1 ðỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG
HỌC PHẦN
TOÁN CAO CẤP A1
2

CHƯƠNG 1
ðịnh thức và hệ phương trình tuyến tính
Số tiết: 10 (Lý thuyết: 07 tiết; bài tập: 03 tiết)

*) Mục tiêu:
- Sinh viên nắm ñược khái niệm ma trận, ñịnh thức, hệ phương trình tuyến tính và các tính chất
của chúng.
- Sinh viên có thể cộng, nhân ma trận, tính ñịnh thức bằng nhiều cách khác nhau thành thạo.
- Sinh viên nắm ñược và biết cách giải hệ phương trình tuyến tính, hệ Cramer.
1.1. Ma trận và ñịnh thức
1.1.1. Các ñịnh nghĩa và ví dụ
a. Khái niệm:
Có m x n số, ta có thể xếp thành 1 bảng chữ nhật m hàng, n cột. Bảng ñó ñược gọi là một ma
trận.
b. ðịnh nghĩa 1.1: Một bảng số chữ nhật có m hàng, n cột
A =


a
là phần tử của ma trận A nằm ở giao ñiểm của hàng i, cột j.
KH: [ ], (viết bằng chữ in hoa)
+ A là ma trận cỡ mxn có phần tử nằm ở hàng i, cột j là:
ij
a
. Ta viết A= [
ij
a
]
mxn

ðặc biệt: Khi m = n thi ta nói: A là ma trận vuông với m hàng, m cột (n hàng, n cột) hay còn gọi
là ma trận cấp n.
+ a
11
, a
22
, a
33
, …, a
nn
là các phần tử chéo.
+ ðường thẳng chứa các phần tử chéo ñược gọi là ñường chéo chính.
+ Ma trận A cấp n






22
= a
33
= …= a
nn
=1 thì A= I và gọi là ma trận ñơn vị. Khi ñó:
3 ij
1 0 0
0 1 0
I (
δ )

0 0 1
 
 
 
= =
 
 
 
,
ij
0 nê i j
1 nê i=j
u
u
δ


a aa
a aa
.
Mỗi phần tử
ij
a
, ñược gọi là một thành phần hay phần tử của ma trận, nó nằm ở dòng thứ i và
cột thứ j. Người ta thường ký hiệu ma trận bởi các chữ in hoa A, B, C, Ma trận có thể viết gọn
A = (
ij
a
)
m
×
n
. Ma trận chỉ có một dòng (một cột), ñược gọi là ma trận dòng (ma trận cột). Nếu
m = n thì ma trận cấp n
×
n gọi là ma trận vuông cấp n. Tập hợp các ma trận cấp m
×
n với phần
tử thực, ñược ký hiệu là Mat
m
×
n
(R). ðặc biệt nếu m = n ta thường ký hiệu Mat
n
(R).
• Cho ma trận A =







mn2n1n
m22212
m12111
a aa

a aa
a aa
là ma trận
chuyển vị của ma trận A, và thường ký hiệu là
t
A. Rõ ràng ma trận
t
A có ñược từ ma trận A
bằng cách ñổi dòng thứ i của A thành cột thứ i của
t
A và như vậy nếu A có cấp m
×
n thì
t
A
có cấp n
×
m.
Ví dụ 1.1: A =

21
.
1.1.2. Các phép toán và tính chất
a. Phép cộng: Cho hai ma trận cùng cấp A = (
ij
a
)
m
×
n
và

B = (
ij
b
)
m
×
n
. Ta gọi là tổng của
hai ma trận ñó là một ma trận C cùng cấp m
×
n, mà phần tử tổng quát
ij
c
của nó là
ij
c
=
ij

ba baba

ba baba
ba baba
.
b. Phép nhân một ma trận với một số: Cho ma trận A = (
ij
a
)
m
×
n
, và số thực k. Ta gọi là tích
của ma trận A với số k , là một ma trận ký hiệu kA mà phần tử của nó là k
ij
a
. Vậy:
kA =













p
. Ma trận C =
(
ik
c
)
m
×
p
, với
p1,k,m1,i;.bac
n
1j
jkijik
===
∑
=
, gọi là tích của hai ma trận A và B,
ký hiệu là AB.
Nhận xét 1.1: + Tích AB chỉ ñược xác ñịnh khi số cột của A bằng số dòng của B. Muốn tìm
thành phần c
ik
của tích AB ta phải lấy mỗi thành phần a
ij
của dòng i trong A nhân với thành
phần b
jk
của cột k trong B rồi cộng lại.
+ Tích AB và BA chỉ tồn tại khi chúng có cấp m
×

−
−
342
741
. Khi ñó AB tồn tại và là ma trận vuông cấp
3, còn BA cũng tồn tại nhưng là ma trận vuông cấp 2.
AB =










−
−
−−
=











4) A + (-A) = O.
- Phép nhân
5) k(A + B) = kA + kB.
6) (k + l)A = kA + lA.
7) (kl)A = k(lA).
8) 1.A = A.
Các ñẳng thức trên xảy ra với mọi A, B, C thuộc tập hợp Mat
m
×
n
(R) và mọi k, l thuộc tập số
thực R.
+) Với các ma trận A, B, C và mọi k thuộc R ta có các tính chất sau (nếu phép toán có nghĩa).
1) (AB)C = A(BC).
2) A(B + C) = AB + AC.
3) k(AB) = (kA)B = A(kB).
4) Nếu A là ma trận vuông cấp n và I là ma trận vuông cấp n (ta gọi là ma trận ñơn vị)

thì AI = IA = A.

1.1.3. ðịnh thức
• ðịnh thức của ma trận vuông
Xét ma trận cấp n:
A =
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a a
a a a

thì det(A)= a
11
det(M
11
)- a
12
det(M
12
)= a
11
.a
22
– a
12
.a
21- A là ma trận cấp n:
det(A)= a
11
det(M
11
)- a
12
det(M
12
)+ +(-1)
1+n
a







=
σ(n) σ(2)σ(1)
n 21
σ
.
(dòng trên là các phần tử của X, dòng dưới là ảnh tương ứng của nó qua song ánh
XX:σ
→
). Thông thường ta chỉ xét X hữu hạn, nên giả sử X
n
= {1, 2, , n} với
( n > 0). Song ánh ñồng nhất ñược gọi là phép thế ñồng nhất.
• Phép thế
τ
gọi là một chuyển trí nếu
τ
(i) = j ;
τ
(j) = i ;
τ
(k) = k ;
Xkj,i,
∈
∀

(i) >
σ
(j).
• Phép thế
σ
ñược gọi là phép thế chẵn (lẻ) nếu nó có một số chẵn (lẻ) các nghịch thế. Ta gán
cho mỗi phép thế chẵn một giá trị bằng +1, và mỗi phép thế lẻ một giá trị bằng –1. Các giá trị
này của phép thế
σ
, gọi là dấu của
σ
và ký hiệu là sign(
σ
).
Vậy: sign(
σ
) =



′
−
′
leuen
nachuen
σ
σ
ˆ
1
ˆ

321
, thì sign(
σ
) = 1.
Các hệ quả: 1) sign(
σ
) =
i,j
i j
σ(i) σ(j)
−
−
∏
.
2)
)sign(µ.)sign(σµ)sign(σ;Sµ,σ
n
=
∈
∀
.
3) Mọi chuyển trí ñều là phép thế lẻ.
* ðịnh nghĩa 1.2
• Với ma trận vuông

A =
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a a

a aa
.
Với cách ký hiệu này ta cũng nói mỗi a
ij
là một thành phần (phần tử) của ñịnh thức, các
a
i 1
, a
i 2
, , a
i n
tạo thành dòng thứ i , các a
1j
, a
2j
, , a
nj
tạo thành cột thứ j của ñịnh thức. Hơn
nữa
A
cũng gọi là ñịnh thức cấp n.
Chú ý 1.2: Mỗi hạng tử của
A
là một tích gồm n thành phần với một dấu xác ñịnh, trong mỗi
tích không có hai thành phần nào cùng dòng hoặc cùng cột.
Ví dụ 1.4. A = (a
11
) thì
A
= a

.
A =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
 
 
 
 
 
thì:

A
= a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13

a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
– a
11
a
12
a
13
+
– a
21
a
22
a
23
+
– +

1.1.4. Một số tính chất của ñịnh thức
1) Nếu dòng thứ i của ñịnh thức D có dạng: a

i2
, , b
in
, còn các dòng khác của D
1
, D
2
là các
dòng của D.
Chẳng hạn: D =
=
−+
41
b5a3
41
53
+
=
−
41
ba
41
3 b−
+
41
5a

2) Nếu dòng thứ i của ñịnh thức D có dạng: aa
i1
, aa

bằng không.
6) Nếu nhân mỗi thành phần của dòng thứ i với một số c, rồi cộng vào thành phần cùng cột ở
dòng thứ k thì ta ñược một ñịnh thức mới bằng ñịnh thức ñã cho.
Chẳng hạn: D =
974
831
152
. Nhân dòng thứ hai với (–2) rồi cộng vào dòng thứ nhất ta ñược
ñịnh thức D
1
=
974
831
)16(1)6(5)2(2
−+−+−+
=
974
831
1510
−−
= D ( = 52).
7) Nếu
t
A là ma trận chuyển vị của ma trận vuông A thì
A
t
=
A
. Nói cách khác ñịnh
thức không thay ñổi qua một phép chuyển vị, hay ñịnh thức không thay ñổi khi ta ñổi dòng thành

, , i
r
và r cột: j
1
, j
2
, , j
r
( r < n ), của ñịnh thức D, và xoá ñi r dòng
và r cột ấy thì các thành phần còn lại lập nên một ñịnh thức cấp n – r, ký hiệu bởi:
r21
r21
j, ,j,j
i, ,i,i
M
,
và gọi là ñịnh thức con bù của ñịnh thức
r21
r21
j, ,j,j
i, ,i,i
M
trong ñịnh thức D.
+ Biểu thức
r21
r21
j, ,j,j
i, ,i,i
A
=


Ví dụ 1.5: Cho D =
7016
0140
9202
1538
−
−
−
. Mỗi ñịnh thức con cấp 1 của D là một phần tử của D.
ðịnh thức con bù của a
32
= 4 là:
706
922
158
M
32
−
−
−
=
. Còn phần bù ñại số của a
32
= 4 là
A
32
= (–1)
3 + 2
.

n
1j
ijij
Aa
.
Chú ý 1.4: + Nhờ tính chất của ñịnh thức ta cũng có:
D = a
1j
A
1j
+ a
2j
A
2j
+ + a
nj
A
nj
=
∑
=
n
1i
ijij
Aa
.
+ a
i 1
A
k 1

2
, , A
s
là những phần bù
ñại số tương ứng thì: D =
s
j j
j 1
M A
=
∑
.
ðể thấy rõ cách tính ñịnh thức theo ñịnh lý Laplace, dưới ñây ta ñưa ra một ví dụ cụ thể như sau:
Ví dụ 1.6: Xét ñịnh thức D =
5074
0210
2316
0530
−
−
. Chọn hai dòng là dòng 1 và dòng 3, ñó
là:
0210
0530
−
. T
ừ
hai dòng này ta có th
ể
l

1
=
10
30
; M
2
=
20
50
−
; M
3
=
00
00
; M
4
=
21
53
−
; M
5
=
01
03
; M
6
=
02

, nên A
4
= (–1)
1+3+2+3
. =
4
M
4
M− = 38. V
ậ
y:
D = –11.38 = – 418.
10

•
Một số phương pháp tính ñịnh thức:
i1. ðối với ñịnh thức cấp 3 ta có quy tắc Sarus ñể tính ñịnh thức cấp 3.
i2. Khai triển ñịnh thức theo các phần tử của một dòng hoặc một cột.
(ðể phép tính ñược ñơn giản ta nên khai triển theo dòng (hoặc cột) có nhiều thành phần bằng 0
hoặc là những số ñơn giản)
Ví dụ 1.7: Tính ñịnh thức D =
9204
10001
3607
0523
−
−
. Nhận thấy dòng (cột) có nhiều số không
nhất là cột thứ 2, do ñó ta khai triển D theo cột 2. Vậy D = (–2)(–1)
1 + 2

−+−
++
.
i3. ðưa ñịnh thức về dạng tam giác.
D =
ij
a
với a
i j
= 0 nếu i < j (ñịnh thức tam giác dưới), hoặc a
i j
= 0 nếu i > j (ñịnh thức
tam giác trên), tức là D có dạng:
D =
nnn2n1
2221
11
a aa
0
0 aa
0 0a
hoặc D =
nn
2n22
1n1211
a 00
0
a a0
a aa
. Khi ñó D = a

1065
3112
−
−
−

Ta thấy ñịnh thức mới có hai dòng thứ hai và thứ tư tỉ lện. Theo tính chất 5, D = 0
i5. Phương pháp quy nạp và phương pháp truy hồi.
Phương pháp truy hồi là phương pháp biểu diễn ñịnh thức cần tính qua những ñịnh thức có cấp
thấp hơn có dạng xác ñịnh và theo một công thức xác ñịnh. Tính ñịnh thức cấp thấp hơn ta sẽ lần
lượt tính ñược những ñịnh thức cấp cao hơn.
Ví dụ 1.10. Dùng phương pháp quy nạp, Tính ñịnh thức cấp n + 1 sau ñây:
D
n
=
11 111
aa 000

00 a00
00 aa0
00 0aa
nn
3
22
11
−
−
−
−
. Khai triển ñịnh thức theo cột cuối ta ñược:

−

= (–1)
n
a
1
.a
2
. .a
n
– a
n
.D
n - 1
.
Với n = 1 thì D
1
=

1
11
2
11
a
aa
−=
−
. Với n = 2 thì D
2
= a

1)
n - 1
.n.a
1
.a
2
. .a
n - 1
. Khi ñó:
D
n
= (–1)
n
a
1
.a
2
. .a
n
– a
n
.D
n - 1
= (–1)
n
a
1
.a
2
. .a

= (–1)
n
( n + 1) .a
1
.a
2
. .a
n
.
Vậy D
n
=

(–1)
n
( n + 1) .a
1
.a
2
. .a
n
.
Ví dụ 1.11: Tính ñịnh thức cấp 5 sau ñây: D
5
=
42000
54200
05420
00542
00054

– 40D
2

12

= 6(– 16) – 40.6 = –336.
i6. Tính ñịnh thức bằng máy tính bỏ túi và máy tính ñiện tử . (Tham khảo)
Máy tính bỏ túi: “ CASIO fx - 570 MS ” tính ñược ñịnh thức cấp 1, 2, 3.
Máy tính ñiện tử cần cài ñặt chương trình “ Mathematica 4.0 ” chẳng hạn, mới tính ñược
ñịnh thức có cấp tuỳ ý.
1.2. Hệ phương trình tuyến tính
1.2.1. Các khái niệm cơ bản
• ðịnh nghĩa 1.3
+ Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn là hệ có dạng:








=+++
=+++
=+++
mnmn2m21m1
2n2n222121
1n1n212111
bxa xaxa


j

còn b
i
gọi là hạng tử tự do. Các ma trận:
A =














mnm2m1
2n2221
1n1211
a aa

a aa
a aa
và B =









n
2
1
x

x
x
; C =














m
2

• ðịnh lí và công thức. Hệ phương trình Crame:
13 






=+++
=+++
=+++
nnnn2n21n1
2n2n222121
1n1n212111
bxa xaxa

bxa xaxa
bxa xaxa

có nghiệm duy nhất c
1
, c
2
, , c
n
ñược cho bởi công thức:
n1,j,

321
321
xxx
xxx
xxx

Ta có:
=
−−
−−
−
=
7113
192
451
D 0173619
1940
910
451
≠=+−=
−
−
−
. Vậy hệ ñã cho là hệ Crame.
=
1
D
34;0;17
71117
194

+ ðịnh lí 1.3. Nếu cho một hệ phương trình tuyến tính thì bằng cách:
- ñổi chỗ một phương trình trong hệ ta sẽ ñược một hệ phương trình mới tương ñương với
hệ ñã cho.
- nhân một phương trình trong hệ với một số khác không ta sẽ ñược một hệ phương trình
mới tương ñương với hệ ñã cho.
- nhân một phương trình trong hệ với một số khác không rồi cộng vào một phương trình
trong hệ ta sẽ ñược một hệ phương trình mới tương ñương với hệ ñã cho.
Chú ý 1.5. Ba phép biến ñổi như trên gọi là các phép biến ñổi sơ cấp.
+ ðịnh lí 1.4. Nếu ta thực hiện trên các véc tơ dòng của ma trận bổ xung của một hệ phương
trình tuyến tính những phép biến ñổi sơ cấp , thì ta sẽ ñược một hệ phương trình mới tương
ñương với hệ ñã cho.
Chú ý 1.6. Thực chất 2 ñịnh lí trên chỉ là một. Trong thực hành ta thường ñưa hệ ñã cho về dạng
chéo trên ma trận bổ xung.
+ Ví dụ 1.13. Giải hệ phương trình:






=−−
=−−
−=+−
177x11x3x
4x9x2x
74x5xx
321
321
321








−
−
−
−
38
18
7
1940
910
451










−
−
−
−

=
=
−=
⇔





−=
=−
−=+−
1x
0x
2x
3417x
189xx
74x5xx
1
2
3
3
32
321

V
ậ
y h
ệ
có nghi

ạ
ngB = r. Khi
ñ
ó luôn có th
ể
gi
ả
thi
ế
t
ñị
nh
th
ứ
c con c
ấ
p cao nh
ấ
t khác không c
ủ
a A và B là D n
ằ
m
ở
góc trên bên trái (c
ủ
a A c
ũ
ng nh
ư

ñươ
ng v
ớ
i h
ệ
:

(1*)
xa xabxa xaxa

xa xabxa xaxa
xa xabxa xaxa
nrn1r1rrrrrr2n21n1
n2n1r12r2r2r222121
n1n1r11r1r1r212111







−=−=+++
−−−=+++
−−−=+++
++
++
++
.
Các

m c
ủ
a h
ệ
(1*). Ng
ượ
c l
ạ
i m
ỗ
i véc t
ơ
dòng c
ủ
a ma tr
ậ
n b
ổ
xung B là t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a r
véc t
ơ
dòng

m c
ủ
a (1).
V
ớ
i m
ỗ
i b
ộ
n – r s
ố
(c
r + 1
, , c
n
)
∈
R
n – r
h
ệ
(1*) là h
ệ
Crame nên nó có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t (x
1
, x

c
1
,
c
2
, , c
r
, ph
ụ
thu
ộ
c vào n – r tham s
ố
c
r + 1
, , c
n
. Suy ra (1) có nghi
ệ
m ph
ụ
thu
ộ
c vào n – r
tham s
ố
. N
ế
u coi c
r + 1

r + 1
, , c
n
nh
ậ
n giá tr
ị
c
ụ
th
ể
thì nghi
ệ
m (c
1
, c
2
, , c
r
, c
r + 1
, ,
c
n
) g
ọ
i là nghi
ệ
m riêng.
Ví dụ 1.14.

D
ễ
dàng th
ấ
y r
ằ
ng
02
11
13
≠−=
−
−
=D
. Bao quanh
ñị
nh th
ứ
c D c
ấ
p 2 này có 4
ñị
nh th
ứ
c
con c
ấ
p 3
ñề
u b

= d thì h
ệ
có nghi
ệ
m là x
1
=
2
42dc
−
+
−
; x
2
=
2
1410d5c
−
+
−
. Tóm l
ạ
i nghi
ệ
m
t
ổ
ng quát c
ủ
a h

Ví dụ 1.15.
Gi
ả
i và bi
ệ
n lu
ậ
n h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:






=++
=++
=++
2
aazyx
azayx
1zyax
(x, y, z là
ẩ
n s
ố
, còn a là tham s

–2, thì h
ệ
có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t








+
+
++
+
−
2a
1)(a
,
2a
1
,
2a
1a
2
.

.
+ N
ế
u a = – 2, thì d
ễ
th
ấ
y h
ạ
ngA = 2 còn h
ạ
ngB = 3, do
ñ
ó h
ệ
vô nghi
ệ
m, b
ở
i vì:











ỏ
i, bài t
ậ
p, n
ộ
i dung ôn t
ậ
p và th
ả
o lu
ậ
n
1.1. Cho các ma tr
ậ
n:











−
−
=
51

−
−
=
311
08
72
C
.
Tính: a) A + B – C b) 2A – 7B c) 3A + 5B – 2C.
1.2
.
Cho hai ma tr
ậ
n :









−
=
652
5710
A
;


−
=
652
5710
A
;










−=
96
15
04
B

Tìm ma tr
ậ
n X trong m
ỗ
i tr
ườ
ng h
ợ




−
72
510
611
43
. b)










−








−
60

75
563
704
175
. d)
( )














4
3
2
1
4321
x
x
x
x
aaaa

204
B
;










−=
43
02
75
C
.
a) Tính AB ; BC.
b) Tính (AB)C và A(BC). So sánh hai k
ế
t qu
ả
.
1.6. Tính các
ñị
nh th
ứ
c c

0a 0b0

00 a00
0b 0a0
b0 00a
A =
b)
n 222

2 322
2 222
2 221
B =

c)
x aaa

a xaa
a axa
a aax
C
321
n21
n21
n21
=
d)
nn21
n221
n211


1.8. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
''''''
'''
''''''''''''
''''''
cba
cba
cba
baaccb
baaccb
baaccb
=
+++
+++
+++

1.9. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình b
ằ
ng ph

=−
=+++
4- x- 3x 2x
6- x x- 3x 2
4- 2x - x- x3
1 3x 2x x
432 1
432 1
432 1
432 1
x
x
x
x1.10. Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
a)













=++−
−=−+
=++−
−=−++
33x8xx4x
55x2x11x
22x2x3xx
1x4x5x2x
4321
432
4321
4321

d)







=+−+−
=−+−+
=+−+−

ố
a, b
ñể
h
ệ
có nghi
ệ
m
a)





=++
=++
=++
2
aazyx
azayx
1zyax
b)





=++
=++
=++

=++
=++
1 zy x
1 zay x
1 z y ax
a
b)





=++
=++
=++
32
32
32
c zy x
b zby x
a z y x
cc
b
aa

18 CHƯƠNG 2
ðại số vectơ và phương pháp tọa ñộ

+ ðộ dài của ñoạn thẳng AB cũng gọi là ñộ dài (hay mô ñun) của véc tơ
AB

và ñược kí hiệu
là
AB

. Véc tơ có ñộ dài 1 gọi là véc tơ ñơn vị.
+ Nếu hai giá của hai véc tơ là song song hoặc trùng nhau ta nói rằng hai véc tơ ñó là cộng
tuyến hay cùng phương. ðặc biệt nếu hai véc tơ
AB

và
CD

cùng phươ
ng và khi t
ị
nh ti
ế
n véc t
ơ

CD

sao cho C
≡
A mà B, D cùng phía
ñố
i v

cùng mô
ñ
un nh
ư
ng ng
ượ
c h
ướ
ng
ñượ
c g
ọ
i là hai véc t
ơ

ñố
i nhau.
ðố
i c
ủ
a véc t
ơ

a


ñượ
c kí hi
ệ
u là véc t

ñ
un.
Nhận xét 2.1.
• Quy ước véc tơ
0

cùng hướng với mọi véc tơ,
00 =

và do ñó mọi véc tơ- không ñều bằng
nhau.
• Quan hệ bằng nhau giữa các véc tơ trong mặt phẳng là một quan hệ tương ñương, do ñó các
véc tơ trong mặt phẳng có gốc tuỳ ý gọi là véc tơ tự do. Khi cố ñịnh gốc của tất cả các véc tơ tại
một ñiểm nào ñó, ta gọi chúng là véc tơ buộc.
2.2. Các phép toán trên véc tơ
2.2.1. Phép cộng
19

• ðịnh nghĩa. Cho
a

và
b

là hai véc tơ bất kì. Khi ñó tồn tại một véc tơ
c

gọi là tổng của hai
véc tơ ñã cho, kí hiệu
c a b




, ,,
21
.
• Tính chất. Với mọi véc tơ
, ,
a b c

 
ta luôn có:
+
a b b a
+ = +
 
 
.
+
( ) ( )
a b c a b c
+ + = + +
 
   
.
+
0
a a
+ =


x

sao cho
b

+
x

=
a

. Kí hiệu
hiệu của
a

và
b

là
a

–
b

. Vậy
x

=
a


baba




+≤+
(dấu bằng xảy ra khi
a

và
b

cùng hướng).
+
baba




−≥−
(dấu bằng xảy ra khi
a

và
b

cùng hướng).
2.2.3. Phép nhân véc tơ với một số thực
• ðị
nh ngh

=
.
•
Tính ch
ấ
t

2.2.
Với mọi véc tơ
a

,
b

và mọi số thực p, q ta có:
+
a

.1
=
a

.
+
a

).1(
−
=
a

a

.
20

• M
ộ
t s
ố
quy t
ắ
c thông d
ụ
ng.
+ Quy tắc ba ñiểm. Với ba ñiểm A, B, C bất kì ta có:
AB
+
BC
=
AC
.
+ Quy tắc hình bình hành. Nếu ABCD là hình bình hành thì:
AB
+
AD
=
AC
.
+ Quy tắc hiệu. Với ba ñiểm O, A, B bất kì ta có:
AB

mm
akakak



+
+
+

2211
ñược gọi là một tổ hợp tuyến tính của các
véc tơ
m
aaa



, ,,
21
. Nếu
α

=
0

, thì tổ hợp tuyến tính trên gọi là tổ hợp tuyến tính tầm
thường.
+ Cho n véc tơ
m
aaa


biểu thị tuyến tính ñược qua các véc
tơ
m
aaa



, ,,
21
.
+ Hệ n véc tơ
m
aaa



, ,,
21
ñược gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số thực k
1
, k
2
,
, k
m
không ñồng thời bằng không tất cả sao cho:

mm
akakak

+

2211
=
0


ta suy ra ñược k
1
= k
2
= = k
m
= 0.
*. ðịều kiện ñể các véc tơ ñộc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
Các ñịnh lí ñưa ra dưới ñây SV tự chứng minh xem như những bài tập.
• ðịnh lí 2.1. Hệ k véc tơ (k > 1)
k
aaa



, ,,
21
là phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ nếu tồn
tại ít nhất một véc tơ của hệ biểu thị tuyến tính ñược qua các véc tơ còn lại của hệ ñó.
• Hệ quả 2.1. Hệ k véc tơ (k > 1)
k
aaa





+
=
.
ðặc biệt trong mặt phẳng 3 véc tơ bất kì nào cũng phụ thuộc tuyến tính.
• ðịnh lí 2.3. ðiều kiện cần và ñủ ñể ba véc tơ phụ thuộc tuyến tính là chúng ñồng phẳng.
• Hệ quả 2.3. Cho ba véc tơ không ñồng phẳng:
321
,, eee



. Bất kì véc tơ
a

nào trong không
gian cũng biểu thị tuyến tính ñược một cách duy nhất dưới dạng:
332211
exexexa




+
+
=
.
ðặc biệt trong không gian 4 véc tơ bất kì nào cũng phụ thuộc tuyến tính.

, ee


).
+ Hệ trục toạ ñộ gọi là thuận nếu hướng quay từ
1
e

ñến
2
e

theo góc bé nhất là ngược chiều
quay kim ñồng hồ và gọi là nghịch trong trường hợp ngược lại.

x
′
y
′
1
e

2
e

1
E
2
E
O

2
= a
2
+ b
2
.
+ Với mỗi ñiểm M, toạ ñộ của véc tơ
OM
cũng gọi là toạ ñộ của ñiểm M.
+ Các tính chất ñơn giản:
+
u

+
v

=
1 1 2 2
( , )
a b a b
+ +
và k
u

= (ka
1
, kb
1
),
∈

++
+
=
ϕ
.
2.4.3. ðổi hệ toạ ñộ trực chuẩn
Xét hai mục tiêu trực chuẩn (O,
21
, ee


) (1) và (O
'
,
21
, ee
′
′


) (2). M là ñiểm bất kì trong mặt
phẳng ñối với (1) có toạ ñộ là M(x, y) và ñối với (2) có toạ ñộ là M
),( yx
′
′
. Ngoài ra ñối với
(1) ta có O
'
(p, q);
),(

edece



+
=
′
.
Theo giả thiết ta có:
21
eyexMO
′′
+
′′
=
′


, nên suy ra
212121
)()()()( eydxbeycxaedecyebeaxMO






′
+
′



+
′
+
′
=
+
′
+
′
=
⇔



′
+
′
=−
′
+
′
=−
qydxby
pycxax
ydxbqy
ycxapx
(*)
Hệ (*) ñược gọi là công thức ñổi mục tiêu từ mục tiêu (1) sang mục tiêu (2).

=
=
eeeeee






, ñược gọi là mục tiêu trực chuẩn (hay hệ toạ ñộ trực chuẩn), hay hệ
toạ ñộ ðềcác vuông góc và kí hiệu là Oxyz. ðiểm O gọi là gốc toạ ñộ, các ñường thảng Ox, Oy,
Oz gọi là các trục toạ ñộ.

1
e

2
e

3
e

1
E
2
E
3
E
O
x

321
,, eee



) các véc tơ
321
,, eee
′
′
′



và ñiểm O
'
có toạ ñộ lần lượt là: (a
1
, b
1
, c
1
); (a
2
, b
2
, c
2
);
(a

′
+
′
=
+
′
+
′
+
′
=
0321
0321
0321
czcycxcz
bzbybxby
azayaxax
(3) và A =










321
321

321
ezeyexu




++=
. Bộ ba có thứ tự ñó (x, y, z) gọi là toạ ñộ của véc tơ
u

ñối với hệ toạ ñộ (O,
321
,, eee



) và kí hiệu là:

u

= (x, y, z) hoặc là
u

(x, y, z).
+ Với mỗi ñiểm M, toạ ñộ của véc tơ
OM
cũng gọi là toạ ñộ của ñiểm M.
+ Các tính chất ñơn giản:
- Nếu M(x, y, z) và N(
zyx


=
),,( zzyyxx
′
+
′
+
′
+
và k
u

= (kx, ky,
kz),
∈
∀
k
R
.
- Nếu
u

= (x, y, z),
v

= (
zyx
′
′
′

′
′
′
,,
), thì:
u

.
v

=
zzyyxx
′
+
′
+
′
.
- ðộ dài véc tơ
u

= (x, y, z), là
222
zyxu ++=

.
- Nếu
ϕ
là góc giữa hai véc tơ
u

′
=
ϕ
.
- Khoảng cách giữa hai ñiểm M(x, y, z) và N(
zyx
′
′
′
,,
) là:
222
)()()( zzyyxxMN −
′
+−
′
+−
′
=

2.5. Tích vô hướng, tích có hướng của hai véc tơ, tích hỗn tạp của 3 vectơ
2.5.1. Tích vô hướng
ðịnh nghĩa 2.5
+ Cho hai véc tơ
a

và
b

khác véc tơ

0

, thì góc (
a

,
b

) ñược xem là tuỳ ý. Nếu (
a

,
b

) =
90
0
, thì ta nói hai véc tơ
a

và
b

là vuông góc với nhau và kí hiệu là:
a


⊥

b



=
. ðặc biệt tích vô hướng
a

.
a

gọi là bình phương vô hướng của véc tơ
a

và kí hiệu là
a

2
. Từ ñó suy ra
a

2
=
2
a

.
Tính chất 2.3.
• ðiều kiện cần và ñủ ñể hai véc tơ vuông góc với nhau là tích vô hướng của chúng bằng
không.
•
a

+
c

) =
a

.
b

+
a

.
c

.
Một số hệ quả trực tiếp.
+ (–
a

).
b

= –(
a

.
b

).

=
a

2
– 2
a

.
b

+
b

2
.
+ (
a

+
b

)(
a

–
b

) =
a


=
a

0

hoặc
b

=
0

thì [
ba


,
] =
0

.
- Nếu
ba


,
ñều khác véc tơ
0

, thì: véc tơ
u

a

,
b

,
u

) cùng hướng với bộ ba
cơ sở (
321
,, eee



) của mục tiêu trực chuẩn (O,
321
,, eee



). (xác ñịnh chiều), ñộ dài
),sin( ],[ bababau








.
25

- [
ba


,
+
c

] = [
ba


,
] + [
a

,
c

].
+ Biểu thức toạ ñộ của tích có hướng.
Nếu
u

= (x, y, z),
v


2.5.3. Tích hỗn tạp của 3 vectơ
3.2.3. Tích hỗn tạp của ba véc tơ
+ Ta gọi là tích hỗn tạp của ba véc tơ
cba



,,
theo thứ tự ñó là số
cba



].,[
và ñược kí hiệu
là (
cba



,,
). Vậy (
cba



,,
) =
cba


) = – (
cab



,,
).
- (
cbak



,,
) = k(
cba



,,
).
∈
∀
k
R
.
- (
cbaa




;
),,( zyxw
′
′
′
′
′
′
=

, thì ta có:
(
wvu



,,
) =
zyx
zyx
zyx
′′′′′′
′′′
.
+ Vài ứng dụng.
- Tính diện tích tam giác.
Cho A(x
1
, y
1

1313
1212
2
1313
1212
2
1
yyxx
yyxx
xxzz
xxzz
zzyy
zzyy
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−

ðặc biệt nếu A, B, C nằm trong mặt phẳng Oxy, tức z = 0, thì ta có:
S
ABC
=
1313
1212
2
1

). Khi ñó thể tích V
ABCD
của tứ diện
ABCD ñược tính theo công thức sau ñây:
V
ABCD
=
141414
131313
121212
6
1
),,(
6
1
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
ADACAB
−−−
−−−
−−−
=
.
*) Tài liệu học tập
*) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận
2.1. Cho tam giác ABC và ba trung tuyến AD, BE, CF. Hãy tính
. . .
BC AD CA BE AB CF
+ +