
Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận

Trang 1
I. ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định.
Khi một vật rắn quay quanh một trục cố định thì mỗi điểm trên vật (không nằm trên trục quay) sẽ vạch ra
một đường tròn nằm trong mặt phẵng vuông góc với trục quay, có bán kính bằng khoảng cách từ điểm đó đến
trục quay, có tâm trên trục quay. Mọi điểm của vật (không nằm trên trục quay) đều quay được cùng một góc
trong cùng một khoảng thời gian.
* Tọa độ góc: Là tọa độ xác định vị trí của một vật rắn quay quanh một trục cố định bởi góc ϕ (rad) hợp giữa
mặt phẳng động gắn với vật (chứa trục quay và một điểm trên vật không nằm trên trục quay) và mặt phẳng cố
định chọn làm mốc có chứa trục quay.
Nếu vật chỉ quay theo một chiều và chọn chiều dương là chiều quay của vật thì ϕ ≥ 0.
* Tốc độ góc: Là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh hay chậm của chuyển động quay của vật rắn quanh
một trục. Kí hiệu ω; đơn vị rad/s.
Tốc độ góc trung bình: ω
tb
=
t
ϕ
∆
∆
. Tốc độ góc tức thời: ω
tt
=
d
dt
ϕ
= ϕ’(t).

2
γt
2
; ω
2
- ω
2
0
= 2γ(ϕ - ϕ
0
).
Lưu ý: Khi chọn chiều dương cùng chiều quay thì ω > 0, khi đó: nếu γ > 0 thì vật quay nhanh dần; nếu γ < 0
thì vật quay chậm dần.
* Gia tốc của chuyển động quay:
Gia tốc pháp tuyến (gia tốc hướng tâm):
n
a
→
⊥
v
→
; a
n
=
2
v
r
= ω
2
r.

→
và
n
a
→
: tanα =
2
t
n
a
a
γ
ω
=
.
Lưu ý: Vật rắn quay đều thì a
t
= 0 
a
→
=
n
a
→
.
2. Phương trình động lực học của vật rắn quay.
* Momen lực: Là đại lượng đặc trưng cho tác dụng làm quay vật của lực, có độ lớn M = Fd; trong đó F là độ
lớn của lực tác dụng lên vật; d là khoảng cách từ giá của lực đến trục quay (gọi là cánh tay đòn của lực).
* Momen quán tính của chất điểm đối với một trục quay: Là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính của
chất điểm đối với chuyển động quay quanh trục đó. I = mr

- Hình cầu rổng, bán kính R: I =
2
3
mR
2
.
- Khối cầu đặc, bán kính R: I =
2
5
mR
2
.

Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận

Trang 2
- Thanh có chiều dài l, tiết diện nhỏ so với chiều dài và trục quay đi qua một đầu của thanh: I =
1
3
ml
2
.
* Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục cố định: M = Iγ.
3. Mômen động lượng - Định luật bảo toàn momen động lượng .
* Động lượng của vật rắn quay: L = Iω. Với chất điểm: I = mr
2
 L = mr
2
ω = mrv. Đơn vị: kgm
2

2
. Khi động lượng của vật rắn quay đang được bảo toàn (M = 0) nếu giảm
momen quán tính của vật thì tốc độ quay của vật rắn sẽ tăng.
4. Động năng của vật rắn quay - Định lí biến thiên động năng.
* Động năng của vật rắn quay: W
đ
=
1
2
Iω
2
. Đơn vị động năng: J.
* Định lí biến thiên động năng của vật rắn quay: ∆W
đ
= W
đ2
- W
đ1
=
1
2
Iω
2
2
-
1
2
Iω
2
1

ω
= ω’(t).
+ Các phương trình đông học của chuyển động quay:
Chuyển động quay đều: (ω = const): ϕ = ϕ
0
+ ωt.
Chuyển động quay biến đổi đều (γ = const): ω = ω
0
+ γt; ϕ = ϕ
0
+ ω
0
t +
1
2
γt
2
; ω
2
- ω
2
0
= 2γ(ϕ - ϕ
0
).
Lưu ý: Khi chọn chiều dương cùng chiều quay thì ω > 0, khi đó: nếu γ > 0 thì vật quay nhanh dần; nếu γ < 0
thì vật quay chậm dần.
+ Gia tốc của chuyển động quay:
Gia tốc pháp tuyến (gia tốc hướng tâm):
n

=
n
a
→
+
t
a
→
; a =
2 2
n t
a a+
. Góc α hợp giữa
a
→
và
n
a
→
: tanα =
2
t
n
a
a
γ
ω
=
.
Lưu ý: Vật rắn quay đều thì a

6. Một vật rắn quay nhanh dần đều quanh một trục cố định, trong 3,14 s tốc độ góc của nó tăng từ 120
vòng/phút đến 300 vòng/phút. Lấy
3,14
π
=
. Tính độ lớn gia tốc góc của vật rắn.
7. Một bánh xe đang quay quanh một trục cố định với tốc độ góc 10 rad/s thì bị hãm. Bánh xe quay chậm dần
đều, sau 5 s kể từ lúc hãm thì dừng hẳn. Tính độ lớn gia tốc góc của bánh xe.
8. Một vật rắn quay chậm dần đều quanh một trục quay cố định. Lúc t = t
1
vật có vận tốc góc ω
1
= 10π rad/s.
Sau khi quay được 10 vòng thì vật có vận tốc góc ω
2
= 2π rad/s. Tính gia tốc góc của chuyển động quay.
9. Vật rắn quay chậm dần đều với vận tốc góc ban đầu ω
0
; quay được 20 vòng thì dừng hẵn. Biết trong giây
cuối cùng trước khi dừng, vật quay được một vòng. Tính vận tốc góc ban đầu ω
0
.
10. Một chất điểm bắt đầu chuyển động nhanh dần trên một đường tròn bán kính 20 cm với gia tốc tiếp tuyến
5 cm/s
2
. Hỏi sau bao lâu kể từ lúc bắt đầu chuyển động, gia tốc tiếp tuyến bằng gia tốc pháp tuyến.
* Hướng dẫn giải và đáp số:
1. So với phương trình: ϕ = ϕ
0
+ ω

2
ω ω
γ
−
= 160π rad = 80 vòng.
3. Ta có: ϕ =
1
2
γt
2
(vì ω
0
= 0)  γ =
2
2
t
ϕ
= 2 rad/s
2
; ω = ω
0
+ γt = 30 rad/s.
4. Vì ϕ
0
= 0; ω
0
= 0 nên: ∆ϕ =
1
2
γ.2

cuối giây thứ 10 đến cuối giây thứ 20) là: ∆ϕ =
1
2
γ.20
2
-
1
2
γ.10
2
= 150 rad.
6. Ta có: γ =
0
t
ω ω
−
=
3.2 2.2
3,14
π π
−
= 2 rad/s
2
.
7. Ta có: |γ| = |
0
t
ω ω
−
| = |

+ γ.1  ω
t-1
= - γ. Góc quay
được trong giây cuối cùng: ∆ϕ = 2π =
2 2
2
1
0 ( )
2 2
t t
ω ω
γ
γ γ
−
−
− −
=
 γ = - 4π rad/s
2
.
ω
0
=
2 2.( 4 ).20.2
γϕ π π
− = − −
= 8π
5
(rad/s).
10. Ta có: a

m r
∑
.
+ Momen quán tính I của một số vật rắn đồng chất khối lượng m có trục quay là trục đối xứng:
- Thanh có chiều dài l, tiết diện nhỏ so với chiều dài: I =
1
12
ml
2
.
- Vành tròn hoặc trụ rổng, bán kính R: I = mR
2
.
- Đĩa tròn mỏng hoặc hình trụ đặc, bán kính R: I =
1
2
mR
2
.
- Hình cầu rổng, bán kính R: I =
2
3
mR
2
.
- Khối cầu đặc, bán kính R: I =
2
5
mR
2

3. Một bánh đà là một khối trụ đặc, đồng chất, khối lượng 5 kg, bán kính 10 cm đang ở trạng thái nghĩ có trục
quay trùng với trục của hình trụ. Người ta tác dụng vào nó một momen lực có độ lớn 7,5 Nm. Tính góc quay
được của bánh đà sau 10 s.
4. Một đĩa đặc đồng chất khối lượng 0,2 kg, bán kính 10 cm, có trục quay đi qua tâm đĩa và vuông góc với
đĩa. Đĩa đang đứng yên thì người ta tác dụng vào đĩa một momen lực không đổi 0,02 Nm. Tính quãng đường
mà một điểm trên vành đĩa đi được sau 4 s kể từ lúc tác dụng momen lực.
5. Một đĩa tròn phẳng, đồng chất có khối lượng m = 2 kg và bán kính R = 0,5 m. Biết momen quán tính đối
với trục ∆ qua tâm đối xứng và vuông góc với mặt phẳng đĩa là
1
2
mR
2
. Từ trạng thái nghỉ, đĩa bắt đầu quay
xung quanh trục ∆ cố định, dưới tác dụng của một lực tiếp tuyến với mép ngoài và đồng phẳng với đĩa. Bỏ
qua các lực cản. Sau 3 s đĩa quay được một góc 36 rad. Tính độ lớn của lực này.
6. Một vật rắn đang quay đều quanh trục cố định Δ với tốc độ góc 30 rad/s thì chịu tác dụng của một momen
hãm có độ lớn không đổi nên quay chậm dần đều và dừng lại sau 2 phút. Biết momen của vật rắn này đối với
trục Δ là 10 kg.m
2
. Tính độ lớn momen hãm.
7. Một quả cầu đặc, đồng chất bán kính 20 cm đang quay đều quanh trục đối xứng của nó với tốc độ 3000
vòng/phút. Tác dụng một momen hãm không đổi có độ lớn 100 Nm vào quả cầu thì nó quay chậm dần đều và
dừng lại sau 5 s. Tính khối lượng của quả cầu.
8. Một cái gàu múc nước khối lượng 5 kg được thả xuống giếng nhờ một sợi dây dài quấn quanh một hình trụ
có bán kính R = 20 cm và momen quán tính I = 1,8 kgm
2
. Bỏ qua khối lượng của dây và ma sát khi hình trụ
quay quanh trục đối xứng của nó. Lấy g = 10 m/s
2
. Tính gia tốc của gàu khi thả xuống.

1
m
6
l
.
2. Ta có: I =
1
2
mR
2
= 0,4 kgm
2
; γ =
M
I
= 25 rad/s
2
; ω = ω
0
+ γt = 125 rad/s.
3. Ta có I =
1
2
mR
2
= 0,001 kgm
2
; γ =
M
I

2
γt
2
=
1
2
γt
2
(vì ω
0
= 0)  γ =
2
2
t
ϕ
= 8 rad/s
2
.
Vì M = FR = Iγ  F =
I
R
γ
=
2
1
R
R
2
2
m

π
−
−
= - 20π (rad/s
2
); |M| = I|γ| =
2
5
mR
2
|γ|  m =
2
5| |
2R | |
M
γ
= 99,5 kg.
8. Ta có: M = TR = Iγ = I
a
R
 T =
2
Ia
R
. Mặt khác: mg – T = ma  mg -
2
Ia
R
= ma  a =
2

có giá đi qua O nên
M
P
= 0; M
N
= 0 và M
Fms
= F
ms
R  F
ms
= ma (2). Từ (1) và (2) suy ra: a =
sin
2
g
α
= 2,5 m/s
2
.
3. Vận dụng định luật bảo toàn mômen động lượng.
* Các công thức:
+ Momen động lượng: L = Iω. Với chất điểm quay: I = mr
2
 L = mr
2
ω = mrv.
+ Dạng khác của phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục cố định: M =
dL
dt
.

* Bài tập minh họa:
1. Một thanh đồng chất có khối lượng 1,5 kg, dài 160 cm quay đều quanh trục đối xứng vuông góc với thanh
với tốc độ góc 20 rad/s. Tính momen động lượng của thanh đối với trục quay đó.
2. Một sàn quay hình trụ đặc có khối lượng m
1
= 100 kg, bán kính R = 1,5 m, ở mép sàn có một vật khối
lượng m
2
= 50 kg. Sàn quay đều quanh trục đối xứng của nó với tốc độ góc ω = 10 rad/s. Tính momen động
lượng của hệ.
3. Coi Trái Đất là một quả cầu đồng chất có khối lượng m = 6,0.10
24
kg, bán kính R = 6400 km và momen
quán tính đối với trục ∆ qua tâm là
2
2
mR
5
. Lấy π = 3,14. Trái Đất quay quanh trục ∆ với chu kỳ 24 giờ. Tính
momen động lượng của Trái Đất trong chuyển động quay xung quanh trục ∆ của nó.
4. Một thanh đồng chất tiết diện nhỏ khối lượng 1,2 kg, dài 1,6 m quay đều quanh trục đi qua trung trực của
thanh. Hai đầu thanh có gắn hai chất điểm có khối lượng m
1
= 2 kg và m
2
= 2 kg. Biết tốc độ dài của mỗi chất
điểm là 18 km/h. Tính momen động lượng của hệ.
5. Một người khối lượng m = 50 kg đứng ở mép của một sàn quay trò chơi. Sàn có đường kính R = 3 m,
momen quán tính của sàn đối với trục quay đi qua tâm đối xứng của sàn là I = 2700 kgm
2

dính vào nhau và cùng quay với tốc độ góc ω. Tính ω.
* Hướng dẫn giải và đáp số:
1. Ta có: I =
1
12
ml
2
= 0,32 kgm
2
; L = Iω = 6,4 kgm
2
/s.
2. Ta có: I = I
1
+ I
2
=
1
2
m
1
R
2
+ m
2
R
2
= 225 kgm
2
; L = Iω = 2250 kgm

2
l
)
2
+ m
2
(
2
l
)
2
)
1
2
v
l
= 21,6 kgm
2
/s.
5. Theo định luật bảo toàn động lượng ta có: Iω + mR
2
ω + mR
2
v
R
= 0  ω = -
2
mRv
I mR+
= - 0,19 rad/s.

)ω  ω =
1 1 1 2
1 2
I I
I I
ω ω
+
+
= 13,75 rad/s.
4. Vận dụng định lí động năng của vật rắn quay quanh một trục cố định.
* Các công thức:
+ Động năng của vật rắn quay: W
đ
=
1
2
Iω
2
.
+ Định lí biến thiên động năng của vật rắn quay: ∆W
đ
= W
đ2
- W
đ1
=
1
2
Iω
2

và tốc độ góc 20 rad/s. Tính bán kính của quả cầu.
7. Một quả cầu kim loại rổng có đường kính 60 cm, khối lượng 50 kg, được xem là phân bố đều trên bề mặt
quả cầu và có thể quay quanh trục đối xứng đi qua tâm của nó. Tính công cần cung cấp để quả cầu đang đứng
yên quay nhanh dần cho đến khi đạt được vận tốc 300 vòng/phút.
8. Một bánh đà có dạng khối trụ đặc khối lượng 100 kg, bán kính 50 cm quay quanh trục đối xứng của nó.
Trong thời gian tăng tốc, phương trình tọa độ góc của một điểm trên vành bánh đà có dạng: ϕ = 3t
2
+ 8t + 4;
trong đó ϕ tính bằng rad, t tính bằng s. Tính công thực hiện lên bánh đà trong khoảng thời gian từ t
1
= 7 s đến
t
2
= 12 s.
* Hướng dẫn giải và đáp số:
1. Theo định lí biến thiên động năng ta có:
1
2
Iω
2
2
-
1
2
Iω
2
1
= A. Vì ω
1
= 0  ω =

= 3 kgm
2
.
4. Ta có: I =
2
5
mR
2
= 98304.10
34
kgm
2
; ω =
2
T
π
= 7,27.10
-5
rad/s; W
đ
=
1
2
Iω
2
= 2,6.10
30
J.
5. Ta có: W
đ

2
 R =
2
5
d
W
m
ω
= 0,1 m.

Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận

Trang 7
7. Ta có:
1
2
Iω
2
2
-
1
2
Iω
2
1
= A. Vì ω
1
= 0 và I =
2
3

0
= 8 rad/s và γ = 6 rad/s
2
; do
đó: ω
1
= ω
0
+ γt
1
= 50 rad/s; ω
2
= ω
0
+ γt
2
= 80 rad/s; A =
1
2
Iω
2
2
-
1
2
Iω
2
1
= 24375 J.
C. MỘT SỐ CÂU TRẮC NGHIỆM LUYỆN TẬP

2
1
m
12
l
. Gắn chất điểm có khối lượng
m
3
vào một đầu thanh. Momen quán tính của hệ đối với trục ∆ là
A.
2
1
m
6
l
. B.
2
13
m
12
l
. C.
2
4
m
3
l
. D.
2
1

/s.
7. Một vật rắn quay biến đổi đều quanh một trục cố định đi qua vật. Một điểm xác định trên vật rắn và không
nằm trên trục quay có
A. độ lớn của gia tốc tiếp tuyến thay đổi.
B. gia tốc hướng tâm luôn hướng vào tâm quỹ đạo tròn của điểm đó.
C. gia tốc góc luôn biến thiên theo thời gian.
D. tốc độ dài biến thiên theo hàm số bậc hai của thời gian.
8. Một đĩa tròn phẳng, đồng chất có khối lượng m = 2 kg và bán kính R = 0,5 m. Biết momen quán tính đối
với trục ∆ qua tâm đối xứng và vuông góc với mặt phẳng đĩa là
1
2
mR
2
. Từ trạng thái nghỉ, đĩa bắt đầu quay
xung quanh trục ∆ cố định, dưới tác dụng của một lực tiếp tuyến với mép ngoài và đồng phẳng với đĩa. Bỏ
qua các lực cản. Sau 3 s đĩa quay được 36 rad. Độ lớn của lực này là
A. 4 N. B. 3 N. C. 6 N. D. 2 N.
Đề thi ĐH-CĐ năm 2010
9. Một bánh đà có momen quán tính đối với trục quay cố định của nó là 0,4 kg.m
2
. Để bánh đà tăng tốc từ trạng
thái đứng yên đến tốc độ góc ω phải tốn công 2000 J. Bỏ qua ma sát. Giá trị của ω là
A. 10 rad/s. B. 50 ra d/s. C.100 ra d/s. D. 200 rad/s.
10. Trong chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định mô men quán tính của vật đối với trục quay
A. tỉ lệ momen lực tác dụng vào vật. B. tỉ lệ với gia tốc góc của vật.
C. phụ thuộc tốc độ góc của vật. D. phụ thuộc vị trí của vật đối với trục quay.
11. Một chất điểm khối lượng m, quay xung quanh trục cố định Δ theo quỹ đạo tròn tâm O, bán kính r. Trục Δ qua
tâm O và vuông góc với mặt phẳng quỹ đạo. Tại thời điểm t, chất điểm có tốc độ dài, tốc độ góc, gia tốc hướng

Ôn tập Lý 12 chương trình nâng cao – Biên soạn: Dương Văn Đổng – Trường THPT Nguyễn Văn Linh, Bình Thuận

2
rad / s
. D. 50
2
rad / s
.
15. Vật rắn quay quanh một trục cố định ∆. Gọi W
đ
, I và L lần lượt là động năng quay, momen quán tính và
momen động lượng của vật đối với trục ∆. Mối liên hệ giữa W
đ
, I và L là
A. W
đ
= 2I.L
2
. B. W
đ
=
2
L
I
. C. W
đ
=
2
L
2I
. D. W
đ