 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 1 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
Chuyên đề
CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT ĐIỆN TRONG ĐIỆN TỪ TRƯỜNG
Chuyển động của các hạt tích điện – gọi tắt là các hạt điện – trong điện từ trường được ứng dụng trong
nhiều dụng cụ điện tử quan trọng như ống tia điện tử trong dao động kí điện tử, trong ống hình của máy thu
hình và máy tính, kính hiển vi điện tử, máy gia tốc,… Vì vậy những hiểu biết về sự chuyển động của các hạt
điện trong điện từ trường rất cần cho những người làm chuyên môn trong ngành điện tử. Và với những ứng
dụng thiết thực đó, bài toán chuyển động của các hạt tích điện trong điện từ trường cũng được đề cập khá nhiều
trong các đề thi học sinh giỏi và trong các kì thi olympic. Bài toán bao quát một phạm vi kiến thức khá rộng về
điện và cơ. Vì vậy việc giới thiệu các dạng khác nhau của loại bài toán này là rất bổ ích đối với học sinh.
Bài 1: CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT ĐIỆN TRONG ĐIỆN TỪ TRƯỜNG
1. Phương trình tổng quát
Giả thiết một hạt điện có khối lượng m, điện tích q, chuyển động với vận tốc
v

trong không gian tồn tại
một điện trường
E

và một từ trường
B

, hạt điện sẽ chịu một lực tác dụng:


BvqEqF








 (1.2)
a

là gia tốc của hạt điện, đo bằng m/s
2
Ta có:


BvqEq)vm(
dt
d
F





 (1.3)


BvqEq
dt
pd
F





 )r(BB




2. Năng lượng của hạt điện chuyển động trong điện từ trường
Từ phương trình chuyển động (1.3) của hạt điện, nhân vô hướng hai vế với v



BvvqEvq)vm(
dt
d
v





Ta có Evq)vm(
dt
d
2
1
2


 (1.4)
Lấy tích phân hai vế của (1.4) theo thời gian từ t

2
1
2
1
2
2
)VV(qdVqsdEqmv
2
1
mv
2
1


(1.5)
Ở đây
21
v,v


là vận tốc của hạt điện tại hai điểm 1 và 2
V
1
, V
2
là điện thế tại các điểm 1, 2, và chú ý rằng dVsdEdtEv 





2
1
21
2
2
 (1.7)
21
VVU  là hiệu điện thế giữa hai điểm 1 và 2. Có thể thấy rằng độ tăng động năng của hạt điện phụ
thuộc vào hiệu điện thế giữa điểm đầu và điểm cuối, hay bằng độ giảm thế năng của hạt điện.
Từ các kết quả trên, ta nhận thấy:
 Điện trường dừng làm thay đổi động năng của hạt điện.
 Điện trường tăng tốc khi động năng của hạt tăng và điện trường hãm khi động năng của hạt giảm.
 Từ trường dừng không làm thay đổi động năng của hạt mà chỉ làm thay đổi hướng chuyển động của hạt
điện.
 Trong quá trình hạt điện chuyển động trong điện từ trường dừng thì năng lượng toàn phần của hạt bảo
toàn.
Từ (1.7) người ta đưa ra một đơn vị năng lượng gọi là êlectrôn – vôn (eV), là năng lượng mà một điện tích
C10.6,1eq
19
 thu được khi đi qua một hiệu điện thế tăng tốc bằng 1V.
J10.6,1eV1
19

eV10.24,6J1
18

Đối với êlectrôn, kg10.1,9m
31
 , C10.6,1e
19

E

không đổi về hướng và độ lớn tại mọi điểm.Ví dụ, điện trường giữa hai bản tụ điện phẳng là điện
trường đều (hình 1).
1. Chuyển động của hạt điện trong điện trường đều
Giả sử hạt điện bay vào điện trường đều
E

với vận tốc ban đầu
0
v

dưới góc

đối với phương
E

.
 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 3 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
Phương trình chuyển động của hạt điện trong điện trường có dạng
Eq
dt
vd
m


 (2.1)
Vận tốc chuyển động của hạt điện


1
và t
2
.
Hình 1: Điện trường đều giữa hai bản tụ điện phẳng
Nếu chọn t
1
= 0, vận tốc
01
vv


 thì tại thời điểm t
2
= t hạt điện có vận tốc vv
2


 :
tavt
m
Eq
vv
00




 (2.2)
Với

dr
rr





00
2
rtvt
m
Eq
2
1
r




 (2.3)
Hình 2: Chuyển động của hạt điện trong điện trường đều
0
r

là bán kính vectơ của hạt điện tại thời điểm t
1
= 0. Hình 2.
Nếu xét chuyển động của hạt điện dưới tác dụng của điện trường trong hệ toạn độ Đêcác sao cho hướng
của trường ngược chiều dương của trục y (đối với hạt mang điện âm, chọn hướng của trường cùng chiều dương
với trục y).

2
1
y
y0
2

Quỹ đạo của chuyển động có dạng parabol:
x
v
v
x
v
E
m
q
2
1
y
x0
y0
2
2
x0
 (2.4)
Từ điều kiện 0
dx
dy
*
xx


 , hạt ở gốc tọa độ O.
Hình 4: Chuyển động của điện tích trong điện trường.
Phương trình chuyển động của hạt điện trong điện trường:







2
0x0
t
m
eE
2
1
y
tvtvx
(2.6)
 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 5 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
Quỹ đạo chuyển động của hạt điện trong điện trường có dạng:
2
2
0
x
v
E
m

t
d
U
m
e
Et
m
e
v
U
m
e2
vv
C
y
0x0x
(2.8)
Có vị trí được xác định bởi (2.6), ta có









2
C
00

Ta có kết luận:
 Quỹ đạo của êlectrôn trong điện trường là một đường parapol.
 Quỹ đạo của êlectrôn không phụ thuộc vào các đặc trưng của êlectrôn






m
e
; điều đó có nghĩa là điện
trường tĩnh không có khả năng phân tách các hạt điện cùng dấu theo các đặc trưng của chúng.
 Nếu ta thay đổi
0
U và
C
U nhưng không làm thay đổi tỉ số
0
C
U
U
thì quỹ đạo của êlectrôn không đổi.
Sau khi ra khỏi điện trường, êlectrôn chuyển động thẳng và đập lên màn huỳnh quang M của ống tia điện
tử tại một điểm cách vị trí ban đầu theo phương y một khoảng D.
Như hình 4, ta có:
21
DDD 
2
C

U
L
v
v
LLtgD
0
C
x
y
2
l

 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 6 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.







L
2U
U
D
0
C
l
2d
l

Hình 5: Ống tia điện tử
Bài 3: CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT ĐIỆN TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU
Trong các dụng cụ điện tử việc điều khiển chùm êlectrôn hoặc ion không chỉ thực hiện được bằng điện
trường mà còn có thể được thực hiện bằng từ trường. Ta có thể khảo sát ảnh hưởng của từ trường lên chuyển
động của hạt điện dựa vào quy luật tương tác giữa từ trường và dòng điện.
Xét chuyển động của hạt điện có điện tích q, khối lượng m trong từ trường đều có vectơ cảm ứng từ
B

.
Lực từ trường tác dụng lên hạt điện chuyển động với vận tốc v

bằng


Bvq
dt
vd
mF




 (3.1)
F

vuông góc với
B

và v



là lực hướng tâm đối với chuyển động của hạt điện
qvB
R
mv
FF
2
ht

Bán kính quỹ đạo của hạt điện
qB
mv
R  (3.2)
 Chu kỳ chuyển động của hạt điện
const
qB
m2
v
R2
T 



 (3.3)
Chuyển động của hạt điện là chuyển động tròn đều.
 Tần số quay f và vận tốc góc

của chuyển động này là
 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 7 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.

Do đó
B
U
.
q
m2
R
0

(3.5)
Từ các kết quả trên ta thấy các đặc trưng của chuyển động của hạt điện phụ thuộc vào tỉ số
m
q
, tức là phụ
thuộc vào loại hạt điện cụ thể. Nếu các hạt khác loại (như êlectrôn, prôtôn,…) cùng được tăng tốc dưới điện áp
U
0
và đi qua một từ trường B như nhau thì bán kính quỹ đạo, chu kỳ và tần số của chuyển động tròn sẽ khác
nhau. Vì vậy người ta có thể dễ dàng phân chia các loại hạt với điện tích riêng
m
q
khác nhau. Khi tỉ số
B
U
0
không đổi thì quỹ đạo của hạt điện cũng không đổi. Hạt điện chỉ chuyển động tròn trong vùng từ trường đủ rộng
và đủ lớn.
Nếu vùng từ trường hẹp và từ trường B nhỏ thì quỹ đạo của hạt điện theo phương vuông góc với từ trường
là một cung tròn, khi ra khỏi vùng từ trường thì hạt điện chuyển động thẳng. Có thể sử dụng từ trường để lái
chùm tia điện tử. Hình 6.

 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 8 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
l
R
l
BL
mU2
e
LLtgD
0
2

Do đó







LB
mU2
e
D
0
2
l
l
(3.7)
Cũng tương tự như độ nhạy S của ống tia điện tử khi sử dụng tụ lái tia, có thể đưa vào khái niệm độ nhạy



 , vận tốc
0
v

hợp với từ trường một góc

và nằm trong mặt phẳng Oxy (hình 7).
0
v

có hai thành phần:
z0
v

song song với
B

và
y0
v

vuông góc với
B

. Thành phần
y0
v



, ta có:
0
v
qB
m2

 (3.10)
Từ trường đều có tính chất đặc biệt, nó có khả năng hội tụ chùm hạt điện phân kỳ yếu.
Giả sử có một chùm êlectrôn phát xạ từ catôt K và được tăng tốc bởi anôt A, sau đó đi qua khe của anôt
dưới dạng một chùm tia phân kì yếu và có độ lớn của vận tốc
0
v

không đồng đều. Khi không có từ trường,
chùm tia êlectrôn cho trên màn M một vòng tròn sáng. Nếu ta thiết lập một từ trường
B

song song với trục của
chùm tia thì sau những khoảng thời gian bằng chu kì T các êlectrôn sẽ cắt trục chùm tia tại những điểm cách
nhau một khoảng

, tính theo (3.10). Vì vậy nếu ta đặt màn M tại những vị trí mà chùm tia êlectrôn cắt trục của
chùm tia ta sẽ được điểm hội tụ của chùm tia. Như vậy từ trường đóng vai trò như một thấu kính hội tụ (hình 8)
y
z

x
z
v

Bài 4: CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT ĐIỆN TRONG ĐIỆN TỪ TRƯỜNG ĐỀU
Khi có tác dụng đồng thời của cả điện trường và từ trường hạt điện sẽ chuyển động theo những quỹ đạo
khác nhau tùy thuộc vào sự phân bố tương hỗ giữa điện trường và từ trường.
1. Điện trường song song với từ trường
Xét chuyển động của hạt điện có khối lượng m, điện tích q, vận tốc đầu
0
v

trong không gian có điện
trường
E

và từ trường
B

có cùng hướng theo trục Oz. Tại thời điểm t = 0 điện tích ở vị trí gốc tọa độ O và có
vận tốc
0
v

hợp với trục Oz một góc

(hình 9).
Điện trường
E

gia tốc cho hạt điện dọc theo trục Oz. Từ trường
B

làm cho hạt mang điện chuyển động

theo phương Ox.
Hạt điện chuyển động với vận tốc v
x
trong từ trường
B

, từ trường tác dụng lực Lorentz lên hạt điện làm
hạt điện chuyển động tròn trong mặt phẳng Oxy (mặt phẳng Oxy
B


).
Trên đoạn quỹ đạo OI chuyển động nhanh cong nhanh dần, do đó thành phần vận tốc v
y
của hạt điện tăng.
Trên đoạn quỹ đạo IK chuyển động của hạt ngược hướng điện trường, chuyển động cong chậm dần, các thành
phần vận tốc v
x
và v
y
đều giảm và bằng không tại K.
y
z
2

x
z
v
0









yzx
2
2
B
dt
dz
B
dt
dy
qqE
dt
xd
m







zxy
2
2

Trong trường hợp này, ta có 0BB
yx
 ; BB
z

0EE
zy
 ; EE
x

Các phương trình chuyển động thành phần có dạng:









B
dt
dx
q
dt
yd
m
B
dt
dy

m
qE
x
dt
xd
 (4.3)
Nghiệm tổng quát của phương trình (4.3) có dạng:




y0
2
21
v
m
qE
tcosCtsinCx (4.4)
C
1
và C
2
là các hằng số tích phân. Từ (4.4) ta có đạo hàm
 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 11 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
tsinCtcosC
dt
dx
21






tsinRt
B
E
t
m
qB
sin
qB
mE
t
B
E
y
)tcos1(Rt
m
qB
cos1
qB
mE
x
0
2
0
2
(4.5)
Với

)1k2(t .
Ta có:
x
max
= 2R
0
Quỹ đạo của hạt điện cắt trục y tại những điểm cách đều nhau ứng với x
min
= 0 khi 1tcos


và



kt ,
hay
qB
k2k2
t





Vị trí các điểm cắt trục y của quỹ đạo hạt điện phụ thuộc k:
qB
mk2
B
E

0
= 0. Các
êlectrôn này chuyển động và được tăng tốc nhờ điện trường
E

. Dưới tác dụng của từ trường
B

các êlectrôn này
chuyển động theo quỹ đạo cycloit, có bán kính
22
0
qdB
mU
qB
mE
R 
Nếu U nhỏ, bán kính R
0
nhỏ, chiều cao của cycloit nhỏ hơn khoảng cách d và các êlectrôn có thể tới anôt,
do đó dòng điện I = 0 giữa hai tấm kim loại.
Khi tăng dần hiệu điện thế U có thể đạt tới giá trị R
0
= d, các êlectrôn vừa vặn đạt tới anôt và gây nên
dòng anôt, 0I

.
 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 12 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
N

W eV

theo phương song song
với các bản tụ như hình vẽ.
a. Viết phương trình quỹ đạo của điện tử, từ đó xác định độ lệch giữa điểm vào và điểm ra của điện tử theo
phương đường sức điện.
b. Xác định động năng của điện tử nhay khi bay ra khỏi tụ điện.
Bỏ qua tác dụng của trọng lực.
Bài giải:
NX: Với bài tập này thì phương pháp tọa độ là thích hợp nhất
a. - Áp dụng định luật II Niutơn cho điện tử, ta được:

 
.
F m a
- Chiếu phương trình lên hệ trục Oxy, ta được:




  


0
. .
.
x
y
a
e E e U

2. . .
e U
y x
m d v
- Vận tốc ban đầu cuả điện tử được xác định bởi:
  
2 2
0
0 0 0
2.
1
. . (4)
2
d
d
W
W m v v
m
- Thay (4) vào (3), ta được:

  
2 2
4 2
0
.
5000
. 2,5. (5)
4. . 4.10 .5.10
d
e U

+
-
0
v

O
x
y
E

F


NX: Ta có thể giải theo hai cách:
+ Cách 1: Sử dụng phương pháp tọa độ.
+ Cách 2: Sử dụng định lý động năng.
Dưới đây tôi trình bày theo hai cách để từ đó rút ra nhận xét.
Cách 1:
- Phương trình vận tốc của điện tử:





0
.
.
x
y y
v v t

m d v
- Vậy động năng của điện tử ngay khi ra khỏi tụ điện là:
 
 
 
  
 
 
 
 
2
2 2
0
0
.
1 1
. . . .
2 2 .
d
e U
l
W m v m v
m d v
=2.10
-15
(J)
Cách 2:
- Áp dụng định lý động năng, ta có:

 

a. Xác định phương trình quỹ đạo của êlêctrôn.
b. Xác định khoảng cách gần nhất từ êlêctrôn đến tấm tích điện âm trong quá trình chuyển động của êlêctrôn.
Coi tấm kim loại đủ dài để êlêctrôn chạm tấm tích điện âm ở trong khoảng không gian giữa hai tấm kim loại
như hình vẽ.
Bài giải:
NX: Điện trường trong khoảng không gian giữa hai tấm kim loại là điện trường đều có cường độ điện trường
U
E
d

- Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.
- Trong quá trình điện tích chuyển động thì khoảng cách từ điện tích đến tấm tích điện âm được xác định
theo biểu thức:
 
h d y
Vậy để h nhỏ nhất thì y phải lớn nhất.
- Để xác định y
max
ta đi viết phương trình quỹ đạo của điện tích.
- Áp dụng định luật II Niutơn cho điện tử, ta được:
.
F m a

 
- Chiếu phương trình lên hệ trục Oxy, ta được:
 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 14 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.




.
1 1
( .sin ). . . ( .sin ). . . (2)
2 2 .
y
x v cos t
e U
y v t a t v t t
m d
- Từ (1), (2), ta được phương trình quỹ đạo của điện tử:


 
2
2 2
0
.
(tan ). . (3)
2. . .
e U
y x x
m d v cos
b. Phương trình vận tốc của điện tử:

 




   

v v t
m d
m d v
t
e U
- Thay vào (3), ta được:


2 2
0
.(sin ). .
2. .
max
v m d
y
e U
- Vậy khoảng cách gần nhất từ êlêctrôn đến tấm tích điện âm là:

   
2 2
0
min
.(sin ). .
2. .
max
v m d
h d y d
e U
- Nếu
min

2
1
mvK  (1)
Gọi v
2
là vận tốc lúc hạt ra khỏi tụ điện, thì :
+ Thành phần vận tốc vuông góc với đường sức có độ lớn không thay đổi :

scovscov
12
 (2)




m, q
 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 15 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.

K
V R
2

R
1

+ Thành phần vận tốc song song với đường sức thay đổi với gia tốc
m
Eq
a  và bằng t

mv
qEl
scotgsco 

sin
Do đó
 

tgtgsco
qEl
mvK


2
2
1
2
1
Bài 4: Một electron đang bay với vận tốc v
1
thì chuyển từ miền điện trường có điện thế

1
sang miền có điện thế 
2
. Hỏi nó sẽ chuyển động dưới góc  bằng bao nhiêu so với
mặt phân cách, nếu nó tới mặt đó dưới góc 
Bài giải:
Các miền có các điện thế



 evvm (1)
Trong đó

22
1
22
1
2
1
sinvscovv  và

22
2
22
2
2
2
sinvscovv  (2)
Để tìm mối liên hệ giữa các góc bay, ta chú ý thêm rằng hình mẫu thực tế của hai miền đẳng thế phân cách
nhau bằng một mặt phẳng có thể thực hiện được bằng một cặp lưới kim loại phẳng song song nằm rất sát nhau,
tích điện bằng nhau và trái dấu. Khi ấy điện trường ở khoảng không gian ngoài hai lưới bằng không, ở giữa hai
lưới là đều, có đường sức vuông góc với mặt các lưới. Nhờ thế khi bay qua “tụ điện phẳng” này thành phần
vuông góc của vận tốc bị thay đổi, còn thành phần tiếp tuyến của vận tốc (dọc theo mặt đẳng thế) không thay
đổi :

scovscov
12
 (3)
Thay (2) vào (1) và chú ý đến điều kiện (3) ta được





sinmv
e
tgtg
Bài 5:
.
Một chùm electron được phun ra từ một sợi dây đốt nóng K và được gia tốc nhờ một điện áp V cho đến
khi chui lọt qua một lỗ nhỏ trên một màn chắn nối đất. Hiệu điện thế gia tốc V phải bằng bao nhiêu để sau khi
v
1

(

1
) (
2
)


 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 16 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
2
1 3
N 4
N -1 5
N -2
được gia tốc các electron đi theo đường tròn cách đều hai bản của một tụ điện trụ. Bán kính các bản tụ điện trụ



. Thay mv
2
theo (1) được
21
4
RR
eV
Ee


(3)
Mặt khác, cường độ điện trường E trong tụ điện trụ và hiệu điện thế V
0
giữa hai bản tụ điện liên hệ với mật độ
điện tích dài q
0
trên ống trụ trong theo các hệ thức:
 
210
0
0
0
2 RR
q
r
q
E


1
2
0
2
R
R
V
V
ln

Bài 6: Tại các đỉnh của một đa giác đều gồm 2004 cạnh, có gắn các viên bi giống nhau, mang điện tích giống
nhau. Mỗi cạnh đa giác bằng a. Vào một thời điểm nào đó người ta thả một viên bi ra, và sau một khoảng thời
gian đủ lâu, người ta thả tiếp viên nằm cạnh viên đã thả lúc trước. Nhận thấy rằng khi đã cách đa giác một
khoảng đủ lớn thì động năng của hai viên bi đã thả chênh nhau một lượng bằng K. Hãy tìm điện tích q của mỗi
viên bi.
Bài giải:
Giả sử viên bi thứ nhất được thả từ đỉnh thứ N. Khi đã ở vô cùng (sau một khoảng thời gian đủ lớn), nó đạt
được động năng bằng thế năng tương tác ban đầu của nó với 1

N
điện tích còn lại










2210
22
1
111
42
N
aaa
qmv
K


 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 17 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
M A B N
Vậy :
a
q
KKK
0
2
21
4


suy ra : Kaq
0
4


Bài 7: Có hai điện tích điểm gắn cố định tại M và N. Người ta buông ra tại A một hạt mang điện tích q, thì nó

dtt
(2)
Ta tìm mối tương quan v
2
với v theo định lý về động năng


C
A
mVFdsA
2
2
1
(3) và


C
A
mVdsFA
2
222
2
1
(4)
Nhưng do qq 3
2
 nên FF 3
2
 . Thay vào (4) ta được


1
1
2
Bài 8: Cho một tụ điện cầu không khí, bán kính hai bản là R
1
=1cm, và R
2
=3cm, hiệu điện thế giữa hai bản
U
0
=450V, bản trong tích điện dương.
a. Tính cường độ điện trường tại điểm cách tâm O của hai bản là 1,5cm.
b. Một electron chuyển động với vận tốc ban đầu bằng không dọc theo đường sức điện trường từ vị trí cách tâm
O một khoảng r
1
=2,5m. Tìm vận tốc của electron khi nó cách O một khoảng r
2
=1,5cm.
Bài giải:
a. Kí hiệu q là điện tích tụ điện. Cường độ điện trường tại điểm M trong khoảng giữa hai bản chỉ do bản trong
gây ra:

2
r
kq
E
 , với r=OM.
Biết điện dung của tụ điện :
 
1)(ε,

O
●
●
φ
O
v

B

)t(v

l
Và từ đó
 
.V/m3.10
RRr
URR
E
4
12
2
021



b. Công của lực điện trường chuyển thành động năng của electron:
2
mv
A
2

21210
RRrr
rrRReU
A





 
m/s79,6.10
RRrmr
rrRR2eU
v
6
1221
21210




Bài 9: Một êlectrôn chuyển động trong một từ trường đều có cảm ứng từ là

B
. Tại thời điểm ban đầu êlectrôn ở
điểm O và có vận tốc

v
vuông góc với cảm ứng từ


2
sin2
2
sin2 

Bài 10: Hai hạt mang điện nhỏ giống nhau có cùng khối lượng m và điện tích q, chuyển động đồng thời từ một
điểm theo phương vuông góc với vectơ cảm ứng từ
B

trong một từ trường đều. Hãy biểu diễn khoảng cách
giữa hai điện tích điểm theo thời gian, nếu vận tốc đầu của chúng cùng chiều và bằng
21
,vv


. Bỏ qua tương tác
tĩnh điện giữa hai điện tích.
Đáp số:
 
t
m
qB
vv
qB
m
l
2
sin
2
12

 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 19 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
A
.
+
R
2
R
1
B

O
1 2
v

- Từ (1) & (2):
m.v
B.e
=
TM
2.sin

=> v =
TM.Be
2.m.sin

=
d.B.e
2.m.sin


= v.sin

Thành phần song song với
B
: v
s
= v.cos

Quỹ đạo của hạt là đường đinh ốc, nếu nhìn theo phương của
B
thì nó là đường tròn có
bán kính r:
- Thời gian quay một vòng: T =
n
2
π.r 2π.m
=
v B.e
- Còn
s
v làm electron chuyển động thẳng đều với vận tốc v
s
= v.cos

dọc theo phương của
B
.
- Trong thời gian đó electron đã đi được một đoạn dài là h và gọi là bước ốc:
h = v
s

e
Bài 12: Cho hai ống kim loại mỏng hình trụ (1) và (2), có bán kính lần lượt là R
1
= 5cm, R
2
= 6cm. Hai trụ trên
được lồng vào nhau và đồng trục, giữa chúng là không khí. Tích điện trái dấu cho hai trụ sao cho mật độ điện
tích dọc theo trục hình trụ có dạng :
0
2
1
2
ln
U
R
R



 
 
 
, trong đó U là hiệu điện thế giữa hai trụ. Người ta tạo ra trong
khoảng không gian giữa hai trụ một từ trường đều B = 0,2T, các đường sức từ song song với trục hình trụ và có
chiều như hình 2. Khoét một lỗ ở trụ ngoài rồi bắn một hạt  có năng lượng W = 100eV bay vào chính
giữa hai trụ theo phương vuông góc bán kính và nằm trong mặt phẳng hình vẽ. Hiệu điện thế giữa trụ (1) và trụ
(2) là bao nhiêu để hạt  luôn chuyển động cách đều hai trụ. Bỏ qua tác dụng của trọng lực. Cho biết: m

=
6,64.10

F

phải đúng bằng lực hướng tâm, là lực cần thiết để giữ hạt bay
trên quỹ đạo tròn có bán kính:
cm
RR
R 5,5
2
65
2
21




 (2)
- Nhận thấy lực điện Eq

. và lực từ


Bvq


. có cùng phương, lực từ hướng vào trục hìnhtrụ.
- Giả sử trụ trong tích điện dương, trụ ngoài tích điện âm, khi đó lực điện sẽ hướng raxa trục và U = V1 – V2 >
0.
- Áp dụng định luật II Niu tơn cho hạt

:



(5)
- Thay (4) và (5) vào (3) ta có:
R
W
R
R
R
qU
m
W
qB
2
ln
2
1
2
 (6)
1
2
ln
22
R
R
R
W
m
W
qB

.
a) Hỏi vận tốc quả cầu 2 thay đổi bao nhiêu lần?
b) Xác định tỷ số
2
2
2
m
q
k
 theo
1
1
1
m
q
k
 .
Giải :
a) Gọi v
o
là vận tốc đầu của mỗi quả cầu. v
1
là vận tốc của quả cầu 1 khi quay góc 60
o
. v
2
là vận tốc của quả cầu
2 khi quay góc 90
o
.

y
E
x
y
O
F


1
F

2
F

V

 
 













t
v
v
t
vv
m
Eq
a
o
o
o
y
y
o
o
o
o
o
x
x
.
Xét quả cầu 2:









y
y
oox
x
.
Lập tỷ số:
3
60sin
2
60cos
2
)4(
)3(
;
)2(
)1(
2
2
oo
o
o
o
o
o
y
x
v
v
v
v

v
q
m
m
q
o
o
o
o



.
Bài 14: Một hạt có điện tích q bay vào vùng không gian có hai trường đều vuông góc với nhau: điện trường
E

và từ trường
B

. Giả sử trong vùng này hạt còn chịu tác dụng của lực ma sát
F

= -h
V

(h là hằng số dương
còn
V

là vận tốc của hạt). Hãy tìm vận tốc đã ổn định của hạt.


+
1
F

+
F

2
= 0 (1)
- Chiếu (1) lên hướng chuyển động và lên hướng của lực từ, ta có:
-hV +
q Ecos 0
 
(2)

q VB q Esin 0
  
(3)
- Trong đó  là góc giữa hướng chuyển động và hướng lực điện.
- Giải hệ (2) và (3) tìm được độ lớn vận tốc V và góc :
V =
2 2 2
q E
h q B

(4)
cos =
2 2 2
h

m = 6,64.10
-27
kg, điện tích nguyên tố e =1,6.10
-19
C, B = 1T, U = 2.10
5
V.
1. Chứng minh rằng trong lòng các D quỹ đạo của hạt

là nửa đường tròn. Tìm mối liên hệ của bán kính
quỹ đạo vào khối luọng, vận tốc, điện tích của hạt

và cảm ứng từ B. Với chiều đi của hạt

như trong hình
vẽ thì
B

hướng ra trước hay sau mặt phẳng hình vẽ?
2. Nếu lần nào đi qua khe hạt

cũng chuyển động cùng chiều với điện trường do U sinh ra thì lần nào nó
cũng được tăng tốc. Để có sự đồng bộ này, f phải thoả mãn điều kiện gì và lấy giá trị bằng bao nhiêu? Tính vận
tốc v
n
của hạt

khi đi trên nửa đường tròn thứ n và bán kính R
n
của nửa đường tròn đó. Nếu bán kính của nửa

F v



nên là lực hướng tâm
2
m v
2evB
R


Suy ra quỹ đạo của hạt  là nửa vòng tròn, bán kính
m v
R
2eB

 (1)
B

hướng từ phía trước ra phía sau (đi vào) mặt phẳng hình vẽ.
2. Hạt  đi được một vòng thì
U
phải đổi chiều 2 lần, tức là chu kì chuyển động của hạt  và chu kì đổi chiều
của U phải bằng nhau

m
2 R 1 eB 2eB
T f , 2 f
v eB T m m


K m v
2

 . Như vậy động năng của hạt  khi đi trên nửa vòng tròn n là
2 2
0 0 n
1 1
K K 2neU m v 2neU m v
2 2
 
     . Vận tốc của hạt  khi đi trên nửa vòng tròn n là
2
n 0
4neU
v v
m

  (3)
Theo (1) bán kính của nửa vòng tròn n là
2
0
n
n
4neU
m v
m
m v
R
2eB 2eB


 
 
 
 
 
 
 
lượt
 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 23 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
Số vòng mà hạt  đã chuyển động là  12.
Từ (3) suy ra sau 12 vòng, vận tốc của hạt  là
7
v 2, 4.10 m / s
 .
3. a. Khi vận tốc của hạt tăng, do hiệu ứng tương đối tính khối lượng của hạt  tăng theo hệ thức Einstein
2
m
m
v
1
c


 

 
 
, nên tốc độ góc của nó theo (2) giảm. Thành thử nếu tần số f của U giữ không đổi thì hạt 
đến khe chậm hơn trước, đáng lẽ vào lúc tăng tốc thì lại đi ngược chiều điện trường và sẽ bị hãm.


   
   


 
 
 
 
.
Bài 16: (HSG QG 2009). Giả sử trong không gian Oxyz có một trường lực. Một vật khi đặt trong đó sẽ chịu tác
dụng của một lực, lực này có cường độ F=kr (k là hằng số) và luôn hướng về 0), với
222
zyxr  là
khoảng cách từ vị trí đặt vật đến tâm O.
Lúc đầu một hạt có khối lượng m, điện tích q>0 chuyển động trong trường lực trên. Đúng vào thời điểm vật có
vận tốc bằng 0 tại điểm có tọa độ (R,0,0) thì người ta đặt một từ trường đều có cảm ứng từ
B

dọc theo Oz. Bỏ
qua tác dụng của trọng lực. xét chuyển động của hạt kể từ thời điểm trên.
1. Tìm các tần số đặc trưng của hạt.
2. Viết phương trình chuyển động của hạt.
Gợi ý: Nghiệm của một số hệ phương trình vi phân tuyến tính có thể tìm dưới dạng



tsin ,




 
  


  


Tìm nghiệm dưới dạng:
x Acos( t ); y Csin( t )
      
. Thay vào (1) thu được hệ phương trình cho A và C:
2
2
k qB
A C 0
m m
(2)
qB k
A C 0
m m
 
 
   
 

 


 

vào (2) ta thu được:
2 2 2 2
1 0 0 2
1 1 2 2
1 B 2 B
2( ) 2( )
C A ; C A
   
  
   
Như vậy nghiệm tổng quát:
 Chuyên đề: Chuyển động của điện tích trong điện từ trường.
GV: Nguyễn Anh Văn - 24 - THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.
// C

O
M
r

M
0
0
0
v

r
0
v



2 2 2 2
1 0 2 1 0 1
2 2
1 2
2 2 2 2
1 0 2 0
1 2
2 2
B 1 2 1 2
R
x(t) cos t cos t
2R( )( )
sin t sin t
y(t)
( )

 
        

 
  



 
     
 

 
 

cản.
1. Chứng minh rằng độ lớn vận tốc v của hạt không đổi trên cả quỹ đạo của hạt.
2. Bằng cách lấy đạo hàm theo thời gian của tích vô hướng
r.v


rồi tính tích vô hướng đó để:
a) Tìm sự phụ thuộc vào thời gian của bình phương khoảng cách từ hạt đến điểm O và của cot, với 
là góc lập bởi
v

và
r

ở thời điểm t.
b) Tính  ở thời điểm mà
0
r 2r
 .
3. Bằng cách lấy đạo hàm theo thời gian của tích hữu hướng
r v



, rồi tính tích hữu hướng đó để suy ra
quỹ đạo của hạt nằm trên một mặt nón đỉnh O. Hãy tính nửa góc ở đỉnh của hình nón đó theo k, m, q,
0
r
và
0

m .v 0
dt



hay
2
dv
0
dt


2 2
0
v const v
 
tức là
0
v v

.
2. a) Lấy đạo hàm của tích vr


. ta được

2
d dv
(r.v) v r
dt dt

0
vv  , nên cuối cùng ta có
2
0
d
(r.v) v
dt



. Lấy tích phân này ta được:
2
0 1
r.v v t C
 


với C
1
là một hằng số. Dùng điều kiện ban đầu, tại t = 0,
r.v 0



(vì
00
vr


 ) suy ra C

2
0
dr
2v t
dt

Lấy tích phân ta được:
2 2 2
0 2
r v t C
 
.
Vì tại t = 0,
0
rr  , suy ra
2 2 2 2
0 0
r v t r
 
(3)
Vậy
2
r
là hàm bậc nhất của bình phương thời gian.
* Hệ thức (2) có thể viết lại dưới dạng
2
0 0
rv cos v t
  hay
o

v
cot t
r
  (4)
Như vậy,
cot

là hàm tuyến tính của thời gian, tăng từ 0 đến

trong suốt quá trình chuyển động, tức là
góc

giảm từ 2/

tới 0; do đó, vận tốc ban đầu vuông góc với vectơ bán kính rồi dần dần định hướng theo
hướng của
r

.
b)
0
r 2r
 tại thời điểm t sao cho, theo (3),
0 0
v t r

. Thay vào (4), ta được
cot 1
 
, suy ra

2 2
d kq v r r kq 1 dr r dr
(r v) v.
dt m r r r m r dt r dt
 
   
    
 
 
 
   
 
   


 
vì
r dr
v.
r dt



- đây chính là thành phần của vận tốc theo phương bán kính vectơ. Lưu ý rằng
2
1 dr r dr d r
r dt r dt dt r
   
 
 

kiện ban đầu tại t = 0,
0
r r

và
0
v v

).
Theo định lý Pitago:
2
2
0 0
kq
C (r v )
m
 
 
 
 
(6)
Theo tính chất của tích hữu hướng và (5)

kq kq
r(r v) 0 r C.r r Ccos
m m
 
      
 
 