1
MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG SÁCH Ký hiệu

Tên tiếng Anh
Tên tiếng Việt
A, F Area Diện tích tiết diện
a, b, c Dimensions, distances Khoảng cách
C, G Centroid Tâm
c Distance from neutral axis to outer
surface of a beam
Khoảng cách từ trục trung hòa đến bề mặt
ngoài của dầm
D Diameter Đường kính
d Diameter, dimension, distance Đường kính, khoảng cách
e Coefficient of restitution Hệ số phục hồi
F, P Force Lực
g Acceleration of gravity Gia tốc trọng trường
H Height, distance, horizontal force or
reaction, horsepower, Angular
momentum
Chiều cao, khoảng cách, lực ngang, công
suất ngựa, mô men động lượng
h Height, dimensions Chiều cao, khoảng cách
I Moment of inertia (or second
moment) of a plane area
Mô men quán tính tiết diện
Ix,Iy,Iz Moments of inertia with respect to

unit length
Mô men trên một đơn vị chiều dài, khối
lượng trên một đơn vị chiều dài
N Axial force Lực dọc
n Factor of safety, integer, revolutions
per minute (rpm)
Hệ số an toàn, số nguyên, vòng quay
O Origin of coordinates Gốc tọa độ
P Force, concentrated load, power Lực, tải trọng tập trung, công suất
p Pressure (force per unit area) Áp suất
Q Force, concentrated load, first
moment of a plane area
Lực, lực tập trung, mô men tĩnh
q, w Intensity of distributed load (force
per unit distance)
Cường độ lực phân bố
R Reaction, radius Phản lực, bán kính
r, k
O
Radius, radius of gyration Bán kính, bán kính quán tính
s Distance Khoảng cách
T Tensile force, twisting couple or
torque, temperature, kinetics
Lực căng, mô men xoắn, nhiệt độ, động
năng
t Thickness, time, intensity of torque
(torque per unit distance)
Chiều dày, thời gian, cường độ mô men
xoắn phân bố
v Deflection of a beam, velocity Độ võng của dầm, vận tốc

k
Kinematic coefficient of friction Hệ số ma sát động

s
Static coefficient of friction Hệ số ma sát tĩnh


những nước nói tiếng Anh. Nó còn ký hiệu là FPS, viết tắt của foot-pound-second.
Bảng 1.1. Bảng ký hiệu đơn vị các đại lượng cơ bản
Đại lượng cơ bản
Hệ đơn vị SI Hệ đơn vị US
Đơn vị Ký hiệu Đơn vị Ký hiệu
Chiều dài Mét m Foot ft
Khối lượng Kilogram kg Slug slug
Lực Newton N Pound lb
Thời gian Giây s Second sec
4
Bảng 1.2. Một số tiền tố
Tên gọi Ký hiệu Quy đổi
Tera T 10
12

Giga G 10
9

Mega M 10
6

Kilo k 10
3

Hecto h 10
2



Atto a 10
-
18

Bảng 1.3. Một số đơn vị được sử dụng trong cơ học
Đại lượng Đơn vị cơ bản Ký hiệu SI
Chiều dài Mét m
Khối lượng Kilogram kg
Lực Newton N (kg.m/s
2
)
Thời gian Giây s
Góc Radian rad
Vận tốc Mét/giây m/s
Gia tốc Mét/giây
2

m/s
2

Vận tốc góc Radian/giây rad/s
Gia tốc góc Radian/giây
2
rad/s
2

Diện tích Mét
2
m

Thể tích Mét
3

m
3

Khối lượng riêng Kilogram.mét
3

kg/m
3 5
1.1.2

Lực, hệ lực, hệ lực cân bằng
a. Lực:
Là thước đo tác dụng tương hỗ về cơ học giữa
các vật thể mà kết quả của nó là làm thay đổi hình
dáng và kích thước (biến dạng) hoặc trạng thái
chuyển động của các vật thể.

Hình 1.1: Cách biểu diễn lực
Hay nói một cách vắn tắt: Lực là nguyên nhân gây ra sự biến đổi chuyển động và biến
dạng của các vật thể. Lực có các đặc trưng sau:
 Điểm đặt: Là điểm mà vật nhận được sự tác dụng tương hỗ từ vật khác.


   
(1.2)
d. Hệ lực tương đương:
Hai hệ lực được coi là tương đương với nhau khi thay thế hệ lực này bằng hệ lực khác
thì kết quả tác dụng lên vật thể không thay đổi. Ký hiệu:
1 2 3 1 2 3
( , , , , ) ( , , , , )
n n
F F F F P P P P

       
(1.3)
e. Hợp lực của hệ lực:
Là lực duy nhất tương đương với hệ lực đã cho. Ký hiệu:
1 2 3
( , , , , )
n
F F F F R

    
(1.4)
1.2 MÔ MEN CỦA LỰC
Mô men của một lực được quy ước là đại lượng véctơ, đặc trưng cho tác dụng cơ học
làm vật thể quay hoặc bị biến dạng quanh một điểm hay một trục nào đó.
F
1
F
2
A

O
m F


(hoặc M
O
), có các đặc trưng sau
đây:
- Phương: Vuông góc với mặt phẳng chứa lực
F

và
điểm O.
- Chiều: Nếu nhìn từ điểm ngọn của véctơ thấy lực có
xu hướng làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ và xác
định nó theo quy tắc vặn nút chai hoặc đinh vít.

Hình 1.5: Cách biểu diễn mô men
- Độ lớn: Bằng tích độ lớn của lực (F) nhân với khoảng cách từ lực tới điểm O (d).
( ) .
O
m F d F


(1.5)
- Đơn vị: N.m, kN.m, lb.ft…
- Quy ước: Mô men mang dấu dương khi thấy chiều quay của nó quay ngược chiều kim
đồng hồ còn mô men mang dấu âm thì ngược lại.
Từ định nghĩa có thể biểu diễn mô men của lực đối với điểm O:
( ) ( ) ( ) ( )

x
, r
y
, r
z
là hình chiếu của
r

(là véc tơ vị trí điểm đặt của lực) lên các trục
Hình chiếu véctơ mô men trên các trục tọa độ khi đó có thể xác định:
z
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
O y z y
x
O z x x z
y
O x y y x
z
m F r F r F
m F r F r F
m F r F r F
 
 
 
 
 
 
 


c.
0
. 40(4 2cos30 ) 229
O
M F d      
lb.ft

d.
0
. 60(1sin 45 ) 42.4
O
M F d  
lb.ft

e. . 7(4 1) 21.0
O
M F d   
kN.m

Hình 1.6: Minh họa ví dụ 1
Ví dụ 2:
Hãy xác định tổng mô men tác dụng lên điểm P bởi lực W
1
và đối trọng W
2
.

với một góc hợp với phương thẳng đứng 1 góc

= 30
0

như hình vẽ. Hãy xác định mô men của lực F gây ra tại
điểm O.
Giải:
- Phân tích lực F thành 2 thành phần F
x
và F
y
với:
0
0
400sin30
400cos30
x
y
F
F


N
N

Ta có:
( ) ( ) ( )
O O x O y
M F M F M F

NTa có: 600(4.35) 2610
O
M
   
N.m

Cách 2: Phân tích lực F làm 2 thành phần là F
x
và F
y
với:
0
0
600 cos40 460
600 sin 40 386
x
y
F
F

 


 


N


    



    


   



   

Lúc này ta có:
2 4 0
460 386 0
O
i j k
M
 
 

 
 

 

 




là đại lượng đại số có giá trị bằng mômen của lực
F'

đối
với điểm O, với
F'

là hình chiếu của lực
F

lên mặt phẳng

vuông góc trục

. O là giao điểm giữa trục

và mặt
phẳng

.
( ) ( ')
O
m F m F


 
(1.8)
Mô men của lực đối với một trục có giá trị dương

y
, F
z
là hình chiếu của
F

lên các trục
- r
x
, r
y
, r
z
là hình chiếu của
r

(là véctơ được xác
định bằng cách nối từ một điểm bất kỳ trên trục Hình 1.10: Mô men của lực đối với
một trục
đến một điểm bất kỳ trên phương của lực F) lên các trục.
b. Tính chất:
Mô men của lực đối với trục bằng không khi lực song song hoặc cắt trục.
O

10
Ví dụ 5:
Xác định mô men của ba lực quanh các trục


Hình 1.11: Minh họa ví dụ 5
Xác định mô men của lực F đối với trục AB.

Hình 1.12: Minh họa ví dụ 6
Giải:
Mô men đối với trục AB được xác định theo công thức:
( )
AB B
M u r F
 

 

Trong đó:
2 2
0.4 0.2
0.89 0.45
0.4 0.2
B
B
B
r i j
u i j
r

   

 


F

sẽ là:
300
F k
 


Thay vào công thức ta được:
11
0.89 0.45 0
( ) 0.6 0 0
0 0 300
[0( 300) 0(0)]0.89 [0(0) 0.6( 300)]0.45 [0.6(0) 0(0)]0 80.5
Bx By Bz
AB B D Dx Dy Dz
x y z
u u u
M u r F r r r
F F F
   

        

 
N.m

M
AB
mang dấu dương chứng tỏ nó cùng chiều với u

Với: d là khoảng cách giữa hai đường tác dụng của hai lực ngẫu và F là giá trị của lực.
- Đơn vị: N.m, kN.m, lb.ft, kip.ft.
1.3.2 Các tính chất của ngẫu lực
a. Tính chất 1:
Mô men đối với điểm bất kỳ nào đó của cặp ngẫu lực
luôn luôn không đổi và bằng véctơ mô men của ngẫu lực.
b. Tính chất 2:
Véctơ mô men của ngẫu lực bằng véctơ mô men của lực
thành phần thứ nhất đối với điểm bất kỳ nào đó trên đường
tác dụng của lực thành phần thứ hai.

Hình 1.14: Minh họa tính chất
1,2 của ngẫu lực
c. Tính chất 3: Hai ngẫu lực có véctơ mô men bằng nhau thì tương đương với nhau.

Hình 1.15: Minh họa tính chất 3 của ngẫu lực
Sự chuẩn xác của nhận xét trên được minh chứng bởi hai tính chất sau:
12
- Hai ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng, có cùng chiều, và cùng giá trị thì tương
đương nhau.
- Tác dụng của ngẫu lực không thay đổi khi ta dời ngẫu lực trong mặt phẳng hay đến
mặt phẳng song song với chính nó.
Từ đây ta có thể suy ra:
- Ngẫu lực là véctơ tự do.
- Tác dụng của ngẫu sẽ không thay đổi nếu ta thực hiện các phép biến đổi mà không
làm thay đổi phương chiều và cường độ của véctơ mô men.
d. Tính chất 4:
Hợp hai ngẫu lực được một ngẫu lực có
véctơ mô men bằng tổng các véctơ mô men
của hai ngẫu lực đã cho.

1.4 HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC

Hình 1.17: Minh họa ví dụ 7
Toàn bộ lý thuyết của phần tĩnh học được xây dựng trên 6 tiên đề dưới đây:
1.4.1 Tiên đề 1 (Hệ hai lực cân bằng)
Điều kiện cần và đủ để hai lực cân bằng là
chúng có cùng đường tác dụng, hướng ngược chiều
nhau, có cùng cường độ và cùng điểm đặt.
1 2
F F
 
 
(1.11)

Hình 1.18: Hình minh họa tiên đề 1
1.4.2 Tiên đề 2 (Thêm bớt lực)
Tác dụng của một lực sẽ không thay đổi khi ta thêm vào hay bớt đi hai lực cân bằng.
Có thể mở rộng cho hệ lực:
Tác dụng của hệ lực sẽ không thay đổi khi thêm hay bớt một hệ lực cân bằng.
- Hệ quả 1: Khi ta trượt lực trên đường tác dụng của nó thì tác dụng của lực lên vật thể
không thay đổi.
- Hệ quả 2: Khi hệ lực cân bằng thì một lực bất kỳ của hệ lực ấy sẽ là lực trực đối với
hợp lực của các lực còn lại.
13
1.4.3 Tiên đề 3 (Hình bình hành lực)
Hai lực tác dụng lên một vật rắn tại cùng một điểm sẽ tương
đương với một lực đặt tại điểm chung đó và có giá trị phương và
chiều được biểu diễn bằng véctơ tổng hai véctơ biểu diễn hai lực
thành phần.
1 2

vật biến dạng. Tuy nhiên khi áp dụng tiên đề này cần chú ý: Các điều kiện cân bằng của vật
rắn tuyệt đối chỉ là điều kiện cần khi xét cân bằng của vật biến dạng.
1.4.6 Tiên đề 6 (Giải phóng liên kết)
Vật rắn chịu liên kết cân bằng có thể xem là vật tự do cân bằng khi thay thế các liên kết
bằng các lực liên kết, khi đó các lực tác dụng và các lực liên kết tác dụng lên vật rắn sẽ là hệ
lực cân bằng.
F
B
F
A
Hóa rắn
14

Hình 1.23: Giải phóng liên kết hệ vật rắn
Ví dụ 8:
Một cái móc đinh vít chịu tác dụng của 2 lực F
1
và
F
2
như hình 1.24a. Hãy xác định độ lớn và hướng của hợp
lực tác dụng lên đinh vít.
Giải:
- Áp dụng tiên đề hình bình hành lực ta xác định
được hợp lực F
R
. Cách xác định được thể hiện trên hình
1.24b.
- Xác định F
R


    
Giải phóng
liên k
ết

15
- Như vậy hợp lực F
R
hợp với phương ngang một góc:
0 0 0 0
15 39.8 15 54.8
 
    
Ví dụ 9:
Hợp lực F
R
của hai lực hoạt động tác dụng lên khúc gỗ có phương dọc theo trục x và có
độ lớn là 10 kN. Hãy xác định góc

của dây cáp mắc vào B để cho F
B
đạt giá trị nhỏ nhất. Độ
lớn của lực ở mỗi dây cáp trong trường hợp này?

Hình 1.25: Minh họa ví dụ 9
Giải:
- Dựa vào tiên đề hình bình hành lực để xác định lực F
B
. Dựa vào hình 1.25, để F

ràng buộc hay cản trở nào.
b. Vật rắn không tự do (hay còn gọi vật rắn chịu liên kết):
Là vật rắn mà chuyển động của nó theo hướng nào đó bị ngăn trở bởi một vật khác.
Vật cản trở chuyển động đó gọi là vật gây liên kết.
c. Liên kết:
Những điều kiện cản trở di chuyển của vật khảo sát được gọi là những liên kết đặt lên
vật ấy.
1.5.2 Lực liên kết, lực hoạt động và phản lực liên kết
a. Lực liên kết:
Những lực đặc trưng cho tác dụng tương hỗ giữa các vật có liên kết với nhau qua chỗ
tiếp xúc hình học.

A
F
B
F
10 kN
0
30

A
F
B
F
10 kN
0
30

16
b. Lực hoạt động:

1.6.2

Liên kết dây mềm
- Khi dây không có trọng lượng (trọng lượng
nhỏ), sức căng theo trục của dây.
- Khi dây có trọng lượng sức căng theo phương
tiếp tuyến của dây.

Hình 1.27: Liên kết dây mềm

1.6.3 Liên kết con lăn trên mặt phẳng nhẵn
Phản lực liên kết có phương vuông góc với mặt phẳng tựa. Hình 1.28: Liên kết con lăn
1.6.4 Liên kết khớp trụ trượt (bản lề trụ) và máng trượt nhẵn
Phản lực có phương pháp tuyến với phương dịch chuyển
Hình 1.29: Liên kết bản lề trụ và máng trượt
1.6.5 Liên kết ngàm
Ngoài các phản lực theo phương x, y, z còn có mô men phản lực M.
18
Hình 1.30: Liên kết ngàm
1.6.6 Liên kết gối cố định
Nếu chốt không ma sát có phản lực chưa thể

và F
B
để
hợp lực F
R
của chúng có hướng dọc theo
trục x và có độ lớn 950 N.
Cho biết

= 50
0
.
Bài 2:
Hãy xác định độ lớn và góc

của lực F
1
để hợp
lực của chúng có độ lớn 800 N và hướng thẳng đứng
lên trên. Bài 3:
Nếu θ = 15
o
, hãy xác định mô men của lực F đối với
điểm O của dầm công xôn có dạng như hình vẽ.
Hãy xác góc θ để mô men của lực F đối với điểm O có
giá trị lớn nhất và bằng không?
Bài 4:

Bài 8:
Một lực 300 N tác dụng
vào một tay quay của một cái
tời. Biết rằng phương của lực
nằm trong mặt phẳng song
song với y-z.
Hãy xác định mô men
của lực đối với điểm O.

21
Bài 9:
Xác định mô men của lực F quay trục
OA như hình vẽ bên. Bài 10:
Xác định độ lớn của lực F nếu tổng
mô men tác dụng lên khung sườn là 200
lb.ft quay cùng chiều kim đồng hồ.
Bài 11:
Hai đĩa lau nhà bị mô men
cản của sàn nhà tác động lên là
M
A
= 40 N.m và M
B
= 30 N.m.
Hãy tìm giá trị của lực do
người lau nhà tác động lên cánh
tay đòn của cần điều khiển để

Là hệ lực gồm các lực có đường tác
dụng song song với nhau.

Hình 2.3: Hệ lực song song
2.1.4

Hệ lực phẳng
Là hệ lực gồm các lực và mô men cùng
nằm trên một mặt phẳng.

Hình 2.4: Hệ lực phẳng
2.1.5

Hệ ngẫu lực

Hệ đơn thuần gồm các ngẫu lực. Hình 2.5: Hệ ngẫu lực
23
2.1.6 Hệ lực phân bố
Hệ lực phân bố là hệ lực song song và phân bố theo
một quy luật nào đó trên một đường hay mặt phẳng.
Khi gặp hệ lực phân bố, ta cần đưa về lực tập trung
trước khi tính toán. Độ lớn của lực tập trung bằng diện
tích của hình phân bố và vị trí điểm đặt nằm tại trọng tâm
của hình phân bố.
Trong phần này chúng ta chỉ tìm hiểu về lực phân
bố trên một đường thẳng.


hình tam giác để tìm hợp lực của hai hệ này sau
đó hợp lại.
1 1
.
R w L

 
2 2 1
1
2
R w w L
 

Hình 2.9: Cường độ lực phân bố hình thang
2.2 VÉCTƠ CHÍNH VÀ MÔ MEN CHÍNH CỦA HỆ LỰC
2.2.1 Véctơ chính
Véctơ chính của hệ lực
R

là tổng hình học của các véctơ biểu diễn các lực thuộc hệ lực.


1 2 3

n i
R F F F F F
     

     
(2.1)

O
M

đối với tâm O, là một véctơ bằng tổng hình học các véctơ
mô men các lực đối với tâm O.
1 2
( ) ( ) ( )
O
O O O
n
M m F m F m F
   
      
(2.3)
Chiếu lên các trục tọa độ ta được:
1 2
1 2
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
n i
Ox x x x x
n i
Oy y y y y
n i
Oz z z z z
M m F m F m F m F
M m F m F m F m F
M m F m F m F m F

trục y, chiều từ trên hướng xuống dưới.

Hình 2.10: Minh họa ví dụ 1
Ví dụ 2:
Hệ lực tác dụng vào mái dàn như hình vẽ. Hãy
xác định véctơ chính của hệ lực tác dụng vào mái dàn
đó.
Giải:
- Đây thuộc dạng hệ lực phẳng.
- Độ lớn của véctơ chính:

2 2
x y
R R R
 

Trong đó:
0
200sin30 100
x x
R F  

lb

0
150 300 275 200cos30 898.2
y y
R F     

lb

0
30


0
30
y
R
R

Trích đoạn Khái niệm chuyển động phức hợp của điểm

---