1
A. Cơ học
Chơng 1: Động học chất điểm
1-1. Phơng trình chuyển động của một chất điểm trong hệ trục toạ độ Đề các:
x = a
1
cos(t +
1
) (1)
y = a
2
cos(t +
2
) (2)
Xác định dạng quỹ đạo của chất điểm trong các trờng hợp sau:
a)
1
-
2
= 2k, k là một số nguyên;
b)
1
-
2
= (2k + 1);
c)
1
-
2
= (2k + 1)

cos(t +
2
),
y = a
2
cos(t +
2
)
Từ đó:
21
a
y
a
x
=
hay x
a
a
y
1
2
=
Vì -1 cos(t +
1
) 1 nên - a
1
x a
1
Vậy chất điểm trong phần a) này chuyển động trên một đoạn thẳng biểu diễn bởi:
x

2
= với - a
1
x a
1
c) Thay
1
=
2
+ (2k + 1)
2

ta dễ dàng rút ra biểu thức:

2
1
a
y
a
x
2
2
2
2
1
2
=+

Phơng trình này biểu diễn một đờng êlíp vuông, có các trục lớn và trục nhỏ nằm
trên các trục toạ độ.

a
x

= (5)
Lại nhân (3) với sin

2
và (4) với - sin
1
rồi cộng vế với vế:
)sin(cossinsin
121
2
2
1
t
a
y
a
x

= (6)
Bình phơng (5) và (6) rồi cộng vế với vế:
)(sin)cos(
12
2
12
21
2
2


Bài giải
:
Đặt quãng đờng AB bằng s. Ta sẽ tính vận tốc trung bình theo công thức:
này ờng quãnghết i gianthời tổng
i ờng quãng tổng
=
v
Ta đợc:

3
./, sm539
vv
vv2
v
1
v
1
2
v
s
v
s
ss
tt
ss
v
21
21
2121

a) Muốn gặp đúng ô tô tại B thì thời gian ngời chạy từ M tới B phải bằng thời gian
ô tô chạy từ A tới B:

12
v
AB
v
MB
=
(1)
Sử dụng định lý hàm số sin trong tam giác ABM ta có:
,
sinsin

ABMB
= với
a
h
=

sin (2)
Từ (1) và (2) ta rút ra:
8330
v
v
a
h
2
1
,.sin ==

Mà:
MD
v
v
AD
h
a
v
v
a
h
MD
1
AD
ADMD
2
1
2
1

sin
.sin
sinsin
=








I H D
Hình 1-2

4
b) Để có thể gặp đợc ô tô với vận tốc nhỏ nhất thì rõ ràng rằng lúc mà ngời chạy
đến đờng cũng là lúc xe ô tô đi tới (ngời gặp đúng ô tô mà không phải chờ đợi lãng phí
thời gian), vì vậy, theo phần a) giữa hớng chạy và vận tốc của ngời phải có quan hệ:

2
1
v
v
a
h
.sin =


Vì với mọi
thì sin() 1 nên:
12
2
1
v
a
h
v1
v
v
a

htg
2
1
tv
2
0
=+ .
Chọn nghiệm dơng của phơng trình này ta có kết quả:
g
vgh2v
t
0
2
0
+
=
.
Khi khí cầu chuyển động lên trên, xuống dới hoặc đứng yên, ta áp dụng biểu thức
này với vận tốc ban đầu v
0
= -5m/s, v
0
= 5m/s; hoặc v
0
= 0 và có kết quả:
a) 8,4s ; b) 7,3s ; c) 7,8s.

1-5. Một vật đợc thả rơi từ độ cao H + h theo phơng thẳng đứng DD (D' là chân
độ cao H + h). Cùng lúc đó một vật thứ hai đợc ném lên từ D' theo phơng thẳng đứng
với vận tốc v

0
2
0
+
=+==
b) Khoảng cách giữa hai vật tại thời điểm t trớc khi gặp nhau đợc
tính theo quãng đờng s và s các vật đi đợc:
x = (H + h) - (s + s).

() ()
).(

tgH2H2
H2
hH
tvhHtg
2
1
tvgt
2
1
hHx
0
2
0
2

+
=
+=

a) Quãng đờng mà vật rơi đợc trong 0,1 giây đầu và 0,1 giây cuối của thời gian
rơi.
b) Thời gian cần thiết để vật đi hết 1m đầu và 1m cuối của độ cao h.

Bài giải
:
Sử dụng công thức về quãng đờng vật rơi đợc sau thời gian t kể từ lúc bắt đầu
đợc thả:
2
gt
2
1
s = ta sẽ có một công thức quen thuộc về thời gian t để vật rơi đợc một
đoạn đờng có độ cao h kể từ vị trí thả là:
g
h2
t =
. áp dụng công thức này ta sẽ trả lời
đợc các câu hỏi trong bài tập này:
a) Quãng đờng mà vật rơi đợc trong 0,1s đầu:
H
h
D
D
G

6
m04901089
2
1

,,.,.,, === .
b) Tơng tự nh trên:
Thời gian để vật đi đợc 1m đầu:
s450
89
12
g
s2
t
3
3
,
,
.
=== .
Thời gian để vật đi hết 1m cuối:
s050
89
6182
2ttt
4
,
,
,.
===
dầu 18,6m
tổng1-7. Từ ba điểm A, B, C trên một vòng tròn ngời ta đồng thời thả rơi ba vật. Vật

3
3
32
2
2
1
1
1
a
s2
tt
a
s2
g
R4
a
s2
t ======

Vậy, ba vật cùng tới M một lúc.

A
B
C
M
Hình 1-3

7
1-8. Phải ném một vật theo phơng thẳng đứng từ độ cao h = 40m với vận tốc v
0

()
gh2vggh2v
g
vgh2v
g
h2
0
2
0
0
2
0
+=+=
+



Bình phơng hai vế của phơng trình ta đợc:
()
()
(
)
()



ggh22
ggh22g
v0gh2v2gh2vg2g
000

sm78
110401022
110401022110
v
0
/,=
+
+
=

Vậy vật đợc ném thẳng đứng lên trên.

1-9. Một vật chuyển động thẳng thay đổi đều đi hết quãng đờng AB trong 6 giây.
Vận tốc của vật khi qua A bằng 5m/s khi đi qua B bằng 15m/s. Tìm chiều dài của quãng
đờng AB.

Bài giải
:
Cách 1:

8
Theo định nghĩa, gia tốc a của vật:
()
2
AB
sm
3

+
=
, nên đoạn AB có độ dài:
()
m606
2
155
t
2
vv
tvAB
BA
=
+
=
+
==

1-10. Một xe lửa chạy giữa hai điểm (nằm trên một đờng thẳng) cách nhau 1,5km.
Trong nửa đoạn đờng đầu, xe lửa chuyển động nhanh dần đều, trong nửa đoạn đờng sau
xe lửa chuyển động chậm dần đều. Vận tốc lớn nhất của xe lửa giữa hai điểm đó bằng
50km/giờ.
Biết rằng trị số tuyệt đối của các gia tốc trên hai đoạn đờng bằng nhau. Tính:
a) Gia tốc của xe lửa.
b) Thời gian để xe lửa đi hết quãng đờng giữa hai điểm.

Bài giải
:
Vận tốc trung bình của xe lửa là
hkm25250v // == .

0
2
=
(
)
2
2
2
0
2
sm1290
km51
hkm50
s2
vv
a
/,
,
/
==

=
.
(ở đây s là nửa quãng đờng 1,5km)

1-11. Một xe lửa bắt đầu chuyển động nhanh dần đều trên một đờng thẳng ngang
qua trớc mặt một ngời quan sát đang đứng ngang với đầu toa thứ nhất. Biết rằng toa xe
thứ nhất đi qua trớc mặt ngời quan sát hết một thời gian
= 6 giây. Hỏi toa thứ n sẽ đi
qua trớc mặt ngời quan sát trong bao lâu?

Chiều dài của n toa đầu:
2
n
at
2
1
nl =
.
Từ đó suy ra thời gian để toa thứ n đi qua trớc mặt ngời quan sát:
1nn(ttt
1nnn
==

).
Với n =7 , ta có
t
7
= 1,18s.

1-12. Một hòn đá đợc ném theo phơng nằm ngang với vận tốc v
0
=15m/s. Tính gia
tốc pháp tuyến và gia tốc tiếp tuyến của hòn đá sau lúc ném 1 giây.
Bài giải
:
Vận tốc của vật theo phơng đứng sau khi ném 1s: v
y
= gt = 9,8m/s.
Góc
giữa vận tốc của vật và phơng thẳng đứng thoả mãn:

10
()
()
222
2
n
2
t
2
222
y
2
x
x
n
sm452889agga
sm28
8915
1589
vv
vg
ga
/,,,cos
/,
,
.,
.
sin
====
=

chuyển động thẳng đều với vận tốc không đổi bằng v
x
= v
0
.cos.
a) Độ cao cực đại và thời gian rơi của vật chỉ liên quan đến vận tốc ban đầu theo
phơng thẳng đứng v
0y
:
()
m12
g2
v
g2
v
y
22
0
2
y0
,
sin.
max
===


c) Thời gian bay của vật:
()
s31
g

0
= 15m/s theo phơng hợp với mặt phẳng nằm ngang một góc = 30
0
. Xác định:
a) Thời gian chuyển động của hòn đá;
b) Khoảng cách từ chân tháp đến chỗ rơi của hòn đá;
c) Vận tốc của hòn đá lúc chạm đất.

Bài giải
:

11

Từ đỉnh tháp viên đá còn lên cao thêm đợc một đoạn:
()
()
m872
892
3015
g2
v
g2
v
h
2
0
2
0
2
y0

+=
+
+=
Tầm xa:
(
)
m411533015tvL
0
0
=== ,.cos cos


Vận tốc lúc chạm đất:
() ()
(
)
()
()
sm7263015323vvv
sm32378225892hHg2v
2
02
2
x
2
y
y
/,cos.,
/,,.,.
=+=+=

constvv
0y
0x
.sin
cos
=
==



Đáp số: a) 3,16s ; b) 41,1m ; c) 26,7m/s.

1-15. Từ một đỉnh tháp cao H = 30m, ngời ta ném một hòn đá xuống đất với vận
tốc v
0
= 10m/s theo phơng hợp với mặt phẳng nằm ngang một góc = 30
0
. Tìm:

y

x
O
H

v
0
L

12

0t5t5300t10
2
1
t301030
220
== sin.
Chọn nghiệm dơng ta đợc thời gian rơi của hòn đá: t=2s.
b) Để tìm tầm xa vị trí rơi cách chân tháp bao nhiêu, thay t tìm đợc để tính x.
m317m31023010tvx
0
0
,.cos cos ===


c) Để biết dạng quỹ đạo chuyển động của viên đá, ta cần tìm phơng trình quỹ đạo
của chuyển động này (phơng trình quan hệ giữa x và y đã khử biến thời gian):
Khử thời gian trong hệ phơng trình (1) và (2) bằng cách rút t từ phơng trình (1) rồi
thay vào (2):
()
m310x0
15
x
3
x
30
v2
xg
tgxH
v
x




==
=
:với





cos
.
.
coscos
.sin sin.)(
cos
)(

Phơng trình này chỉ ra rằng, quỹ đoạ của viên đá là một cung parabol.

1-16. Hỏi phải ném một vật theo phơng hợp với mặt phẳng nằm ngang một góc

bằng bao nhiêu để với một vận tốc ban đầu cho trớc, tầm xa của vật là cực đại.

Bài giải
:

13
Sử dụng công thức tính tầm xa của vật đợc ném xiên đã lập đợc trong bài 1-13:

; g (Xanh Pêtecbua) = 9,810m/s
2
.

Bài giải
:
Từ công thức tầm xa:
g
2v
L
2
0

sin.
=
ta nhận thấy, với lực đẩy không đổi (để v
0

không đổi) và góc ném không đổi (ném xa nhất khi góc ném bằng 45
0
) thì tầm xa L sẽ tỉ
lệ nghịch với gia tốc trọng trờng g. Do đó có thể xác định đợc kỉ lục đẩy tạ tại thành
phố Xanh Petécbua:
()
m56126712
8109
7279
L
g
g

()
srad10267
360024
2
5
/.,
.
.

==

14
b) Chu kỳ quay của kim phút là 1h. Kim giờ quay hết một vòng là 12 tiếng nên vận
tốc góc của kim giờ và kim phút là: 14,5 . 10
-5
rad/s; 1,74 . 10
-3
rad/s
c) Cũng áp dụng công thức trên với các chu kỳ khác nhau ta có vận tốc góc của
mặt trăng quanh trái đất là: 2,7 . 10
-6
rad/s ;
d) Của vệ tinh có chu kì quay là 88phút là: 1,19 . 10
-3
rad/s
1-19. Tìm vận tốc dài của chuyển động quay của một điểm trên mặt đất tại Hà Nội.
Biết rằng vĩ độ của Hà Nội là

kính quỹ đạo tròn.

1-20. Một vô lăng sau khi bắt đầu quay đợc một phút thì thu đợc vận tốc 700
vòng/phút. Tính gia tốc góc của vô lăng và số vòng mà vô lăng đã quay đợc trong phút
ấy nếu chuyển động của vô lăng là nhanh dần đều.
Bài giải
:
O



R
r
Hình của bài 1-19

15
Vận tốc góc của vô lăng đạt = 700vòng/phút = 700.2/60 (rad/s) sau thời gian =
1phút = 60s.
Mà
= .
()
2
srad221
3600
1400
60
601400
/,
/
====

vòng/phút xuống 180 vòng/phút. Tìm gia tốc của bánh xe và số vòng mà bánh xe đã quay
đợc trong phút ấy.

Bài giải
:
Theo định nghĩa về gia tốc góc ta có luôn gia tốc góc trong chuyển động này:
()
2
0
srad210
60
602300602180
/,
/./.
=

=

=






.
Góc quay đợc dựa vào mối quan hệ tơng tự với quan hệ v-a-s của chuyển động
thẳng biến đổi đều ta rút ra:
(
)

+
=
+
=



1-22. Một bánh xe có bán kính R = 10cm lúc đầu đứng yên, sau đó quay xung quanh
trục của nó với gia tốc góc bằng 3,14 rad/s
2
. Hỏi, sau giây thứ nhất:
a) Vận tốc góc và vận tốc dài của một điểm trên vành bánh?
b) Gia tốc pháp tuyến, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc toàn phần của một điểm trên
vành bánh?
c) Góc giữa gia tốc toàn phần và bán kính của bánh xe (ứng với cùng một điểm trên
vành bánh? 16
Bài giải:
a) Sau giây thứ nhất, vận tốc góc và vận tốc dài của một điểm trên vành bánh là:
()
()
sm314010143Rv
srad1431143t
/,,.,.
/,.,.

t
sm031aaa /,=+=
.
c) Góc giữa gia tốc toàn phần a và bán kính là
thoả mãn:
031
3140
a
a
t
,
,
sin ==

= 17
0
46.

1-23. Chu kì quay của một bánh xe bán kính 50cm là 0,1 giây. Tìm:
a) Vận tốc dài và vận tốc góc của một điểm vành bánh;
b) Gia tốc pháp tuyến của điểm giữa một bán kính.

Bài giải
:
Vận tốc dài và vận tốc góc của một điểm trên vành bánh:
()
()
srad862
50
431


1-24. Một đoàn tàu bắt đầu chạy vào một đoạn đờng tròn, bán kính 1km, dài 600m,
với vận tốc 54 km/giờ. Đoàn tàu chạy hết quãng đờng đó trong 30 giây. Tìm vận tốc dài,
gia tốc pháp tuyến, gia tốc tiếp tuyến, gia tốc toàn phần và gia tốc góc của đoàn tàu ở cuối
quãng đờng đó. Coi chuyển động của đoàn tàu là nhanh dần đều.

Bài giải
:
Cho: R = 1km =1000m, v
0
= 54km/h = 15m/s, s=600m, t = 30s.

Hình
a
t
a
n
a17
Sử dụng các công thức về chuyển động thẳng và chuyển động tròn biến đổi đều ta sẽ
tính đợc các đại lợng cần thiết.
()
(
)
()
2
22
0

()
2
22
2
n
sm6250
1000
25
R
v
Ra /,====


Còn gia tốc toàn phần là:
()
2
22
2
n
2
t
sm7080
8
5
3
1
aaa /,=




cm/s. Tính vận
tốc góc và gia tốc pháp tuyến của êlectron nếu xem quỹ đạo của nó là một vòng tròn bán
kính 0,5.10
-8
cm.

Bài giải
:
Electron: v = 2,2.10
8
cm/s = 2,2.10
6
m/s; R = 0,5.10
-8
cm = 0,5.10
-10
m.
Vận tốc góc và gia tốc hớng tâm gia tốc pháp tuyến lần lợt:
= v/R = 4,4 . 10
16
rad/s;
a
n
=
2
R = 9,68 .10
22
m/s
2


chuyển động so với dòng nớc (do ngời chèo) với vận tốc

v
.
Chuyển động tổng hợp chính là chuyển động của thuyền đối với bờ sông với vận tốc

+= uvV .
Trờng hợp thứ nhất của bài toán ứng với hình 1-4a, trờng hợp thứ hai ứng với hình
1-4b.
Theo các hình vẽ, ta có các phơng trình sau:
s = u.t
1
; l =v.t
1
; l = (v.cos ).t
2
; u = v.sin ;()
sm20
600
120
t
s
u
1
/,=== .
'
,

sin
sin ======


.
Chiều rộng của dòng sông:
m2006010330tvl
1
=
=
=
) (,. .

1-27. Ngời ta chèo một con thuyền qua sông theo hớng vuông góc với bờ sông với
vận tốc 7,2km/h. Nớc chảy đã mang con thuyền về phía xuôi dòng một khoảng 150m.
Tìm:
a) Vận tốc của dòng nớc đối với bờ sông;
b) Thời gian cần để thuyền qua đợc sông. Cho biết chiều rộng của sông bằng
0,5km.

Bài giải
:
A
B C
M
Hình 1-4a


v
u

Thời gian của một chuyến sang sông:
()
s250
2
500
v
l
v
AB
V
AC
t
=====
.
Đáp số: a) u = 0,60m/s ; b) t = 250s.

1-28. Một máy bay bay từ vị trí A tới vị trí B. AB nằm theo hớng Tây Đông và cách
nhau một khoảng 300km. Xác định thời gian bay nếu:
a) Không có gió;
b) Có gió thổi theo hớng Nam Bắc;
c) Có gió thổi theo hớng Tây Đông.
Cho biết vận tốc của gió bằng: v
1
= 20m/s, vận tốc của máy bay đối với không khí v
2

= 600km/h.

Bài giải
:

596
300
V
s
t ,, ==== .
c) Gió xuôi chiều từ Tây sang Đông. Thời gian máy bay cần dùng là:
()
phút 826h4460
72600
300
vv
s
t
12
,, ==
+
=
+
= .
1-29. Hình 1-5 mô tả chuyển động của ba chất điểm.
a) Cho biết tính chất của các chuyển động đó.
b) ý nghĩa của các giao điểm giữa các đồ thị và các trục toạ độ.
c) So sánh vận tốc của ba chất điểm.
A
B C
Hình của bài 1-27
v
u
V



1-30. Hình 1-6 cho đồ thị vận tốc của một chất điểm chuyển động. Hãy cho biết trạng
thái chuyển động của chất điểm trên mỗi đoạn OA, AB, BC, CD.

Bài giải
:

v
t
O
A B

C

D
Hình 1-6
Hình 1-5
v
t
1
3
2
O
Hình 1-5
v
t
1
3
2
O

v
t ==

== t

c) Quãng đờng kể từ lúc hãm đến khi dừng lại:
s = v
0
.t + a.t
2
/2 = . . . = 375m.
2-2. Một thanh gỗ nặng 49N bị kẹp giữa hai mặt phẳng thẳng đứng (hình 2-4). Lực
ép thẳng góc trên mỗi mặt của thanh là 147N. Hỏi lực nhỏ nhất cần để nâng hoặc hạ
thanh gỗ? Hệ số ma sát giữa thanh gỗ và mặt ép k = 0,2.
Bài giải
:
Lực nâng = 107,8N ; lực hạ = 9,8N

Khi muốn hạ thanh gỗ xuống cần một lực nhấn F
Hạ
hớng xuống dới, lực ma sát
trên hai mặt của thanh gỗ hớng lên trên (Hình 2-4a), còn khi muốn nâng thanh gỗ lên
trên thì các lực ma sát lại hớng xuống dới (Hình 2-4b).
Từ các hình vẽ này ta thấy, các lực dùng để hạ (F
Hạ
) và nâng F
N
thanh gỗ phải có các
giá trị nhỏ nhất:
F

F
ms1
F
ms2
Hình 2-4
a
Hình 2-4b
Hình 2-4

23
2-3. Hỏi phải tác dụng một lực bằng bao nhiêu lên một toa tàu đang đứng yên để nó
chuyển động nhanh dần đều và sau thời gian 30 giây nó đi đợc 11m. Cho biết lực ma sát
của toa tàu bằng 5% trọng lợng của toa tàu.

Bài giải
:
Gọi F là lực tác dụng lên toa tàu. Xét theo phơng ngang, lực gây ra gia tốc của toa
tàu, theo định luật Niutơn 2, bằng: F - f
ms
= ma
Trong đó: m là khối lợng và
2
t
s2
a =
là gia tốc của toa tầu.
Từ đó suy ra:
2
ms
t



cos.cos.
Mà, lực ma sát tác dụng lên xe:
F
ms
= kN = k(P - Fsin)

()


sincos FPkF
=


sincos k
kP
F
+
=24

Trờng hợp đẩy xe về phía sau (hình 2-1b)
Bằng cách phân tích tơng tự, ta tính đợc lực ma sát đặt lên xe trong trờng hợp
này là:
F
ms
= kN = k(P + Fsin)

amFNP
ms
.=++
Chiếu phơng trình này theo phơng vuông góc với mặt phẳng nghiêng (phơng Oy)
và phơng song song với mặt phẳng nghiêng (phơng Ox) ta đợc:



=
=+
maFP
0NP
ms


sin
cos





=
=
m
FP
a

0
, k = 0,2, g = 9,8 ta tính đợc a = 3,24m/s
2
.
N

F

F
ms
P

N

F

F
ms
P
Hình 2-1a

Hình 2-1b

F
ms
P


cossin kga =




coscos
sin
g
a
tg
g
ag
k =

= .
Sử dụng kiến thức của chơng I về mối quan hệ v-a-s ta có gia tốc của vật trợt này
là:
S2
v
S2
0v
S2
vv
a
222
2
0
2

=

= 25%P.
Xét theo phơng chuyển động của sợi dây, dây chịu tác dụng của hai lực: P
1
và f
ms
.
Muốn dây bắt đầu trợt phải có P
1
= f
ms
f
ms
= 25%P.
Mà, f
ms
= k .N = k.(75%P).

P
1
f
ms
Hình của bài 2-7