ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐỖ THỊ PHƯỢNG SAI PHÂN DẠNG VÀ SỰ PHÂN DẠNG CỦA
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - NĂM 2014
Mục lục
Mở đầu 1
1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ SAI PHÂN 2
1.1 Các khái niệm cơ bản về sai phân . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Định nghĩa sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Tính chất của sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Áp dụng tính tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Áp dụng tìm công thức tổng quát của dãy số . . . . 8
2 PHÂN DẠNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN
TÍNH 10
2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . 10
2.1.1 Định nghĩa phương trình sai phân tuyến tính cấp một 10
2.1.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất
với hệ số hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.3 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một không
thuần nhất hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.4 Phương trình sai phân bậc một hệ số hằng với vế phải
là đa thức của n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.5 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng
với vế phải là hàm lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.6 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng
với vế phải là hàm đa thức nhân lũy thừa . . . . . . 14
2.1.7 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng
với vế phải là hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . 15

Chương 1. Trình bày một số khái niệm về sai phân
Chương 2. Phân dạng các phương trình sai phân tuyến tính
Để hiểu và trình bày vấn đề một cách dễ dàng, tác giả đã cố gắng chứng
minh chi tiết các tính chất, giải tường minh các ví dụ miêu tả. Đặc biệt làm
sáng tỏ các khái niệm và các kết quả, các ví dụ được tính toán cẩn thận, đầy
đủ và chi tiết. Các tính toán này thường không được trình bày trong các tài
liệu trích dẫn.
Tác giả chân thành cảm ơn thầy TS.Nguyễn Minh Khoa - Trưởng khoa
Khoa học cơ bản, ĐH Điện Lực, người thầy đã hướng dẫn tận tâm tác giả
hoàn thành luận văn này. Xin được cảm ơn trường ĐH Khoa học (ĐH Thái
Nguyên) nơi tác giả hoàn thành chương trình cao học dưới sự giảng dạy nhiệt
tình của các thầy cô. Cuối cùng xin được cảm ơn gia đình và bạn bè đã động
viên, khích lệ tác giả vượt qua nhiều khó khăn để hoàn thành luận văn này.
Thái Nguyên, tháng 8, 2014
Tác giả
Đỗ Thị Phượng
1
Chương 1
MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ SAI
PHÂN
Các định nghĩa, định lý và các tính chất liên quan tới sai phân trong chương
này được trích theo tài liệu [1], [4].
1.1 Các khái niệm cơ bản về sai phân
1.1.1 Định nghĩa sai phân
a. Định nghĩa sai phân bậc một
Ta gọi sai phân hữu hạn bậc một của hàm số x(n) = x
n
với n ∈ N là
hiệu
∆x

− x
2
= 3; ∆x
3
= x
4
− x
3
= −2.
b. Định nghĩa sai phân cấp cao
Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm x
n
là sai phân của sai phân bậc một của
x
n
và nói chung sai phân cấp k của hàm x
n
là sai phân của sai phân
cấp k − 1 của nó.
Từ đó ta có các công thức của sai phân cấp cao như sau.
2
• Sai phân cấp 2 của hàm x
n
là
∆
2
x
n
= ∆(∆x
n

) = ∆
2
x
n+1
− ∆
2
x
n
= x
n+3
− 2x
n+2
+ x
n+1
− (x
n+2
− 2x
n+1
+ x
n
)
= x
n+3
− 3x
n+2
+ 3x
n+1
− x
n
.

.
Ví dụ 1.2. Xét hàm x
n
trong ví dụ 1.1 ta có:
∆
2
x
0
= x
2
− 2x
1
+ x
0
= 1; ∆
2
x
1
= x
3
− 2x
2
+ x
1
= 1;
∆
2
x
2
= x

= 6;
∆
4
x
0
= x
4
− 4x
3
+ x
2
− 4x
1
+ x
0
= −7.
1.1.2 Tính chất của sai phân
Tính chất 1.1. Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị
hàm số theo công thức
∆
k
x
n
=
k

i=0
(−1)
i
C

=
k

i=0
(−1)
i
C
i
k
x
n+k−i
.
3
Ta chứng minh (1.1) đúng với k + 1 tức là:
∆
k+1
x
n
= ∆
k
x
n+1
−∆
k
x
n
=
k

i=0

i
k
x
n+k−i
=
k+1

i

=1
(−1)
i

−1
C
i

−1
k
x
n+k+1−i

.
Do đó ta nhận được:
∆
k+1
x
n
=
k

n+k+1−i
+ x
n+k+1
+
k

i=1
(−1)
i
C
i−1
k
x
n+k+1−i
+(−1)
k+1
x
n
=
k

i=1
(−1)
i
(C
i
k
+ C
i−1
k

i
C
i
k+1
x
n+k+1−i
.
Vậy công thức (1.1) đúng với k + 1, theo nguyên lý qui nạp công thức
(1.1) đúng với mọi giá trị k ∈ N.
Tính chất 1.2. Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến
tính.
Chứng minh. Ta phải chứng minh
∆
k
(αx
n
+ βy
n
) =
k

i=0
(−1)
i
C
i
k
(αx
n+k+i
+ βy

y
n
.
Tính chất 1.3. Sai phân cấp k của đa thức bậc m là:
4
1. Đa thức bậc m − k nếu k < m.
2. Hằng số, nếu k = m.
3. Bằng 0 nếu k > m.
Chứng minh. Do tính chất 2, sai phân mọi cấp là toán tử tuyến tính,
nên ta chỉ việc chứng minh cho đơn thức P
m
(n) = n
m
là đủ.
1. Ta có
∆n
m
= (n + 1)
m
− n
m
= C
0
m
+ C
1
m
n + + C
m
m

(n + 1)
m
− ∆
s
n
m
= ∆P
m−s
(n) =
P
m−s−1
(n).
Vậy ta có tính chất trên đúng với k = s + 1 < m.
Tức là ta đã chứng minh được (1) theo nguyên lý quy nạp.
2. Khi k = m,( theo chứng minh 1), ta có
∆
m
n
m
= P
m−m
(n) = P
0
(n) = C(const).
3. Khi k > m ta có
∆
k
n
m
= ∆

.
Chứng minh. Ta có
N

n=n
0
∆
k
x
n
=
N

n=n
0
∆(∆
k−1
x
n
)
= ∆
k−1
x
n
0
+1
− ∆
k−1
x
n

k+1
∆x
k
.
Chứng minh. Ta có
∆(x
k
.y
k
) = x
k+1
y
k+1
− x
k
y
k
= x
k+1
y
k+1
− x
k
y
k+1
+ x
k
y
k+1
− x

k
= x
k+1
− x
1
.
Chứng minh
n

k=1
∆x
k
= ∆x
1
+ ∆x
2
+ + ∆x
n−1
+ ∆x
n
= x
2
− x
1
+ x
3
− x
2
+ + x
n

x =
1
4
[3 sin x −sin 3x]
ta nhận được S
n
=
1
4
[3
n
sin
x
3
n
− sin x].
Ví dụ 1.4. Tính tổng S
n
=
n

k=1
2
k+1
tan
2
x
2
k
. tan

tan
2
x
2
n
. tan
x
2
n
− 1
= 2
0

tan
x
2
0
− 2 tan
x
2
1

+ + 2
n−1

tan
x
2
n−1
− 2 tan

(k
2
+ k + 1)k!
Giải. Ta có
(k
2
+ k + 1)k! = [(k + 1)
2
− k].k! = (k + 1)
2
.k! − k.k!
= (k + 1)(k + 1)! −k.k!
= ∆(k.k!).
Vậy S =
n

k=1
∆(k.k!) = (n + 1)(n + 1)! −1.
Ví dụ 1.7. Tính tổng S =
1
1.2.3.4
+
1
2.3.4.5
+ +
1
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
Giải. Ta có S =
n


k(k + 1)(k + 2)

.
7
Vậy S = −
1
3

1
(n + 1)(n + 2)(n + 3)
−
1
1.2.3

.
1.2.2 Áp dụng tìm công thức tổng quát của dãy số
Ví dụ 1.8. Tìm công thức tổng quát của dãy số u
n
thỏa mãn u
1
= 1 và
u
n+1
= 2u
n
+ 3
n
.
Giải. Chia 2 vế của đẳng thức đã cho cho 2
n+1

k=1
∆v
n
=
n

k=1
1
2

3
2

n
hay
v
n+1
− v
1
=
1
2
n

k=1

3
2

n

Ví dụ 1.9. Tìm công thức tổng quát của dãy số u
n
thỏa mãn u
1
= 1 và
u
n+1
= 2u
n
+ n + 1. (1.2)
Giải . Ta có (1.2) ⇔ u
n+1
+ (n + 1) + 2 = 2(u
n
+ n + 2)
Đặt v
n
= u
n
+ n + 2 suy ra v
n+1
= 2v
n
= 2
2
v
n−1
= = 2
n
.4

= n + 1 ⇔ ∆u
n
= n + 1
Lấy tổng 2 vế của đẳng thức trên ta được
n

k=1
∆u
n
=
n

k=1
(n + 1) ⇔ u
n+1
− u
1
= [2.2 + (n −1).1].
n
2
⇔ u
n+1
=
n(n + 3)
2
+ u
1
hay u
n
=

+ n + 1 −3
n
).
Đặt v
n
= u
n
+ n + 1 −3
n
suy ra v
n+1
= 2v
n
= 2
2
v
n−1
= = 2
n
v
1
= 0
suy ra v
n
= 0 hay v
n
= 3
n
− n − 1. Thử lại ta thấy nghiệm này thỏa
mãn điều kiện bài ra.

=
n

k=1
2
n
+ n ⇔ u
n+1
− u
1
=
n(n + 1)
2
+ 2
n+1
− 2
⇔ u
n+1
= u
1
+
n(n + 1)
2
+ 2
n+1
− 2
hay u
n
= u
1

x
n
= f
n
, (2.2)
a
n
, b
n
được gọi là hệ số, x
n
là ẩn, f
n
là vế phải.
Ví dụ 2.1. Xét phương trình sai phân tuyến tính bậc một
nx
n+1
+ (n + 1)x
n
= n
2
+ n.
Phương trình này có nghiệm x
n
=
n
2
.
Nhận xét 2.2.
i. Nếu f

Vậy ta có phương trình sai phân x
n+1
= 1, 02x
n
; x
1
= α.
Ví dụ 2.3. Mô tả biến động của thị trường, tại thời điểm thứ n.
Giải. Gọi P
n
là giá, S
n
là cầu, D
n
là cung. Khi đó tốc độ giá cả là :
P
n+1
− P
n
∆t
= −u(S
n
− D
n
).
Từ đó dẫn đến phương trình sai phân:
P
n+1
− P
n

=

−b
a

3
x
n−2
= =

−b
a

n
x
1
=

−b
a

n+1
x
0
với x
0
là giá trị xuất phát
Cách giải 2. (Tổng quát hơn, mở rộng được cho phương trình cấp k)
Rõ ràng x
n

n
x
0
.
Ví dụ 2.4. Năm 1990, Hà Nội có 1,6 triệu người. Tốc độ tăng dân số hàng
năm là 1%. Hỏi năm 2000 Hà Nội có bao nhiêu người?
Giải. Đánh số thứ tự sao cho n = 0 ứng với năm 1990, n = 1 ứng với năm
1991, n = 10 ứng với năm 2000.
Gọi x
n
là số người của Hà Nội tại thời điểm thứ n.
Theo bài toán ta có phương trình x
n+1
= 1, 01x
n
; x
0
= 1, 6 triệu. Vậy
q = 1, 01 suy ra x
10
= 1, 6.(1, 01)
10
= 1, 6.1, 104621 ≈ 1, 77 triệu người.
2.1.3 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một không thuần
nhất hệ số hằng
Định nghĩa 2.3. Phương trình sai phân tuyến tính bậc một không thuần
nhất hệ số hằng là phương trình có dạng:
ax
n+1
+ bx

n
= 1.
Giải. Có ¯x
n
= c.3
n
và x
∗
n
= −
1
2
suy ra nghiệm tổng quát của phương trình
là x
n
= c.3
n
−
1
2
.
12
2.1.4 Phương trình sai phân bậc một hệ số hằng với vế phải là
đa thức của n
Định nghĩa 2.4. Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng với
vế phải là đa thức của n có dạng:
ax
n+1
+ bx
n

m
(n) là đa thức bậc m của n.
Trường hợp 2. Nếu λ = 1 thì x
∗
n
= n.Q
m
(n).
Ví dụ 2.6. Giải phương trình x
n+1
− 15x
n
= −14n + 1; x
0
= 2014.
Giải. Dễ thấy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là ¯x
n
= c.15
n
.
Vì λ = 15 = 1, ta tìm nghiệm riêng ở dạng x
∗
n
= an + b suy ra x
∗
n+1
=
a(n + 1) + b.
Thay vào phương trình ban đầu ta có:
a(n + 1) + b − 15(an + b) = −14n + 1.

Giải. Ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
x
n
= cλ
n
= c vì λ = 1.
Do đó nghiệm riêng x
∗
n
= n(an + b); x
∗
n+1
= (n + 1)[a(n + 1) + b].
Thay vào phương trình đã cho và so sánh các hệ số ta được : a = −1; b = 0.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm riêng là: x
∗
n
= −n
2
.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: x
n
= ¯x
n
+ x
∗
n
= c −n
2
.

∗
n
= c.n.β
n
.
Ví dụ 2.8. Giải phương trình x
n+1
− 3x
n
= 5
n
; x
0
= 100, 5.
Giải. Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất ¯x
n
= c.3
n
.
Vì α = 3 = β = 5 suy ra nghiệm riêng x
∗
n
= c.5
n
.
Thay vào phương trình đã cho ta có c =
1
2
suy ra x
∗

2.1.6 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng với
vế phải là hàm đa thức nhân lũy thừa
Định nghĩa 2.6. Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng với
vế phải làm hàm đa thức nhân lũy thừa là phương trình có dạng:
ax
n+1
+ bx
n
= P
m
(n).β
n
. (2.7)
Cách giải.
Trường hợp 1. Nếu λ = β thì ta tìm nghiệm riêng dưới dạng x
∗
n
= Q
m
(n).β
n
.
Trường hợp 2. Nếu λ = β thì x
∗
n
= n.Q
m
(n).β
n
.

14
⇒









a =
1
4
b =
5
4
⇒ x
∗
n
= n

1
4
n +
5
4

.2
n

Ví dụ 2.10. Giải phương trình
√
2x
n+1
− x
n
= −sin
nπ
4
.
Giải. Phương trình đã cho ⇔ x
n+1
−
1
√
2
x
n
=
−1
√
2
sin
nπ
4
.
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là ¯x
n
= c


+ B sin
(n + 1)π
4
−
1
√
2

A cos
nπ
4
+ B sin
nπ
4

=
−1
√
2
sin
nπ
4
Biến đổi và rút gọn ta được −A sin
nπ
4
+ B cos
nπ
4
= −sin
nπ

Định nghĩa 2.8. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng có
dạng:
ax
n+1
+ bx
n
= f
(1)
n
+ f
(2)
n
, (2.9)
trong đó f
(1)
n
và f
(2)
n
là đa thức hay lũy thừa hay đa thức nhân lũy thừa hay
hàm lượng giác.
Cách giải. Ta dùng nguyên lý chồng chất nghiệm tìm nghiệm riêng ở dạng
x
∗
n
= x
∗(1)
n
+ x
∗(2)

+ 2
n
; x
0
= 2.
Giải. Ta có ¯x
n
= c; x
∗(1)
n
= n(an
2
+ bn + c).
Xét phương trình x
n+1
− x
n
= 2n
2
. Thay x
∗(1)
n
vào phương trình ta được
(x + 1)(a(n + 1)
2
+ b(n + 1) + c) − n(an
2
+ bn + c) = 2n
2
.

c.2
n+1
− c2
n
= 2
n
⇔ 2c −c = 1 ⇔ c = 1 ⇔ x
∗(2)
n
= 2
n
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là:
x
n
= c + 2
n
+
1
3
n(2n
2
− 3n + 1).
Ta có x
0
= 2 suy ra c + 1 = 2 hay c = 1.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x
n
= 1 + 2
n

+ . . . + x
∗(k)
n
.
16
2.1.9 Phương trình sai phân tuyến tính bậc một hệ số hằng giải
bằng phương pháp biến thiên hằng số
Định nghĩa 2.9. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng giải
bằng phương pháp biến thiên hằng số có dạng:
ax
n+1
+ bx
n
= f
n
, (2.11)
f
n
bất kì a, b = 0.
Cách giải. Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất ¯x
n
= c.λ
n
với λ =
−b
a
. Để tìm nghiệm riêng ta cho c biến thiên theo n: x
∗
n
= c

n+1
.5
n+1
− 5.c
n
.5
n
= 2.5
n+1
. Suy ra ∆c
n
= 2 = ∆2n hay c
n
= 2n
x
∗
n
= 2n.5
n
suy ra nghiệm tổng quát của phương trình x
n
= c.5
n
+ 2n.5
n
.
x
0
= 1 suy ra c = 1.Vậy nghiệm của phương trình là x
n

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là x
n
= c + n!.
Bài tập. Giải các phương trình sai phân sau
1. x
n+1
− 5x
n
= −3
n
.
2.
√
2x
n+1
− 2
√
2x
n
= (1 −2
√
2) sin
nπ
4
+ cos
nπ
4
.
3. x
n+1

+ cx
n
= f
n
, (2.12)
trong đó a, b, c là hằng số, a, c = 0.
Nếu f
n
= 0 thì ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp
hai hệ số hằng:
ax
n+2
+ bx
n+1
+ cx
n
= 0. (2.13)
Ví dụ 2.14. Hãy mô tả quy luật sản xuất của một nhà máy thủy điện biết
rằng sản lượng điện mỗi tháng tăng 2% so với sản lượng điện của tháng trước
cộng với 0, 5% sản lượng điện của tháng trước nữa.
Giải. Gọi x
n
là sản lượng điện của tháng thứ n. Ta có:
x
n+1
= x
n
+ 2%x
n
+ 0, 5%x

ax
n+2
+ bx
n+1
+ cx
n
= 0. (2.14)
18
Cách giải. Phương trình (2.14) có nghiệm tầm thường x
n
= 0.
Ta tìm nghiệm khác 0 ở dạng x
n
= αλ
n
, α = 0, λ = 0.
Thay vào phương trình (2.14) ta nhận được
aλ
2
+ bλ + c = 0 (2.15)
Ta gọi (2.15) là phương trình đặc trưng của (2.14). Nghiệm của (2.14)
phụ thuộc vào nghiệm của phương trình đặc trưng (2.15).
Trường hợp 1. Nếu (2.15) có hai nghiệm thực λ
1
= λ
2
thì nghiệm tổng
quát của (2.14) là
x
n

n
= 0.
Giải. Phương trình đặc trưng λ
2
− 7λ + 6 = 0 có nghiệm λ
1
= 1, λ
2
= 6.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: x
n
= A + B.6
n
.
Ví dụ 2.16. Giải phương trình sai phân
x
n+2
− 4x
n+1
+ 4x
n
= 0.
Giải. Phương trình đặc trưng λ
2
− 4λ + 4 = 0 có nghiệm kép λ = 2.
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: x
n
= (A + Bn)2
n
.

3

nên nghiệm tổng quát
x
n
= 2
n

A cos
nπ
3
+ B sin
nπ
3

.
Ta lại có x
0
= A = 1; x
1
= 1 = 2

cos
π
3
+B sin
π
3

, nhận được B = 0. Vậy

, với x
∗
n
là nghiệm riêng tìm như sau:
Trường hợp 1. Nếu λ = 1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì
tìm nghiệm riêng x
∗
n
= Q
k
(n), với Q
k
(n) là đa thức bậc k của n chưa biết
hệ số.
Trường hợp 2. Nếu λ = 1 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì
nghiệm riêng x
∗
n
= nQ
k
(n).
Trường hợp 3. Nếu λ = 1 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì
nghiệm riêng x
∗
n
= n
2
Q
k
(n).

= (n + 2)C.
Thay vào phương trình đã cho ta có:
(n + 2)C −6(n + 1)C + 5nC = 2016
⇔ −4C = 2016 ⇔ C = −504.
20
Vậy x
∗
n
= −504n.
Ta có nghiệm tổng quát của phương trình là: x
n
= A = B.5
n
− 504n.
Ví dụ 2.19. Giải phương trình x
n+2
+ 4x
n+1
− 5x
n
= 12n + 8.
Giải. Phương trình đặc trưng λ
2
+ 4λ −5 = 0 có nghiệm λ
1
= 1, λ
2
= −5
nên ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
x

. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
x
n
= x
n
+ x
∗
n
= A + B(−5)
n
+ n
2
.
Dạng 3. Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp hai hệ số
hằng số dạng:
ax
n+2
+ bx
n+1
+ cx
n
= A.β
n
. (2.17)
Cách giải. Nghiệm tổng quát của phương trình (2.17) là:
x
n
= x
n
+ x

n
.
Ví dụ 2.20. Giải phương trình x
n+2
− x
n+1
− 2x
n
= −3.(2)
n
21