Một số dạng toán về hình hộp và hình lập phương

223

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HÌNH HỘP VÀ HÌNH LẬP PHƯƠNG
A. HÌNH HỘP

Bài 1.
Cho hình hộp (H): ABCD. A
′
B
′
C
′
D
′
có
,
AB a AD b
= =
và tâm O, thể
tích V. Gọi M là điểm bất kỳ trong không gian.
I.
Lấy E
∈
AB sao cho
AB
p
AE
=
.

1
AC
p
AF
= +
và
2
AC
p
AF
′
= +
′

3.
Cho AA
′
=
c
. Chứng minh rằng: Tổng các bình phương các khoảng cách từ
M đến 8 đỉnh của (H) là
(
)
2 2 2 2
2 8
T a b c MO
= + + +

II.
Giả sử (H) là hình hộp đứng,

=
. Tính diện tích thiết diện do mặt
phẳng (P) đi qua I, J, K là trung điểm AB, AD, DD
′
.
Giải

I.1.
H A ABD
1 A ADE
V 6V
6
6
V V
AB
p
AE
′
′
= = =

(
)
1
2
1 1
6 1
H
V V
V

C
′

B
′

A
′

A
B
C
D
I
F
O
I
′

M
c
b
a
www.VNMATH.com
Phần 2. Hình học không gian – Trần Phương

224

2.
Ta có F = DE

A
′
C
′
F
′

∼

∆
FAF
′

⇒

1 1 2
C F A C A C A C AC
p
AF AF AF AF AF
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
= ⇒ = + = + = +
′ ′

3. a.
Gọi I = AC
∩
BD; I
′
= A
′

BD B D
MI MI MI MI
′ ′
′ ′
′ ′
+ + + + + + +

=

( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 1
4
2 2
MI MI AC BD A C B D
′ ′ ′ ′ ′
+ + + + +

=

( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1
4 2
2
MO II AB AD A B A D
 
′ ′ ′ ′ ′
+ + + + +


⇒

2 2
V sin tg 2 cos
ab a b ab
= α β + + α

2.
Gọi I = AC
∩
BD còn J là trung điểm CC
′

⇒
IJ // AC
′

Trong mặt phẳng (BJD) kẻ It
⊥
BD
Hạ OO
′

⊥
It
⇒
BD
⊥
(OIO

⇒
AC
′

⊥
EF
⊥
BD
Ta có
( )
OBJD
V
3
BJD
EF OO
dt
′
= =
.
A

B

C

J
C
′

D

1
V V ABD
3
CJ dt= =

( )
1
ABD
3 2
CC
dt
′
= ⋅

⇒

(
)
( )
ABD
2 BJD
dt
OO CC
dt
′ ′
=
(*). Kẻ JH
⊥
BD
⇒

1 1
dt BJD . ' . 16 dt ABD
2 4
BD JH CC BD⇒ = = +

Thế vào (*)
⇒

(
)
( )
[ ]
2
2
2 ABD
. 16 ABD
CC dt
OO
CC BD dt
′
′
=
′
+
trong đó
( )
2 2 2 2
sin
tg 2 cos , ABD , 2 cos
2

4.
Gọi N, M, L là trung điểm BB
′
, B
′
C
′
và C
′
D
′
khi đó IJ // BD // NK
⇒
I, J, K đồng phẳng; MN // JK và IN // KL nên (M, N, J, K) đồng phẳng và
(N, I, K, L) đồng phẳng. Từ đó
⇒
6 điểm I, J, K, L, M, N đồng phẳng và thiết
diện là lục giác IJKLMN có các cặp cạnh đối // và bằng nhau.
Ta có dt (IJKLMN) = 2dt (IJKN) = 6dt(A
1
IJ).
Kẻ A
1
H
⊥
IJ
⇒
AH
⊥
IJ. Ta có:

1
IJ)
2 2 2 2 2 2
1
3
3. .
4
A H IJ a b b c c a
= = + +

A
1
I

A

H

J

D

K

D
′

C
′


cạnh
a
.
Lấy M
∈
AB và
(A MC) C D N
′ ′ ′
≡
∩
.
1.
CMR: A
′
MCN là hình bình hành.
2.
Tìm M
∈
AB để A
′
MCN là hình chữ nhật; hình vuông; có diện tích nhỏ nhất.
3.
Tìm quĩ tích hình chiếu vuông góc H của C xuống MN khi M
∈
AB.
4.
Phải chọn (P) đi qua AC
′
thế nào để thiết diện có diện tích nhỏ nhất.
5.

⊥
M
1
N
1

⊥
DB.
b.
M
1
N
1
// A
′
C.
7.
Chứng minh rằng:
(
)
0; 2
x a∀ ∈
ta có M
1
N
1
// (A
′
BCD
′

′
MCN là hình bình hành (đpcm)
2.
i
A
′
MCN là hình chữ nhật
⇔
MA
′

⊥
A
′
N mà D
′
A
′

⊥
A
′
M
⇒
MA
′

⊥
(A
′

i
Kẻ ME
⊥
A
′
C, khi đó: dt(A
′
MCN ) min
=
(A
′
C. ME) min
⇔
ME min.
⇔
AB
⊥
ME
⊥
A
′
C
⇔
E
≡
O và M là trung điểm AB. Khi đó:
Tứ giác A
′
MCN có diện tích là
2

CI
⊥
MN. Lại có: CH
⊥
MN
⇒
IH
⊥
MN
⇒
H
∈
đường tròn đường kính OI trong mặt phẳng (ABC
′
D
′
)
www.VNMATH.com
Một số dạng toán về hình hộp và hình lập phương

227

D
O
A
B
C
C
1


R
Q

Khi M
≡
A thì N
≡
C
′
và H
≡
H
1
; khi M
≡
B thì N
≡
D
′
và H
≡
H
2
.
Vậy quĩ tích điểm H khi M
∈
AB là cung H
1
H
2

Kẻ C
′
F
⊥
Q
′
R
′

⇒
CF
⊥
Q
′
R
′
.
Đặt

C FC
′
α =
khi đó:
( )
(
)
2
2
dt ABCD
dt C QAR

2
6
dt C QAR min
2
a
′
=
xảy ra
⇔
F
≡
A
⇔
R,Q là trung điểm BB
′
, DD
′

5.
Kẻ M
1
H
1

⊥
AD, N
1
K
⊥
AD

2 2 2
1 1 1 1
2
2
x
H N KN H K a x= + = + −
. Do M
1
H
1

⊥
H
1
N
1
nên:
( )
2
2
2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2
2 3
3 3
a
a
M N M H H N x a x x
 

2
2 2
1
2
9
a
AM x= =
;
2
2 2 2
1
5
2 cos 45
9
a
AN a x ax= + − ° =

⇒

2 2 2
1 1 1 1
AM M N AN
+ =

⇒
M
1
N
1


M
1
N
1
// D
′
C
1
.
Mặt khác:
1
1
2
AD
BC
=

⇒

1
CC A D
′ ′
=

⇒
A
′
C // D
′
C

′
C
1

⇒
M
1
N
1
// (A
′
BCD
′
)
www.VNMATH.com
Phần 2. Hình học không gian – Trần Phương

228

C
1
C

R

C
′

O
1

B
′

Bài 2.
Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
cạnh
a
1.

Chứng minh rằng: (AB
′
D
′
)
⊥
A
′
C. Tìm khoảng cách (AB
′
D) với (C
′
BD)
2.

(A
′
B
′
C
′
D), A
′
C
′

⊥
B
′
D
′

⇒
CA
′

⊥
B
′
D
′

CD
⊥
(A

′
BD).
Gọi G
=
1
A C AO
′
∩
; L
=

2
A C CO
′
∩
. Ta có:
1
3
1
2 3 3
A O
a
GA A C
CL AG LG
GC AC
′
′ ′
′
= = ⇒ = = = =


∩
(ABB
′
A
′
)
=
A
′
E // AB
′

Lấy KA
′

=
KE.
Do ∆EAA
′
cân nên AK
⊥
EA
′
.
Mà DA
⊥
(EAA
′
) nên DK
⊥

cos
3
AK
AKD
DK
⇒ = =

3.

Kéo dài MN cắt BC, BA tại C
1
, A
1
. Nối A
1
P cắt AA
′
tại Q
Nối C
1
P cắt CC
′
tại R
⇒
MNRPQ là thiết diện cần tìm.
Dễ tính được
1 1
2
2
a


nên
( ) ( )
2 2
1 1 1
9 6 6
;
16 16
a a
dt C PA dt C RN= =

⇒

( )
2
7 6
16
a
dt MNRPQ =
. Ta có:
1 1
2 3
1
1 2 1
2
25 71 25
2 ; .
96 96 71
NCRBPQAM C BPA C CNP ABCDA B C D
V

2) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa BD và AC
′
.
3) Tính tổng T các bình phương các khoảng cách từ điểm M trong không gian
đến 8 đỉnh của hình hộp theo a, b,
α
,
β
và x = OM. Từ đó suy ra vị trí của M
để T là bé nhất.
Giải
1) Gọi V là thể tích hình hộp ta có:
(
)
. .sin .
V dt ABCD CC V ab CC
′ ′
= ⇒ = α

Sử dụng định lí hàm cos trong tam giác ADC ta có:
( )
2 2 2
2 2 2
2 . cos
2 cos
AC DA CD AD CD
AC a b ab
= + − π −α
⇒ = + + α


Dựng KH
⊥
AK
′
. Ta có: KH
⊥
OK
′

⇒
KH
⊥
(AOK
′
)
Vì BD // (AOK
′
)
⇒
KH cũng là khoảng cách ngắn nhất giữa BD và AO
(cũng là AC
′
).
Dựng hình chữ nhật KHIJ
⇒
IJ là đoạn vuông góc chung của AC
′
và BD.
Tam giác vuông AKK
′


A
′

A
B
′

C
′

C
B
J
K
I
H
D
O
K
E
www.VNMATH.com
Phần 2. Hình học không gian – Trần Phương

230

Biết :
2 2
2 2
sin

2
2 2 2 2 2 2
4 cos tg 4 sin
1
sin 2 cos tg
a b a b a b
KH
a b a b ab
 
+ − α β + α
 
=
α + + α β

Suy ra:
( )
2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
sin 2 cos
4 cos 4 sin
ab tg a b ab
KH
a b a b tg a b
α β α
α β α
+ +
=
 
+ − +

a b a b
α β α
β α
+ +
=
− +

3) Định lý về đường trung tuyến cho:
2
2 2 2
2
2
AC
MA MC MO+ = +

2
2 2 2
2
2
BD
MB MD MO+ = +
;
2
2 2 2
2
2
BD
MB MD MO+ = +
;
2

MO AC A C BD B
′ ′
= = + + +

Dùng công thức tổng bình phương hai đường chéo của hình bình hành.
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2
2 2
AC BD AB BC a BC
′ ′ ′
+ = + = +

(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 2
2 2
A C B D AB B C a B C
′ ′ ′
+ = + = +

Thay vào T và để ý rằng:
(
)
2 2 2
2


www.VNMATH.com
Một số dạng toán về hình hộp và hình lập phương

231

Bài 4.
Cho hình hộp ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
. Xét M là điểm tùy ý trên đường chéo
AB
1
của mặt bên AA
1
B
1
B. Gọi I, J lần lượt là các giao điểm của mặt phẳng
(MCD
1
) với các đường thẳng BC
1
và DA
1
.

1
B
1
tại L và BB
1
tại N.
I là giao điểm của BC
1
và CN.
NL kéo dài cắt AA
1
tại K
⇔
J là giao điểm của DA
1
và D
1
K.
Để chứng minh: I, M, J thẳng hàng ta chứng minh hai tam giác INM và JKM
đồng dạng. Dễ thấy: NK song song và bằng BA
1
, song song và bằng CD
1

⇒
CNKD
1
là hình bình hành



Từ (1) và (2) kết hợp với
1
CN KD
=
ta có:
a x
JK
IN a x
+
=
−

Lại có:
1
a x
MK AK
MN NB a x
+
= =
−
. Vậy:
JK
MK
IN MN
=

⇒
Hai ta giác INM và JKM đồng dạng




D
1

M

www.VNMATH.com
Phần 2. Hình học không gian – Trần Phương

232

2)
Từ I dựng đường thẳng song song với BB
1
cắt C
1
B
1
tại I’ và từ J dựng
đường thẳng song song với BB
1
cắt D
1
A
1
tại J’.
Ta có:
( )
1
2


Biết rằng:
1 1 1
1 1 1
IA A K JA
x
JD DD JA A D a
= ⇔ =
+1 1
1
1
2
2 2
JA JA
a x
x x
IA
a a x a x
JA a
= ⇒ = ⇒ =
− −
+

Vậy:
ax
JJ
a x

Vậy điểm M được trên AB
1
theo tỷ số:

(
)
(
)
1
1
2 2 2
2
2 1
2
2 2
MA
a x a
MB a x
a
+
+
= = = = +
−
−

Bài 5.
Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh
a
. Trên đoạn AB lấy điểm M.
Mặt phẳng A’MC cắt D’C’ tại N.

a MK

Vậy S
min

⇔
MK min

⇔
MK là đoạn vuông góc chung của AB và AC’.
Ta có: AB // CD
⇒
Khoảng cách từ A đến mp(A’CD)
cũng là khoảng cách ngắn nhất giữa AB và A’C.
Dựng AO
⊥
A’D (O là trung điểm của A’D)
Ta có AO
⊥
CD
⇒
AO
⊥
(A’CD)
2
2
a
AO⇒ =
là khoảng cách ngắn nhất giữa AB và A’C.
Đoạn vuông góc chung là IJ nối trung điểm của A’C và AB.

đường
kính IT trong mặt phẳng (ABC’D’)
B
′

A
′

D
′

D

N

C
′

O
K
C
B
J

M

A

T



B

H
1

H

M

C

www.VNMATH.com
Phần 2. Hình học không gian – Trần Phương

234

Bài 6.
Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Các điểm M thuộc AD và N
thuộc DB sao cho AM = DN = x (0 < x <
2
a
)
1) Chứng minh rằng MN luôn luôn song song với mặt phẳng (A’D’BC) khi x
biến thiên.
2) Chứng minh rằng khi
2
3
a
x =

a x
AN DM
−
′ ′
= =

Ta biết:
(
)
NN AA D D
′ ′
⊥

2 2 2
MN MN NN
′ ′
⇒ = +

2 2 2 2 2 2
2
MN MM M N NN MM M N
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
= + + = +

( )
2
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2

thì:
2 2
2 2
2
;
9 3
a a
AM MN= =

D
′

C
′

B
′

C
B
A
A
′

M
′

N
′



2
2 2 2 2
5
9
a
MN AM AN AN⇒ + = ⇒ =

Vậy
MN AM
⊥
. Tương tự:
MN ND
⊥
.
Suy ra MN là đoạn vuông góc chung của AD’ và BD.
* Gọi I là trung điểm của AD; A’I cắt AD’ tại M và CI cắt BD tại N.
Ta có:
2
1 1
2 3 3
a
ND
ID
DN DB
NB IC
= = ⇒ = =

Tương tự:
2

AC
p
AF
= +
và
2
AC
p
AF
′
= +
′

3) Gọi các độ dài của ba cạnh xuất phát từ một đỉnh của hình hộp là a, b, c và
O là giao điểm của các đường chéo của hình hộp. Chứng minh rằng tổng các
bình phương các khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trong không gian đến tám
đỉnh của hình hộp bằng
(
)
2 2 2 2
2 8
a b c MO
+ + +
.
Giải

Gọi h là chiều cao của lăng trụ, ta có:
(
)
1

dt ABD
= = =

D
′

C
′

B
′

C
B
A
A
′

F
′

D
I
F
E
www.VNMATH.com
Phần 2. Hình học không gian – Trần Phương

236


≥ ⇒
nhỏ nhất khi
1
p E B
= ⇔ ≡

2) F là giao điểm của AC và ED; F’ là giao điểm của A’C và A’F
Tam giác AFE và CED đồng dạng cho:
1
AF AE AE
FD DC AB p
= = =

1
1
AF
AF FD p
⇒ =
+ +

1
1
1
AC
AF
p
AC p AF
⇒ = ⇔ = +
+



3) Các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại điểm giữa O của mỗi đường.
Áp dụng định lý đường trung tuyến ta có:
2 2 2 2
1
2
2
MA MC MO AC
′
+ = +
;
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
2 ; 2
2 2
MA MC MO A C MB MD MO BD
′ ′ ′ ′
+ = + + = +

2 2 2 2
1
2
2
MB MD MO B D
′ ′
+ = +

Cộng vế với nhau và gọi
Σ
là tổng các bình phương các khoảng cách từ M đến

)
(
)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
A C AC BD AA BB AC BD c a b
′ ′ ′ ′
+ + = + + + = + +

Thay vào (1) ta có:
(
)
2 2 2 2
2 8
a b c MO
= + + +
∑

www.VNMATH.com
Một số dạng toán về hình hộp và hình lập phương

237

Bài 8.
Trong không gian cho 4 đường thẳng d
1
, d
2
, d
3

3
O ABC BO AC O AC
V V h S
′ ′ ′
= = ⋅

(
h
là khoảng cách từ B đến
mp(O’AC) = mp(AA’C’C) )
1
3
OA B C B OA C OA C
V V h S
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
= = ⋅

(
h
là khoảng cách từ B’ đến

(
)
(
)
mp OAC mp AA C C
′ ′
=

Vậy:

(a là khoảng cách giữa AA’ và CC’)
Tương tự:
(
)
1
.
2
dt O AC OO a
′ ′
=

Vậy:
OA B C O ABC
V V
′ ′ ′ ′
=
. Suy ra:
D ABC DA B C
V V
′ ′ ′ ′
=
.
A
′

D
′

C
′

Phần 2. Hình học không gian – Trần Phương

238

Bài 9.
Một hình hộp chữ nhật ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
, có AA
′
= a, AB = b và AD = c.
Một mặt phẳng qua đỉnh C
′
cắt các cạnh AA
′
, AB và AD lần lượt tại E, F, G.
Chứng minh rằng:
1
a b c
AE AF AG
+ + =

Giải
Theo giả thiết ta có: EG là giao tuyến
của (P) và (ADD


⇒
CIGK là hình bình hành.
Vì
//
GI KC
AA I
A I AG
AE GE GA GA
′ ′
′
⇒ = = =

⇒

a b c KC
AB AB AD
AE AF AG GA GA AG AG
+ + = + + +

BK BC
AB AD BK AB
GA AF AG AG AF
−
= + + = +
(vì AD = BC)
a b c
BK AB
AE AF AG AG AF
⇒ + + = +

1
AEFG
AEFG
V
a b c
V AE AF AG
= + + =

F
B

B
′

A
′

A

C

D

C
′

D
′

I