Phần I: Mở đầu
Trong quá trình dạy học sinh môn toán lớp 8, đặc biệt trong khi bồi dỡng HSG có
những bài toán chứng minh bất đẳng thức, tôi nhận thấy học sinh còn nhiều vớng
mắc về phơng pháp giải, quá trình giải thiếu logic và cha chặt chẽ, cha xét hết các
trờng hợp xảy ra. Lí do là học sinh cha nắm vững định nghĩa, tính chất của bất
đẳng thức, cũng nh các hằng bất đẳng thức,cha phân biệt và cha nắm đợc các ph-
ơng pháp giải đối với từng dạng bài tập.Mặt khác sách giáo khoa lại cha đề cập
nhiều về cách giải, do đó HS cha có đợc phơng pháp giải những bài tập này. Vì
thế trong quá trình dạy về vấn đề này tôi nghĩ cần phải làm thế nào để học sinh
biết áp dụng định nghĩa, tính chất bất đẳng thức để phân chia đợc các dạng, tìm ra
đợc phơng pháp giải đối với từng dạng bài. Từ đó học sinh thấy tự tin hơn khi gặp
loại bài tập này và có kỹ năng giải chặt chẽ hơn, có ý thức tìm tòi, sử dụng phơng
pháp giải nhanh gọn, hợp lí .Chính vì những lí do trên mà tôi chọn và trình bày
kinh nghiệm: Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
Phần II: Nội dung
A. Cơ sở thực tiễn
Học sinh cha nắm vững định nghĩa, tính chất của bất đẳng thức, cũng nh
các hằng bất đẳng thức,cha phân biệt và cha nắm đợc các phơng pháp giải đối với
1
phòng giáo dục đào tạo huyện quỳnh phụ
Giải pháp công nghệ
Một số ph ơng pháp chứng minh
bất đẳng thức
Năm học 2010 - 2011
Mã trờng:
từng dạng bài tập .Chính vì vậy mà khi gặp dạng toán này học sinh thờng ngại,
lúng túng không tìm đợc hớng giải và khi giải hay mắc sai lầm.
B. giải pháp
I. Những kiến thức cơ bản
1/ Định nghĩa bất đẳng thức
Hệ thức dạng a > b ( hoặc a < b, a

a > b > 0

a
n
> b
n
a > b <=> a
n
> b
n
với n lẻ.
| a | > | b | <=> a
n
> b
n
với n chẵn.
So sánh hai lũy thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dơng:
Nếu m > n > 0 thì: a > 1

a
m
> a
n
a = 1

a
m
= a
n
0 < a < 1


0
| a + b | | a | + |b |. Xảy ra đẳng thức khi ab

0
| a - b |

| a | - |b |. Xảy ra đẳng thức khi ab > 0 và | a|

|b |
a
2
+ b
2

2ab
(
+a b
2
)
2

ab hay ( a + b )
2

4 ab ( bất đẳng thức CoSi)

1
a
+

2
+ by
2
) ( bất đẳng thức Bu-nhi a cốp- xki)
II.Các ph ơng pháp chứng minh bất đẳng thức
1/ Ph ơng pháp dùng định nghĩa.
Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A B và chứng minh A B là số dơng.
Ví dụ 1: Chứng minh x +
1
x

2 nếu x > 0
Giải
Xét hiệu x +
1
x
- 2 =
+
2
x 2x 1
x
=
2
(x-1)
x
Vì x > 0,( x 1 )
2

0 nên x +
1

- 1
2/ Ph ơng pháp d ùng các tính chất của bất đẳng thức.
Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: a
2
+ b
2
+ 1

ab + a + b
Giải
Ta có: a
2
+ b
2

2ab ( 1)
b
2
+ 1

2b ( 2)
a
2+ 1

2a ( 3 )
Cộng từng vế của (1); (2) và (3): : 2a
2

b c
+
+
b
c a
+
+
c
a b


1,5
Giải
a) Ta có A = ( a + b + c) (
1
a
+
1
b
+
1
c
) = 1 +
a
b
+
a
c
+
b

Dễ dàng chứng minh
x
y
+
y
x


2 với x, y dơng.
Do đó A

3 + 2 + 2 + 2 = 9. Vậy A

9
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
b) áp dụng bất đẳng thức câu a ta có ( x + y + z) (
1
x
+
1
y
+
1
z
)

9
trong đó x, y, z > 0
Với x= b + c, y = a + c, z = a + b ta đợc:
2( a + b + c) (

4,5


+ +
+
a b c
b c
+
+ +
+
a b c
a c
+
+ +
+
a b c
a b


4,5


+
a
b c
+ 1 +
+
b
a c
+ 1 +

0. Chứng minh rằng:
( x + y ) (y + z ) ( z + x )

8xyz. (1)
Giải
Hai vế của (1) đều không âm nên để chứng minh (1), ta sẽ chứng minh
(x + y )
2
(y + z )
2
(z + x )
2

64 x
2
y
2
z
2

Ta có : (z + x )
2

4xz

(x + y )
2

4xy


Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n

2

3
1
2
+
3
1
3
+
3
1
4
+ . . . +
3
1
n
<
1
4
Giải
Gọi A là vế trái của bất đẳng thức trên. Ta sử dụng tính chất bắc cầu của bất đẳng
thức dới dạng phơng pháp làm trội: để chứng minh A < B, ta làm trội A thành C
( A < C ) rồi chứng minh C B.
Làm trội mỗi phân số ở A bằng cách làm giảm các mẫu, ta có:

3
1

4 4
+ . . . +

3
1
n n

=
1
1.2.3
+
1
2.3.4
+
1
3.4.5
+ . . . +
+
1
(n 1)n(n 1)
.
Đặt C =
1
1.2.3
+
1
2.3.4
+
1
3.4.5

1
3.4
+
1
3.4
-
1
4.5
+ +

1
(n 1)n
-
+
1
n.(n 1)
4
=
1
2

1
2
-
+
1
n.(n 1)
=
1
4


2:
1 +
1
2
+
1
3
+ . . . +

n
1
2 1
< n
Giải
Gọi vế trái của bất đẳng thức trên là A, ta có:
A = 1+(
1
2
+
1
3
)+(
2
1
2
+ +
1
7
) + (

n 1
1
2
. 2
n-1
= 1 + 1 +1 + + 1 = n
Vậy 1 +
1
2
+
1
3
+ . . . +

n
1
2 1
< n
3/ Ph ơng pháp : Dùng ph ơng pháp phản chứng.

Ví dụ: a) Chứng minh bất đẳng thức (a + b)
2

4ab
b) Cho a
2
+ b
2
2. Chứng minh rằng a + b 2
Giải

> 4 ( 1)
Mặt khác ta có 2ab a
2
+ b
2


a
2
+ 2ab + b
2
2 (a
2
+ b
2
)
Mà 2 (a
2
+ b
2
) 4 ( giả thiết), do đó a
2
+ 2ab + b
2
4 mâu thuẫn với ( 1)

Vậy

a + b 2
4/ Ph ơng pháp : Dùng các phép biến đổi t ơng đ ơng.

9 ab ( vì ab > 0)
<=> a + b + 1

8 ab <=> 2

8 ab (vì a + b = 1 )
<=> 1

4 ab <=> ( a + b )
2

4 ab (vì a + b = 1 )
<=> ( a - b )
2

0 ( 2 )
Bất đẳng thức ( 2) đúng, mà các phép biến đổi trên tơng đơng. Vậy bất
đẳng thức ( 1) đợc chứng minh.
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b
5
Chú ý : Khi sử dụng phép biến đổi tơng đơng, cần lu ý các biến đổi tơng đơng có
điều kiện, ví dụ a
2
> b
2
<=> a > b với a, b > 0

m > n <=> a
m
> a

- (k+1)
3
= 2. 2
k
- k
3
3k
2
3k 1 = 2 (2
k
k
3
) + k
3
3k
2

3k 1
Theo giả thiết quy nạp 2
k
> k
3
ta cần chứng minh k
3
3k
2
3k 1 > 0. Ta có:
k
3
3k

1
n 1
+
+
1
n 2
+
+
1
n 3
+ +
1
2n
>
13
24
với mọi số tự nhiên n

2
Giải
+ Bất đẳng thức đúng với n = 2 vì S =
1
3
+
1
4
=
7
12
>

+ +
1
2k
>
13
24
S
k+1
=
+
1
k 2
+
+
1
k 3
+
+
1
k 4
+ +
+
1
2(k 1)
Do đó S
k+1
- S
k
=
+

13
24
Vậy
+
1
n 1
+
+
1
n 2
+
+
1
n 3
+ +
1
2n
>
13
24
với mọi số tự nhiên n

2
III. Vài điểm chú ý khi chứng minh bất đẳng thức.
Chú ý 1: Khi chứng minh bất đẳng thức , nhiều khi ta cần đổi biến.
Ví dụ : Cho a + b + c = 1. chứng minh rằng a
2
+ b
2
+ c

2
+ (
1
3
+ z)
2
6

=(
1
9
+
2
3
x + x
2
) + (
1
9
+
2
3
y + y
2
) + (
1
9
+
2
3

3
Chú ý 2: Với các bất đẳng thức mà các biến có vai trò nh nhau, ta có thể sắp
thứ tự các biến.
Ví dụ : Chứng minh bất đẳng thức abc

( b + c a)( a + c b) ( a + b c )
với a, b, c là các số dơng.
Giải.
Do vai trò của a, b, c nh nhau, ta giả sử rằng a

b

c. Xét hai trờng hợp
* b + c a khi đó vế trái của bất đẳng thức là số dơng, còn vế phải không d-
ơng. Bất đẳng thức đợc chứng minh.
* b + c > a khi đó hai vế của bất đẳng thức đều dơng.
Ta có ( b + c a) ( b + a c) = b
2
( c- a )
2
b
2
( a + c b) ( b + c a) = c
2
( a- b )
2
c
2
( b + a c) ( c + a b) = a
2

x
8
x
7
+ x
2
x + 1 =

x
7
( x 1 ) ( x 1) +

x
2

= ( x 1 ) (x
7
1) +

x
2
Nếu x

1 thì x
7

1, do đó ( x 1 ) (x
7
1)


3/
3
4
+
5
36
+
7
144
+ +
+
+
2 2
2n 1
n (n 1)
< 1 ( n nguyên dơng )
Bài 2: Cho ba số a, b, c khác nhau đôi một. Chứng minh rằng tồn tại một trong
các số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ hơn ( a + b + c )
2
.
Bài 3: Cho a, b, c, là ba cạnh của một tam giác. chứng minh rằng
7
+
a
b c
+
+
b
c a
+

3)Phan Văn Đức- Nguyễn Hoàng khanh:Tuyển tập các bài toán hay và khó - 2004
4) Phan Văn Đức- Nguyễn Hoàng khanh - Tuyển chọn 400 bài tập toán 8
5)Vũ Hữu Bình Toán bồi dỡng học sinh lớp 8- NXB Giáo dục 2007.

8