Bài giảng Toán chuyên ngành

BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP TUY HÒA
KHOA GIÁO DỤC ĐẠI CƯƠNG

BÀI GIẢNG
HỌC PHẦN: TOÁN CHUYÊN NGÀNH
(DÀNH CHO HỆ TÍN CHỈ)
1
Bài giảng Toán chuyên ngành

Chương I.
SỐ PHỨC
1.1. Định nghĩa
Định nghĩa. Số phức là một biểu thức có dạng
x iy+
, trong đó
x
và
y
là những số thực,
và kí hiệu
i
gọi là đơn vị ảo. Ta gọi
x
là phần thức và
y
là phần ảo của số phức
x iy+
. Ta

, khi đó
z
được gọi là số thuần ảo.
Chú ý.
2
1i = −
.
Ví dụ. Cho số phức
2 7z i= −
. Khi đó
Re 2,Im 7z z= = −
.
Định nghĩa. Số phức
x iy−
được gọi là số phức liên hợp của số phức
z x iy= +
và được kí
hiệu là
z
.
Định nghĩa. Số phức
( )
x iy− −
được gọi là số phức đối của số phức
z x iy= +
và được kí
hiệu là
z−
.
Định nghĩa. Hai số phức

z
. Khi đó ta viết
1 2
z z z= +
.
b. Tính chất.
1 2 2 1
z z z z+ = +
;
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
z z z z z z+ + = + +
.
1.2.2. Phép trừ
Định nghĩa. Cho hai số phức
1 1 1
z x iy= +
và
2 2 2
z x iy= +
. Ta gọi số phức
z x iy= +
là hiệu
của hai số phức
1
z
và
2
z
nếu

z x iy= +
và
2 2 2
z x iy= +
.
Ta gọi số phức
( ) ( )
1 2 1 2 1 2 2 1
z x x y y i x y x y= − + +
là tích của số phức
1
z
với số phức
2
z
.
Khi đó ta viết
1 2
.z z z=
.
Ví dụ. Cho
1 2
2 5 ; 4 8 .z i z i= − = − +
Tính
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
, , , . , .z z z z z z z z z z+ + +
.
Giải:
Ta có:
2

= − − + = − + + + = − +
b. Tính chất
( )
( )
( )
1 2 2 1
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 1 3
. .
. . .( . )
. . .
1 .
.0 0. 0
z z z z
z z z z z z
z z z z z z z
z z
z z
=
=
+ = +
− = −
= =

1.2.4. Phép chia
Định nghĩa. Cho hai số phức
1 1 1
z x iy= +
và
2 2 2

= = + =
+ +
.
Ví dụ:
2 2 2 2
2 5 2.1 5.( 1) 1.5 2.( 1) 3 7
1 1 1 1 1 2 2
i
i i
i
+ + − − − −
= + = +
− + +
.
Thực tế ta tiến hành chia như sau:
1 1 2 1 2
2
2
2 2
2
. .
.
z z z z z
z
z z
z
= =
.
Ví dụ: Thực hiện phép chia sau:
(2 5 ) :(1 )i i+ −

0x y
được gọi là mặt phẳng phức.
0x
: trục thực
3
Bài giảng Toán chuyên ngành

0y
: trục ảo
Vậy
( )
2
,x iy x y+ ≡ ∈¡
.
1.4. Môđun và argument của số phức
1.4.1. Mô đun của số phức
z
Giả sử
z x iy= +
. Ta gọi
2 2
x y+
là môđun của số phức
z x iy= +
. Kí hiệu:
z
.
Vậy
2 2
z x y= +

]
,
π π
−
mà ta kí hiệu là
arg z
. Vậy
arg z
π π
− < ≤
và
{ }
rg arg 2 ,A z z k k
π
= + ∈¢
.
Để tìm
arg z
, ta dựa vào công thức sau:
Với
0x ≠
, ta có
ar , 0
arg ar , 0, 0
ar , 0, 0
y
ctg x
x
y
z ctg x y

π
π

>


=


− <


1.5. Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức
1.5.1. Dạng lượng giác

4
Giả sử
2 2
r x y= +
: môđun của
z
,
Argz
ϕ
=
: argument của
z
.
Ta có
cos , sinx r y r
Ví dụ. Cho số phức
1z i
= +
. Hãy viết số phức
z
dưới dạng lượng giác.
Giải:
2 2
1 1 2z = + =
;
arg ar .
4
y
z ctg
x
π
= =
Vậy
1 2 os isin .
4 4
z i c
π π
 
= + = +
 ÷
 
1.5.2. Dạng mũ
Giả sử số phức z có dạng lượng giác

   
 
.
Do đó dạng mũ của
z
là
3
4
2.
i
z e
π
−
=
.
1.6. Phép khai căn một số phức
1.6.1. Phép lũy thừa của số phức
Định lí. Giả sử
( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +
. Khi đó,
( )
cos sin
n n
z r n i n
ϕ ϕ
= +
.

2 2
2 os .sin
3 3
8.2 8.2 8.2 8.2
2 os .sin 2 os .sin .
3 3 3 3
1 3 1 3
2 2 .
2 2 2 2
r z z
z c i
z c i c i
z i i
π
π π
π π π π
= = − + = =
 
⇒ = +
 ÷
 
   
⇒ = + = +
 ÷  ÷
   
 
   
⇒ = − + − = − +
 ÷
 ÷  ÷

Chú ý.
a.
0 0
n
=
.
5
Bài giảng Toán chuyên ngành

b. Nếu
0z
≠
thì
n
z
có n giá trị.
* Cho
( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +
. Tìm
n
z
.
Giả sử
w
n
z =
, tức là

. Do đó
( )
( )
[ ]
osn cos 2
2
n 2
sinn sin 2
, 0, 1 .
n
n
n
n
r
c r k
r
k
k
r k
k n
n
ρ
ρ θ ϕ π
ρ
ϕ π
θ ϕ π
ρ θ ϕ π
θ

=

 
 
.
Ví dụ. Tính
i
.
Giải:
Ta có
0 1.i i
= +
. Dạng lượng giác của số phức
i
là:
os isin
2 2
i c
π π
= +
.
Do đó
2 2
5 5
2 2
os isin , 0,1 os isin ; os isin .
2 2 4 4 4 4
k k
i c k c c
π π
π π
π π π π

có phương trình:
( ) ( ) ( )
[ ]
cos sin , 0,2z t x t iy t r t ir t t
γ π
= = + = + ∈
Hoặc
,0 2
it
z re t
π
= ≤ ≤
.
Định nghĩa. Đường cong
γ
được gọi là đường cong Jordan nếu
γ
là đơn ánh.
6
Bài giảng Toán chuyên ngành

Đường cong không Jordan Đường cong Jordan
Định nghĩa. Đường cong
γ
được gọi là đường cong kín nếu
( ) ( )
a b
γ γ
=
.


nối
1 2
,z z
.
Định nghĩa. Tập
D ⊂ £
được gọi là miền nếu
D
mở và liên thông.
Định nghĩa.
D
là miền
n −
liên nếu biên của nó gồm n thành phần.
Ví dụ: Hình tròn là miền đơn liên, hình vành khăn
{ }
:1 2D z z
γ
= ∈ ≤ ≤
là miền nhị liên.
Bài tập:
1. Cho
3 6
1 2
8 , 2
i i
z e z e
π π
= =

 ÷
− −
 
3. Cho
1z i= +
.
a. Tìm
,argzz
.
b. Biểu diễn
z
dưới dạng lượng giác, dạng mũ.
c. Tính
7
z
.
d. Tính
4
z
.
4. Viết dạng lượng giác và dạng mũ các số:
. 5 .1 3 . 2 2 . 3a b i c i d i− − − + − −
.
7
Bài giảng Toán chuyên ngành

5. Giải các phương trình sau trên
£
:
a.

được gọi là tập số phức mở rộng.
Định nghĩa. Giả sử
D ⊂ £
.
Một ánh xạ
:
w
f D
z
→ £
a
được gọi là một hàm số phức xác định trên
D
.
D
: miền xác định của
f
,
( )
f D
: miền giá trị của
f
.
Vì
w
và
z
là những số phức nên ta có thể biểu diễn như sau:
,z x iy w u iv= + = +
Khi đó hàm số

2 2 2
.2z x iy z x y i xy= + ⇒ = − +
.
Đặt
( )
2 2
, :u x y x y= −
phần thực của
( )
f z

( )
, 2 :v x y xy=
phần ảo của
( )
f z
.
Ví dụ. Cho
( )
.
n
w f z z= =
Giả sử
( )
os +isinz x iy r c
ϕ ϕ
= + =
. Khi đó,
( )
n

khi
0
z z→
nếu
0, 0, z D
ε δ
∀ > ∃ > ∀ ∈
mà
0
0 z z
δ
< − <
ta có
( )
f z A
ε
− <
.
9
Bài giảng Toán chuyên ngành

Kí hiệu
( )
0
lim
z z
f z A
→
=
hay

z g z
g B
→
→ → →
→


∃ ± = ±


∃ = = ⇒ ∃ =



 
= ≠

 ÷
 

2.2.2. Tính liên tục của hàm số phức
Định nghĩa.
:f D → £
được gọi là liên tục tại
0
z D∈
nếu
( ) ( )
0
0

.
Suy ra
( )
2 2
0 0 0
z z z z z z− ≤ − +
. Ta xét hình tròn
{ }
B z z r= ∈ ≤£
sao cho
0
,z z B∈
.
Khi đó
2 2
0 0
.2z z z z r− ≤ −
. Chọn
2r
ε
δ
<
.
Khi đó,
2 2
0 0
0, : ,z z z z
ε δ δ ε
∀ > ∃ ∀ − < − <
. Do đó

lim
z
f z z f z
z
∆ →
+ ∆ −
∆
và giới hạn này được gọi là đạo hàm của
f
tại
0
z
, kí hiệu
( )
0
'f z
.
Hàm
f
được gọi là
£
- khả vi trên
D
nếu
f
là khả vi tại mọi
z D∈
.
Ví dụ. Hàm
( )

2.3.2. Các tính chất của đạo hàm
Nếu
( )
f z
và
( )
g z
là
−£
khả vi tại
0
z
thì
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
0
, . , 0
f z
f z g z f z g z g z
g z
α β
+ ≠

cũng là
−£
khả vi tại
0

+ = +
′
′ ′
= +
′
′ ′
−
 
=
 ÷
 
( )
iv
Nếu
( )
w f z=
−£
khả vi tại
0
z
, còn
( )
g w
khả vi phức tại
( )
0 0
w f z=

thì hàm hợp
g fo

-khả vi (hay khả vi theo nghĩa thực) tại
0
z
nếu các
hàm số
( ) ( )
, , ,u x y v x y
khả vi tại
( )
0 0
,x y
.
Định lí. (Điều kiện Cauchy – Rieman).
f
là
£
-khả vi tại
0 0 0
z x iy= +
khi và chỉ khi
f
là
2
¡
-khả vi tại
0
z
và
f
thỏa mãn điều

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
, , , , , ,
u u v v v u
f z x y i x y x y i x y x y i x y
x y y x y y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
′
= − = + = −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Ví dụ. Cho
( )
z
f z e=
. Chứng minh rằng
f
khả vi tại mọi
0 0 0
z x iy= + ∈£

và
( )
z z
e e
′
=
.
Giải:
Giả sử
( )


là
2
¡
-khả vi tại mọi
0
z ∈£
.
Hơn nữa, ta cũng có
11
Bài giảng Toán chuyên ngành

osy
osy
x
x
u
e c
u v
x
v
x y
e c
y
∂

=

∂ ∂
∂


∂ ∂
∂

=

∂

Suy ra
f
thỏa mãn điều kiện Cauchy – Rieman tại mọi
0
z ∈£
.
Vậy
( )
z
f z e=
khả vi tại mọi
0
z ∈£
.(
f
khả vi trên
£
)
Theo nhận xét trên ta có
( )
( )
os +i sin = cos +isin .

D
nếu
f
chỉnh hình tại mọi
z D∈
.
Nhận xét.
a.
f
chỉnh hình tại
0
z
thì
f
khả vi tại
0
z
. Điều ngược lại nói chung không đúng.
Ví dụ.
Cho
( ) ( ) ( )
2 2
.f z z z x iy x iy x y= = − + = +
. Khi đó,
f
là
2
¡
-khả vi trên
£

( )
1
1 1 0
1
1 1 0n n
n n
m m
m m
a z a z a z a
f z
b z b z b z b
−
−
−
−
+ + + +
=
+ + + +
.
trong đó
z x iy= +
là biến phức,
,
i j
a b ∈£
.
Chú ý. mẫu và tử gọi là các đa thức.

2
0
2 1 3 5
0
2 2 4
0
2 1 3 5
0
2 2 4
0
1
! 2! !
sin 1
2 1 ! 3! 5!
osz = 1 1
2 ! 2! 4!

2 1 ! 3! 5!
z = 1
2 ! 2! 4!
n n
z
n
k
k
k
k
k
k
k

= = + + + + +
= − = − + +
+
− = − + +
= = + + +
+
= + + +
∑
∑
∑
∑
∑
b. Một số tính chất
+
w w
. , w,z
z z
e e e
+
= ∀ ∈£
+
0,
z
e z≠ ∀ ∈£
+
z
e
là hàm tuần hoàn với chu kì
2 i
π

hàm sin và cos biến thực đều đúng cho các hàm ở biến phức.
+ Hàm
sin ,cosz z
không bị chặn.
Bài tập
1. Xét tính
−£
khả vi của các hàm số sau:
( )
)a f z z=
( )
) Reb f z z=
( )
) Rec f z z z=
( )
2
. .d f z z z=
( )
( )
2 2 2 2
. 2 2e f z x y xy i xy x y= − − + + −
2. Tính
( ) ( ) ( )
sin ; ;z shz chz
′ ′ ′
.
3. Tìm hàm
( )
f z
nếu:

ta được hàm cần tìm.
Chương III.
TÍCH PHÂN TRONG MẶT PHẲNG PHỨC
3.1. Tích phân của hàm phức
3.1.1. Định nghĩa
Cho
γ
là đường cong có phương trình
( ) ( ) ( )
[ ]
; ,t x t iy t t a b
γ
= + ∈
,
( )
f z
là hàm số xác
định trên
γ
.
14
Bài giảng Toán chuyên ngành

Ta chia đoạn
[ ]
,a b
thành n phần bởi các điểm chia :
0 1 1

k k n

k k
c
γ ζ
=
.
Đặt
1
1 k n
ax
k k
m t t
τ
−
≤ ≤
= −
. Lập tổng
( ) ( )
1
1
n
n k k k
k
S f c z z
−
=
= −
∑
(3.2)
n
S

0 0
1 1
lim lim
n n
k k k k k
k k
f z dz f c z z f c z
τ τ
γ
−
→ →
= =
= − = ∆
∑ ∑
∫
.
* Chú ý. a. Nếu
γ
là đường cong Jordan thì ta định nghĩa tích phân bằng cách phân hoạch
trực tiếp trên
γ
.
Giả sử
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
; .
k k k k
f z u z iv z t t x i y
γ γ
−

τ
→
kéo theo sự tồn tại của các tổng tích phân ở vế phải (3.3) và ta có:
( )
f z dz udx vdy i udy vdx
γ γ γ
= − + +
∫ ∫ ∫
(3.4)
Chú ý. lấy
:t a b
→
.
Nhận xét. Ta có thể tính tích phân hàm phức bằng cách đưa về tích phân đường (loại 2)
như công thức (3.4).
Ví dụ. Tính
I zdz
γ
=
∫
với
γ
là đoạn thẳng nối
0z
=
và
2z i
= +
.
Giải:

= + + − =
 ÷  ÷
   
∫ ∫
.
b. Nếu
( ) ( ) ( )
[ ]
; ,t x t iy t t a b
γ
= + ∈
là đường cong trơn. Khi đó, ta có
( ) ( )
( )
( )
.
b
a
f z dz f t t dt
γ
γ γ
′
=
∫ ∫
(3.5)
trong đó
( ) ( ) ( )
t x t iy t
γ
′ ′ ′

z e
π π π
γ
π
= = = = =
∫ ∫ ∫ ∫
Ví dụ.Tính tích phân sau
dz
z a
γ
−
∫
với
γ
là đường tròn tâm
a
bán kính
r
.
Giải:
Phương trình tham số của
γ
là
( )
[ ]
, 0,2
it
z t a re t
γ π
= = + ∈

γ
với hướng ngược lại.
a. Nếu
,f g
khả tích trên
γ
thì

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
. , .
f z g z dz f z dz g z dz
a f z dz a f z dz a
γ γ γ
γ γ
+ = + 
 
= ∈
∫ ∫ ∫
∫ ∫
£
b. Nếu
f
khả tích trên
γ
thì
( ) ( )
f z dz f z dz
γ γ
+ −


( ) ( ) ( )
1 2 1 2
f z dz f z dz f z dz
γ γ γ γ
+
= +
∫ ∫ ∫
.
3.2. Công thức Newton - Leibnitz
Định nghĩa nguyên hàm. Hàm
( )
F z
được gọi là nguyên hàm của
( )
f z
trên
D ⊂ £
nếu
( ) ( )
,F z f z z D
′
= ∀ ∈
.
Nếu
( )
F z
là nguyên hàm của
( )
f z

thì
( ) ( ) ( )
1 2
f z dz F z F z
γ
= −
∫
(3.6)
Công thức (3.6) được gọi là công thức Newton – Lebnitz. Khi tính tích phân của một hàm
giải tích ta dùng trực tiếp công thức này mà không cần đưa về tích phân đường.
Ví dụ. Tính
,
z
I e dz
γ
γ
=
∫
là cung tròn đi từ điểm
z a= −
đến
, 0z a a= >
.
a
z z a a
a
I e dz e dz e e
γ
−
−

γ
=
∫Ñ
.
Ví dụ.
1 1
0
z
z
e dz
− =
=
∫
Ñ
.
3.3.2. Định lý Cauchy cho miền đa liên
Định lí. Cho
D
là miền đa liên,
f
là hàm chỉnh hình trên
D
và liên tục trên
D
.
Khi đó
( )
0
D
f z dz

=
−
∫Ñ
(3.7)
trong đó
D
γ
là phần mặt phẳng được giới hạn bởi
γ
.
17
Bài giảng Toán chuyên ngành

Ví dụ. Tính
2
1
1
z i
dz
I
z
− =
=
+
∫Ñ
.
Giải:
Ta có
( ) ( )
2 2 2

γ
là một chu tuyến bất kì trong
D
,
0
z D D
γ
∈ ⊂
. Khi đó,
f
khả vi mọi cấp tại
0
z
và
( )
( )
( )
( )
0
1
0
!
, 0,1,2
2
n
n
f z
n
f z dz n
i

2 1 1
1 1 1 1
2
1 2 ,
1!
1 1
z z
z
z z
e e i
I dz dz f ie f z e
z z
π
π
+
− = − =
′
= = = = =
− −
∫ ∫Ñ Ñ
.
Vậy
2I ei
π
=
.
Bài tập:
1. Tính
( )
2

= + = + =
− = =
− + −
+ +
+
− +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Ñ Ñ Ñ
Ñ Ñ Ñ
Ñ Ñ
.
2. Tính
a.
ReI zdz
γ
=
∫
, với
γ
là đoạn thẳng nối
0z =
và
2z i= +
;
b.
.ImI z zdz
γ
=

( )
f t
của biến số thực
t
là hàm gốc nếu nó thoả mãn các điều
kiện sau:
19
Bài giảng Toán chuyên ngành

a.
( )
f t
liên tục từng khúc khi
0t ≥
.
b. Tồn tại
0
0, 0M s> ≥
sao cho với mọi
t
ta có:
( )
0
s t
f t Me≤
0
s
được gọi là số mũ tăng của
( )
f t

+ khi
( )
0, 1t f t≥ =
là hàm liên tục
⇒
điều kiện (a) được thoả mãn;
+ vì
( )
1t
η
≤
nên điều kiện (b) được thoả mãn nếu chọn
0
1, 0M s= =
;
+ Rõ ràng điều kiện (c) là thoả mãn.
Ví dụ. Hàm
( )
0 , 0
sin
sin , 0
t
t t
t t
η
<

=

≥

( )
t
η
và hiểu ngầm tất
cả các hàm đang xét đều triệt tiêu khi
0t
<
. Chẳng hạn, đáng lẽ viết
( ) ( ) ( )
, sin ,
n
t t at t t
η η η
ta chỉ viết
1, sin ,
n
at t
.
(ta viết
( )
g t
thay cho
( ) ( )
t g t
η
)
Định nghĩa. Ta gọi hàm
( )
F p
của biến phức

thì
( )
f t
gọi là phép biến đổi Laplace ngược của hàm
( )
F p
và kí
hiệu là
( ) ( )
{ }
1
f t L F p
−
=
hay
( ) ( )
f t F p
•
•
=
.
Tóm lại:
( ) ( )
{ }
( ) ( )
{ }
1
F p L f t f t L F p
−
= ⇔ =

F p
hội tụ trong miền
0
Re p s>
(nửa mặt
phẳng phức bên phải đường thẳng
0
s s=
).
Chú ý. Không phải mọi hàm phức
( )
F p
đều có nghịch ảnh là một hàm gốc. Chẳng hạn,
( )
2
F p p=
không thể là ảnh của một hàm gốc nào vì
( )
lim
p
F p
→+∞
= +∞
. Điều này mâu thuẫn
với định lí trên.
4.1.2. Biến đổi Laplace của một số hàm quan trọng
Ví dụ. Tìm ảnh qua phép biến đổi Laplace(gọi tắt là ảnh) của hàm
1
.
Ta có

e
−
→
, khi
0t →
,
1
st
e
−
→
.
Vậy
{ }
1
1L
p
=
. (4.2)
Suy ra
1
1
1L
p
−
 
=
 
 
.

Khi
0t
→
,
( )
1
a p t
e
−
→
.
Nếu
( )
Re Rep a s
α
> >
thì khi
t → +∞
,
( ) ( ) ( )
. 0
a p t s t i v t
e e e
α β
− − −
= →
.
Vậy
{ }
1

pt pt pt
pt pt
t e t e e
L t t e dt e dt
p p p p
+∞ +∞ +∞
+∞ +∞
− − −
− −
= = + = −
∫ ∫
Khi
t → +∞
thì
0
pt
e
−
→
; khi
0t
→
thì
1
pt
e
−
→
.
Vậy

{ }
1
!
n
n
n
L t
p
+
=
với
Re 0p >
. (4.5)
Suy ra
1
1
!
n
n
n
L t
p
−
+
 
=
 
 
.
Chú ý. Sau này ta chỉ quan tâm tới sự tồn tại ảnh trong một miền nào đó, mà không để ý

L AF p BG p Af t B g t
−
+ = +
.
Ví dụ. Tính
{ } { }
sin , osL t L c t
.
Ta có
sin , os
2 2 2 2 2 2
it it it it it it it it
e e e e e e e e
t c t
i i i
− − − −
− +
= = − = = +
Theo (4.3):
{ }
1
at
L e
p a
=
−
. Sử dụng tính chất tuyến tính, ta được:
{ }
{ } { }
2

Suy ra
1
2
1
sin
1
L t
p
−
 
=
 
+
 
và
1
2
os
1
p
L c t
p
−
 
=
 
+
 
.
Ví dụ. Tính

−
= = −
Sử dụng công thức (4.3) và tính chất tuyến tính của toán tử Laplace, ta được
( )
{ }
{ } { }
( )
{ }
{ } { }
2 2
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
at at
at at
p
L ch at L e L e
p a p a p a
a
L sh at L e L e
p a p a p a
−
−
= + = × + × =
− + −
= − = × − × =
− + −
Suy ra

F p L f t=
và
k
là một số dương bất kì thì
( )
{ }
1 p
L f kt F
k k
 
=
 ÷
 
(4.7)
Ví dụ. Tính
{ } { }
sin , osL at L c at
.
Sử dụng (4.7), ta có
{ }
2
2 2
1 1 1
sin
1
p a
L at F
a a a p a
p
a

+
 ÷
 
.
4.2.3. Đạo hàm gốc
Định lí. Nếu
( ) ( )
{ }
F p L f t=
và
( )
f t
′
là một hàm gốc thì
( )
{ }
( ) ( )
0L f t pF p f
′
= −
. (4.8)
Hơn nữa, nếu
( )
f t
có đạo hàm tới cấp
n
và các đạo hàm này đều là hàm gốc thì
( )
( )
{ }

n
n
L f t p F p=
.
Ví dụ. Tính
{ }
2
sinL t
.
Ta có
( )
2
sin 2sin . os sin 2t t c t t
′
= =
Suy ra
( )
{ }
2
2
2
sin sin 2
4
L t L t
p
 
′
= =
 
+

′
= + =
 
+
 
Vậy
{ }
( )
2
2
2
sin
4
L t
p p
=
+
.
4.2.4. Đạo hàm ảnh
Định lí. (Định lí nhân) Nếu
( ) ( )
{ }
F p L f t=
thì

( )
{ }
( )
( )
( )

= −
.
Ví dụ. Tính
{ } { }
( )
{ }
( )
{ }
{ } { }
, , , , cos , sin
n n at
L t L t e L tch at L tsh at L t at L t at
.
Ta đã biết
{ }
{ }
( )
{ }
( )
{ }
{ } { }
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1
1 , , , ,
sin , cos .
at
p a
L L e L ch at L sh at
p p a p a p a

sin , cos .
n n at
n
n
n n p a ap
L t L t e L tch at L tsh at
p
p a
p a p a
ap p a
L t at L t at
p a p a
+
+
+
= = = =
−
− −
−
= =
+ +
Ví dụ. Tính
( )
1
2
4
1
L
p
−

       
 ÷  ÷
+ +
+ +
   
   
   
   
   
4.2.5. Tích phân gốc
Định lí. Nếu
( ) ( )
{ }
F p L f t=
thì
( )
( )
0
t
F p
L f t dt
p
 
=
 
 
∫
.
24
Bài giảng Toán chuyên ngành

{ }
sinL at
như sau:
Ta có
0
sin cos
t
at a atdt=
∫
, áp dụng định lí trên, ta được
2 2
2 2
0
1
cos
t
p
p a
L atdt
p p a
 
+
= =
 
+
 
∫
.
Do đó
{ }

1
2
1 1 1 1
2 2 2 2 2
t
t t
t
t r
p
e
L L L dt e dr e
p p p p
−
− − − − −
 
 
   
+
     
= = = − = −
     
+ +
   
   
 
 
 
∫ ∫
.
4.2.6. Tích phân ảnh

1
1
p
L F p
f t
L F p dp
t t
−
+∞
−
 
 
= =
 
 
 
∫
.
Ví dụ. Tính
bt at
e e
L
t
 
−
 
 
.
Vì
{ }

ln 1
a
L
p
−
 
 
 
+
 
 ÷
 
 
 
.
Ta có
25