ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC
Nguyễn Tất Thắng
MÔ HÌNH SỐ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC NÔNG HAI
CHIỀU TRÊN LƯỚI KHÔNG CẤU TRÚC.
MỘT SỐ KIỂM NGHIỆM VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ
HÀ NỘI – 2005
HÀ NỘI – 2005
1
Mục lục
Mở đầu 5
Chơng 1 Tổng quan 8
1.1 Các mô hình toán học và một số khái niệm 8
1.2 Các đối tợng vật lý 9
1.2.1 Cấu trúc hình học của khối nớc 9
1.2.2 Các tính chất của chất lỏng 9
1.2.3 Các dạng ứng xử trong dòng chảy 10
1.2.4 Các lực ngoài 11
1.3 Hệ phơng trình nớc nông hai chiều 11
1.4 Các nhóm số hạng và ý nghĩa vật lý của chúng 15
1.4.1 Gia tốc địa phơng 15
1.4.2 Gia tốc convective (số hạng convective) 15
1.4.3 Độ dốc của mặt thoáng 16
1.4.4 Lực do ứng suất gió bề mặt 16
1.4.5 Ma sát đáy 16
1.4.6 Các lực khối 17
1.5 Một số dạng dẫn xuất của hệ phơng trình nớc nông hai chiều 17
1.5.1 Dạng trong hệ tọa độ Decard (theo các biến u, v và h) 17
1.5.2 Dạng khác trong hệ tọa độ Decard (theo các biến q
x
, q
2.5 Cấu trúc chơng trình 39
2.5.1 Các thủ tục tính toán chính 40
2.5.2 Sơ đồ khối mô đun tính toán 41
2.6 Kiểm định chơng trình với số liệu thí nghiệm dòng chảy tràn 41
2.6.1 Mô tả thí nghiệm 42
3
2.6.2 Các thông số mô phỏng 45
2.6.3 Một số kết quả tính toán so sánh 47
2.6.4 Nhận xét 48
2.7 áp dụng cho bài toán dòng chảy lũ tràn do vỡ đê giả định 49
2.7.1 Mô tả bài toán 49
2.7.2 Các thông số mô phỏng 50
2.7.3 Một số kết quả mô phỏng 51
2.7.4 Nhận xét 56
Chơng 3 Giải số hệ phơng trình nớc nông hai chiều không dừng, có xét đến gián
đoạn sử dụng phơng pháp Godunov với xấp xỉ hàm dòng kiểu Roe 57
3.1 Phơng pháp Godunov với xấp xỉ Roe cho bài toán một chiều 57
3.2 Tổng quát hóa cho hệ phơng trình nớc nông hai chiều 62
3.2.1 Sơ đồ sai phân 63
3.2.2 Xử lý thành phần ma sát tại biên cứng 68
3.3 Chơng trình tính toán dòng chảy hai chiều có xét đến gián đoạn 72
3.3.1 Chơng trình tính toán 72
3.3.2 Điều kiện biên và điều kiện ban đầu 72
3.3.3 Các thủ tục tính toán chính 73
3.3.4 Sơ đồ khối mô đun tính toán 74
Mô hình nớc nông một chiều đã đợc nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi trong
các mô phỏng thủy lực của các hệ thống kênh, rạch hay các mạng sông ít phức tạp
về mặt địa hình, lòng dẫn. Các nghiên cứu, áp dụng chuyên sâu các mô hình số giải
bài toán dòng chảy nớc nông một chiều cho nhiều chế độ dòng chảy trong các điều
kiện địa hình khác nhau đã đợc nghiên cứu từ lâu trên thế giới cũng nh ở Việt
Nam [6]. Tuy vậy do các hạn chế của các mô hình một chiều mà khả năng ứng dụng
của chúng trong một số trờng hợp, khi bài toán đợc xấp xỉ bằng mô hình một
chiều là không tốt, cần phải có sự xem xét kỹ.
Bên cạnh các hạn chế của mô hình dòng chảy nớc nông một chiều thì tính
phức tạp cùng khối lợng tính toán lớn của các mô hình giải số dòng chảy ba chiều
mà trong một số trờng hợp mô hình dòng chảy nớc nông hai chiều là lựa chọn phù
hợp. Việc mô hình hoá các dòng chảy nớc nông dựa trên việc giải số hệ phơng
trình Saint Venant hai chiều đã và đang đợc nghiên cứu, ứng dụng ở nhiều nơi trên
thế giới cũng nh ở Việt Nam. Thực tế cho thấy việc mô phỏng dòng chảy nớc
nông hai chiều, có hoặc không xét đến các tính chất gián đoạn trong dòng chảy,
trong các điều kiện địa hình phức tạp khác nhau nh các khu đô thị, các miền thoát
lũ với sự có mặt của các công trình trong miền tính nhằm phục vụ các yêu cầu tính
toán dự báo, quy hoạch phòng chống lũ lụt đã đặt ra nhu cầu phát triển các mô hình
giải số hệ phơng trình nớc nông hai chiều trên lới không cấu trúc do tính mềm
dẻo, thích ứng cao của nó. Cùng với sự phát triển của kỹ thuật tính toán cũng nh
khả năng của máy tính, các phơng pháp số sử dụng lới tính toán không cấu trúc
cũng nh các phơng pháp sinh lới không cấu trúc ngày càng đợc phát triển
mạnh.
Có hai phơng pháp số thờng sử dụng l
ới không cấu trúc giải hệ phơng
trình nớc nông hai chiều là phơng pháp phần tử hữu hạn (FEM) và phơng pháp
thể tích hữu hạn (FVM). Phơng pháp FEM một mặt phức tạp về lập trình, chi phí
lập trình và khối lợng tính toán lớn, mặt khác trong các nghiên cứu hiện tại, trong
Phần Mở đầu gồm các giới thiệu chung về đề tài, các nghiên cứu liên quan,
7
phạm vi nghiên cứu, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài và nội dung
luận văn.
Chơng 1 giới thiệu về cơ sở vật lý, toán học, hệ phơng trình nớc nông
hai chiều, các phơng pháp số sẽ đợc sử dụng trong các chơng tiếp theo
gồm phơng pháp FVM và phơng pháp Godunov, một số vấn đề khái quát
về lới không cấu trúc.
Chơng 2 trình bày kỹ thuật rời rạc hoá trên cơ sở phơng pháp FVM kết
hợp với phơng pháp sai phân ngợc dòng áp dụng cho hệ phơng trình
nớc nông hai chiều không dừng, không có gián đoạn, sơ đồ khối chơng
trình tính toán của phơng pháp, kết quả kiểm nghiệm mô hình này bằng
cách so sánh kết quả tính toán với số liệu thí nghiệm dòng chảy tràn theo
mô hình khu vực đô thị và kết quả áp dụng thử nghiệm mô phỏng lũ tràn do
vỡ đê giả định vào khu vực Hà Nội.
Chơng 3 trình bày kỹ thuật rời rạc hoá trên cơ sở phơng pháp FVM kết
hợp với phơng pháp Godunov với xấp xỉ hàm dòng kiểu Roe trên cạnh, kỹ
thuật xử lý số hạng nguồn áp dụng cho hệ phơng trình nớc nông hai
chiều dạng bảo toàn có xét đến tính chất gián đoạn có thể tồn tại trong dòng
chảy, sơ đồ khối chơng trình tính toán của phơng pháp, kết quả kiểm
nghiệm mô hình (so sánh với số liệu thí nghiệm dòng chảy có gián đoạn do
vỡ đập tức thời của CADAM) và các kết quả áp dụng mô hình này tính toán
dòng chảy hai chiều trong sông.
Phần cuối là một số kết luận và những vấn đề cần nghiên cứu tiếp. Phần này
ghi nhận tóm tắt những thu nhận chính của luận văn và nêu một số vấn đề,
theo ý kiến của tác giả, có thể là đối tợng của các nghiên cứu tiếp theo.
Ngoài ra còn có danh mục Tài các liệu tham khảo liên quan đến chủ đề của
Trong các mô hình bắt gián đoạn các sơ đồ hiện thờng hay đ
ợc sử dụng
hơn là các sơ đồ ẩn. Đối với các phơng trình phi tuyến, chẳng hạn các phơng trình
nớc nông, việc sử dụng sơ đồ ẩn tạo ra hệ các phơng trình đại số phi tuyến. Trong
9
trờng hợp đó hoặc là thủ tục giải lặp sẽ đợc sử dụng để giải các phơng trình đó
hoặc là toán tử ẩn sẽ đợc tuyến tính hóa để tránh tiêu tốn thời gian với thủ tục giải
lặp. Đối với các bài toán dòng chảy dừng, các sơ đồ ẩn đợc tuyến tính hóa tạo ra
những thuận lợi rất lớn so với các sơ đồ hiện [18]. Đối với các bài toán dòng chảy
không dừng, tính ổn định và chính xác có thể không đợc đảm bảo do việc tuyến
tính hóa và do bị hạn chế bởi điều kiện CFL [18]. Mặc dù vậy các sơ đồ hiện cũng
có sự phụ thuộc vào sự hạn chế thông thờng của số Courant, do vậy thờng các sơ
đồ hiện tính toán rất lâu nên chúng còn cần đợc nghiên cứu giảm thiểu thời gian
tính toán.
1.2 Các đối tợng vật lý
Khi xem xét dòng chảy nớc nông ta tuân theo các quy ớc sau [19, pp.1-3]:
1.2.1 Cấu trúc hình học của khối nớc
Cấu trúc hình học của khối nớc đợc đặc trng bởi:
Mặt thoáng
Độ dốc đáy thoải, nếu gọi
là góc nghiêng thì
(
)
tan và không có bất
3
.
Tính đẳng hớng: các tham số tính chất vật chất, ví dụ nh hệ số nhớt
à
,
không thay đổi theo hớng.
1.2.3 Các dạng ứng xử trong dòng chảy
Dòng chảy dừng có thể đợc xem nh là giới hạn của dòng chảy không dừng
dới các điều kiện ngoài cố định khi thời gian tăng vô hạn. Trong tính toán dòng
chảy nớc nông thờng ta sử dụng một mặt phẳng nằm ngang nh là mặt phẳng tọa
độ và bỏ qua tính cong của vỏ trái đất.
Do tính nông, vận tốc theo phơng ngang trên trục thẳng đứng đợc coi là có
một phân bố thống nhất một cách tơng đối do vậy trung bình hóa theo chiều sâu là
có thể áp dụng đợc. Do đó mà dòng chảy ba chiều có thể đợc đơn giản hóa nh
dòng chảy hai chiều trong mặt phẳng bằng việc tích phân vận tốc ngang theo
phơng thẳng đứng để nhận đợc giá trị trung bình theo chiều sâu và bằng việc bỏ
qua ảnh hởng của vận tốc theo phơng thẳng đứng.
Dòng chảy thờng là xoáy, trong đó các sự kết hợp, truyền tải, khuếch tán và
tiêu tán xoáy có thể xảy ra một cách đồng thời và liên tục. Nhiệt độ thờng đợc coi
nh hằng số do quá trình sinh nhiệt do ma sát và quá trình truyền nhiệt là có thể bỏ
qua. Nếu có sự thay đổi nhiệt độ ta cũng không xét đến sự biến đổi mật độ, độ nhớt
và tính dẫn nhiệt do vậy trờng dòng chảy đợc tách khỏi trờng nhiệt độ, chúng có
thể đợc tính toán riêng rẽ.
Cao trình mặt thoáng biến thiên đều với độ cong nhỏ, do đó so sánh với gia tốc
trọng trờng thì gia tốc theo phơng thẳng đứng có thể đợc bỏ qua. Điều này cũng
11
tơng tự nh giả thiết áp suất thủy tĩnh.
x
u
(1.1)
x
zx
yx
xx
F
zyxx
p
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
+
zyyyxy
F
zyxy
p
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
+
+
+
y
w
v
x
w
u
t
w
+
+
+
+
=
+
là ứng suất trợt
với các quy ớc sau: chỉ số dới đầu tiên chỉ hớng pháp tuyến với mặt phẳng đang
đợc xét, chỉ số dới thứ hai chỉ hớng của ứng suất.
Các phơng trình tổng quát trên mô tả cho cả hai hiện tợng dòng chảy phân
tầng và dòng chảy rối. Đối với dòng chảy rối các thành phần u, v và w biểu diễn vận
tốc trung bình trong khoảng thời gian đủ nhỏ. Các ứng suất trợt biểu diễn nh ở
trên bao gồm cả ứng suất nhớt và ứng suất Reynold phát sinh từ sự đối lu động
lợng của các chuyển động rối. Để ngắn gọn chỉ các biểu thức ứng suất trợt trong
phơng trình (1.2) đợc trình bày dới đây. Các biểu thức ứng suất trợt trong các
phơng trình (1.3) và (1.4) đợc định nghĩa hoàn toàn tơng tự.
()
''
uu
x
u
xx
à
=
(1.5)
()
''
vu
y
u
yx
y
x
i
f
(
)
t
y
x
,
,
(
)
t
y
x
,
,
q
=
h
13
(1.8)
tại mặt đáy: z=
(x,y,t)
()
tyxFw
y
v
x
u
tdt
d
dt
dz
,,+=
+
+
==
()
()()
tyxFtyxR
y
q
x
q
t
y
x
,,,, =
+
+
(1.10)
()
[
]
(
)
[
]
()
+
=
+
+
1
2
(1.11)
()
[
]
(
)
[
]
()
()
=
+
+
1
2
(1.12)
trong đó g là gia tốc trọng trờng; q là lu lợng dòng chảy trên mỗi đơn vị chiều
rộng;
là ứng suất trợt trên mặt thoáng;
là ứng suất trợt tại mặt đáy;
là hệ
số hiệu chỉnh động lợng để xét đến ảnh hởng của tính không đồng nhất của phân
bố vận tốc; các hệ số dới x và y là chỉ số chỉ phơng.
Đối với dòng chảy phân tầng, ứng suất nhớt chiếm u thế và có thể bỏ qua ứng
suất Reynold. Phơng trình cho ứng suất trợt tại biên mặt đáy khi đó đợc xác định
+
=
yxy
y
qqq
f
(1.14)
trong đó f là hệ số cản trở dòng chảy. Đối với dòng chảy phân tầng, hệ số cản dòng
chảy đợc định nghĩa bởi phơng trình Darcy-Weisbach nh sau:
f=K
0
/Re
(1.15)
trong đó K
0
là tham số nhám bề mặt và Re là số Reynolds của dòng chảy.
Đối với dòng chảy rối, ứng suất Reynolds chiếm u thế và ứng suất nhớt có thể
bỏ qua. Lực ứng suất trợt trên biên có thể xấp xỉ bởi phơng trình Manning nh
sau:
()
()
21
22
34
2
yxx
qq
0
và n thờng đợc
xác định bằng cách chuẩn hóa hay hiệu chỉnh theo các số liệu đo đạc. Bảng giá trị
của hai tham số đó trong mối liên hệ với các điều kiện bề mặt có thể đợc tìm thấy
trong nhiều tài liệu chuyên khảo (ví dụ theo [22]).
Lực ứng suất trợt trên mặt thoáng thờng đợc tạo ra bởi hai yếu tố: ma và
gió. Trong khi ảnh hởng của gió đối với dòng chảy trên mặt đất có thể đợc bỏ qua
thì ảnh hởng của ma là đáng kể. Khi các hạt ma rơi vào dòng nớc đang chảy,
chúng ảnh hởng đến mặt thoáng của dòng chảy và tạo ra rối trong dòng chảy.
Những yếu tố đó có thể gây mất mát năng lợng và làm gia tăng sức cản dòng chảy
[23]. Những ảnh hởng đó là lớn hơn đối với dòng chảy nớc nông phân tầng nhng
15
lại nhỏ hơn đối với dòng chảy nớc sâu và dòng chảy rối. Khi nớc trở nên sâu hơn
và dòng chảy trở nên rối hơn thì ảnh hởng của ma đến sức cản dòng chảy có thể
đợc bỏ qua [24].
Tóm lại, trong không gian hai chiều các phơng trình nớc nông dới dạng
bảo toàn đợc viết nh sau [19]:
() ()
0=++
yx
t
hvhuh
(1.18)
() ()
()
fxx
0
22
2
1
(1.20)
trong đó
=h là độ sâu; u vận tốc trung bình theo chiều sâu theo phơng x; v là
vận tốc trung bình theo chiều sâu theo phơng y; g là gia tốc trọng trờng; t là thời
gian; S
0x
và S
0y
là độ dốc đáy theo phơng x và y; S
fx
và S
fy
tơng ứng là hệ số ma sát
theo các phơng x và y trong hệ tọa độ Decard.
1.4 Các nhóm số hạng và ý nghĩa vật lý của chúng
1.4.1 Gia tốc địa phơng
Các số hạng quán tính địa phơng, ví dụ
tu
, biểu diễn tốc độ thay đổi theo
thời gian của vận tốc ở bất kỳ một điểm cố định nào và là những số hạng duy nhất
+
xx
h
g
. Phần thứ nhất biểu diễn gradient áp
suất do biến thiên độ sâu, phần thứ hai biểu diễn ảnh hởng của địa hình đáy, mà nó
thể hiện tác động nh một lực ngoài. Theo dạng này thì có thể coi h là một ẩn trong
tất cả các phơng trình. Nhng trong các tính toán thực tế chúng thờng đợc tích
hợp vào trong biểu thức,
xz
, để cực tiểu hóa các sai số do rời rạc hóa, do độ dốc
của mặt thoáng là thờng nhỏ hơn rất nhiều so với độ dốc đáy [19, pp.26-27].
1.4.4 Lực do ứng suất gió bề mặt
Các biểu thức ứng suất gió trên bề mặt, ví dụ
x
, biểu diễn lực kéo sinh ra bởi
khác gồm:
Lực quán tính Coriolis: sinh ra do chuyển động quay của trái đất.
Lực sinh ra thủy triều: đây là lực hấp dẫn vũ trụ theo định luật Newton. Lực
này tác động lên khối nớc và chủ yếu sinh ra do tác động của mặt trăng và
mặt trời. Ngoại trừ các khối nớc lớn nh biển và đại dơng thì lực sinh ra
thủy triều nhìn chung có thể bỏ qua đợc [19, pp.34-36].
1.5 Một số dạng dẫn xuất của hệ phơng trình nớc nông hai chiều
1.5.1 Dạng trong hệ tọa độ Decard (theo các biến u, v và h)
() ()
0=
+
+
y
hv
x
hu
t
h
(1.21)
x
bxaxba
F
hx
+
1
(1.22)
y
byay
ba
F
hy
z
g
y
p
y
h
g
y
v
v
x
v
u
t
và F
y
; áp suất khí quyển trên mặt thoáng đợc ký hiệu là p
a
; Ta có thể thấy
xuất hiện vấn đề lựa chọn biến độc lập là h hay z. Do cao trình đáy có thể biến đổi
rất mạnh và do độ dốc đáy đợc xấp xỉ bởi các hằng số theo từng đoạn trong phơng
pháp sai phân nên sai số chứa đựng trong xấp xỉ sai phân cho các biểu thức
xzg
b
v.v., thờng lớn hơn nhiều so với các sai số khác. Điều này có thể gây sai số lớn và
có thể gây mất ổn định tính toán. Do vậy các đạo hàm riêng theo không gian của h
trong phơng trình động lợng có thể đợc viết lại nh đạo hàm của z trong khi h
vẫn đợc sử dụng trong tất cả các số hạng khác.
18
1.5.2 Dạng khác trong hệ tọa độ Decard (theo các biến q
x
, q
y
và h)
0=
+
q
h
q
t
=
+
+
+
+
+
(1.27)
Đối với hệ phơng trình nớc nông hai chiều thì w là một véc tơ tạo bởi các đại
lợng vật lý bảo toàn, w=(q
x
, q
y
, h)
T
, và:
T
x
yx
x
q
h
qq
h
g
h
q
F
(1.28)
trong đó F, G là các dòng truyền tải. Một dạng bảo toàn của các phơng trình nớc
nông có thể đợc viết lại dới dạng thông thờng. Nhng một dạng thông thờng có
thể không thể viết lại đợc dới dạng bảo toàn.
Thuận lợi chính của dạng bảo toàn của các phơng trình nớc nông bao gồm
[19, pp.45]:
Có một mối quan hệ gần gũi giữa định luật bảo toàn, hệ đối xứng và hệ
hyperbolic, điều đó rất có ích trong các nghiên cứu lý thuyết dựa trên các
hệ hyperbolic.
19
Thuận lợi cho việc xây dựng sơ đồ sai phân trong đó sự bảo toàn vật chất và
bảo toàn động lợng có thể đợc đảm bảo dễ dàng hơn trong nghiệm số trị.
Nó là dạng phù hợp duy nhất cho việc định nghĩa và tính toán nghiệm có
gián đoạn.
1.6 Một số tính chất của hệ phơng trình nớc nông hai chiều
Các nghiên cứu lý thuyết đợc trình bày chi tiết trong [19, pp.60-106]. Có thể
tổng kết các tính chất cơ bản của hệ phơng trình nớc nông hai chiều nh sau: các
tính chất toán học của hệ phơng trình nớc nông hai chiều là tơng tự với các
phơng trình Euler trong động học chất khí. Một số các tính chất khác biệt có thể
đợc chỉ ra gồm:
Các phơng trình nớc nông thờng chứa đựng các số hạng không thuần
nhất ở vế phải (số hạng nguồn), trong số đó số hạng độ dốc đáy có thể đóng
một vai trò rất quan trọng. Độ sâu cột nớc tại các nút kề nhau của lới tính
toán có thể khác nhau rất lớn mặc dầu mặt thoáng gần nh phẳng.
Đối với dòng chảy nớc nông, với giả thiết áp suất thủy tĩnh và tính không
dẫn nhiệt ta không cần đến phơng trình năng lợng.
tính toán sẽ không ổn định. Do vậy thờng ngời ta làm nh sau: một trạng thái tĩnh
thờng đợc sử dụng nh là điều kiện ban đầu ở một thời điểm trớc nào đó, sau đó
dữ liệu ban đầu mong muốn ở thời điểm t
0
có thể nhận đợc thông qua một tính toán
chuyển đổi.
Các điều kiện biên trong động học chất lỏng thờng đợc cho theo hai dạng
sau: giá trị của các biến tại đó đợc cho trớc (điều kiện Dirichlet) hoặc ràng buộc
đối với đạo hàm của các biến tại biên (điều kiện Neumann) [19, pp.112-115].
1.7.3 Yêu cầu đối với các điều kiện biên và điều kiện ban đầu
Nh đã đợc tổng kết [19, pp.115-118], các yêu cầu nói chung nh sau:
Số lợng và dạng của các điều kiện biên và điều kiện ban đầu phải đảm bảo
tính đặt chỉnh của bài toán.
Các điều kiện biên và điều kiện ban đầu phải phù hợp với nhau, ngợc lại
hoặc là không tồn tại nghiệm hoặc tính toán không ổn định.
Một điều kiện biên mở phải thoả mãn rằng nghiệm trên miền tính phải
21
trùng khớp với nghiệm nguyên thủy hay nghiệm trên toàn miền lớn.
1.8 Về phơng pháp số giải hệ phơng trình nớc nông hai chiều
Hiện nay có nhiều mô hình số khác nhau đã đợc sử dụng để mô phỏng dòng
chảy nớc nông hai chiều [25]. Để ứng dụng chúng trong thực tế một số vấn đề cần
lu ý gồm: vấn đề rối trong dòng chảy, mô tả địa hình và miền tính, dữ liệu để xác
định các tham số tính toán, kích cỡ bài toán và những khó khăn của phơng pháp
tính [26]. Mô hình cần có khả năng mô tả tơng tác giữa dòng chảy chính với các
vùng dòng chảy tràn, các miền khô, ớt bất kỳ trong miền tính với tính chất khô ớt
là thay đổi theo thời gian. Một cách lý tởng một mô hình giải số hệ phơng trình
nớc nông ứng dụng cho các miền tính toán thực tế cần có các đặc tính sau:
Các dòng chảy nớc nông không phải luôn luôn trơn và liên tục mà có thể biến
đổi rất nhiều theo không gian, chẳng hạn nh dòng chảy trong lòng sông có thể khác
rất nhiều dòng chảy ở bãi sông. Chúng có thể biến đổi đột ngột theo thời gian, nh
xảy ra sóng gián đoạn khi mở cửa cống hay khi vỡ đê đập. Các bài toán dòng chảy
liên quan đến sự thay đổi đột ngột của dòng chảy theo thời gian và theo không gian
thuộc về nhóm các bài toán Riemann [8, pp.125] do vậy ta cần một sơ đồ rời rạc,
bảo toàn giải bài toán Riemann. Đối với việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán
Riemann, cách làm thờng là tổng quát hóa lời giải chính xác của bài toán Riemann
trong trờng hợp tuyến tính cho trờng hợp phi tuyến. Các lời giải bài toán Riemann
xấp xỉ bao gồm: phơng pháp phân chia vector dòng (FVS) [35, 36], phơng pháp
phân chia sai phân dòng (FDS) [12, 37, 39] và sơ đồ Osher [32, 38].
1.9 Phơng pháp thể tích hữu hạn (FVM)
Trong phơng pháp này sơ đồ rời rạc hoá đợc xây dựng trên cơ sở của các
định luật bảo toàn dạng tích phân. Đây là điểm khác với phơng pháp sai phân hữu
hạn truyền thống. Các công thức cho các biến đợc xây dựng sao cho tính bảo toàn
đợc thoả mãn. Có thể trình bày tóm tắt phơng pháp FVM nh dới đây [19,
pp.241-242].
Đầu tiên phơng pháp đợc xây dựng cho phơng trình dạng
gfw
xt
=
+ . Lấy
tích phân trên miền con thời gian và không gian
(
)
(
)
21211
,,
++ iinn
++
+
+
++
11
21
21
21
21
21211
,,
(1.29)
Theo lý thuyết giá trị trung bình, lựa chọn một giá trị trung bình của w trên
khoảng
()
,,21,21
i
wwii =+ khi đó chúng ta có xwxwwdx
i
x
x
i
i
=
+
21
+
+
++
+
+
1
2121
21
1
1
Sơ đồ FVM, phơng trình (1.29) là hiện và tơng đơng với một sơ đồ sai phân
hữu hạn bảo toàn khi
0=
, một sơ đồ ẩn khi 10
<
<
, và một sơ đồ ẩn hoàn toàn
khi
1=
.
Các thuận lợi của phơng pháp FVM có thể đợc thấy rõ ràng hơn trong
phẳng và biên
ABCDA của thể tích hữu hạn và N là véc tơ đơn vị hớng ra ngoài
của
e
. Lấy các giá trị trung bình của w và F trên
e
ký hiệu bởi
e
w và
e
F . Ký hiệu
diện tích của
e
là A và các dòng hớng ra ngoài qua cạnh AB bởi
AB
E , hay chính là
tích phân đờng dọc theo đờng AB của tích vô hớng của véc tơ (G,H) và véc tơ N.
Copyright: Tài liệu đại học ©