0
ðỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN

ðẠI SỐ SƠ CẤP

(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN ðHSP TOÁN)



2.1. Khái niệm về hàm số và ñồ thị……………………………………………………….

23

2.2. Khảo sát hàm số……………………………………………………………………
24

2.3. Các phép biến ñổi ñồ thị……………………………………………………………
26

2.4. Khảo sát sơ cấp hàm số bậc nhất và bậc hai…………………………………………
27

2.5. Khảo sát sơ cấp hàm phân thức………………………………………………………

28

2.6. Khảo sát sơ cấp hàm số mũ và lôgarit………………………………………………

29

2.7. Khảo sát sơ cấp hàm số lượng giác…………………………………………………
30

Chương 3. Bất ñẳng thức…………………………………………………………………….

34

3.1. ðại cương về bất ñẳng thức………………………………………………………….

4.5. Phương trình và bất phương trình vô tỷ……………………………………………
65

4.6. Phương trình và bất phương trình mũ, lôgarít………………………………………

66

4.7. Phương trình và bất phương trình lượng giác………………………………………
67
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………………………
83 2

CHƯƠNG 1
Biểu thức toán học và các phép biến ñổi ñồng nhất
Số tiết: 14 (Lý thuyết: 08 tiết; bài tập, thảo luận: 06 tiết)

A) MỤC TIÊU
Chương này gồm năm phần. Phần ñầu tiên của chương trang bị cho người học hiểu thế nào
là một biểu thức toán học và biết phân loại các biểu thức toán học. Bốn phần tiếp theo rèn luyện
cho người học các kĩ năng biến ñổi một biểu thức. Qua nội dung của chương, trước hết người
học thấy ñược sự phong phú ña dạng, phức tạp của các biểu thức toán học và sự cần thiết phải
biến ñổi một biểu thức toán học nhằm phân loại nó, ñưa nó về dạng ñơn giản hơn, chỉ ra mối liên
hệ của nó với các biểu thức khác. Bên cạnh ñó, người học ñược lần lượt ñược nghiên cứu, thao
tác bốn loại biến ñổi phổ biến tương ứng với bốn loại biểu thức trong chương trình ñại số ở phổ

là các tập hợp. Khi ñó
\ ( )
A B C
∪
không là một biểu thức toán học.
3

Ví dụ 1.1.2.
2
1
x y
x
+
−
là một biểu thức ñại số hữu tỉ.
Ví dụ 1.1.3.
2
3
1
xy x x
− + +
là một biểu thức ñại số vô tỉ.

1.2. Các phép biến ñổi hữu tỷ
1.2.1. ða thức trên trường số
Xét vành ña thức
[ ],
A x
ở ñây
A

x c
−
Giả sử ña thức
1
1 1 0
( )
n n
n n
f x a x a x a x a
−
−
= + + + +
⋯
có ñầy ñủ
n
nghiệm là
1 2
, , , .
n
x x x
…
Khi ñó ta có công thức
Viéte sau ñây:
1
1 2
2
1 2 2 3 1
0
1 2
.




= −


⋯
⋯
⋯ ⋯ ⋯
⋯

Ngoài ra ñối với vấn ñề về sự tồn tại nghiệm của các ña thức một biến trên trường số thực hoặc
phức, chúng ta còn có các kết quả sau.
ðịnh lí 1.2.1. Mọi ña thức một biến bậc lẻ trên trường số thực ñều có ít nhất một nghiệm thực.
ðịnh lí 1.2.2. Mọi ña thức một biến bậc dương trên trường số phức ñều có ít nhất một nghiệm
phức.
*) Câu hỏi: Khẳng ñịnh của ðịnh lí 1.2.2 có còn ñúng không khi mở rộng sang ña thức nhiều
biến trên trường số phức?
b) Ứớc chung lớn nhất
Cho hai ña thức
( ), ( ) [ ].
f x g x A x
∈
ða thức
( ) [ ]
d x A x
∈
ñược gọi là một ước chung của
( ), ( )
f x g x

ấ
t c
ủ
a
( )
f x
và
( )
g x
. Ta
ñ
ã bi
ế
t r
ằ
ng vành
ñ
a th
ứ
c trên m
ộ
t
tr
ườ
ng là m
ộ
t vành chính, do
ñ
ó theo lý thuy
ế

.
A

Mệnh ñề 1.2.4. (i) Mọi ña thức bậc nhất ñều bất khả quy.
(ii) ða thức bất khả quy
( )
p x
chỉ có các ước là ña thức bậc 0 và dạng
{
}
( ), \ 0 .
ap x a A∈

(iii) ða thức
( ) [ ]
p x A x
∈
là bất khả quy khi và chỉ khi với mọi ña thức
( ) [ ]
f x A x
∈
thì hoặc
( ) ( ),
f x p x
⋮
hoặ
c
( ( ), ( )) 1.
f x p x
=

( ) ( )
f x p x
⋮
ho
ặ
c
( ) ( ).
g x p x
⋮

ðịnh lí 1.2.5.
M
ỗ
i
ñ
a th
ứ
c trên m
ộ
t tr
ườ
ng
ñề
u phân tích
ñượ
c thành m
ộ
t tích các
ñ
a th


kh
ả
ngh
ị
ch.

ðịnh lí sau cho ta thấy rõ lớp các ña thức bất khả quy trên các trường số thực và phức.
ðịnh lí 1.2.6. (i) Lớp các ña thức bất khả quy trên trường số phức là các ña thức bậc nhất.
(ii) Lớp các ña thức bất khả quy trên trường số thực là các ña thức bậc nhất và các ña thức bậc
hai với biệt thức âm.
Ví dụ 1.2.7. Chứng minh rằng ña thức
6 5 2
( ) 5 4 7
f x x x x
= + − −
có ít nhất hai nghiệm thực phân
biệt (hướng dẫn:
(0) 7 0, lim ( ) .
x
f f x
→±∞
= − < = +∞
ðến ñây sử dụng kiến thức về hàm liên tục). Hãy
khái quát hóa bài toán.
Ví dụ 1.2.8. Phân tích ña thức
2 3 3
(1 ) 8
x x
− +

nhưng là ước của tất cả các số hạng còn lại
và
2
p
không là ước của số hạng tự do
0
a
thì
( )
f x
là bất khả quy.
ðịnh lí 1.2.10 (Osada). Cho
1
1 1
( ) [ ]
n n
n
f x x a x a x p x
−
−
= + + + ± ∈
⋯ ℤ
với
p
là một số nguyên tố.
Khi ñó nếu
1 1
1
n
p a a

n
m
+
 
=
 
 
Gi
ả
s
ử
t
ồ
n t
ạ
i
n
s
ố

nguyên phân bi
ệ
t
1
, ,
n
d d
…
không là nghi
ệ

thường xem xét nghiệm của ña thức ñó. Bằng cách quy ñồng các phân số, người ta luôn ñưa
ñược bài toán tìm nghiệm của một ña thức với hệ số hữu tỉ về bài toán tìm nghiệm của một ña
thức với hệ số nguyên.
ðịnh lí 1.2.14. Cho ña thức
1
1 1 0 0
( ) [ ] ( *, 0).
n n
n n n
f x a x a x a x a x n a a
−
−
= + + + + ∈ ∈ ≠
⋯ ℤ ℕ
Nếu
phân số tối giản
p
q
là nghiệm của
( )
f x
thì
p
là ước của
0
,
a q
là ước của
.
n

1 1
f f
α α
∈
− +
ℤ

Ví dụ 1.2.17. Các ña thức sau là bất khả quy trên
:
ℚ

(i)
4 3 2
8 12 6 2.
x x x x
− + − +

(ii)
5 3
12 12 12.
x x x
− + −

(iii)
4 3 2
2 1 ( : 1)
x x x HD y x
− + + = −
1
n
+
phần tử phân biệt. ðặt
{ }
0
( ) ( ), \ 0 .
n
i
i
g x a x x a A
=
= − ∈
∏
Khi
ñ
ó ta có:
(i)
0
, 0
( ) ( ) .
n
n
k
i
i
k i k
i k
x x
f x f x

Cho
( )
f x
là
ñ
a th
ứ
c b
ậ
c
n
trên tr
ườ
ng A và
.
a A
∈
Khi
ñ
ó ta có:
( )
2
'( ) ''( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
1! 2! !
n
n
f x f x f x
f x f a x a x a x a
n

t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t
0 1 2
, , , ,
n
A
λ λ λ λ
∈
…

ñể
:
0 1 1 2 1 2 1
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ).
n n
f x x x x x x
λ λ α λ α α λ α α
= + − + − − + + − −
⋯ ⋯Chú ý 1.2.21.
Các kh
ẳng ñịnh trong ba ñịnh lí trên vẫn ñúng khi thay trường số thực hoặc trường
số phức bởi một trường bất kì có ñặc số 0.

=
của biến
2

x
trên A
1
ta kí hiệu
[
]
2 1 2
,
A A x x
=
và gọi là vành ña
thức của hai ẩn x
1
, x
2
trên A, cứ tiếp tục như vậy, giả sử ta ñã ñịnh nghĩa ñược vành ña thức
[
]
1 2 1
, , ,
n
A x x x
−
…
của
n 1

[
]
1 2
, , ., ,
n
A x x x…
gọi là vành ña thức của n biến
1 2
, , ,
n
x x x
…
trên A.
Một phần tử của A
n
ñược gọi là một ña thức của n biến
1 2
, , ,
n
x x x
…
lấy hệ tử trong vành A, kí
hiệu là
1 2
( , , , )
n
f x x x
…
.
ðịnh lí 1.2.23. ða thức

1 1 1 2 2 1 2 3 1 2 1 2
( , , ) .
n n n m m mn
n n n n m n
g x x d x x x d x x x d x x x d x x x
α
α α α α α α αα α α α
= + + + +
… ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

Khi ñó
1 1
( , , ) ( , , )
n n
f x x g x x
=
… …
nếu và chỉ nếu
( 1, , ).
i i
c d i m
= = …

ðịnh nghĩa 1.2.25. Giả sử
[
]
1 2 1
( , , , ) , ,
n n
f x x x A x x

i
là số mũ cao nhất mà x
i
có ñược trong các hạng
tử của ña thức.
+ Bậc của hạng tử
1 2
1 2
i i in
i n
c x x x
α α α
⋯
là tổng các số mũ
1 2
i i in
α α α
+ + +
⋯
của các biến.
+ Bậc của ña thức (ñối với tất cả các biến) là số lớn nhất trong các bậc của các hạng tử của ña
thức ñó. Kí hiệu deg(f).
Cho
[
]
1 2
, , .,
n
A x x x
…

X x x x
=
⋯
M
ỗ
i ph
ầ
n t
ử
có d
ạ
ng
1 2
( )
( ) ( ) 1 2
n
i
i i
i
i i n
a X a x x x
=
⋯

ñượ
c g
ọ
i là m
ộ
t

c
1
( , , )
n
f x x
…

ẩ
n x
i
không có m
ặ
t thì b
ậ
c c
ủ
a
1
( , , )
n
f x x
…

ñố
i
v
ớ
i nó là 0.
(ii) N
ế

p b
ậ
c k
(m
ộ
t d
ạ
ng b
ậ
c k).
ðặ
c bi
ệ
t m
ộ
t d
ạ
ng b
ậ
c nh
ấ
t g
ọ
i là d
ạ
ng tuy
ế
n tính, m
ộ
t d

ñ
a th
ứ
c 0 quy
ướ
c là
−∞
.
ðịnh lí 1.2.27. Mọi ña thức
1 2
[ , , , ]
n
f A x x x
∈
có thể biểu diễn một cách duy nhất thành tổng
của các ñơn thức không ñồng dạng.
ðịnh lí 1.2.28. Giả sử
1
( , , )
n
f x x
…
là một ña thức với hạng tử cao nhất là
1 2
1 2
n
n
cx x x
α
α α

n
n
cx x x
α
α α
⋯
.
ðịnh lí 1.2.29. Giả sử
1
( , , )
n
f x x
…
,
1
( , , )
n
g x x
…
là hai ña thức khác 0 của vành
1 2
[ , , , ]
n
A x x x

có các hạng tử cao nhất theo thứ tự là
1
11 12
1 1 2
n

c d x x x
α β
α β α β
++ +
⋯
.
Hệ quả 1.2.30. Nếu A là một miền nguyên thì
[
]
1 2
, , ,
n
A x x x
…
cũng là một miền nguyên.
ðịnh lí 1.2.31. Nếu A là một miền nguyên và
[
]
1 1 1
( , , ), ( , , ) , ,
n n n
f x x g x x A x x
∈
… … …
thì
deg( ) deg( ) deg( ).
fg f g
= +

8

 
 
⋯
⋯

ta luôn có
1 (1) ( )
( , , ) ( , , )
n n
f x x f x x
τ τ
=
… …
, ở ñây
(1) ( )
( , , )
n
f x x
τ τ
…
ñược suy ra từ
1
( , , )
n
f x x
…

bằng cách thay thế x
1
bởi

, ,
n
A x x
…
.

Các ña thức ñối xứng cơ bản

1 1 2
1
n
n i
i
x x x x
σ
=
= + + + =
∑
⋯2 1 2 1 3 1
n n i j
i j
x x x x x x x x
σ
−
<
= + + + =
∑

= + + + =
∑
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯1 2 1
n n n
x x x x
σ
−
=
⋯

ðịnh lí 1.2.34 (ðịnh lý cơ bản về ña thức ñối xứng).
M
ọ
i
ñ
a th
ứ
c
ñố
i x
ứ
ng khác
ñ
a th
ứ
c 0,
[

n
h
σ σ
…

c
ủ
a các các
ñ
a th
ứ
c
ñố
i x
ứ
ng c
ơ
b
ả
n v
ớ
i các h
ệ
t
ử
trong A.

Ứng dụng lý thuyết ña thức ñối xứng vào ñại số sơ cấp

ða thức ñối xứng ñóng vai trò quan trọng trong ñại số sơ cấp, cụ thể là có thể ứng dụng nó

×
như sau:
1 1 2 2
( , ),( , ) *
f g f g A A
∈ ×
ñược gọi
là tương ñương nếu
1 2 2 1
f g f g
=
. Kí hiệu lớp tương ñương ñại diện bởi
( , ) *
f g A A
∈ ×
là
f
g
hay
1
1
( , , )
.
( , , )
n
n
f x x
g x x
…
…

ườ
ng v
ớ
i hai phép toán:
1 2 1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
, . .
f f f g f g f f f f
g g g g g g g g
+
+ = =
Ta g
ọ
i tr
ườ
ng này
là tr
ường phân thức hay trường phân thức hữu tỉ của
n
biến
1
, ,
n
x x
…
trên
K
kí hiệu
1
( , , ).

( , , )
( , , )
n
n
n
f x x
x x
g x x
…
∈ …
…
K
ñượ
c g
ọ
i là m
ộ
t phân th
ứ
c trên tr
ườ
ng
;
K

1
( , , )
n
f x x
…

ðịnh nghĩa 1.2.35. Phân thức
1
1
1
( , , )
( , , )
( , , )
n
n
n
f x x
x x
g x x
…
∈ …
…
K
ñượ
c g
ọ
i là
tối giản nếu

(
)
1 1
( , , ), ( , , ) 1.
n n
UCLN f x x g x x
… … =

− + = − − − + = − −
và ước chung
lớn nhất của hai ña thức này là
1.
x
−
Giản ước cả tử và mẫu cho
1
x
−
ta ñược
2
2
3 2 2
5 4 4
x x x
x x x
− + −
=
− + −

là phân thức ñã ñược rút gọn về dạng tối giản.

Chú ý 1.2.39. Nhờ thực hiện phép chia ña thức, chúng ta luôn ñưa ñược một phân thức về dạng
phân thức thực sự. Thật vậy, giả sử
( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 0 deg ( ) deg ( ).
f x g x q x r x r x r x g x
= + = ∨ <
Khi
ñó

+ +
(IV)
2
Ax
( )
k
B
x px q
+
+ +

2
( 4 0)
p q
∆ = − <

ñược gọi là các phân thức ñơn giản nhất loại I, II, III, IV.
ðối với nhiều bài toán người ta thường ứng dụng việc phân tích một phân thức dưới dạng
tổng của những phân thức ñơn giản ñể giải, chẳng hạn như: bài toán tính tổng, bài toán chứng
minh bất ñẳng thức, tìm ñạo hàm cấp cao, tìm nguyên hàm của hàm phân thức ðiều này cho
thấy các phân thức ñơn giản ñóng vai trò quan trọng khi nghiên cứu về phân thức.
ðịnh lí 1.2.40. Cho một phân thức hữu tỉ tối giản thực sự
( )
.
( )
F x
f x
Giả sử
1 1
( ) ( ) ( ), ( ) 0.

, 0,deg ( ) deg ( ) .
( ) ( ) ( ) ( )
k k
k k
k k
A F xA
F x A
AA A F x f x k
f x x a x a x a f x
−
−
= + + + + ≠ < −
− − −
⋯ ⋯Trong tr
ườ
ng h
ợ
p m
ẫ
u th
ứ
c không có nghi
ệ
m th
ự
c,
ñị

= + +

trong ñó
1
( )
f x
không chia hết cho ña thức
2
.
x px q
+ +
Khi ñó:
1
1
2 2 1
1
( )
( )
, deg ( ) deg ( ) 2.
( ) ( ) ( ) ( )
m m
F x
F x Mx N
F x f x
f x x px q x px q f x
−
+
= + < −
+ + + +


( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k
k k
A
A B BF x A B
f x x a x a x a x b x b x b
−
−
− −
= + + + + + + + + +
− − − − − −
ℓ
ℓ ℓ
⋯ ⋯ ⋯1 1
1 1
2 2 1 2
( ) ( )
m m
m m
M x N
M x NMx N
x px q x px q x px q
− −
−
+
+
+

nhìn chung khá phức tạp. Phần này sẽ trình bày các khái niệm liên quan ñến căn thức và giới
thiệu một số phép biến ñổi vô tỉ.
1.3.1. Căn số của các số thực
ðể chứng minh sự rồn tại của căn số số học của một số thực, ta cần sử dụng bổ ñề quen thuộc
sau ñây.
Bổ ñề (Cantor): Cho một dãy ñoạn thắt dần:
1 1 2 2
[ ; ] [ ; ] [ ; ]
n n
x y x y x y
⊃ ⊃ ⊃ ⊃
⋯ ⋯
và
lim 0.
n n
n
x y
→∞
− =
Khi ñó
1
[ ; ]
n n
n
x y
∞
=
∩
g
ồ

ng
n
và s
ố
th
ự
c không âm
.
A
Khi
ñ
ó t
ồ
n t
ạ
i s
ố
th
ự
c không âm
x
duy nh
ấ
t sao cho
.
n
x A
=
   
   
ℕ

Lại chia tiếp ñoạn
1 1
1
;
10 10
q q
p p
+
 
+ +
 
 
thành 10 ph
ầ
n b
ằ
ng nhau Ti
ế
p t
ụ
c quá trình này ta s
ẽ

thu
ñượ
c m

m (gi
ớ
i h
ạ
n) chung c
ủ
a dãy
ñ
o
ạ
n này, ta
ñượ
c
.
n
x A
=ðịnh nghĩa 1.3.2. Cho số nguyên dương
2
n
≥
và số thực không âm
.
A
Khi ñó số thực không
âm
x
duy nhất sao cho

n
của
A
là số thực
x

(nếu có) sao cho
.
n
x A
=Chú ý 1.3.5. (i) Căn bậc lẻ của một số thực luôn tồn tại và duy nhất.
(ii) Căn bậc tùy ý của 0 bằng 0.
(iii) Căn bậc chẵn của một số thực dương gồm hai giá trị ñối nhau.
(iv) Căn bậc của một số thực âm không tồn tại.
(v) Với mọi số thực không âm
,
a
ta có
.
n n
a a
=

(vi) Với mọi số thực
,
a
ta có

= ⇔ = ⇔ =

(ix) Cho
,
a b
là hai s
ố
th
ự
c không âm, ta có:
.
n n
n n
a b a b a b
< ⇔ < ⇔ <

(x) Cho
,
a b
là hai s
ố
th
ự
c b
ấ
t kì và
n
là s
ố
t

n n
a b a b a b
< ⇔ < ⇔ <

*) Câu hỏi: Hai khẳng ñịnh cuối cùng trong Chú ý 1.3.5 còn ñúng không khi
n
là số chẵn?

1.3.2. Các tính chất của phép khai căn
Sau ñây ta sẽ xét căn số của các số thực không âm, còn các trường hợp riêng sẽ ñược ghi
chú. Thay cho căn số ta sẽ nói căn khi chú ý ñến giá trị, còn nói căn thức khi chú ý ñến các phép
biến ñổi căn.
ðịnh lí 1.3.6. (i) Với mọi số thực không âm
1 2
, , ,
k
a a a
…
, ta có
1 2 1 2
.
n n
n n
k k
a a a a a a
=⋯ ⋯

(ii) Với mọi số thực
1 2
, , ,

a b
ta có
2 1
2 1
2 1
.
n
n
n
a a
b
b
+
+
+
=
(v) Với mọi số thực không âm
a
, ta có
( , *).
nk
k
n
a a n k= ∈
ℕ

(vi) Với mọi số thực không âm
a
, ta có
( , *).

a
, ta có
(
)
2 1
2 1
( , *).
k
n
k
n
a a n k
+
+
= ∈
ℕ

(iv) Với mọi số thực
, ,
a b
ta có
2 1
2 1
2 1
( *).
n
n
n
a b a b n
+

…
Giả sử số nguyên dương n là bội số chung của các số
nguyên dương
1 2
, , ,
k
n n n
…
. ðặt
1 2
1 2
, , , .
k
k
n n n
d d d
n n n
= = =…
Khi
ñ
ó
1 2
1 2
1 1 2 2
, , , .
k
k
n
d n
n n n

n gi
ữ
nguyên giá tr
ị

c
ủ
a chúng. Vi
ệ
c làm này
ñặ
c bi
ệ
t có ích khi mu
ố
n so sánh hai c
ă
n th
ứ
c có b
ậ
c khác nhau.

13

1.3.3. Một số phép biến ñổi vô tỉ thường gặp
D
ự
a theo các tính ch
ấ

ườ
ng g
ặ
p nh
ấ
t.
ðể
vi
ệ
c trình bày
ñượ
c thu
ậ
n l
ợ
i, chúng ta s
ẽ
ch
ỉ
xét
ñế
n các c
ă
n s
ố
s
ố
h
ọ
c

i
giá tr
ị
không âm. Tuy nhiên, ng
ườ
i h
ọ
c hoàn toàn có th
ể
thêm nh
ữ
ng gi
ả
thi
ế
t khi mu
ố
n m
ở
r
ộ
ng
nh
ữ
ng k
ế
t qu
ả

ñ


b)

Phép giản lược căn thức của thương
Gi
ả
s
ử
ta có bi
ể
u th
ứ
c
, 0, , 0.
m n
k
p q
X Y
Z T
Z T
≠ … ≠
⋯
⋯

Nhân c
ả
t
ử
và m
ẫ

= =
⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯c) Nâng một căn thức lên lũy thừa
(
)
.
pn k
n n
pn k p k
n
X X X X
+
+
= =d) Luật phân phối
1 2 1 2
( ) .
n n n n
k k
a X a X a X a a a X
+ + + = + + +
⋯ ⋯

Phép bi

ế
t chúng ta c
ầ
n quy
ñồ
ng ch
ỉ
s
ố
c
ă
n th
ứ
c b
ằ
ng cách l
ấ
y b
ộ
i s
ố

chung c
ủ
a các ch
ỉ
s
ố

ñ

f) ða thức của một căn thức
T
ừ
các phép bi
ế
n
ñổ
i
ñ
ã bi
ế
t, không m
ấ
y khó kh
ă
n ta hoàn toàn có th
ể

ñư
a m
ọ
i
ñ
a th
ứ
c c
ủ
a
m
ộ

t v
ậ
y, n
ế
u cho
bi
ể
u th
ứ
c
2 1
0 1 2 1
( )
n n m
n n m
f x a a x a x a x a x a x
+
+
= + + + + + + +
⋯ ⋯

14

thì b
ằ
ng cách thay
x
b
ở
i


g) Công thức biến ñổi căn bậc hai “phức tạp”
2 2
.
2 2
A A B A A B
A B
+ − − −
± = ±1.3.4. Nhân tử liên hợp

Cho S là m
ộ
t bi
ể
u th
ứ
c vô t
ỉ
. Ta g
ọ
i nhân t
ử
liên h
ợ
p c
ủ
a S là bi

c gi
ả
m b
ớ
t
m
ộ
t t
ầ
ng c
ă
n th
ứ
c. Khi
ñ
ó rõ ràng S c
ũ
ng là liên h
ợ
p c
ủ
a M. C
ầ
n l
ư
u ý r
ằ
ng nhân t
ử
liên h

ử
liên h
ợ
p trong m
ộ
t s
ố
tr
ườ
ng h
ợ
p bi
ể
u th
ứ
c vô
t
ỉ
có d
ạ
ng
ñặ
c bi
ệ
t, th
ườ
ng g
ặ
p.


S X Y
= −

Bi
ể
u th
ứ
c liên h
ợ
p là
1 2 3 2 1
n n n n
n n n n
M X X Y X Y Y
− − − −
= + + + +
⋯
vì
.
SM X Y
= −c) Trường hợp
n n
S X Y
= +
(
2
n

S A X A X X A X A X
= +
là các ña thức của
X

Bi
ể
u th
ứ
c liên h
ợ
p là
1 2
( ) ( )
M A X A X X
= −
vì
[
]
[
]
2 2
1 2
( ) ( ) .
SM A X A X X
= −Trong tr
ườ

…
Ta th
ự
c hi
ệ
n cách làm trên m
ộ
t cách liên ti
ế
p
ñố
i v
ớ
i t
ừ
ng lo
ạ
i c
ă
n th
ứ
c.
Ng
ườ
i ta th
ườ
ng áp d
ụ
ng vi
ệ

ộ
t phân th
ứ
c. Cho
1
1 2
2
, ,
S
S S S
S
=
là các bi
ể
u th
ứ
c ch
ứ
a c
ă
n. Gi
ả
s
ử

2
M
là m
ộ
t bi

ở
m
ẫ
u th
ứ
c.

15

1.4. Các phép biến ñổi mũ và logarit
1.4.1. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Cho a là m
ộ
t s
ố
th
ự
c d
ươ
ng và m
ộ
t s
ố
h
ữ
u t
ỉ

, *.
m

ễ
dàng ki
ể
m tra
ñượ
c
ñị
nh ngh
ĩ
a này không ph
ụ

thu
ộ
c vào bi
ể
u di
ễ
n c
ủ
a s
ố
h
ữ
u t
ỉ

.
r
T

có các tính ch
ấ
t sau:

(i)
1 2 1 2
.
r r r r
a a a
+
=

(ii)
1
1 2
2
.
r
r r
r
a
a
a
−
=

(iii)
( ) .
r r r
ab a b

1 2
.
r r
a a
<

(vii) Nếu
1 2
0 1,
a r r
< < <
thì
1 2
.
r r
a a
>1.4.2. Lũy thừa với số mũ thực
Bổ ñề 1.4.1. Cho
0
a
>
và
( )
n
r
là một dãy số hữu tỉ hội tụ. Khi ñó
( )

n
r
là m
ột dãy số hữu tỉ hội tụ và
lim .
n
n
r x
→∞
=
Khi ñó ta gọi
lim
n
r
n
a
→∞

là
lũy thừa cơ số
a
với số mũ

x.
Kí hi
ệ
u

lim .
n

n các phép toán
ñạ
i s
ố
c
ủ
a gi
ớ
i
h
ạ
n, ta có các tính ch
ấ
t sau
ñố
i v
ớ
i l
ũ
y th
ừ
a v
ớ
i s
ố
m
ũ
th
ự
c:

x
x
x
a a
b b
 
=
 
 

(v)
1
.
x
x
a
a
−
=

(vi) N
ế
u
1 2
1,
a x x
> <
thì
1 2
.

=
là số
thực thỏa mãn
.
y
x a
=
Từ các tính chất của hàm mũ, ta có các tính chất sau ñây của hàm logarit.

(i)
1 2 1 2
log ( ) log ( ) log ( ).
a a a
x x x x
= +

(ii)
1
1 2
2
log log ( ) log ( ).
a a a
x
x x
x
 
= −
 
 


x
x
a
=

(vii)
1
log .
log
a
b
b
a
=

(viii)
1
log ( ) log ( ).
a
a
x x
α
α
=
(ix)
log ( ) log ( )
.
b b
x a
a x=

tg tg
tg( ) .
1 tg tg
α β
α β
α β
+
+ =
−

(vi)
tg tg
tg( ) .
1 tg tg
α β
α β
α β
−
− =
+1.5.2. Công thức cung nhân ñôi
(i)
2
2tg
sin2 2sin cos .
1 tg
α
α α α


1.5.3. Công thức cung nhân ba
(i)
3
sin3 3sin 4sin .
α α α
= −

(ii)
3
cos3 4cos 3cos .
α α α
= −

(iii)
3
2
3tg tg
tg3 .
1 3tg
α α
α
α
−
=
−

1.5.4. Công thức biến tổng thành tích

(i)


(v)
sin( )
tg tg .
cos cos
α β
α β
α β
+
+ =

(vi)
sin( )
tg tg .
cos cos
α β
α β
α β
−
− =

(vii)
sin( )
cotg cotg .
sin sin
α β
α β
α β
+
+ =
[2] Phan Huy Kh
ả
i (1995),
Toán nâng cao cho học sinh lớp 11, Nhà Xuất bản Giáo dục.
[5] Hoàng Kỳ, Hoàng Thanh Hà (2009), ðại số sơ cấp và Thực hành giải Toán, Nhà Xuất bản
ðại học Sư phạm.
[7] Trần Thành Minh, Trần Quang Nghĩa, Lâm Văn Triệu, Dương Quốc Tuấn (2001), Giải toán
Lượng giác, Nhà Xuất bản Giáo dục.
[12] Dương Quốc Việt, ðàm Văn Nhỉ (2008), Cơ sở Lí thuyết số và ða thức, Nhà xuất bản ðại
học Sư phạm.

D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN
18

Nội dung thảo luận
1) Hãy trình bày các phương pháp phân tích ña thức thành nhân tử. Nêu các ví dụ minh họa và
xem xét việc mở rộng các phương pháp trên các trường bất kì.
2) Hãy trình bày ứng dụng của ña thức ñối xứng trong ñại số sơ cấp.
3) Hãy trình bày ý nghĩa hình học của ña thức ñối xứng.

Bài tập
I. Các phép biến ñổi hữu tỉ
1) Chứng minh rằng
( 1)( 2)( 3)( 4) 1
x x x x
+ + + + +
có thể biểu diễn dưới dạng bình phương của
một tam thức bậc 2.

2
( ) 1.
g x x mx
= + −

6) Tìm UCLN
( )
d x
của hai ña thức
( ), ( )
f x g x
và tìm các ña thức
( ), ( )
u x v x
thỏa mãn:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
u x f x v x g x d x
+ =
với
4 3 2 4 3 2
( ) 2 4 2, ( ) 2 2.
f x x x x x g x x x x x
= + − − − = + − − −

7) Tìm
UCLN ( 1, 1).
m n
x x
− −


− + +

10) Phân tích ña thức sau thành nhân tử:
a)
4 2 2 2
1 ( 1)
x x x x
+ + + − +
trên
;
ℝ

b)
2 2
( 8 7)( 8 15) 15
x x x x
+ + + + +
trên
;
ℚ

c)
4 3 2
2 7 2 13 6
x x x x
+ − − +
trên
;
ℝ


x xy y
+ +
trên
, ;
ℝ ℂ

11) Biểu diễn các phân thức sau thành các phân thức ñơn giản:
a)
4 2
5
2 3
;
( 1)
x x
x
− +
+

b)
2
;
( 1)( 1)
x
x x
+ −

19

c)
3 2


ñề
u có d
ư
là 2 và
( )
f x

chia cho

2
4 3
x x
− +

ñượ
c th
ươ
ng là
1
x
+

và còn d
ư
.
13)
Ch
ứ
ng minh r

c
( )
f x

v
ớ
i h
ệ
s
ố
nguyên
.
p
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u
(0), (1)
f f
là các s
ố
l
ẻ
thì
( )
f x


ứ
ng minh r
ằ
ng
1 1 1 1 1 1 .
x y y z z x x y y z z x
x y y z z x x y y z z x
     
− − − − − −
   
+ + + = − − −
     
   
+ + + + + +
   
     

17) Rút gọn biểu thức
2 2 2 2 1 2 2 2 2 1.
A x x x x
= + + + − + − +18) Rút gọn biểu thức

4 1 1
2
n
a
A a a a

2 1 2
1 .
1
1 2 1
a a a a a a a a
M
a
a a a
  
+ − − + −
= + −
  
  
−
− +
  

21)
Xét bi
ể
u th
ứ
c
2
( 2) 4 8 32 2
: 1 .
2 4 2 8 2
x x x
P
x x x x x x

x

ñể

9.
P
=

22)
Tính giá tr
ị
c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
2
2
2 1
1
b x
A
x x
−
=
− −
khi
1

ố

3
1
4
3 4 1
2 .
2 3
n
n
n
S
n
+
+
= + + + +⋯

24)
Tr
ụ
c c
ă
n th
ứ
c
ở
m
ẫ
u c
ủ


26)
Tính
a)
5 3 29 12 5 .
A = − − −
b)
3 1 21 6 12 .
B = − + −
c)
1 1 1
.
1 2 2 3 2004 2005
+ + +
+ + +
⋯

d)
2 3 3 5
.
2 3 3 5
− +
−
+ −

27)
Cho hàm s
ố

4

ằ
ng
5( ) 1.
αβ α β
+ − =

29)
Cho
4 8
log 75 ,log 45 .
a b
= =
Tính
3
25
log 135
theo
, .
a b

30)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng

2
log 3
là s

ằ
ng
( )
log
2
.
k
m
n nk
=

32)
Tìm s
ố
ch
ữ
s
ố
c
ủ
a s
ố

100
2
(bi
ế
t
lg 2 0,3010
=

ằ
ng t
ừ
các
ñẳ
ng th
ứ
c
( ) ( ) ( )
,
lg lg lg
x y z x y x z y z x y z
x y z
+ − + − + −
= =
ta suy ra
.
y x y z z x
x y z y x z
= =

35)
Cho
, 0, 0.
a b c a b
+ = > >
Ch
ứ
ng minh r
ằ

ầ
n và
ñủ

ñể
a, b, c theo th
ứ
t
ự
l
ậ
p thành m
ộ
t c
ấ
p s
ố
nhân là
log log log
.
log log log
a a b
b b c
N N N
N N N
−
=
−

37)

2 3 4 1992
log 3.log 4.log 5 log 1993.
P
=
⋯

39)
Không dùng b
ả
ng s
ố
và máy tính, so sánh hai s
ố
3 16
log 16, log 729.
A B
= =

40)
Ch
ứ
ng minh các
ñẳ
ng th
ứ
c sau
a)
2 2
2
2

 

b)
8 8
1 7 35
sin cos cos8 cos4 .
64 16 64
x x x x+ = + + 21

41) ðơ
n gi
ả
n bi
ể
u th
ứ
c
2
sin 2 sin 5 sin3
.
1 cos 2sin 2
a a a
A
a a

π
= ≤ ≤
Tính bi
ể
u th
ứ
c

1 2 (1 )
.
2 1
x x
y
x
+ −
=
−

44)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng , n
ế
u:

sin( ) cos( )
m a b a b
+ = −


a)
tg20 tg40 3tg20 tg40 3;
o o o o
+ + =

b)
2 3 1
cos cos cos .
7 7 7 2
π π π
− + =

46) ðơ
n gi
ả
n bi
ể
u th
ứ
c
a)
tg3 tg17 tg23 tg37 tg43 tg57 tg63 tg77 tg83 ;
o o o o o o o o o
A =

b)
2 3 4 5 6 7
cos cos cos cos cos cos cos ;
15 15 15 15 15 15 15


Rút g
ọ
n

;
n
S

b) Tính
lim .
n
n
S
→∞

48)
a) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng

2
tg tg2 tg2 2tg .
x x x x
= −

b) Áp d
ụ

→∞

49)
Cho
2
cos cos cos .
2 2 2
n
n
x x x
P = ⋯

a) Rút g
ọ
n
.
n
P

b) Tính
lim .
n
n
P
→∞

50)
Cho
sin( 2 ) 2sin .
α β α

tg , tg , tg
2 2 2
a b c

là ba nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình

3 2
0.
x px x q
+ + + =

Ch
ứ
ng minh

tg tg tg tg tg tg .
a b c a b c
+ + =

52)
Cho

2 , .
α β α β γ π

+ =

− =

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2 .
2
π
α β
+ =

54)
Tính các bi
ể
u th
ứ
c
a)
0 0 0 0
sin 5 sin15 sin 25 sin35 sin85 ;
o
P =
⋯

c)
cos10 cos50 cos70 .

2.1. Khái niệm về hàm số và ñồ thị
Phần này trình bày các khái niệm cơ bản về hàm số và ñồ thị của hàm số. ðể phù hợp với
mục tiêu học phần, chúng tôi chỉ tập trung vào hàm số một biến số.
2.1.1. Quan hệ
ðịnh nghĩa 2.1.1. Cho
,
X Y
là hai tập hợp. Một quan hệ hai ngôi từ
X
ñến
Y
là bộ phận
S
của
tích ðềcác
.
X Y
×
Phần tử
x X
∈
ñược gọi là có quan hệ
S
với
y Y
∈
nếu
( , ) .
x y S
∈

xác ñịnh ñồ thị của một ánh xạ từ
X
ñến
.
Y2.1.2. Hàm, hàm số
ðịnh nghĩa 2.1.3. Cho
,
X Y
là hai tập hợp. Một hàm từ
X
ñến
Y
là quy tắc
f
cho ứng với mỗi
phần tử
x X
∈
với một phần tử duy nhất
.
y Y
∈
Khi ñó ta nói
y
là ảnh của
x
và kí hiệu

→( )
x y f x
=
֏

ðịnh nghĩa 2.1.4. Hàm
f
như trên ñược gọi là một hàm số thực
n
biến nếu
n
X ⊆
ℝ
và
.
Y
⊆
ℝ

24

ðể ñơn giản, trong suốt tài liệu này, mỗi khi nhắc ñến khái niệm hàm số nếu không nói gì
thêm thì ta hiểu ñó là hàm số thực một biến.
Chú ý 2.1.5.
(i) Tại bậc học phổ thông, chúng ta chỉ giới hạn khảo sát một số dạng hàm số một biến
thực.
(ii) ðối với hàm hàm số một biến, khi nó là song ánh, ta gọi ánh xạ ngược của nó là hàm số

của hàm trên mặt phẳng tọa ñộ. ðây cũng chính là một yêu cầu của bài toán khảo sát hàm số tại
bậc học phổ thông.
Chú ý 2.1.7. ðồ thị của hàm số ñã cho và hàm số ngược của nó ñối xứng với nhau qua ñường
phân giác thứ nhất (ñường thẳng
y x
=
).

2.2. Khảo sát một hàm số bằng phương pháp sơ cấp
Việc khảo sát hàm số bằng phương pháp sơ cấp căn cứ chủ yếu vào các phép toán số học và
ñặc thù của mỗi hàm số, hoàn toàn không có một phương pháp chung ñể áp dụng cho tất cả các
hàm như dùng ñạo hàm ñối với phương pháp giải tích. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, từ
cách làm sơ cấp này ta có thể thu ñược những cách giải ñộc ñáo hơn, gọn hơn góp phần làm tăng
thêm kĩ năng vận dụng các kiến thức sơ cấp trong giải toán của người học.

2.2.1. Tập xác ñịnh
Trong phần này, ta hiểu rằng hàm số ñược cho dưới dạng biểu thức
( )
y f x
=
, không phải
ñược viết dưới dạng ánh xạ. Tập xác ñịnh của hàm số ñối với bài toán khảo sát ñược hiểu là tập
tất cả các giá trị của ñối số
x
sao cho biểu thức
( )
f x
có nghĩa.
ðể tìm miền xác ñịnh của hàm số sơ cấp ta dựa vào các quy tắc sau:
(i) Mẫu thức của các phân thức phải khác 0.