Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 4
1.1. Đường cong trong R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Tích phân đường loại một . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3. Cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.4. Tích phân đường trong không gian . . . . 9
1.3. Tích phân đường loại hai . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3. Cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.4. Tích phân đường loại hai trong không gian 12
1.4. Liên hệ giữa tích phân đường loại một và tích phân
đường loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chương 2. TÍCH PHÂN MẶT 22
2.1. Khái niệm về mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Định hướng mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3. Tích phân mặt loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2. Cách tính tích phân mặt loại một . . . . . 26
2.4. Tích phân mặt loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.2. Cách tính tích phân mặt loại hai . . . . . 29
Mục lục 3
2.4.3. Công thức Stokes . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.4. Công thức Gauss - Ostrogradski . . . . . . 35

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
Mục tiêu
- Nắm được các kiến thức cơ bản về tích phân đường để học các
môn tiếp theo. Nắm được thế nào là tích phân đường loại
một, cách tính tích phân đường loại một? Tích phân đường
loại hai, cách tính tích phân đường loại hai?
- So sánh và rút ra được mối liên hệ giữa tích phân đường loại
một và tích phân đường loại hai.
- Nắm được kiến thức để có thể phân tích và giải quyết các bài
toán phức tạp hơn về tích phân đường.
- Rèn luyện cho sinh viên kỹ năng tư duy, sáng tạo; kỹ năng phát
hiện và giải quyết vấn đề.
1.1. Đường cong trong R
n
Cho x(t), y(t) là các hàm liên tục trên đoạn [a, b]. Khi đó tập
các điểm
L = {(x(t), y(t)); t ∈ [a, b]}
gọi là một đường cong (liên tục) trong mặt phẳng Oxy.
Ký hiệu A = (x(a), y(a)); B = (x(b), y(b)). Khi đó nếu t biến
thiên từ a tới b (ký hiệu t : a → b) thì A gọi là điểm đầu, B là
điểm cuối. Hệ

x = x(t)
y = y(t), t ∈ [a, b]
(1.1)
1.1. Đường cong trong R
n
5
gọi là phương trình tham số của đường cong L. Trong một số
trường hợp, có thể cho L dưới dạng

D
γ
1
, D
γ
2
, . . . , D
γ
n−1
⊂ D
γ
thì
miền D thu được gọi là miền n−liên. Ta quy ước gọi chiều dương
biên của miền D là chiều mà đi trên biên theo chiều đó thì D nằm
về bên trái.
Tương tự, đường cong trong không gian Oxyz có phương trình
tham số là





x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
trong đó x(t), y(t), z(t) là các hàm liên tục trên đoạn [a, b].
Vectơ τ = (x

(t), y


(t)dt
được gọi là vi phân cung. Ta có
ds
2
= dx
2
+ dy
2
+ dz
2
1.2. Tích phân đường loại một
1.2.1. Định nghĩa
Cho hàm số f(M) = f(x, y) xác định trên một cung phẳng

AB. Chia cung

AB thành n cung nhỏ bởi các điểm A
0
=
A, A
1
, A
2
, . . . , A
n
= B. Gọi độ dài cung A
i−1
A
i
là ∆s

, thì giới hạn đó
được gọi là tích phân đường loại một của hàm số f(x, y) dọc theo
cung AB và được ký hiệu là


AB
f(x, y)ds
Nếu tích phân ấy tồn tại thì ta nói rằng hàm số f(x, y) là khả
tích trên

AB
1.2.2. Tính chất
Độ dài cung không phụ thuộc vào hướng của cung, do đó từ
định nghĩa ta có


AB
f(x, y)ds =


BA
f(x, y)ds
Trường hợp f(x, y) = l với (x, y) ∈ L thì


AB
f(x, y)ds =


AB


AC và

CB thì f(x, y, z) cũng khả tích trên

AB và ta có

AB
f(x, y, z)ds =

AC
f(x, y, z)ds +

CB
f(x, y, z)ds
1.2.3. Cách tính
Nếu đường cong L có phương trình
y = g(x), x ∈ [a, b]
trong đó g(x) là một hàm có đạo hàm liên tục trên [a, b] thì


AB
f(x, y)ds =

b
a
f(x, g(x))

1 + g
2

OB là cung parabol y = x
2
từ điểm O(0, 0) đến B(2, 4).
Ta có
I
1
=

2
0
x

1 + 4x
2
dx =
1
8

2
0
(1+4x
2
)
1
2
d(1+4x
2
) =
1
12

a
2
4
vì vậy phương trình tham số của nó là
x =
a
2
(1 + cos t), y =
a
2
sin t), −π ≤ t ≤ π
Do đó
x
2
+ y
2
=
a
2
4
x
2
+ y
2
=
a
2
2
(1 + cos t) = a
2

≤
π
2
I
2
=
a
2
2

π
−π
cos
t
2
dt = a
2

π
0
cos
t
2
dt = 2a
2
sin
t
2
|
π

t + sin
2
t) + b
2
t
2
= a
2
+ b
2
t
2
ds =

x
2
(t) + y
2
(t) + z
2
(t)dt =

a
2
+ b
2
dt
Do đó
I
3

2

1.2.4. Tích phân đường trong không gian
Nếu đường cong AB nằm trong không gian Oxyz thì hoàn
toàn tương tự trong mặt phẳng, ta cũng có tích phân đường loại
một của hàm f(x, y, z) xác định trên cung AB và có công thức
tính như sau


AB
f(x, y, z)ds =

b
a
f(x(t), y(t), z(t))

x
2
(t) + y
2
(t) + z
2
(t)dt
1.3. Tích phân đường loại hai
1.3.1. Định nghĩa
Cho đường cong L từ A đến B trong mặt phẳng Oxy và các
hàm P (x, y), Q(x, y) xác định trên L. Chia cung nhỏ AB thành
n cung nhỏ bởi các điểm A
0
= A, A

→ 0, max ∆y
i
→ 0, tổng
n

i=1
[P (ζ
i
, η
i
)∆x
i
+ Q(ζ
i
, η
i
)∆y
i
]
dần tới một giới hạn xác định, không phụ thuộc vào cách chia cung
AB và cách chọn điểm M
i
trên cung A
i−1
A
i
thì giới hạn đó được
10 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
gọi là tích phân đường loại hai của các hàm số P (x, y), Q(x, y)
dọc theo cung AB và được ký hiệu là

của tham số.
Giả sử các hàm số P(x, y), Q(x, y) liên tục trên cung AB. Khi đó
ta có


AB
P (x, y)dx =

t
B
t
A
P (x(t), y(t))x

(t)dt


AB
Q(x, y)dy =

t
B
t
A
Q(x(t), y(t))y

(t)dt
vậy





L
xdy − ydx
L là đường elip
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1
Phương trình tham số của L là x = a cos t, y = b sin t, 0 ≤
t ≤ 2π, chiều tăng của t ứng với chiều dương của L. Ta có
dx = −a sin tdt, dy = b cos tdt, do đó
I =

2π
0
[a cos t.b cos t −b sin t(−a sin t)] dt =

2π
0
abdt = 2πab
2. Tính
I =


x
2
2
+
x
3
3
+
x
4
2

|
1
0
=
4
3
- Trên đường y =
√
x, ta có x = y
2
, do đó dx = 2ydy, vậy
I =

1
0
(2y
3
− y

)dy
L là cung của đường parabol y
2
= 1 − x từ điểm A(0, −1)
đến điểm B(0, 1)
Hình 1.1
Trên đường L, ta có x = 1 − y
2
, do đó dx = −2ydy, vì vậy
I =

1
−1
(2y
5
+ 4y
4
− 4y
3
− 4y
2
+ 2y + 1)dy =
= 2

1
0
(4y
4
− 4y
2

b
a
[P (x(t), y(t), z(t))x

(t)+
1.4. Liên hệ giữa tích phân đường loại một và tích phân đường loại hai 13
+Q(x(t), y(t), z(t))y

(t) + R(x(t), y(t), z(t))z

(t)]dt
1.4. Liên hệ giữa tích phân đường loại một và tích phân
đường loại hai
Ký hiệu
−−→
MT là tiếp tuyến với cung đường cong AB tại điểm
M(x, y) theo hướng tăng của cung.
Gọi α là góc giữa trục Ox và
−−→
MT , α = α(x, y) cũng là một
hàm xác định trên AB
Vì
−→
ds = ds(cos α, sin α) = (dx, dy) nên ta có
dx = cos αds, dy = sin αds
Từ đó


AB
P dx + Qdy =

trong đó L là đường cong Jordan khả trường và được định
hướng theo chiều ngược chiều kim đồng hồ (hình vẽ)
Hình 1.2
Ta xét trong mặt phẳng xOy một miền (D) giới hạn trên và
giới hạn dưới tương ứng bởi các đường cong y = ϕ
2
(x) và
y = ϕ
1
(x) và hai bên sườn bởi các đường thẳng x = a, x = b.
Ta giả thiết rằng các hàm ϕ
1
(x), ϕ
2
(x) liên tục trên [a, b].
Giả sử P (x, y) là một hàm liên tục và có các đạo hàm riêng
liên tục ở trong và cả trên biên của miền (D). Trong những
điều kiện đó, tích phân hai lớp

(D)
∂P
∂y
dxdy
tồn tại và có thể biểu diễn dưới dạng

b
a


ϕ

∂y
dxdy =

b
a
P [x, ϕ
2
(x)]dx −

b
a
P [x, ϕ
1
(x)]dx
Theo định nghĩa của tích phân đường loại hai thì tích phân
thứ nhất ở vế phải của biểu thức trên là tích phân đường
của hàm P (x, y) lấy dọc theo cung (DC) của đường cong
y = ϕ
2
(x), tích phân thứ hai là tích phân của hàm P (x, y)
lấy dọc theo cung (AB) của đường cong y = ϕ
1
(x). Do đó

(D)
∂P
∂y
dxdy =

(DC)

P dx
hay

(D)
∂P
∂y
dxdy = −

(L)
P (x, y)dx (1.6)
trong đó (L) là chu tuyến của miền (D).
Bây giờ ta thay đổi vai trò của x và y cho nhau và giả sử
Q(x, y) là hàm liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong
một miền (D) mới có dạng như hình sau.
Bằng lý luận và tính toán tương tự như đã làm đối với P ta
đi đến

(D)
∂Q
∂x
dxdy =

(L)
Q(x, y)dy (1.7)
Cuối cùng chúng ta hãy xét trường hợp miền (D) có dạng
ứng với các điều kiện của công thức 1.6 và cả các điều kiện
của công thức 1.7 (hình vẽ dưới đây)
16 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
Hình 1.3
Hình 1.4

L là đường tròn x
2
+ y
2
= 2y
1.5. Công thức Green 17
Áp dụng công thức Green, ta có
P = xarctgx + y
2
⇒
∂P
∂y
= 2y
Q = x + 2xy + y
2
e
−y
⇒
∂Q
∂x
= 2y + 1
do đó
I =

D

∂Q
∂x
−
∂P

+
y
2
b
2
= 1 hay dạng
tham số:
x = a cos t, y = b sin t, 0 ≤ t ≤ 2π
Khi đó ta có:
S =
1
2

L
xdy − ydx =
1
2

2π
0
(ab cos
2
t + ab sin
2
t)dt = πab
Ví dụ 2: Tính I =

L
(xarctgx+y
2

= 2y + 1
Vậy:
I =

D

∂Q
∂x
−
∂P
∂y

dxdy =

D
dxdy =
π
2
Ví dụ 3. Tính
J =

C
(xarctgx + y
2
)dx + (x + 2xy + y
2
e
−y
3
)dy

e
−y
3
)dy =

0
2
y
2
e
−y
3
dy =
= −
1
3

0
2
e
−y
3
d(−y
3
) = −
1
3
e
−y
3

, AB là đoạn thẳng nối hai điểm A(0, 0), B(4, 3)
2.

L
xyds, L là biên của hình chữ nhật
ABCD, A(0, 0), B(4, 0), C(4, 2), D(0, 2)
3.

L
(x
2
+ y
2
)ds, L là biên của hình tam giác OAB, với
O(0, 0), A(1, 1), B(−1, 1)
4.

L
(x
4
3
+ y
4
3
)ds, L là đường axtrôit x
2
3
+ y
2
3

3
t
3
, 0 ≤ t ≤ 1.
7.

L
xyzds, L là đường x = t, y =
1
3
√
8t
3
, z =
1
2
t
2
, 0 ≤ t ≤ 1.
8.

L
x
2
ds, L là đường x
2
+ y
2
+ z
2

L
ydx − (y + x
2
)dy, L là cung parabol y = 2x − x
2
nằm ở
trên trục Ox theo chiều kim đồng hồ.
3.

L
(x
2
+ y
2
)dx + (x
2
−y
2
)dy, L là đường y = 1 −|1 − x|, 0 ≤
x ≤ 2.
4.

L
(2a − y)dx + xdy, Là đường x = a(t − sin t), y = a(1 −
cos t), 0 ≤ t ≤ 2π, (a > 0)
5.

L
(x + y)dx + (x − y)dy, L là đường elip
x

3
− y
3
)dx + (x
3
+ y
3
)dy, L là đường tròn x
2
+ y
2
= 1
theo chiều dương.
3.

OABO
(x
2
+ y
2
)dx + (x
2
− y
2
)dy, OABO là đường gấp khúc
kín với các đỉnh O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1).
Bài 4: Tính các tích phân đường
1.

ABC


1 −
y
2
x
2
cos
y
x

dx +

sin
y
x
+
y
x
cos
y
x

dy
có phụ thuộc đường lấy tích phân không? Tính tích phân ấy từ
điểm A(1, π) đến điểm B(2, π) theo một đường không cắt trục
Oy.
Bài 6: Tính các tích phân đường
1.

L

2
, y = xtgα, theo chiều dương nếu nhìn từ hướng
x > 0
4.

L
zdx+xdy+ydz, L là đường tròn x
2
+y
2
+z
2
= 1, x+z = 1,
theo chiều dương nếu mặt phẳng x + z = 1 được định hướng
bởi vectơ pháp (1, 0, 1).
Chương 2
TÍCH PHÂN MẶT
Mục tiêu
- Giúp sinh viên nắm được các khái niệm cơ bản như mặt cong
trong R
3
, định hướng mặt cong, mặt pháp tuyến, mặt tiếp
tuyến
- Sinh viên nắm được khái niệm về tích phân mặt loại một, tích
phân mặt loại hai và cách tính chúng.
- Nắm được kiến thức để có thể phân tích và giải quyết các bài
toán phức tạp hơn về tích phân đường.
- Rèn luyện cho sinh viên kỹ năng tư duy, sáng tạo; kỹ năng phát
hiện và giải quyết vấn đề.
2.1. Khái niệm về mặt cong


x

u
y

u
z

u
x

v
y

v
z

v

có hạng bằng 2
với ∀(u, v) ∈
o
D
Mặt cong S được gọi là mặt cong trơn từng mảnh nếu miền
D có thể chia thành một số hữu hạn các miền con D
1
, D
2
, , D

o
D và hạng

x

u
y

u
z

u
x

v
y

v
z

v

= 2, (u, v) ∈
o
D
Như vậy tại mỗi điểm M(x, y, z) ∈ S có pháp tuyến xác định
bởi véctơ chỉ phương là:
−→
N =


n
0
là một vecto pháp tuyến của mặt S, tại M
0
và
−→
n =
−→
n (M) là vecto pháp tuyến của mặt S tại điểm M ∈ l
sao cho
−→
n =
−→
n (M
0
)
24 TÍCH PHÂN MẶT
Hình 2.1
Cho điểm M biến thiên liên tục trên đường cong l bắt đầu
từ điểm M
0
sau đó trở về điểm M
0
. Khi đó vecto pháp tuyến
−→
n (M) cũng biến thiên liên tục bắt đầu từ vị trí
−→
n
0
, khi điểm

hoặc
−→
n

(M
0
) = −
−→
n (M
0
) = −
−→
n
0
.
Khả năng thứ hai xảy ra có nghĩa là khi trở về điểm M
0
thì
vecto pháp tuyến đổi hướng. Từ đó ta đi đến phân loại các
mặt cong như sau:
Trường hợp 1: Nếu với bất kỳ điểm M
0
∈ S, với mọi đường
cong kín l nằm hoàn toàn trên mặt S, đi qua điểm M
0
. Cho
điểm M chạy liên tục trên đường cong l bắt đầu từ điểm M
0
,
rồi trở về điểm M

bắt đầu từ điểm M
0
, thì vecto pháp tuyến
−→
n (M)
cũng biến thiên liên tục, nhưng khi trở về điểm M
0
,
−→
n (M)
trở thành vecto
−→
n

(M
0
) = −
−→
n
0
. Trường hợp này, ta nói S
là mặt cong một phía, hay là mặt cong không định hướng
được.
• Định hướng mặt cong
2.3. Tích phân mặt loại 1 25
Giả sử S là mặt cong trơn hai phía. Khi đó tại mỗi điểm M
thuộc mặt S có hai vecto pháp tuyến xác định, ngược chiều
nhau. Nếu ta chọn một hướng của pháp tuyến là hướng dương
thì hướng ngược lại là hướng âm. Ta gọi việc chọn hướng
dương của vecto pháp tuyến là chọn hướng dương của mặt

là vecto pháp tuyến có hướng hoàn toàn xác định của mặt S
tại điểm M có tọa độ (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).
Nếu vecto
−→
N cùng hướng với vecto
−→
n định hướng dương của
mặt S thì ta nói vecto
−→
N =

D(y,z)
D(u,v)
,
D(z,x)
D(u,v)
,
D(x,y)
D(u,v)

phù hợp
với hướng dương của mặt S.
2.3. Tích phân mặt loại 1
2.3.1. Định nghĩa
Cho một mặt cong S và một hàm số f(M) = f(x, y, z) xác
định trên S. Chia S thành n mảnh nhỏ. Gọi tên và cả diện tích
của các mảnh ấy là ∆S
1
, ∆S
2

26 TÍCH PHÂN MẶT
thuộc cách chia mặt S và cách lấy điểm M
i
trên ∆S
i
thì giới hạn
đó được gọi là tích phân mặt loại một của hàm số f(x, y, z) trên
mặt S và được ký hiệu là

S
f(x, y, z)dS
Nếu mặt S trơn (tức là liên tục và có pháp tuyến biến thiên
liên tục) và nếu hàm số f(x, y, z) liên tục trên mặt S thì tồn tại
tích phân

S
f(x, y, z)dS.
Nếu mặt S có khối lượng riêng tại M(x, y, z) là ρ(x, y, z) thì
khối lượng của mặt S bằng

S
ρ(x, y, z)dS
Tích phân mặt

S
dS cho ta diện tích của mặt S
Tích phân mặt loại một có các tính chất giống như tích phân
kép.
2.3.2. Cách tính tích phân mặt loại một
Giả sử mặt S được cho bởi phương trình z = z(x, y), trong

là
hình chiếu của ∆S
i
lên mặt phảng Oxy. Nếu đường kính của ∆S
i
khá nhỏ, có thể xấp xỉ ∆S
i
bởi mảnh ∆T
i
của tiếp diện của mặt
S tại M
i
mà hình chiếu của nó lên mặt phẳng xOy cũng là ∆σ
i
.
Do đó
∆S
i
=

1 + p
2
i
+ q
2
i
.∆σ
i
trong đó p
i

, η
i
, z(ξ
i
, η
i
)).

1 + p
2
i
+ q
2
i
.∆σ
i
Vế phải là tổng tích phân của hàm số
(x, y) → f(x, y, z(x, y)).

1 + z
2
x
(x, y) + z
2
y
(x, y)