84 Bài tập ôn thi học sinh giỏi Toán 7
Bài 1 Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025.
Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203
Bài 2
Cho
20052004432
3
1
3
1

3
1
3
1
3
1
3
1
++++++=B
Chøng minh r»ng
2
1
<B
.
Bài 3 : TÝnh
1 1 1 1

2 3 4 2012
2011 2010 2009 1


11
1


















−






−+



+
=
+
Bài 7 : Cho a,b,c
∈
R và a,b,c
≠
0 thoả mãn b
2
= ac. Chứng minh rằng:

c
a
=
2
2
( 2012 )
( 2012 )
a b
b c
+
+
Bài 8 : Chøng minh r»ng nÕu
d
c
b
a
=
th×
dc

Bài 10 Cho tØ lÖ thøc
d
c
b
a
=
. Chøng minh r»ng:

22
22
dc
ba
cd
ab
−
−
=
vµ
22
22
2
dc
ba
dc
ba
+
+
=



M
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
Bài 12 : a) Chøng minh r»ng:
NÕu
cba
z
cba
y
cba
x
+−
=
−+
=
++ 4422
Th×
zyx
c
zyx

++
++
3
Bi 13 : Cho 3 s x , y , z khỏc 0 tha món iu kin :
y z x z x y x y z
x y z
+ + +
= =
Hóy tớnh giỏ tr ca biu thc : B =
1 1 1
x y z
y z x


+ + +
ữ
ữ ữ


Bi 14 : Cho cỏc s a,b,c,d khỏc 0 . Tớnh T =x
2011
+ y
2011
+ z
2011
+ t
2011
Bit x,y,z,t tha món:
2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010
2 2 2 2 2 2 2 2

Bi 19 : Tỡm x, bit rng:
1 2 1 4 1 6
18 24 6
y y y
x
+ + +
= =
Bi 20: Tìm x, y, z biết:
zyx
yx
z
zx
y
yz
x
++=
+
=
++
=
++ 211
(x, y, z
0
)
Bi 21 : Tìm x, y, z biết
216
3
64
3
8

+ .+ (-3)
x
=
1006
9 1
4

Bi 25 : Tỡm x bit :
a)
2011 2012x x =
b)
2010 2011 2012x x + =
Bi 26 : a.Tìm x biết
431 =++ xx
b. Tìm x biết:
426
22
+=+ xxx

c. Tìm x biết:
54232 =+ xx
Bi 27 : a)Tìm các giá trị của x để:
xxx 313 =+++
Biờn son : Nguyn Nh Qung THCS Hp Thanh - 2 -
84 Bi tp ụn thi hc sinh gii Toỏn 7
b) Tỡm x bit:
2 3 2x x x =
Bi 28 : tỡm x bit :
a)
1 4x

+ 2
n
= 2
m

+n
b) 2
m
2
n
= 256
Bi 37 : Tỡm cỏc s t nhiờn x, y , bit:
a) 2
x + 1
. 3
y
= 12
x
b) 10
x
: 5
y
= 20
y
Bi 38 : Tỡm x , bit :
( ) ( )
1 11
7 7 0
x x
x x

23
=++
và
c
a 53 =+
Bi 43 : Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho:
12
n
chia hết cho 7.
Bi 44: Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn:
2
2 2 2
5 2013 5
p p
q+ = +
Bi 45 Tìm số nguyên m để:
a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1.
b)
313 <m
Bi 46 a) Tìm x nguyên để 6
1+x
chia hết cho 2
3x
b) Tìm
Zx
để A Z và tìm giá trị đó.
Bi 47: Tỡm x nguyờn A =
3
21
+

+
+
* Dng vn dng A
2n


0 vi mi A, - A
2n


0 vi mi A.
Bi 51 : Tỡm GTNN ca biu thc :
a) P = ( x 2y)
2
+ ( y 2012)
2012
b) Q = ( x + y 3)
4
+ ( x 2y)
2
+ 2012
Bi 52 : Tỡm GTLN ca R =
4
2
2013
( 2) ( ) 3x x y + +
Bi 53 : Cho phân số:
54
23


a)
2011 2012A x x= +
Bi 57: Cho a, b, c > 0 . Chứng tỏ rằng:
ac
c
cb
b
ba
a
M
+
+
+
+
+
=
không là số nguyên.
Bi 58 : Vi a, b, c l cỏc s dng . Chng minh rng
a)
1 1
( )( ) 4a b
a b
+ +
(1) b)
1 1 1
( )( ) 9a b c
a b c
+ + + +
(2)
Bi 59 : a) Cho z, y, z là các số dơng.

cba
Bi 61 Cho đa thức
cbxaxxf ++=
2
)(
với a, b, c là các số thực. Biết rằng f(0); f(1); f(2) có giá trị
nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.
Bi 62 Chứng minh rằng: f(x)
dcxbxax +++=
23
có giá trị nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi
6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên.
Bi 63 : Cho x = 2011. Tính giá trị của biểu thức:
2011 2010 2009 2008 2
2012 2012 2012 2012 2012 1x x x x x x + + +
Bi 64 : Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận đợc sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: A(x) =
2005220042
)43(.)43( xxxx +++
Biờn son : Nguyn Nh Qung THCS Hp Thanh - 4 -
84 Bi tp ụn thi hc sinh gii Toỏn 7
Bi 65 : Mt vt chuyn ng trờn cỏc cnh hỡnh vuụng. Trờn hai cnh u vt chuyn ng vi vn tc
5m/s, trờn cnh th ba vi vn tc 4m/s, trờn cnh th t vi vn tc 3m/s. Hi di cnh hỡnh
vuụng bit rng tng thi gian vt chuyn ng trờn bn cnh l 59 giõy
Bi 66 : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây. Mỗi học sinh lớp 7A trồng
đợc 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc 5
cây,. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh. Biết rằng số cây mỗi lớp trồng đợc đều
nh nhau.
Bi 67 : Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi đợc nửa quãng đờng ô tô tăng
vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút.
Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.

Bi 73: Cho tam giác ABC có Â < 90
0
. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và
bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Gi M l trung im ca DE k tia M A . Chng minh
rng : MA

BC
Bi 74 : Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E
sao cho BD = CE. Các đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lợt ở M, N.
Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đờng thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
c) Đờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC
Bi 75 : Cho ABC vuụng ti A, K l trung im ca BC . Qua K k ng thng vuụng gúc vi AK ,
ng thng ny ct cỏc ng thng AB v AC ln lt D v E Gi I l trung im ca DE .
a) Chng minh rng : AI

BC
b) Cú th núi DE nh hn BC c khụng ? vỡ sao?
Bi 76: Cho tam giỏc ABC (AB > AC ) , M l trung im ca BC. ng thng i qua M v vuụng gúc
vi tia phõn giỏc ca gúc A ti H ct hai tia AB, AC ln lt ti E v F. Chng minh rng:
a)
2
2 2
4
EF
AH AE
+ =
b)
ã

c)
2
ACAB
AE
+
=
Bi 81 Cho tam giác ABC có góc A khác 90
0
, góc B và C nhọn, đờng cao AH. Vẽ các điểm D, E sao
cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE. Gọi I, K lần lợt là giao điểm của DE
với AB và AC.
a) Chng minh : Tam giỏc ADE cõn ti A
b) Tính số đo các góc AIC và AKB ?
Bi 82. Cho ABC vi gúc A khụng vuụng v gúc B khỏc 135
o
. Gi M l trung im ca BC. V phớa
ngoi ABC v ABD vuụng cõn ỏy AB. ng thng qua A vuụng gúc vi AB v ng thng qua
C song song vi MD ct nhau ti E. ng thng AB ct CE ti P v DM ti Q . Chng minh rng Q l
trung im ca BP.
Bi 83. Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú
à
0
A 20=
, v tam giỏc u DBC (D nm trong tam giỏc
ABC). Tia phõn giỏc ca gúc ABD ct AC ti M. Chng minh:
a) Tia AD l phõn giỏc ca gúc BAC
b) AM = BC
Bi 84 Cho tam giỏc ABC vuụng ti A ( AB > AC) . Tia phõn giỏc gúc B ct AC D. K DH vuụng gúc
vi BC. Trờn tia AC ly im E sao cho AE = AB . ng thng vuụng gúc vi AE ti E ct tia DH
K . Chng minh rng :