NGUYỄN THÚC AN - NGUYỄN ĐÌNH CHIỀU - KHỔNG DOÃN ĐIỀN
GIÁO TRÌNH
CƠ HỌC LÝ THUYẾT



3. PGS.TS Khổng Doãn Điền
- Năm sinh: 08/10/1946
- Nguyên quán: Phường Bạch hạc thành phố Việt trì, tỉnh
Phú thọ
- Trú quán: Tập thể trường Đại học Thủy lợi, Đống Đa,
Hà nội
- Điện Thoại: 38528515
- Cơ quan công tác: Đại học Thủy lợi
B. Phạm vi và đối tượng sử dụng:
1. Ngành học: Kỹ thuật công trình, Công nghệ kỹ thuật xây dựng, Thủy điện và
năng lượng tái tạo, Kỹ thuật tài nguyên nước, Kỹ thuật cơ khí, Thủy văn, Kỹ
thuật bờ biển.
2. Trường học: Đại học Thủy lợi
3. Từ khóa: Cơ học, Cơ lý thuyết.
4. Yêu cầu kiến thức: Toán cao cấp
5. Số lần xuất bản: 01
6. Nhà xuất bản: NXB Xây dựng

3

LỜI NÓI ĐẦU
Trong hơn 40 năm qua, giáo trình Cơ học lý thuyết dùng để giảng dạy và học tập
ở Trường Đại học Thuỷ lợi được biên soạn nhiều lần. Chất lượng bản in ở từng thời kỳ
có khác nhau, nhưng nội dung vẫn đảm bảo cho giảng dạy và học tập, đáp ứng yêu cầu
của đào tạo và chương trình khung của Hội đồng Ngành Cơ học của Bộ Đại học và
Trung học chuyên nghiệp trước đây, nay là Bộ Giáo dục và Đào tạo.

4

MỞ ĐẦUCơ học lý thuyết là một trong những môn học cơ sở của Khoa học kỹ thuật hiện
đại, nó là Khoa học nghiên cứu các quy luật tổng quát về sự chuyển động và sự cân
bằng chuyển động của các vật thể.
Trong Cơ học lý thuyết, ta hiểu chuyển động là sự thay đổi vị trí của các vật thể
trong không gian theo thời gian, còn vật thể được biểu diễn dưới dạng mô hình là chất
điểm và cơ hệ.
Cơ học lý thuyết được xây dựng theo phương pháp tiên đề, tức là dựa vào một số
khái niệm cơ bản và hệ tiên đề của Niutơn, bằng suy diễn toán học lôgíc mà suy ra các
kết quả. Người ta gọi đó là Cơ học cổ điển hay Cơ học Niutơn, nó nghiên cứu chuyển
động với vận tốc nhỏ so với vận tốc ánh sáng của những vật thể vĩ mô, tức là vật thể
có kích thước lớn hơn kích thước của một nguyên tử rất nhiều.
Trên cơ sở những bài toán được nghiên cứu, Cơ học lý thuyết được chia ra làm ba
phần: Tĩnh học, Động học và Động lực học.
Phần tĩnh học, nghiên cứu trạng thái cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của các
lực đặt lên vật đó.
Phần động học khảo sát chuyển động của chất điểm hay vật rắn về phương diện
hình học mà không xét đến nguyên nhân gây ra chuyển động.
Phần động lực học nghiên cứu quy luật chuyển động của chất điểm và cơ hệ dưới
tác dụng của lực.
Cơ học lý thuyết có vai trò và ý nghĩa rất lớn. Nó không chỉ là cơ sở khoa học của
nhiều lĩnh vực Khoa học kỹ thuật hiện đại, mà những quy luật và phương pháp nghiên
cứu của cơ học lý thuyết cho phép ta tìm hiểu và giải thích các hiện tượng tự nhiên của
thế giới xung quanh ta. Đối với các Trường Đại học kỹ thuật nói chung và Trường Đại
học Thuỷ lợi nói riêng, Cơ học lý thuyết là môn học rất quan trọng nó là cơ sở cho
nhiều môn học khác, như Sức bền vật liệu, Nguyên lý máy, Thuỷ lực, Bê tông cốt

vấn đề chuyển động của viên đạn, đã đặt nền móng cho phần động lực học.
Nhà Toán học và Cơ học nổi tiếng người Anh là Ixac Niutơn (1643-1727) đã có
công lớn trong việc xây dựng hoàn chỉnh cơ sở của Cơ học cổ điển; trong đó, ông đã
lập ra những định luật cơ bản và xuất phát từ những định luật này ông đã trình bày
phần động lực học một cách có hệ thống. Ngoài ra ông còn tìm ra định luật vạn vật hấp
dẫn và là người đầu tiên lập ra môn Cơ học các vì sao.
Sau đó nhà toán học Ơle (1707-1783) đã dùng giải tích để nghiên cứu cơ học một
cách triệt để hơn, phương pháp nghiên cứu cơ học bằng giải tích được phát triển hơn
nhờ các công trình nghiên cứu của Lagrăng (1736-1813).
Nhà khoa học người Pháp Đalămbe (1717-1813) dựa trên nguyên lý di chuyển ảo
của Bécnulli, đã đưa ra nguyên lý nổi tiếng mang tên ông.
Ngoài ra, các nhà khoa học Pháp như Laplas, Poátxông và các nhà khoa học Đức
như Gaoxơ, Écxơ đã đóng góp nhiều công trình giá trị cho sự phát triển của cơ học
giải tích.
Vào giữa thế kỷ 19 do sự phát triển nhanh chóng của khoa học và kỹ thuật, để đáp
ứng yêu cầu thực dụng, môn Cơ học kết cấu ra đời.

6

Vào thế kỷ 20, do công nghiệp và ngành hàng không phát triển nên các môn Đàn
hồi, thuỷ khí động lực đã có những bước phát triển mạnh. Nhà khoa học người Nga
Jucốpski (1847-1921) là người đầu tiên có những giả thiết táo bạo về ngành du hành
vũ trụ và được coi là thuỷ tổ của ngành hàng không Nga.
Do những thành tựu sáng lạn của ngành Vật lý vào nửa thế kỷ 19, đầu thế kỷ 20.
Môn Cơ học tương đối của nhà khoa học thiên tài người Đức là Anhxtanh ra đời, đã
làm đảo lộn những quy luật của Cơ học cổ điển, phủ định khái niệm không gian và
thời gian tuyệt đối, khối lượng không đổi, và mở ra cho Cơ học một bước tiến nhảy
vọt. Nhưng vẫn phải nhấn mạnh rằng: Cơ học cổ điển vẫn không mất ý nghĩa vật lý
của nó. Các tính toán trong kỹ thuật, trong thiên văn học vẫn căn cứ vào các định luật
của cơ học cổ điển. Tính toán cho biết rằng: Khi vật chất chuyển động với vận tốc gần

Để nghiên cứu vấn đề này ta sẽ giải quyết hai bài toán sau:
1. Thu gọn hệ lực đặt lên vật rắn.
2. Tìm điều kiện cân bằng của hệ lực đặt lên vật rắn.

CHƯƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN - HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC -
LIÊN KẾT VÀ PHẢN LỰC LIÊN KẾT
1.1. Các khái niệm cơ bản
Trong tĩnh học có ba khái niệm cơ bản là: Lực, vật rắn tuyết đối và trạng thái cân
bằng của vật rắn.
1.1.1. Lực
Khái quát hóa những kinh nghiệm và thực nghiệm về sự tác dụng giữa các vật thể,
người ta xây dựng được khái niệm lực.
Lực là đại lượng đặc trưng cho sự tác dụng tương hỗ giữa các vật thể.
Tác dụng của lực được đặc trưng bởi ba yếu tố:
• Điểm đặt lực: Là phần tử vật chất thuộc vật chịu tác dụng, tại đó tác dụng cơ học
mà ta nói đến được truyền sang vật ấy.
• Phương, chiều tác dụng của lực.
•
Cường độ tác dụng của lực (còn gọi là môđun
của lực).

Đơn vị lực thường dùng là niutơn, và được ký hiệu
là N.

Từ ba yếu tố đặc trưng cho lực ta thấy lực là một đại
lượng véctơ, được ký hiệu
F
uur
, hoặc
P

a l
ự
c.

F
ur
B

A

Hình 1-1

8

1.1.2. Vật rắn tuyệt đối
V
ậ
t r
ắ
n tuy
ệ
t
đố
i là v
ậ
t th
ể
mà kho
ả
ng cách gi

Thường trong thực tế, dưới tác dụng cơ học, vật rắn sẽ biến dạng, nhưng ta vẫn gọi
là vật rắn tuyệt đối vì hai lý do sau:
− Biến dạng xảy ra ở vật rắn là bé, không ảnh hưởng đến kết quả tính toán trong
kỹ thuật, sai số cho phép.
− Quan niệm như vậy bài toán sẽ đơn giản hơn. Từ đây về sau, ta gọi vật rắn tuyệt
đối là vật rắn, nếu như không nói gì thêm.
1.1.3. Trạng thái cân bằng của vật rắn
V
ậ
t r
ắ
n
ở
tr
ạ
ng thái cân b
ằ
ng là v
ậ
t r
ắ
n
đứ
ng yên hay chuy
ể
n
độ
ng t
ị
nh ti

ậ
p h
ợ
p các l
ự
c cùng tác d
ụ
ng lên m
ộ
t v
ậ
t r
ắ
n.

Giả sử vật rắn chịu tác dụng bởi các lực:
1
F
uur
,
2
F
uur
, ,
n
F
uur
, ta ký hiệu hệ lực tác dụng lên
vật rắn là:
(

h
ọ
c nh
ư
nhau
đố
i v
ớ
i m
ộ
t v
ậ
t r
ắ
n.
Hai h
ệ
l
ự
c
(
)
1 2
, , ,
n
F F F
uur uur uur
và
(
)

, , ,
m
P P P
ur uur uur
.
c.
Hợp lực của hệ lực.
H
ợ
p l
ự
c c
ủ
a h
ệ
l
ự
c là m
ộ
t l
ự
c duy nh
ấ
t t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i

ể
vi
ế
t:
R
ur

(
)
1 2
, , ,
n
F F F
uur uur uur9

d.
Hệ lực cân bằng.
H
ệ
l
ự
c cân b
ằ
ng là h
ệ
l
ự

ả
s
ử
h
ệ

l
ự
c
(
)
1 2
, , ,
n
F F F
uur uur uur
tác d
ụ
ng lên v
ậ
t r
ắ
n
đứ
ng yên, v
ậ
t r
ắ
n v
ẫ

n
F F F
uur uur uur
0.
H
ệ
l
ự
c cân b
ằ
ng còn
đượ
c g
ọ
i là h
ệ
l
ự
c t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i không.
e.
Hệ quy chiếu.
Trong C
ơ
h

a v
ậ
t th
ể
khác mà ta coi nó
đứ
ng yên. V
ậ
t dùng
để
so
sánh
đ
ó g
ọ
i là v
ậ
t quy chi
ế
u, và h
ệ
to
ạ

độ
g
ắ
n v
ớ
i v

n li
ề
n v
ớ
i trái
đấ
t
làm h
ệ
quy chi
ế
u.
1.2. Hệ tiên đề tĩnh học
Tiên
đề
là m
ệ
nh
đề
c
ơ
b
ả
n phát bi
ể
u công nh
ậ
n tính ch
ấ
t c

ây ta s
ẽ
l
ầ
n l
ượ
t trình bày 5 tiên
đề
, còn l
ạ
i tiên
đề
6 s
ẽ

đượ
c nêu ra
ở
cu
ố
i
ch
ươ
ng này.
Đ
ó là h
ệ
tiên
đề
t

ng)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
đủ

để
cho h
ệ
hai l
ự
c cùng tác d
ụ
ng lên m
ộ
t v
ậ
t r
ắ
n cân b
ằ
ng là
chúng có cùng giá, cùng c
ườ
ng

l
ự
c cân b
ằ
ng chu
ẩ
n,
đơ
n gi
ả
n nh
ấ
t.
Tiên đề 2
(Tiên
đề
thêm b
ớ
t h
ệ
l
ự
c cân b
ằ
ng) 1
F
ur

n
ế
u ta thêm vào hay b
ớ
t
đ
i m
ộ
t h
ệ
l
ự
c cân b
ằ
ng.

N
ế
u
(
)
1 2
, , ,
m
P P P
ur uur uur
0 thì:
(
)
1 2

Tác d
ụ
ng c
ủ
a m
ộ
t l
ự
c
đặ
t lên v
ậ
t r
ắ
n không thay
đổ
i, n
ế
u ta tr
ượ
t l
ự
c d
ọ
c theo giá
c
ủ
a nó.
Ch
ứ

m
n
ằ
m trên giá c
ủ
a l
ự
c
F
uur
thu
ộ
c v
ậ
t r
ắ
n, ta thêm vào t
ạ
i B m
ộ
t h
ệ
hai l
ự
c cân b
ằ
ng (
1
F
uur

1 2
, ,
F F F
uur uur uur
m
ặ
t khác theo tiên
đề
1 thì
(
)
2
,
F F
uur uur

0
do
đ
ó, theo tiên
đề
2, ta b
ớ
t
đ
i h
ệ
l
ự
c này thì không làm thay

T
ừ

đ
ó ta suy ra
đượ
c r
ằ
ng véct
ơ
bi
ể
u di
ễ
n l
ự
c tác d
ụ
ng lên v
ậ
t r
ắ
n là m
ộ
t véct
ơ

tr
ượ
t.

ượ
c
l
ạ
i s
ẽ
là h
ợ
p l
ự
c c
ủ
a h
ệ
l
ự
c còn l
ạ
i.
N
ế
u
(
)
1 2
, , ,
n
F F F
uur uur uur
0 thì

F F F
uur uur uur
0
Tác d
ụ
ng lên v
ậ
t r
ắ
n l
ự
c
1
F
−
uur
. Theo tiên
đề
2 ta tác d
ụ
ng thêm m
ộ
t h
ệ
l
ự
c cân b
ằ
ng
đ

l
ự
c cân b
ằ
ng nên theo tiên
đề
2, ta b
ớ
t
đ
i thì tác d
ụ
ng
lên h
ệ
không thay
đổ
i:

1
F
−
uur

(
)
1 1 2
, , , ,
n
F F F F
11

Tiên đề 3
(Tiên
đề
hình bình hành l
ự
c).
H
ệ
hai l
ự
c cùng
đặ
t trên v
ậ
t r
ắ
n t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m có h
ợ

ạ
nh là hai
véct
ơ
bi
ể
u di
ễ
n hai l
ự
c
đ
ã cho
(hình 1-4).

Theo
đị
nh ngh
ĩ
a h
ợ
p l
ự
c c
ủ
a h
ệ

Hệ quả 1

Có th
ể
phân tích m
ộ
t l
ự
c
đ
ã cho thành hai l
ự
c theo quy t
ắ
c hình bình hành l
ự
c.

Ch
ứ
ng minh:
Gi
ả
s
ử
l
ự
c
F
uur

1 2
, ,
F F F
uur uur uur
(a)
Theo tiên
đề
3 ta có:
(
)
1
,
F F
uur uur

3
F
uur
(b)
T
ừ
(a) và (b) ta có:
F
uur

(
)
2 3
,
F F

s
ử
v
ậ
t r
ắ
n ch
ị
u tác d
ụ
ng b
ở
i l
ự
c
F
uur
khác không. Theo h
ệ
qu
ả
1
ta có th
ể
phân tích l
ự
c
F
uur
ra hai l

ắ
n không
ở
tr
ạ
ng thái cân b
ằ
ng.
Hệ quả 3
(
Đị
nh lý ba l
ự
c ph
ẳ
ng cân b
ằ
ng)
N
ế
u ba l
ự
c cùng n
ằ
m trong m
ộ
t m
ặ
t ph
ẳ

R
ur

Hình 1-5

A

1
F
ur

2
F
uur

3
F
uur

F
ur12

Ch
ứ
ng minh:
Gi
ả

ẳ
ng không song song
(
)
1 2 3
, ,
F F F
uur uur uur
. G
ọ
i A là giao
đ
i
ể
m hai giá
c
ủ
a hai l
ự
c
1
F
uur
,
2
F
uur
. Ta d
ờ
i hai l

đặ
t t
ạ
i A.
Do
đ
ó:
(
)
1 2 3
, ,
F F F
uur uur uur

(
)
3
,
F F
uur uur
0
Theo tiên
đề
1,
F
uur
và
3
F
uur

ủ
a
ba l
ự
c c
ắ
t nhau t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m.

Chú ý:
-

M
ệ
nh
đề

đả
o c
ủ
a h
ệ
qu

p l
ự
c c
ủ
a h
ệ
l
ự
c
đồ
ng quy)
H
ệ
l
ự
c
đồ
ng quy có h
ợ
p l
ự
c
đặ
t t
ạ
i
đ
i
ể
m

ã cho c
ủ
a h
ệ
.
Ch
ứ
ng minh: Gi
ả
s
ử
cho h
ệ
l
ự
c
đồ
ng quy
(
)
1 2
, , ,
n
F F F
uur uur uur
tác d
ụ
ng lên v
ậ
t r

đặ
t t
ạ
i O v
ớ
i:

1 2
1

n
n k
k
R F F F F
=
= + + + =
∑
ur uur uur uur uur
(1-1)
Th
ậ
t v
ậ
y, vì
1
F
uur
và
2
F

i O,
và
1
1 2
R F F
= +
ur uur uur
.
T
ươ
ng t
ự

(
)
1
3
,
R F
ur uur

2
R
ur

đặ
t t
ạ
i O và
2 1

2
F
uur

3
F
uur

n
F
uur

1
R
ur

2
R
ur

n 2
R
−
ur

n
R
ur
trên, cu
ố
i cùng ta s
ẽ
có:

(
)
1 2
, , ,
n
F F F
uur uur uur

(
)
2
,
n
n
R F
−
ur uur

R
ur

Trong
đ
ó

ự
c c
ủ
a hai l
ự
c
2
n
R
−
ur
và
n
F
uur
cùng
đặ
t t
ạ
i O, nó chính là h
ợ
p l
ự
c c
ủ
a
h
ệ
l
ự

đ
i
ề
u c
ầ
n ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
Kết luận: Hệ lực đồng quy tác dụng lên vật rắn bao giờ cũng có thể thu gọn
về một lực duy nhất đặt tại điểm đồng quy của hệ.
Xác
đị
nh véct
ơ
bi
ể
u di
ễ
n h
ợ
p l
ự
c
R
ur
:
-


n trong
đ
ó nh
ữ
ng véct
ơ
bi
ể
u di
ễ
n các
l
ự
c c
ủ
a h
ệ
l
ự
c là các véct
ơ

đ
ã bi
ế
t.
Theo
đị
nh lý trên ta có:
1 2

c gi
ả
i tích. Tr
ướ
c h
ế
t, ta ch
ọ
n m
ộ
t
đ
i
ể
m c
ố

đị
nh O
1
nào
đ
ó, r
ồ
i l
ầ
n l
ượ
t d
ự

=
uuuur uur
là véct
ơ
bi
ể
u di
ễ
n h
ợ
p l
ự
c
R
ur
c
ầ
n tìm (hình 1-
8).
Đ
a giác O
1
ABC MN
đượ
c g
ọ
i là
đ
a giác l
ự

a h
ệ
l
ự
c. Véct
ơ
khép kín
đ
a giác l
ự
c c
ủ
a h
ệ
l
ự
c chính là véc t
ơ
bi
ể
u di
ễ
n h
ợ
p l
ự
c
R
ur
c

C

D

M

N

.

.

.

.

.

.

.

.1
F
ur

2

ơ
h
ợ
p l
ự
c
R
ur
b
ằ
ng ph
ươ
ng pháp gi
ả
i tích, tr
ướ
c h
ế
t ta ch
ọ
n h
ệ
tr
ụ
c
đề
các vuông góc O
1
xyz. Sau
đ

n
z n k
k
R X X X X
R Y Y Y Y
R Z Z Z Z
=
=
=

= + + + =



= + + + =



= + + + =


∑
∑
∑
(1-2)
Trong
đ
ó, X
k
, Y

c
ủ
a
R
ur
:
Tr
ị
s
ố
:
2 2 2
( ) ( ) ( )
k k k
R X Y Z= Σ + Σ + Σ (1-3)
Ph
ươ
ng chi
ề
u:
( ) ( ) ( )
cos , ; cos , ; cos ,
y
x
z
R
R
R
R i R j R k
R R R

n h
ệ
l
ự
c
đồ
ng quy v
ề
m
ộ
t l
ự
c duy nh
ấ
t là
h
ợ
p l
ự
c
R
ur
và các ph
ươ
ng pháp
để
xác
đị
nh véct
ơ

c
đ
ã cho khi véct
ơ
h
ợ
p l
ự
c
R
ur
c
ủ
a h
ệ
tri
ệ
t tiêu.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n cân b
ằ
ng c
ủ
a h
ệ
l

c
đồ
ng quy cân b
ằ
ng là véct
ơ
h
ợ
p l
ự
c c
ủ
a h
ệ
l
ự
c tri
ệ
t
tiêu.
H
ệ
l
ự
c
đồ
ng quy
(
)
1 2

ã cho v
ề
c
ặ
p hai l
ự
c
r
ồ
i s
ử
d
ụ
ng
đ
i
ề
u ki
ệ
n cân b
ằ
ng.
Tiên đề 4
(Tiên
đề
v
ề
l
ự
c tác d

c chi
ề
u nhau. 15
G
ọ
i
1
F
uur
,
2
F
uur
là l
ự
c do hai v
ậ
t tác d
ụ
ng lên nhau.
Theo tiên

đặ
t vào hai v
ậ
t khác nhau, cho nên h
ệ

hai l
ự
c này không t
ạ
o thành h
ệ
l
ự
c cân b
ằ
ng.
Tiên đề 5
(Tiên
đề
hoá r
ắ
n)
Khi v
ậ
t bi
ế
n d
ạ
ng

đ
i
ề
u ki
ệ
n
cân b
ằ
ng c
ủ
a v
ậ
t r
ắ
n là
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n (nh
ư
ng không
đủ
) c
ủ
a v
ậ

ng c
ủ
a v
ậ
t bi
ế
n
d
ạ
ng.
Ví dụ 1.
Tác d
ụ
ng h
ệ
l
ự
c
(
)
1 2
,
F F
uur uur
lên
đầ
u mút c
ủ
a m
ộ

đ
ó ta có th
ể
coi lò xo nh
ư
m
ộ
t thanh c
ứ
ng cân b
ằ
ng và ta có:
(
)
1 2
,
F F
uur uur
0.
1.3. Liên kết và phản lực liên kết
Trong th
ự
c t
ế
, ta th
ườ
ng g

a vào khái ni
ệ
m
liên k
ế
t và ph
ả
n l
ự
c liên k
ế
t.
Hình 1
-
91
F
ur

2
F
uurA

B


c
ả
n tr
ở
chuy
ể
n
độ
ng, có th
ể
chuy
ể
n
độ
ng theo m
ọ
i ph
ươ
ng g
ọ
i là v
ậ
t r
ắ
n
t
ự
do. Trong th
ự
c t

ậ
t r
ắ
n không t
ự
do, hay là v
ậ
t ch
ị
u liên k
ế
t.
c.
Liên kết
Liên k
ế
t là nh
ữ
ng
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ả
n tr
ở
chuy
ể

ế
p xúc hình
h
ọ
c gi
ữ
a v
ậ
t kh
ả
o sát và v
ậ
t th
ể
khác, mà ta g
ọ
i là liên k
ế
t hình h
ọ
c.
Đồ
ng th
ờ
i ta c
ũ
ng
coi m
ặ
t ti

ng c
ủ
a m
ộ
t v
ậ
t th
ể
nh
ấ
t
đị
nh, v
ậ
t
đ
ó
đượ
c g
ọ
i là v
ậ
t kh
ả
o sát. Còn các v
ậ
t th
ể
khác có liên k
ế

a các v
ậ
t có liên k
ế
t v
ớ
i nhau
ở
ch
ỗ
ti
ế
p xúc
hình h
ọ
c
đượ
c g
ọ
i là nh
ữ
ng l
ự
c liên k
ế
t.
L
ự
c do v
ậ

ọ
i là ph
ả
n l
ự
c liên k
ế
t.
1.3.2. Cách tìm phản lực liên kết
Để
tìm ph
ả
n l
ự
c liên k
ế
t trong t
ừ
ng liên k
ế
t c
ụ
th
ể
, ng
ườ
i ta
đư
a vào nh
ữ

o sát,
ở
ch
ỗ
ti
ế
p xúc hình h
ọ
c c
ủ
a
nó v
ớ
i v
ậ
t gây lên liên k
ế
t.
− Ph
ả
n l
ự
c liên k
ế
t bao gi
ờ
c
ũ
ng cùng ph
ươ

u theo m
ộ
t ph
ươ
ng nào
đ
ó, chuy
ể
n
độ
ng c
ủ
a v
ậ
t kh
ả
o sát không b
ị
c
ả
n tr
ở
thì
theo ph
ươ
ng
đ
ó không có thành ph
ầ
n c

o sát.
Nh
ữ
ng
đ
i
ề
u này luôn luôn
đ
úng v
ớ
i liên k
ế
t nh
ữ
ng v
ậ
t r
ắ
n và b
ỏ
qua ma sát. Tu
ỳ

t
ừ
ng
đ
i
ề


17

1.3.3. Các loại liên kết cơ bản thường gặp
a. Loại I: Liên kết tựa
Bao g
ồ
m các liên k
ế
t t
ự
a
đ
i
ể
m nh
ọ
n, liên k
ế
t t
ự
a
đườ
ng, liên k
ế
t t
ự
a m
ặ
t và liên k

c
ủ
a m
ặ
t ti
ế
p xúc c
ủ
a v
ậ
t kh
ả
o sát v
ớ
i
đ
i
ể
m nh
ọ
n
(
)
C
N
uur
.


ti
ế
p xúc v
ớ
i v
ậ
t kh
ả
o sát
(
)
,
B C
N N
uur uur
.
3.

Liên k
ế
t t
ự
a m
ặ
t (hình 1-13): Ph
ả
n l
ự
c liên k

m ti
ế
p xúc
(
)
N
uur
.
4.

Liên k
ế
t t
ự
a con l
ă
n (hình 1-14).: Ph
ả
n l
ự
c liên k
ế
t vuông góc v
ớ
i ph
ươ
ng d
ị
ch
chuy

Hình 1-13

Hình 1-14

Hình 1-15
a)

b)N

A

Hình 1-11

Hình 1-12

N
A
C
B

N
A

N
B

N

Liên k
ế
t b
ả
n l
ề
bao g
ồ
m các lo
ạ
i
liên k
ế
t b
ả
n l
ề
t
ự
a, liên k
ế
t b
ả
n l
ề
c
ố
i
và liên k
ế

ả
n l
ề
tác d
ụ
ng lên v
ậ
t ch
ư
a xác
đị
nh nh
ư
ng ph
ả
n l
ự
c này s
ẽ
n
ằ
m trong
m
ặ
t ph
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i tr
ụ

t
đ
i
ể
m trên tr
ụ
c b
ả
n l
ề
. Hình v
ẽ

(hình 1-16) mô t
ả
k
ế
t c
ấ
u và mô hình c
ủ
a b
ả
n l
ề
tr
ụ
.
− Liên k
ế

ọ
c theo tr
ụ
c
ổ
, v
ậ
t b
ị
c
ả
n tr
ở
chuy
ể
n
độ
ng theo m
ộ
t phía, trên hình 1-
17 là phía d
ướ
i, nên ch
ắ
c ch
ắ
n ph
ả
n l
ự

b
ả
n l
ề
n tr
ụ
(
X
uur
, và
Y
ur
).
− B
ả
n l
ề
c
ầ
u (hình 1-18): M
ộ
t
đầ
u c
ủ
a v
ậ
t kh
ả
o sát có d

ả
n l
ự
c c
ủ
a
ổ

đỡ
tác d
ụ
ng lên v
ậ
t kh
ả
o sát
đ
i qua tâm O nh
ư
ng
ch
ư
a xác
đị
nh h
ướ
ng. Khi tính toán ta th
ườ
ng phân tích ph
ả

ụ
ng,
ngoài các l
ự
c liên k
ế
t
ở
hai
đầ
u c
ủ
a nó. Nh
ữ
ng liên k
ế
t
ở
hai
đầ
u thanh th
ườ
ng
đượ
c
th
ự
c hi
ệ
n nh

đườ
ng
th
ẳ
ng
đ
i qua hai
đầ
u c
ủ
a
thanh. Ng
ườ
i ta quy
ướ
c
thanh ch
ị
u kéo n
ế
u các l
ự
c
y
Y
z
X
x
N
X

ự
c tác d
ụ
ng nh
ư
hình (1-19b).
1.3.4. Tiên đề giải phóng liên kết
Các tiên
đề
1, 2, 3 và 5 ch
ỉ
phát bi
ể
u cho v
ậ
t r
ắ
n t
ự
do, còn tiên
đề
này
đặ
t c
ơ
s
ở

cho vi
ệ

do cân b
ằ
ng có th
ể
coi là v
ậ
t r
ắ
n t
ự
do cân b
ằ
ng n
ế
u thay các
liên k
ế
t b
ằ
ng các ph
ả
n l
ự
c liên k
ế
t t
ươ
ng
ứ
ng.

ng và n
ề
n (hình 1-20a). V
ậ
t kh
ả
o sát là d
ầ
m AB cân b
ằ
ng. Áp d
ụ
ng tiên
đề
gi
ả
i phóng liên k
ế
t ta có th
ể
coi
d
ầ
m là v

t t
ươ
ng
ứ
ng:
T
ur
,
K
N
uur
,
D
N
uur
. Trên hình (1-20b) ta có
d
ầ
m AB cân b
ằ
ng,
đ
ó là v
ậ
t t
ự
do cân b
ằ
ng v
ớ

ớ
i m
ộ
t tâm O, ký hi
ệ
u là
(
)
O
m F
ur ur
, là m
ộ
t véc t
ơ
,
đượ
c xác
đị
nh b
ở
i ba y
ế
u t
ố

sau:
− Ph
ươ
ng c

A
C
K
D
B
P
.
.
A
B
C
O
K
D
Hình 1-20
a)

b)

m
O
O
d
B
(F)
A
r
F
Hình 1-21


xu
ố
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a tâm O và l
ự
c
F
ur
th
ấ
y l
ự
c
F
ur
làm v
ậ
t có xu h
ướ
ng quay quanh
tâm O theo chi
ề
u ng
ượ
c kim

đ
òn d (d là kho
ả
ng cách
t
ừ
tâm O
đế
n giá c
ủ
a l
ự
c
F
ur
).
(
)
(
)
. 2.
O
O AOB
m F m F F d S
= = =
ur uur ur

T
ừ


đ
i
ể
m
đặ
t A c
ủ
a l
ự
c
F
uur

đố
i v
ớ
i tâm O.
1.4.2.b. Tính chất
− Mômen c
ủ
a m
ộ
t l
ự
c
đố
i v
ớ
i m
ộ

ướ
ng quay. (hình 1-
22).
− Mômen c
ủ
a l
ự
c
đố
i v
ớ
i m
ộ
t tâm b
ằ
ng không khi
đườ
ng tác d
ụ
ng c
ủ
a l
ự
c
ấ
y
đ
i
qua tâm
đ


đ
i
ể
m
đặ
t A c
ủ
a l
ự
c
F
uur
, g
ọ
i X, Y, Z là chi
ế
u c
ủ
a l
ự
c
F
uur
lên các tr
ụ
c t
ọ
a
độ

ể
n
đị
nh th
ứ
c, ta có:
(
)
( ) ( ) ( )
O
m F yZ zY i zX xZ j xY yX k
= − + − + −
ur uur
r
r r

T
ừ

đ
ó rút ra giá tr
ị
chi
ế
u c
ủ
a
(
)
O

= = −

   


   
= = −

   


   
= = −

   

ur uur ur uur
ur uur ur uur
ur uur ur uur

1.4.2. Mômen của lực đối với một trục
1.4.2.a. Định nghĩa
Có m
ộ
t l
ự
c
F
uur
và m

a
F
uur

lên m
ặ
t ph
ẳ
ng
π
.
Mômen c
ủ
a l
ự
c
F
uur

đố
i v
ớ
i tr
ụ
c z, ký hi
ệ
u là
( )
z
m F

ủ
a
F
uur
. L
ấ
y d
ấ
u
(+) n
ế
u nhìn t
ừ
mút c
ủ
a tr
ụ
c z xu
ố
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng
π
th
ấ
y
F
uur

ủ
a l
ự
c
đố
i v
ớ
i tr
ụ
c không
đổ
i, n
ế
u ta tr
ượ
t l
ự
c d
ọ
c theo giá c
ủ
a nó, vì
khi tr
ượ
t l
ự
c
F
ur
d

và không làm thay
đổ
i giá tr
ị
c
ủ
a kho
ả
ng cách h.
−
Mômen c
ủ
a l
ự
c
F
uur

đố
i v
ớ
i tr
ụ
c z b
ằ
ng 0 khi l
ự
c
F
uur

0
F
′
=
ho
ặ
c n
ế
u giá
c
ủ
a l
ự
c
F
uur
c
ắ
t tr
ụ
c z thì h = 0.
− N
ế
u l
ự
c
F
uur
vuông góc v
ớ

Tìm mômen c
ủ
a l
ự
c
F
uur

đố
i v
ớ
i các
tr
ụ
c t
ọ
a
độ
, l
ự
c
đặ
t nh
ư
hình v
ẽ
(hình 1-25).
Bài giải:
Phân tích l
ự

a ta có:

(
)
( )
( )
. sin .
. sin .
. cos .
x z
y z
z y
m F F a F a
m F F b F b
m F F a F a
α
α
α
= =
= − = −
= =
uur
uur
uur

1.4.2.c. Liên hệ mômen của lực đối với một tâm và mômen của lực đối với một
trục đi qua tâm đó
S
ự
liên h

a m
ộ
t l
ự
c
đố
i v
ớ
i m
ộ
t tâm lên tr
ụ
c
đ
i qua tâm
đ
ó b
ằ
ng mômen
c
ủ
a l
ự
c
đố
i v
ớ
i tr
ụ
c

ụ
c z. Ph
ả
i ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
(
)
(
)
O
Oz
Oz
m F m F
 
=
 
ur uur uur
.
Véct
ơ

(
)
O
m F
ur uur
vuông góc v

Oz OA B
m F F d S
′ ′
′
= =
uur
(a)
G
ọ
i γ là góc gi
ữ
a
(
)
O
m F
ur uur
và tr
ụ
c z, g
ọ
i α là
góc nh
ị
di
ệ
n gi
ữ
a hai m
ặ

F
′
uur
Hình 1-25

z
F
F
′
B
′
A
′
O
m
O
(F)
B
A
γ
Hình 1-2623

Chi
ế
u
(
)

ế
u ta có:
S
OAB
.cosα = ±S
OA′B′

Vì th
ế
t
ừ
(b) ta có:
(
)
2. .cos 2.
O
OAB OA B
Oz
m F S S
α
′ ′
 
= ± = ±
 
ur uur
(c)
K
ế
t h
ợ

thì các tr
ụ
c x, y, z
đề
u
đ
i qua O, nên ta có:
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
O
Ox
Ox
O
Oy
Oy
O
Oz
Oz
m F m F
m F m F
m F m F

 
=

 

( )
O
i j k
m F r F x y z
X Y Z
= ∧ =
r
r r
ur uur uur
r

Hay là:
(
)
( ). ( ). ( ).
O
m F yZ zY i zX xZ j xY yX k
= − + − + −
ur uur
r
r r
(b)
So sánh (a) và (b) ta có:

(
)
( )
( )
Ox
Oy

ệ
l
ự
c song song.
z
F
(X,Y,Z)
r
k
i
j
y
x
A
(x,y,z)
B
O
Hình 1-2724

1.5.1. Hệ lực song song
a. Định nghĩa
H
ệ
l
ự
c song song là h
ệ

ư
m
ộ
t chi
ế
c d
ầ
m
có tr
ọ
ng l
ượ
ng là P
đặ
t trên hai g
ố
i t
ự
a A và B. Trên d
ầ
m có
đặ
t hai t
ả
i tr
ọ
ng P
1
và P
2

đ
ây ta gi
ớ
i h
ạ
n ch
ỉ
xét h
ợ
p l
ự
c c
ủ
a hai l
ự
c song song trong hai tr
ườ
ng h
ợ
p.
b. Hợp lực của hai lực song song cùng chiều
Gi
ả
s
ử
v
ậ
t r
ắ
n ch

a h
ệ
l
ự
c
(
)
1 2
,
F F
uur uur
ta
đư
a chúng v
ề
h
ệ
l
ự
c
đồ
ng quy b
ằ
ng cách
đặ
t vào
A và B h
ệ
l
ự


Theo tiên
đề
3:
(
)
1 1
,
F T
uur ur

1
R
uur
;
(
)
2 2
,
F T
uur uur

2
R
ur

Do
đ
ó:
(

chúng v
ề

đ
i
ể
m O là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai giá c
ủ
a
chúng r
ồ
i phân tích chúng ra thành các thành
ph
ầ
n nh
ư
ban
đầ
u ta có:
(
)
1 2
,
T T

,
1 1
F F
′
=
uur uur
,
2 2
F F
′
=
uur uur
nh
ư
ng
đ
i
ể
m
đặ
t c
ủ
a
1
T
′
ur
và
1
T

2
R
2
T
2
R
′
2
T
′
2
T
′
1
R
′
1
F
2
'
F
′
1
F
1
R
1
T
1
B

′ ′
uur uur

R
ur

V
ậ
y
R
ur
là h
ợ
p l
ự
c c
ủ
a h
ệ
l
ự
c
(
)
1 2
,
F F
uur uur
.
H

u c
ủ
a các l
ự
c
1
F
uur
,
2
F
uur
.
Để
xác
đị
nh
đ
i
ể
m
đặ
t c
ủ
a h
ợ
p l
ự
c, ta tr
ượ

ạ
ng OAH và OAC, OKB và OCB ta có:

1
1
CA AH T
CO HO F
= =
(a)
1
1
CA AH T
CO HO F
= =
(b)
Chia
đẳ
ng th
ứ
c (a) cho
đẳ
ng th
ứ
c (b) ta có:
2
1
CA F
CB F
=
(c)

ề
u là m
ộ
t l
ự
c song song cùng chi
ề
u v
ớ
i
hai l
ự
c
đ
ó, có tr
ị
s
ố
b
ằ
ng t
ổ
ng tr
ị
s
ố
c
ủ
a hai l
ự

đ
o
ạ
n t
ỷ
l
ệ
ngh
ị
ch v
ớ
i tr
ị
s
ố
c
ủ
a hai l
ự
c.
c. Hợp hai lực song song ngược chiều
Gi
ả
s
ử
v
ậ
t r
ắ
n ch

. Tr
ườ
ng h
ợ
p
F
1
= F
2
ta s
ẽ
nghiên c
ứ
u
ở
ph
ầ
n sau.
Ta phân tích
1
F
uur
ra hai thành ph
ầ
n
R
ur
,
2
F

V
ậ
y
(
)
1 2
,
F F
uur uur

(
)
2 2
, ,
R F F
′
ur uur uur
trong
đ
ó h
ệ

(
)
2 2
,
F F
′
uur uur
0.