Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
1) Góc giữa hai véc tơ
Giả sử ta có
( )

( )


; ;

=

→ = =

=


 
   
 
AB u
u v AB AC BAC
AC v
, v

AC v

Nhận xét:
+ Khi
0
. 0
0

=
→ =

=


 
 
 
u
u v
v

+ Khi
(
)

0
; 0
↑↑ → =
   
u v u v

ể
m c
ủ
a AB. Tính góc gi
ữ
a hai véc t
ơ

(
)

; .
 
CI AC

Hướng dẫn giải:
a) S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c tính góc gi
ữ
a hai véc t
ơ
ta
đượ
c
( )

2
0
. . .cos . . .cos180
. . .cos . . .cos60
2
= = = −
= = =
   
   
AB BA AB BA AB BA a a a
a
AB AC AB AC AB AC a a

2 2
2
. .
2 2
→ = − + = −
 
a a
AB BC a
( )
( )

( )
2
0
2
1
2

 
CI AC CI AC
CI AC
CI AC
CI AC

T
ứ
di
ệ
n ABCD
đề
u c
ạ
nh a, CI là trung tuy
ế
n c
ủ
a tam giác
đề
u ABC nên
( )

( )
2
3 .
cos ; , 2 .
2
3
2

2 2 2
0
3 3 3 3 3
. . .cos ; . .cos180 . 0 .
2 2 4 4 4
= = = − → = − = −
     
a a a a a
CI IC CI IC CI IC CI AC
Thay vào (2) ta
đượ
c
( )
( )

( )

2
0
2
3
3
4
2 cos ; ; 150 .
2
3
2
−
⇔ = = − → =
   


; .
 
SM BC

Hướng dẫn giải:
a)
Sử dụng quy tắc trung tuyến và quy tắc trừ hai véc tơ ta
được
( )
1
2
2


= +
+ =
 
←→
 
= +



= −

  
  
  
  


=


=


=


 
 
 
SA SB
SA SC
SB SC

Tam giác SAB và SBC vuông t
ạ
i S nên theo
đị
nh lý Pitago ta
đượ
c
2
2
1 2
2 2

=

SM BC SA SB SC SB SA SC SA SB SB SC SB SB SB

Thay vào (1) ta
đượ
c
( )

( )

2
0
. 1
2
cos ; ; 120 .
. 2
2
. 2
2
−
= = = − → =
 
   
a
SM BC
SM BC SM BC
SM BC
a
a

II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

c trùng v
ớ
i d
đượ
c g
ọ
i là véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng d.
2) Góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng

Khái ni
ệ
m:

ừ

đị
nh ngh
ĩ
a ta có s
ơ

đồ

( )

( )

a//a
a;b a ;b
b//b
′

′ ′
→ =

′



Nh
ậ
n xét:
+ Giả sử a, b có véc tơ chỉ phương tương ứng là


Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!

Các xác định góc giữa hai đường thẳng:
Phương án 1
(sử dụng định nghĩa)
Phương án 2
Tạo ra các đường
( )

( )

a // a
a,b a ,b
b // b
′

′ ′
→ =

′


- Lấy một điểm O bất kì thuộc a
- Qua O, dựng đường ∆ // b
( )

( )


ố
cosin trong tam giác
ABC
:
2 2 2
2 2 2
2 cos cos .
2
+ −
= + − → =
b c a
a b c bc A A
bc

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác
vuông tại A. Biết
= = =
3; ; 3 .
SA a AB a AD a
Tính góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng sau:
a) SD và BC.
b) SB và CD.
c) SC và BD.
H

ớ
i m
ộ
t trong hai
đườ
ng th
ẳ
ng SD, BC và song song v
ớ
i m
ộ
t
đườ
ng còn l
ạ
i.
Ta d
ễ
nh
ậ
n th
ấ
y AD // BC.
Khi
đ
ó
( )

( )


=

b) Tính góc gi
ữ
a SB và CD
T
ươ
ng t
ự
,

( )

( )



o
SBA
CD//AB SB;CD SB;AB
180 SBA

→ = =


−


Xét
∆

180 IOB

→ = =


−


 Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABI:
2
2 2 2
a 3 a 7
IB IA AB a
2 2
 
= + = + =
 
 
 

 ABCD là hình chữ nhật nên
2 2 2 2
a 10
BD AB AD a 9a a 10 OB OA
2
= + = + = → = =
 Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABO:
2 2
2 2
a 3 a 10 a 13

130
 
→ = =
 
 

V
ậ
y
( )

8
SC;BD arccos .
130
 
=
 
 

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là trung điểm của BC, AD. Biết
= = =
2 , 3.
AB CD a MN a Tính góc gi
ữ
a
hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD.

ng song song v
ớ
i AB, CD và chúng c
ắ
t
nhau.
G
ọ
i P là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AC, khi
đ
ó MP // AB, NP // CD
( )

( )



o
MPN
AB,CD MP,NP
180 MPN

→ = =



V
ậ
y
( )

o
AB,CD 60 .
=
Nhận xét:

Ngoài vi
ệ
c kh
ở
i t
ạ
o P nh
ư
trên ta c
ũ
ng có th
ể
l
ấ
y
đ
i
ể
m P là

a
SA . Tính góc c
ủ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng
a) DC và SB.
b) SD và BC.
Hướng dẫn giải:

Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
a)
( )

( )

Do DC// AB DC,SB AB,SB
α
→ = =

Tam giác SAB vuông tại A nên α là góc nhọn, khi đó
o
2a 3
SA 3
3
tan
α α 30

 
 

Tam giác SAD vuông t
ạ
i A nên
2
2
2 2 2 2
2a 3 7a
SD SA AD a
3 3
 
= + = + =
 
 
 

Áp d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong tam giác SDI ta
đượ
c

2 2 2 2
SD DI SI 2a 3

ệ
n
đề
u
ABCD
c
ạ
nh
a
, g
ọ
i
I
là trung
đ
i
ể
m c
ạ
nh
AD
. Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
AB
và

ể
m c
ủ
a BC, AD và AC. Bi
ế
t r
ằ
ng
2 , 2 2, 5.
= = =AB a CD a MN a
Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD.
Bài 3. [ĐVH]:

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và
2.
=BC a Tính góc giữa
(
)

,
 
SC AB
, từ đó
suy ra góc giữa SC và AB.

Bài 5. [ĐVH]:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B,
; 2 ; 4 .
= = = =
AB BC a AD a SD a

Hình chiế
u vuông góc c
ủ
a S lên m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) là
đ
i
ể
m H thu
ộ
c AB v
ớ
i 3= −
 
AH HB
. Tính góc gi
ữ
a
a)