0 ðỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN
NHẬP MÔN TOÁN CAO CẤP
1

MỤC LỤC
CHƯƠNG 1. Tập hợp và lôgíc 2
1.1. Tập hợp 2
1.1.1. Khái niệm về tập hợp 2
1.1.2. Cách xác ñịnh một tập hợp 3
1.1.3. Các phép toán và tính chất trên tập hợp 3
1.1.4. Tích ðềcác của các tập hợp 4
1.2. Quan hệ 4
1.2.1. Quan hệ hai ngôi 4
1.2.2. Quan hệ tương ñương 5
1.2.3. Quan hệ thứ tự 6
1.3. Ánh xạ 7
1.3.1. ðịnh nghĩa ánh xạ và ví dụ 7
1.3.2. ðồ thị của ánh xạ 8
1.3.3. Ánh xạ bằng nhau, thu hẹp và mở rộng ánh xạ 8
1.3.4. Ảnh và tạo ảnh 8
1.3.5. Tích ánh xạ 9
1.3.6. ðơn ánh – Toàn ánh – Song ánh 10
1.3.7. Ánh xạ ngược 11
1.4. Lôgic mệnh ñề 12
1.4.1 Mệnh ñề và các phép liên kết lôgic 12


CHƯƠNG 1
Tập hợp và lôgíc
Số tiết: 15 (Lý thuyết: 10 tiết; bài tập, thảo luận: 05 tiết)

*) Mục tiêu:
- Sinh viên cần hiểu ñược một số khái niệm về tập hợp, cách xác ñịnh một tập hợp, các
phép toán trên trên tập hợp; Quan hệ tương ñương, quan hệ thứ tự, ánh xạ (ánh xạ tích, ñơn ánh,
toàn ánh, song ánh); lôgíc lượng từ.
- Vận dụng vào giải các bài toán liên quan.

1.1. Tập hợp
1.1.1. Khái niệm về tập hợp
Khái niệm “ Tập hợp” là một trong những khái niệm cơ bản nhất của Toán học.
Ví dụ. Tập hợp các số tự nhiên, tập các ñiểm cách ñều một ñiểm cho trước, tập nghiệm của một
phương trình, …
- Khái niệm tập hợp là khái niệm nguyên thuỷ không ñịnh nghĩa. Quan niệm tập hợp như sự tụ
tập các ñối tượng có chung những tính chất nào ñó.
- Các cá thể tạo thành tập hợp gọi là phần tử của tập hợp.
- ðể chỉ: a là phần tử của tập A ta viết:
a A
∈
, ñọc là a thuộc A.
a không là phần tử của tập hợp A, ta viết
a A
∉
, ñọc là a không thuộc A.
- Tập rỗng là tập hợp không có phần tử nào, kí hiệu:
∅
.

{
}
{
}
{
}
{
}
( ) , a , b , a,b
A = ∅

ðịnh nghĩa 3. Hai tập A và B ñược gọi là bằng nhau khi và chỉ khi mỗi phần tử của A ñều là
phần tử của B và ngược lại mỗi phần tử của B ñều là phần tử của A. Kí hiệu: A = B.
Ví dụ.
1,
{
}
A = x : 0 < x < 5
∈
ℕ
,
{
}
B = 1, 2, 3, 4

Ta có: A = B.
2,
{
}
X = x / x 2, x 3

.
Ví dụ.
1,
{
}
A = a, b, c, d, e
,
{
}
B = c, d, e, f

Suy ra:
{
}
A B = a, b, c, d, e, f
∪

2,
{
}
A = x : x = 2k + 1, k∈ ∈
ℤ ℤ
,
{
}
B = x : x = 2k, k∈ ∈
ℤ ℤ

Suy ra:
{


c, Tính chất của phép hợp và phép giao: Cho 3 tập hợp tuỳ ý: A, B, C. Ta có:
1.
B A
⊂
thì
A B = A
∪A = A = A
∪ ∅ ∅ ∪A A = A
∪

2.
A B = A B
∪ ∪
( Tính chất giao hoán)
3.
A (B C) = (A B) C
∪ ∪ ∪ ∪
( Tính chất kết hợp)
4.
B A
⊂
thì
A B = B


A (B C) = (A B) (A C)
∪ ∩ ∪ ∩ ∪

d. Hiệu và phần bù của hai tập hợp
ðịnh nghĩa 6.
+ Cho hai tập hợp A và B. Hiệu của hai tập hợp A và B là một tập hợp, kí hiệu: A - B
hoặc A\B gồm tất cả các phần tử thuộc A mà không thuộc B. Vậy
{
}
A B = x: x A, x B
− ∀ ∈ ∉

4

+ Cho
B A
⊂
khi ñó hiệu của A và B ñược gọi là phần bù của tập B ñối với tập A. Kí
hiệu:
A
C (B)

Ví dụ.
1.
{
}
A = a, b, c, d, e
,
{

+
x B
x A B
x A
∈

∉ − ⇔

∉


Tính chất.
1.
A B = A B
− ∅ ⇒ ⊂

2.
A B, D C A C B D
⊂ ⊂ ⇒ − ⊂ −

3.
A B
⊂
, C bất kỳ
A C B C; C B C A
⇒ − ⊂ − − ⊂ −

4.
A B A
− ⊂


Quy ước:
A = A =
×∅ ∅× ∅

Tích ðềcác của nhiều tập hợp. Ta gọi tích ðềcác của n tập hợp
1 2 3 n
A ,A , A , ,A
là tập hợp
gồm tất cả các dãy sắp thứ tự
(
)
1 2 3 n
a ,a ,a , ,a
trong ñó
1 1 2 2
a A ,a A , ,
∈ ∈
n n
a A
∈
.
Kí hiệu:
1 2 3 n
A A A A
× × × ×

+ Nếu
1 2 3 n
A A A A

×
.
Nếu
(x,y) R
∈
ta nói “ x có quan hệ R với y” và viết
xRy
. Nếu
(x,y) R
∉
ta nói “ x không có
quan hệ R với y” và viết
xRy
.
Ví dụ. Cho X là tập hợp những người ñàn bà, Y là tập những người ñàn ông của làng nọ. R là tập
các cặp sắp thứ tự (x, y) trong ñó
,
x X y Y
∈ ∈
sao cho x là mẹ ñẻ của y.
ðịnh nghĩa 8. Cho X là tập không rỗng tuỳ ý. Ta gọi mỗi tập con R của bình phương ðềcác
X X
×
là một quan hệ hai ngôi xác ñịnh trên tập X.
Nếu
1 2
(x , ) R
x
∈
ta nói “

= ∈ ≤

là một quan hệ hai ngôi trên R
Một số tính chất thường gặp. Giả sử R là một quan hệ trên một tập hợp X. Ta bảo:
(i) R có tính chất phản xạ trong X nếu và chỉ nếu
x X, (x, x) R
∀ ∈ ∈

(ii) R có tính chất ñối xứng trong X nếu và chỉ nếu
x X, y X
∀ ∈ ∀ ∈
,
(x, y) R (y, x) R
∈ ⇒ ∈

(iii) R có tính chất phản ñối xứng trong X nếu và chỉ nếu
x X, y X
∀ ∈ ∀ ∈
,
(x, y) R; (y, x) R x = y
∈ ∈ ⇒

(iv) R có tính chất bắc cầu trong X nếu và chỉ nếu
x X, y X, z X
∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈
,
(x, y) R; (y, z) R (x, z) R
∈ ∈ ⇒ ∈

(v) R có tính chất toàn phần trong X nếu và chỉ nếu

a, b, c X, aSb, b S c
∀ ∈
thì
a S c
.
Nếu S là một quan hệ tương ñương thì người ta kí hiệu S bằng “
∼
” và thường ñọc là “ a tương
ñương với b”.
Ví dụ.
1. Quan hệ “=” là quan hệ tương ñương.
2. Gọi X là tập các ñường thẳng trong mặt phẳng, quan hệ cùng phương là một quan hệ tương
ñương.
6

3. Gọi X là tập các tam giác khi ñó quan hệ ñồng dạng giữa các tam giác là một quan hệ tương
ñương.

ðịnh nghĩa 10. Giả sử S là một quan hệ tương ñương trong X và
a X
∈
. Tập hợp:
{
}
C(a) = x X x S a
∈
gọi là lớp tương ñương của a ñối với quan hệ tương ñương S.
Vì S là phản xạ nên
a C(a)
∈

tương ñương phân biệt của X ñối với S thành lập một sự chia lớp trên X.

ðịnh nghĩa 12. Giả sử X là một tập hợp, S là một quan hệ tương ñương trong X. Tập hợp các
lớp tương ñương phân biệt của X ñối với S gọi là tập thương của X trên quan hệ tương ñương S
và kí hiệu là X/S.

Ví dụ. Cho X là tập người trên trái ñất. Nếu chia X thành các tập con U, V, W,… sao cho các tập
con ñó là tập các người cùng quốc tịch, coi rằng không có ai có hai quốc tịch và bất kì người nào
cũng thuộc một quốc tịch nào ñó thì ta có một sự phân lớp trên tập X.

1.2.3. Quan hệ thứ tự
ðịnh nghĩa 13. Giả sử X là một tập hợp , S là một bộ phận của
X X
×
. Thế thì S ñược gọi là một
quan hệ thứ tự trong X nếu và chỉ nếu các ñiều kiện sau ñây thoả mãn:
1. Tính phản xạ:
a X, aSa
∀ ∈
.
2. Tính phản ñối xứng:
a,b X, aSb
∀ ∈
,
b S a
thì a = b .
3. Tính bắc cầu:
a, b, c X, aSb, b S c
∀ ∈
thì

x = a
.
Ví dụ.
1. Trong tập hợp các số tự nhiên thực sự lớn hơn 1, sắp thứ tự theo quan hệ chia hết, các phần tử
tối tiểu là các số nguyên tố.
2. Tập hợp các số thực với quan hệ thứ tự thông thường, không có phần tử tối ñại cũng không có
phần tử tối tiểu.

ðịnh nghĩa 15. Giả sử X là một tập hợp sắp thứ tự. Một phần tử
a X
∈
gọi là phần tử bé nhất
( phần tử lớn nhất) của X nếu với mọi
x X
∈
ta có
a x
≤
(
x a
≤
).
Ví dụ.
1. Tập hợp các số tự nhiên sắp thứ tự theo quan hệ “ chia hết” có phần tử bé nhất là 1 và phần tử
lớn nhất là 0.
Nếu sắp thứ tự theo quan hệ thứ tự thông thường, tập hợp các số tự nhiên có phần tử bé nhất là 0
và không có phần tử lớn nhất.
2. Tập hợp các số thực với quan hệ thứ tự thông thường không có phần tử bé nhất cũng không có
phần tử lớn nhất.


ℕ ℕ ℕ

ánh xạ này ứng với mỗi cặp số tự nhiên (x, y) với số x + y:
f:
× →
ℕ ℕ ℕ(x, y) x+y
֏

Phép trừ không phải ánh xạ từ
× →
ℕ ℕ ℕ
. Tại sao?
Phép trừ là một ánh xạ từ
× →
ℤ ℤ ℤ
hay
× →
ℝ ℝ ℝ
?
Tương tự xét với phép nhân và phép chia.
Chú ý.
8

+ Một phép tương ứng các phần tử của X với các phần tử của Y sẽ không là ánh xạ từ X ñến Y
khi có những phần tử của X không có phần tử tương ứng trong Y hoặc khi có phần tử của X ứng
với hơn một phần tử trong Y.
+ Trong một ánh xạ mỗi phần tử thuộc nguồn ñều có ảnh duy nhất ñiều ñó có nghĩa là nếu:

2
y = x
.

1.3.3. Ánh xạ bằng nhau, thu hẹp và mở rộng ánh xạ
ðịnh nghĩa 19. Giả sử f và g là hai ánh xạ từ X ñến Y. ánh xạ f gọi là bằng nhau nếu
f (x) g(x)
=
với
x X
∀ ∈
.
Ví dụ.
1.
f:
→
ℝ ℝ
;
g:
→
ℝ ℝ2
x x 1
−
֏

x (x 1)(x+1)
−

→
sao cho
x A: g(x) = f(x).
∀ ∈
Ánh xạ g xác ñịnh như vậy gọi là ánh xạ thu hẹp của f
vào tập con A và thường ñược kí hiệu:
A
g = f
.
Ví dụ. Ánh xạ
: , 2 1
f
g n n
A
= → +
ℕ ℤ ֏
là thu hẹp của ánh xạ
: , 2 1
f n n
→ +
ℤ ℤ ֏

Sự mở rộng một ánh xạ. Giả sử
g:A Y
→
là ánh xạ xác ñịnh trên tập con A của X và giả sử có
f:X Y
→
sao cho
A

Ví dụ. X = {1, 2, 3, 4}; Y = {a, b, c, d, e, f}

f:
1 2 3 4

a d c d
 
 
 
; A = {1, 2, 3} ; B = {2, 3, 4} ; C = {2, 4}
Suy ra: f(A) = {a, d, c}, f(B) = {c, d}, f(C) = {d}, f(X) = {a, c, d}
Chú ý. Ánh xạ
f:X Y
→
:
+
A , A X
≠ ∅ ⊂
thì
f(A)
≠ ∅
.
+
{
}
A= a
thì
{
}
f(A) f(a)

1
f (U) = x X f(x) U
−
∈ ∈

Ví dụ. X = {a, b, c, d}; Y ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6}
f:X Y
→
cho bởi bảng:
a b c d
2 1 2 5
 
 
 

Cho: B = {1, 3} thì
{
}
1
f (B) = b
−

B = {1, 2} thì
{
}
1
f (B) = a, b, c
−

Chú ý.

. Với hai tập con tuỳ ý A, B của Y ta có:
1 1 1
1 1 1
f (A B) = f (A) f (B)
f (A B) = f (A) f (B)
− − −
− − −
∪ ∪
∩ ∩1.3.5. Tích ánh xạ
ðịnh nghĩa 22. Giả sử cho hai ánh xạ
f:X Y
→
,
g :Y Z
→
. Ánh xạ:
X Z
x g(f(x))
→
֏

ñượ
c g
ọ
i là
tích của hai ánh xạ f và g, kí hiệu bởi:
g f

ℝ ℝ ֏
,
khi
ñ
ó
: , 2
g f x x
→
 ℝ ℝ ֏
là tích c
ủ
a ánh x
ạ
f và g.
Chú ý.

g f f g
≠
 
ngh
ĩ
a là tích các ánh x
ạ
không có tính ch
ấ
t giao hoán.

ðịnh lý 4. Tích các ánh xạ có tính chất kết hợp, nghĩa là nếu
f: X Y
→

3. Nếu h là toàn ánh thì g là toàn ánh.
4. Nếu h là toàn ánh và g là ñơn ánh thì f là toàn ánh.

1.3.6. ðơn ánh – Toàn ánh – Song ánh
a, ðơn ánh
ðịnh nghĩa 23. Ta gọi ánh xạ
f:X Y
→
là ñơn ánh nếu với hai phần tử khác nhau bất kì
1 2
x , x

của X và
1 2
x x
≠
ta luôn có
1 2
f(x ) f(x )
≠
.
Nói khác ñi
f:X Y
→
là ñơn ánh nếu mọi phần tử của Y có tối ña một tạo ảnh trong X.
ðơn ánh
f:X Y
→
còn ñược gọi là ánh xạ một- một từ X ñến Y. Ta có thể phát biểu ñịnh nghĩa
dưới dạng tương ñương:

.

3
x x
֏

Nhưng ánh xạ
g:
→
ℝ ℝ
không là ñơn ánh?

2
x x
֏

b, Toàn ánh
ðịnh nghĩa 24: Ánh xạ
f: X Y
→
gọi là một toàn ánh nếu f(X) = Y. Nói khác ñi:
f:X Y
→
là
một toàn ánh nếu với mọi
y Y
∈
tồn tại
x X
∈

→
ℝ ℝ
không phải là toàn ánh

x sinx
֏

Nhưng :
[
]
f: 1, 1
→ −
ℝ
là toàn ánh

x sinx
֏

3. Ánh xạ
f:
→
ℝ ℝ
là toàn ánh

3
x x
֏

Nhưng ánh xạ
g:

f (y)
−
bao giờ cũng là tập một phần tử).
Song ánh:
f:X Y
→
còn gọi là ánh xạ một – một từ X lên Y.
Ví dụ.
1. Ánh xạ ñồng nhất
x
1 :X X
→
là song ánh.
ánh xạ
f:
→
ℝ ℝ
là song ánh .

3
x x
֏

2. Cho
{
}
X = 1, 2, 3
. Có 6 song ánh cho bởi bảng sau:
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 3 2 2 3 1

1
là các ánh xạ ñồng nhất). Khi ñó g gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f.
Do tính chất ñối xứng trong ñịnh nghĩa nên nếu g là ánh xạ ngược của f thì f cũng là ánh xạ
ngược của g.
Ví dụ. Ánh xạ ngược của ánh xạ
f:
→
ℝ ℝ
là ánh xạ
f:
→
ℝ ℝ3
x x
֏

3
x x
֏

ðịnh lý 7. Ánh xạ
f:X Y
→
có ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là song ánh.
ðịnh lý 8. Giả sử
g :Y X
→
và

Giá trị chân lí của mệnh ñề (2) bằng 1.
Các mệnh ñề ñơn giản, tức là các mệnh ñề không thể chia nhỏ thành các mệnh ñề khác ñược gọi
là các mệnh ñề sơ cấp.
b. Các phép toán lôgic trên mệnh ñề.
Với các phép toán ñại số, từ các số x, y nào ñó ta có thể lập ñược các số mới – x, x + y, x – y,
x.y, …. Tương tự như thế trên tập hợp các mệnh ñề với một vài mệnh ñề cho trước bằng một qui
tắc nhất ñịnh ta có thể lập ñược các mệnh ñề mới. Các quy tắc thiết lập mệnh ñề mới này gọi là
các phép toán mệnh ñề.
*) Phép phủ ñịnh
ðịnh nghĩa 27. Phủ ñịnh của mệnh ñề p, kí hiệu
p
, ñọc là “ không p”, một mệnh ñề sai khi p
ñúng và ñúng khi p sai.
Bảng giá trị chân lí:
p
p

1 0
0 1
Ví dụ. Phủ ñịnh của mệnh ñề
2 2
<
là mệ
nh
ñề
“
2
không nh
ỏ
h

úng và sai trong các tr
ườ
ng h
ợ
p còn l
ạ
i.

B
ả
ng giá tr
ị
chân lí:
p Q
p q
∧

1 0 0
0 1 0
1 1 1
13

0 0 0
Ví d
ụ
. Xác
ñị
nh h
ộ
i c

ủ
a hai m
ệ
nh
ñề
là: “ S
ố
1794 v
ừ
a chia h
ế
t cho 3 v
ừ
a chia h
ế
t cho 9”.
*) Phép tuyển
ðịnh nghĩa 29.
Tuy
ể
n c
ủ
a hai m
ệ
nh
ñề
p và q, kí hi
ệ
u là
p q

p q
∨

1 0 1
0 1 1
1 1 1
0 0 0
Ví d
ụ
.
1. M
ệ
nh
ñề
“2 bé h
ơ
n ho
ặ
c b
ằ
ng 3”
ñ
úng vì nó là tuy
ể
n c
ủ
a hai m
ệ
nh
ñề

n hay hàm s
ố
l
ẻ
” là tuy
ể
n c
ủ
a hai m
ệ
nh
ñề
: “ Hàm s
ố

2
y = (x + 1)
là hàm s
ố
ch
ẵ
n” và m
ệ
nh
ñề
: “ Hàm s
ố

2
y = (x + 1)

nh
ñề
kéo theo
p q
⇒

ñọ
c là “p kéo theo q” hay “
N
ế
u p thì q” là m
ệ
nh
ñề
ch
ỉ
sai kho p
ñ
úng q sai.

B
ả
ng giá tr
ị
chân lí:
p q
p q
⇒

1 0 0

∀
(ñọc là “với mọi x
∈
X ta có P(x)”) là một mệnh ñề ñúng nếu E
P(x)
= X và sai
trong trường hợp còn lại.
Ký hiệu
∀
(ñọc là “với mọi” ) gọi là
l
ượng từ toàn thể.
b)
x X
( )
P x
∈
∃
(ñọc là “tồn tại” ) ít nhất một x
∈
X sao cho P(x) là một mệnh ñề ñúng nếu
( )P X
E
≠ ∅
và sai trong các trường hợp còn lại.
Ký hiệu
∃
(ñọc là “tồn tại”) gọi là lượng từ tồn tại
Chú ý.
a) Mệnh ñề

( )P X
E
≠ ∅
. Trong ñó các
mệnh ñề
(
)
x X
P x
∈
∀
và
x X
( )
P x
∈
∃
biến tử x gọi là biến tử bị ràng buộc.
Ví dụ.
1)
(
)
x X
P x
∈
∀
(x
2
+ 1> 0) là mệnh ñề ñúng.
2)

n
nghĩa là B là một kết luận chứng minh thì ta bảo là ñã chứng minh trực tiếp
mệnh ñề B.
Ví dụ.
Ta xét chứng minh ñịnh lý sau trong sách giáo khoa phổ thông (Hình học 7) “ðịnh lý –
Trong tam giác cân hai góc ở ñáy bằng nhau”.
(ii), Phương pháp chứng minh bằng phản chứng
Cơ sở lôgic của phương pháp chứng minh bằng phản chứng là như sau: Muốn chứng
minh mệnh ñề p là ñúng, ta giả thiết p là sai, tức là
p
là ñúng. Sau ñó chứng minh rằng
p q
⇒

là ñúng và q là sai tức
p
là ñúng (hoặc chỉ ra rằng
q
là mệnh ñề ñúng ñã biết).
Từ ñó, theo ñịnh nghĩa của phép kéo theo, q sai thì
p
sai,
p
sai thì p ñúng (luật bài
trung).
15

Ta cũng có thể rút ra kết luận p ñúng bằng cách áp dụng quy tắc suy luận sau:
,
;

p q
∧ ⇒
⇒

Ta rút ra kết luận p
⇒
q là ñúng.
Ví dụ. Chứng minh mệnh ñề.
Một ñường thẳng cắt một trong hai ñường thẳng song song thì cũng phải cắt ñường kia.
(iii). Phương pháp chứng minh quy nạp toán học
Giả sử P(n) là một tính chất nào ñó liên quan ñến số tự nhiên n, nói khác ñi, P(n) là một
mệnh ñề xác ñịnh trên tập N các số tự nhiên.
ðể chứng minh tính chất P(n) ñúng với mọi số tự nhiên n, nghĩa là chứng minh mệnh ñề phổ
dụng sau ñây là ñúng

n N
∈
∀
P(n),
người ta thường dùng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.
Cơ sở lôgic của phương pháp này là quy tắc suy luận tổng quát sau
1)
(
)
(
)
0 , ( ) ( 1)
( )
k
k

n
P n
∈
∀
ℕ
ta tiến hành
theo ba bước sau
Bước 1 – Chứng minh P(0) là ñúng.
Bước 2 – Giả sử P(k) là ñúng, ta chứng minh P(k + 1) là ñúng.
Bước 3 – Kết luận P(n) ñúng
n N
∀ ∈

Chú ý. ðể chứng minh mệnh ñề
(
)
n
P n
∈
∀
ℕ
là ñúng nghĩa là P(n) ñúng
∀
n = n
0
, ở bước 1 ta
chứng minh P(n
0
) là ñúng.
Ví dụ. Chứng minh rằng: 2

1.3

Cho A là tập các số nguyên dương chia hết cho 3, còn B là tập các số nguyên dương mà tổng
các chữ số chia hết cho 3. Xét mối quan hệ giữa 2 tập A, B.
1.4

Cho A = {n ∈ N| n + m = 8 với m ∈ N} và B ={m ∈ N| n + m = 8 với n ∈ N}.
Chứng minh A = B.
1.5

Cho A là tập hợp gồm các ước số chung của a & b. Gọi d là ước số chung lớn nhất của a & b
và B là tập hợp các ước số của d. Chứng minh A = B. Cho ví dụ minh hoạ .
1.6

Tìm tất cả các tập con của tập M các số nguyên tố lớn hơn 2 và bé hơn 8.
1.7
Chứng minh ñẳng thức A = B , với
A = {n ∈
ℕ
n
⋮
6 } ; B = {n ∈
ℕ
n
⋮
2 và n
⋮
3 }
1.8


∪

C = A

∪ B và A

∩

C = A

∩ B thì B = C.
1.10

Cho A, B là các tập tuỳ ý. Chứng minh:
a) B ∪ (A

–

B) = A

∪ B.
b) A – (A – B) = A ∩ B.
1.11

17

Giả sử A, B là các tập con của tập X. Chứng minh rằng:
C
X
(A) = B khi và chỉ khi A ∪ B = X và A ∩ B = ∅.

ℤ
các số nguyên xác ñịnh quan hệ S như sau:
a S b khi và chỉ khi a + b chia hết cho 2. Hãy xem quan hệ này có tính chất gì ?
1.16

Trên tập
ℤ
các số nguyên xác ñịnh quan hệ ρ như sau: a ρ b khi và chỉ khi
a – b chia hết cho 3. Hãy xem quan hệ này có tính chất gì ?
1.17

Trong mặt phẳng cho ñường thẳng a cố ñịnh. Trên tập X các ñiểm của mặt phẳng xác ñịnh
quan hệ ρ như sau: Với M, N ∈ X, M ρ N khi và chỉ khi khoảng cách từ M tới ñường thẳng a
bằng khoảng cách từ N tới ñường thẳng a.
a) Chứng tỏ rằng ρ là một quan hệ tương ñương.
b) Cho A là ñiểm cố ñịnh. Hãy xác ñịnh tập [A] bằng cách sử dụng ngôn ngữ quỹ tích.
1.18
Giả sử X là tập các ñiểm trên mặt phẳng, O là ñiểm cố ñịnh thuộc X. Trên X xác ñịnh quan hệ S
như sau:
M S N khi và chỉ khi M, N, O cùng nằm trên ñường thẳng nào ñó.
a) S có phải là quan hệ tương ñương trên X không ?
b) S có phải là quan hệ tương ñương trên X – {O} không ?. Nếu phải, xác ñịnh lớp tương ñương
chứa ñiểm A. Hãy mô tả tập thương X – {O}/ S.
1.19
Trong tập các số thực
ℝ
xác ñịnh quan hệ S như sau: x S y ⇔ |x| = |y|.
a) Chứng tỏ S là quan hệ tương ñương.
b) Cho a là số thực, tìm [a].
1.20

ℕ
ta xác ñịnh quan hệ ~ như sau: (a, n) ~ (b, m) ⇔ a.m

= b.n.
a) Chứng minh rằng ~ là quan hệ tương ñương.
b) Hãy xác ñịnh tập thương
*
×ℤ
ℕ
/ ~.
1.22

Trong tập các số thực R. Chứng minh rằng quan hệ S trên R xác ñịnh bởi:
x S y khi và chỉ khi x
3
– y
3
= x – y là quan hệ tương ñương.
Tuỳ theo giá trị của a, tìm các phần tử trong lớp tương ñương [a].
1.23

Cho X = {1, 2, 3} và một quan hệ hai ngôi S trên X.
a) Chứng minh rằng nếu S là quan hệ tương ñương trên X chứa các phần tử (1, 2) và (1, 3) thì S
= X
×
X.
b) Trong trường hợp S là tập con thực sự của X
×
X, chứa (1, 2), hãy tìm S sao cho S là một quan
hệ tương ñương trên X.

Xét tập hợp sắp thứ tự
ℕ
với quan hệ thứ tự ≤ và bộ phận của
ℕ
với
A = {2, 3, 4 , 5 , 6, 7}.
Tìm phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất, chặn trên , chặn dưới , chặn trên nhỏ nhất ,chặn dưới lớn
nhất , phần tử tối ñại, phần tử tối tiểu của bộ phận A .
1.28

Xét tập hợp sắp thứ tự
*
ℕ
với quan hệ thứ tự “ chia hết ” ( \ ) và bộ phận A ⊂
*
ℕ
với
19

A = {2, 3, 4 , 5 , 6, 7}.
Tìm phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất, chặn trên , chặn dưới , chặn trên nhỏ nhất ,chặn dưới lớn
nhất , phần tử tối ñại, phần tử tối tiểu của bộ phận A .
1.29

a) Giả sử A là tập các phần tử có dạng a
n
= 3
n
với n ∈
ℕ

×
R
(x, y)
֏
(2x, 2y)
Cho A = {(x, y) ∈ R
×
R | (x – 4)
2
+ y
2
= 4}.
a) Tìm ϕ(A), ϕ
–1
(A).
b) Biểu diễn các tập A, ϕ(A), ϕ
–1
(A) trên mặt phẳng toạ ñộ R
×
R.
1.33

Cho hàm số ϕ: R → R, xác ñịnh bởi ϕ(x) = | x + 1|.
Hãy tìm f(A), f
–1
(f(A)), với A = [– 2, 1].
1.34

Cho ánh xạ f: X → Y ; A, B là các tập con của X ; U, V là các tập con của Y.
Chứng minh rằng:

– x + 1 x
֏
2x – 1
Xác ñịnh các hàm số hợp: f.g và g.f.
1.38

Cho ánh xạ f: X → Y (X, Y ? ∅). Chứng minh rằng:
a) f là ñơn ánh khi và chỉ khi có ánh xạ g: Y → X sao cho g.f = 1
X
.
b) f là toàn ánh khi và chỉ khi có ánh xạ g: Y → X sao cho f.g = 1
Y
.
1.39

Cho ánh xạ f : X → Y và
g,g
′

: U → X. Chứng minh rằng:
a) Nếu f là ñơn ánh và
fg fg
′
=
thì
g g
′
=
.
b) Nếu với mọi

′
=
luôn kéo theo
h h
′
=
thì f là một toàn ánh.
1.41

Chứng minh rằng các ánh xạ sau là song ánh và tìm ánh xạ ngược của mỗi ánh xạ ñó
a) f:
ℝ
→
ℝ
b) g:
ℝ
→
ℝ

x
֏
2x x
֏
- x
c) h:
ℝ
→
ℝ
d) k:
ℝ

∧ ∨ ⇒ ⇒ ⇔
.
1.44

Phát biểu thành lời các mệnh ñề sau rồi tìm giá trị chân lý của nó, với ký hiệu:
P(x) là “ x là số chẵn ”.
T(x) là “ x là số lẻ ”.
H(x) là “ x là bội của 6 ”.
21

a)
( x N) [P(x) T(x)]
∀ ∈ ∨
c)
( x N) [H(x) P(x)]
∀ ∈ ⇒

b)
( x N) [P(x) T(x)]
∀ ∈ ∧
d)
( x N) [P(x) H(x)]
∀ ∈ ⇒

1.45

Hãy dùng ký hiệu lôgic ñể viết các mệnh ñề sau rồi chỉ ra tính ñúng sai của nó.
a) “ Tồn tại số thực x sao cho với mọi số thực y, x + y = x ”.
b) “ Tồn tại số thực x sao cho với mọi số thực y, x + y = y ”.
c) “ Với mọi cặp số nguyên x, y tồn tại số nguyên z sao cho x + z = y ”.

+ 15x – 16 = 0
1.49

Tìm miền ñúng của các hàm mệnh ñề xác ñịnh trên tập hợp các số tự nhiên
ℕ

a) n chia hết cho 2 và cho 3 .
b) n chia hết cho 5.
c) n chia cho 5 dư 3.
1.50
Tìm miền ñúng của các hàm mệnh ñề xác ñịnh trên tập hợp các số thực
ℝ

a) ϕ (x): “  2x + 1> 0 ”
b) ψ (x): “ 2x + 1≤ 0 . ”
1.51.
Hãy phát biểu thành lời câu tương ứng với các hàm mệnh ñề sau:
a) (P (x,y) ∧ Q(x,y ) ) ⇒ (P(x,z)), trong ñó P(x,y) là: “x chia hết cho y”, còn Q(x,y) là: “y
bằng z”.
b) (
P(x)
∧
Q(x)
) ⇒ r(x), trong ñó: P(x) là: “x là số nguyên tố, Q(x) là: “x là số lẻ”, r(x) là: “
x chia hết cho 2”.
1.52
Hãy chứng minh các ñẳng thức tập hợp sau ñây:
a) C
X
(Eϕ(x) ⇒ ψ(x) ) = Eϕ(x) ∧

1.55

Cho ϕ(x) và ψ(x) là các hàm mệnh ñề xác ñịnh trên X. Ta ñịnh nghĩa hàm mệnh ñề ϕ(x) ⇔ ψ(x)
là:” ϕ(x) ⇒ ψ(x) và ψ(x) ⇒ ϕ(x)”. Chứng minh rằng Eϕ(x) ⇔ ψ(x)= X khi và chỉ khi Eϕ(x) =
Eψ(x).
1.56

Cho X={a; b; c}. Giả sử ϕ(x), ψ(x) là các hàm mệnh ñề có miền ñúng lần lượt là Eϕ(x) = {a},
Eψ(x) = {b}.Từ các hàm mệnh ñề ϕ(x), ψ(x) dùng các phép toán trên các hàm mệnh ñề ñể lập
hàm mệnh ñề mới sao cho:
a) Miền ñúng của hàm mệnh ñề mới ñó là {c}
b) Miền ñúng của hàm mệnh ñề mới ñó là {a,b}
1.57
Hãy diễn ñạt các mệnh ñề sau bằng ngôn ngữ thông thường. Chỉ ra tính ñúng sai của các mệnh
ñề ñó:
a)
x R
∈
∀
(
x
= – x) b)
x R
∈
∃
(
x
= – x)
c)
x R y R

Q(n), P(n) => Q(n) và
( )
P x
.
1.61

Dùng ký hiệu lô gic ñể biểu thị các vị từ sau:
a) Nếu x > 5 thì tồn tại y ñể x + y = 5.
b) Với mọi a, nếu a
≠
0 và tồn tại x
1
ñể x
1
là nghiệm của phương trình
23

ax
2
+ bx + c = 0 suy ra nếu tồn tại x
2
sao cho x
1
+ x
2
= –
b
a
và x
1

+ +
, n
∈
N
*
.
b) n
3
+ (n + 1)
3
+ (n + 2)
3
chia hết cho 9, n
∈
N.
c) 2
n
> 2n +1 với mọi số tự nhiên n
≥
3.
1.64

Chứng minh các mệnh ñề sau bằng phương pháp quy nạp toán học:
a)
1 1 1

1.2 2.3 ( 1) 1
n
n n n
+ + + =

Số tiết: 15 (Lý thuyết: 10; Bài tập, thảo luận: 05)
*) Mục tiêu:
- Sinh viên cần nắm ñược một số khái niệm cơ bản về cấu trúc ñại số: Nhóm, vành,
trường. Nghiên cứu kỹ về vành số thập phân, vành ña thức, trường số hữu tỷ, trường số thực,
trường số phức, trường phân thức hữu tỷ.
- Vận dụng ñể giải quyết những bài tập liên quan.

2.1. Sơ lược về nhóm, vành, trường
2.1.1. Phép toán hai ngôi
ðịnh nghĩa 1. Ta gọi phép toán hai ngôi (hay gọi tắt là phép toán) trong một tập hợp X một ánh
xạ từ X
×
X ñến X. Giá trị f(x,y) gọi là cái hợp thành của x và y.
Chú ý. Người ta hay ký hiệu phép toán hai ngôi bằng hai dấu: “+” và “.” (ñược gọi là phép cộng
và phép nhân). Thông thường ñối với dấu “.” ta thường quy ước bỏ ñi.
Sau ñây trong lý luận tổng quát, ta viết cái hợp thành của x và y là xy, nếu không có lý do nào
khiến ta phải viết khác.
Ví dụ.
1) Trong tập
ℕ
các số tự nhiên, phép cộng và nhân thông thường hai số tự nhiên là những phép
toán hai ngôi. Trong tập hợp
ℕ
*
=
ℕ
- {0}, phép hợp thành x
y
của x và y là một phép toán hai
ngôi.

ℕ
không
kết hợp, không giao hoán.

ðịnh nghĩa 4. Giả sử cho một phép toán hai ngôi trong tập X. Một phần tử e của X ñược gọi là
ñơn vị trái của phép toán hai ngôi trong X nếu và chỉ nếu:
ex x
=
, với mọi
x X
∈
.
Tương tự, một phần tử e của X ñược gọi là ñơn vị phải của phép toán hai ngôi nếu và chỉ nếu:
xe x
=
, với mọi
x X
∈
.
Trong trường hợp một phần tử e của X vừa là phần tử ñơn vị trái, vừa là phần tử ñơn vị phải thì e
gọi là phần tử ñơn vị (hay phần tử trung lập) của phép toán hai ngôi.