′′
= =

2
2
2
,
d d dy d z dy
y y y z z
dx dy dx dy dz
 
 
′′′ ′′ ′′
= = = +
 
 
 
 
 

2 1
, , , , 0.
n
n
dz d z d z
y
dy dy dy
−
−
 
Φ =
 
 

Ví dụ 2.4. Tích phân phương trình
2 2
2 .
yy y y
′′ ′
= +ðặt
'
y z
=
ta có
' .
dz dz dz
y y z


Bởi vậy
2 2
1
z C y y
= +
Hay
2 2
1
.
y C y y
′
= +

Tích phân phương trình này ta ñược
2
1
1 2
ln .
2
C
y C y y x C
+ + + = ± +

Ngoài ra ph
ươ
ng trình còn có nghi
ệ
m
0

n
y y y
thì có th
ể
h
ạ
nó xu
ố
ng
m
ộ
t c
ấ
p b
ằ
ng phép th
ế

' ,
y yz
=
z là hàm s
ố
m
ớ
i ph
ả
i tìm.
Th
ậ

=

Thay các bi
ể
u th
ứ
c này c
ủ
a
(
)
, , ,
n
y y y
′ ′′
vào ph
ươ
ng trình ban
ñầ
u và chú r
ằ
ng F là hàm thu
ầ
n
nh
ấ
t (ch
ẳ
ng h
ạ


Hay
( )
(
)
(
)
1
2
,1, , ', , , ', , 0
n
F x z z z z z z
ω
−
+ =
(gi
ả
s
ử

0
y
≠
).
ð
ây là
ph
ươ
ng trình c
ấ

ϕ
−
′
=
B
ở
i v
ậ
y
( )
1 2 1
, , , ,
n
x C C C dx
n
y C e
ϕ
−
∫
= là nghiệm tổng quát của phương trình ban ñầu.
Ví dụ 2.5. Giải phương trình
2
0.
xyy xy yy
′′ ′ ′
− − =

22

ðặt

Tích phân phương trình này ta ñược
1
,
z C x
=
Hay
1
'
.
y
C x
y
=

Do ñó
2
1
2
2
C
x
y C e
=
.
Nghiệm
0
y
=
rõ ràng có thể nhận ñược từ biểu thức tích phân tổng quát với
2

là các ñại lượng bậc 1, bậc k , bậc
1, ,
k k n
− −
. Bằng phép thế
, ,
t kt
x e y ze
= =

ta ñưa ñược phương trình (2.10) về phương trình không chứa biến ñộc lập t:

( )
(
)
, ', , 0.
n
z z z
Φ =
(2.11)
Thật vậy, vì
t
d d
e
dx dt
−
=

Nên
( )

= = + − + −
 
 ( ) ( )
, , , .
n
n k n t
n
dz d z
y z e
dt dt
ω
−
 
=
 
 

Thế các giá trị này vào (2.10), chú ý giả thiết ñã cho, ta ñi ñến phương trình (2.11) sau khi ñã
ñơn giản cho thừa số
mt
e
. Vì theo phần 2.2.3, phương trình (2.11) có thể hạ xuống một cấp nên
phương trình (2.10) qua phép thế ở trên có thể hạ xuống cấp n-1.
Ví dụ 2.6. Xét phương trình
( )
3
4

−
= = +
2
2
.
t t
dy d z dz
y e e
dt dt dt
− −
 
′′
= = +
 
 
Thế vào (2.12) ta ñược
3
2
3
2
0
t t t
d z dz dz
e e z ze
dt dt dt
 
 
 
+ + + − =
 

ta ñược
3
0
du
u u u
dz
+ + =
. Hay
( )
2
1 0 0 .
du
u u
dz
+ + = ≠
Tích phân tổng quát của phương trình cuối là
(
)
1
.
u tg C z
= −
Bởi vậy
( )
1
,
dz
tg C z
dt
= −


2.2.6. Phương trình với vế trái là ñạo hàm ñúng
Nếu vế trái của phương trình
( )
(
)
, , ', , 0
n
F x y y y
=
(2.14)
là ñạo hàm ñúng của hàm
( )
(
)
1
, , ', ,
n
x y y y
−
Φ
nào ñó thì phương trình trên ñược gọi là phương
trình với vế trái là ñạo hàm ñúng. Vì theo giả thiết
( )
(
)
( )
1 1
, , ', , ( , , ', , ) 0
n n

′
+

Ta có
( )
2
2
2 '
ln ' ln 1 '
1
y yy
y y
y y
′′
 
− = − +
 
′
+

Nên phương trình ñang xét là phương trình với vế trái là ñạo hàm ñúng.
Nó có tích phân ñầu
(
)
2
1
ln ' ln 1 ln
y y C
− + =


−
+ + + =
(2.16)
trong ñó
(
)
1, ,
i
a i n
=
là các hằng số thực. ðể xây dựng nghiệm tổng quát của phương trình
(2.16) ta xét phương trình ñặc trưng tương ứng với (2.16) sau:

1
1
0.
n n
n
a a
λ λ
−
+ + + =
(2.17)
24

Nghiệm của phương tình (2.17) gọi là nghiệm ñặc trưng của (1). Cấu trúc hệ nghiệm cơ
bản của (2.16) phụ thuộc vào dạng của các nghiệm phương trình ñặc trưng. Có những khả năng
sau xảy ra:
(i) Mọi nghiệm của phương trình ñặc trưng (2.17) thực và khác nhau. Giả sử các nghiệm
ñó là

1
a ib
λ
= +
là một trong những nghiệm phức của (2.17). Khi ñó
2
a ib
λ
= −
cũng là nghiệm của phương trình này. Cặp nghiệm phức liên hợp này sẽ ứng với hai
nghiệm thực ñộc lập tuyến tính là
ax ax
1 2
cos , sin .
y e bx y e bx
= =

Làm như vậy với mọi cặp nghiệm phức liên hợp khác và kết hợp với số nghiệm thực còn
lại ta sẽ ñược hệ nghiệm cơ bản của (2.16). Tổ hợp tuyến tính của chúng sẽ cho ta nghiệm tổng
quát của phương trình ban ñầu.
(iii) Trong số nghiệm của phương tình ñặc trưng có những nghiệm bội. Chẳng hạn, giả sử
1
λ
là nghiệm thực bội của k. Khi ñó ứng với
1
λ
ta có k là nghiệm riêng ñộc lập tuyến tính là
1 1
1
, , , .

e bx xe bx x e bx
−

Làm tương tự với mọi nghiệm bội khác và kết hợp với những nghiệm của (2.16) ứng với
những nghiệm ñặc trưng ñơn của (2.17) ta sẽ xây dựng ñược hệ nghiệm cơ bản của phương trình
(2.16) và do ñó tìm ñược nghiệm tổng quát của phương trình (2.16).
Ví dụ 2.8. Giải phương trình
5 6 0.
y y y
′′′ ′′ ′
− + =

Phương trình ñặc trưng
3 2
5 6 0
λ λ λ
− + =

có các nghiệm thực khác nhau là
1 2 3
0, 2, 3
λ λ λ
= = =
. Bởi vậy phương trình ñang xét có nghiệm
tổng quát
2 3
1 2 3
.
x x
y C C e C e

2 2
1 2 3
os3 sin3 .
x x x
y C e C e c x C e x
− −
= + +

Ví dụ 2.10. Giải phương trình
5 8 4 0.
y y y y
′′′ ′′ ′
− + − =

Phương trình ñặc trưng tương ứng có một nghiệm ñơn
1
1
λ
=
và nghiệm kép
2 3
2.
λ λ
= =
Do ñó
nghiệm tổng quát của phương trình trên là
2 2
1 2 3
.
x x x

x x x x
y e x y xe x y e x y xe x
− − − −
= = = =

là hệ nghiệm cơ bản của phương trình ñang xét và
1 2 3 4
cos cos sin sin
x x x x
y C e x C xe x C e x C xe x
− − − −
= + + +
là nghiệm tổng quát của nó.
2.3.2. Phương trình tuyến tính không thuần nhất
Phương trình tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng có dạng

(
)
(
)
(
)
1
1
.
n n
n
y a y a y f x
−
+ + + =

n n
y x x y x x y x x y x
α α α
= + + +
sẽ cho nghiệm
riêng của phương trình không thuần nhất (2.18), ở ñây
(
)
(
)
(
)
1 2
, , ,
n
x x x
α α α
ñược xác ñịnh từ
hệ phương trình ñại số
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )


′ ′ ′
+ + + =


Trong một số trường hợp ta có thể tìm nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không
thuần nhất (2.18) một cách ñơn giản hơn. Ta lần lượt xét các trường hợp ñó.
(i)
(
)
(
)
m
f x P x
=
, ở ñây
(
)
m
P x
là ña thức bậc m của
(
)
0
x m
≥
. Khi ñó nếu 0 không
phải là nghiệm của phương trình ñặc trưng
1
1 1

(2.18) rồi ñồng nhất các hệ số theo lũy thừa của x. Nếu 0 là nghiệm của phương trình ñặc trưng
bội k thì (2.18) có nghiệm riêng dạng
(
)
(
)
*
.
k
m
y x x Q x
=

(ii)
(
)
(
)
.
x
m
f x e P x
α
=

Nếu
α
không là nghiệm của phương trình ñặc trưng (2.19) thì (2.18) có nghiệm riêng
dạng
(