Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

PHẦN1: PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Vật lí học là một trong những môn khoa học tự nhiên nghiên cứu những
quy luật đơn giản nhất và tổng quát nhất của các hiện tượng tự nhiên, nghiên
cứu tính chất và cấu trúc của vật chất và những quy luật của sự vận động của
vật chất.
Cùng với sự phát triển của khoa học kĩ thuật các giai đoạn phát triển của
vật lí học được chia làm hai giai đoạn: giai đoạn vật lí cổ điển và giai đoạn vật
lí hiện đại.
Vật lí học cổ điển là một khoa học xây dựng trên việc đúc kết các kết quả
thực nghiệm khi nghiên cứu các hiện tượng vật lí xảy ra đối với các hệ chứa
một số rất lớn các nguyên tử, tức là nghiên cứu tính chất, sự tương tác và dịch
chuyển của các hệ vĩ mô trong không gian. Về cơ bản vật lí học cổ điển hoàn
thành vào đầu thế kỉ XIX, nó bao gồm cơ học Newton, điện động lực học,
nhiệt động lực học…. nội dung chủ yếu của nó là giải thích các tính chất và
các hiện tượng vật lí xảy ra trong thế giới vĩ mô.
Nhờ sự hoàn thiện và ứng dụng các phương tiện kĩ thuật vào việc nghiên
cứu các vấn đề vật lí mà cuối thế kỉ XIX người ta đã khám phá ra các
electron, tia Roentgen và tính phóng xạ. Điều đó mở ra khả năng nghiên cứu
từng nguyên tử và phân tử riêng biệt. Đến lúc đó người ta nhận thấy rằng, vật
lý cổ điển không thể giải thích được tính chất của các nguyên tử và sự tương
tác của chúng với các bức xạ điện từ. Đây chính là tiền đề đầu tiên cho sự
xuất hiện nền vật lí hiện đại, chuyên đi sâu nghiên cứu thế giới vi mô, một
trong những môn khoa học quan trọng của nền vật lí này là môn cơ học lượng
tử: đó là môn khoa học dựa trên tính chất sóng - hạt của vật chất để nghiên

1

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường.
3. Nội dung nghiên cứu
- Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo quan điểm
của cơ học cổ điển.
+ Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường dựa trên cơ sở
các định luật Newton.
+ Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường dựa trên cơ học lí
thuyết.

2


Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

- Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo quan điểm
của cơ học lượng tử.
+ Các đại lượng động học và các toán tử.
+Toán tử Hamilton
+Toán tử Hamilton trong điện từ trường.
+Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo quan điểm
của cơ học lượng tử.
+Một số bài tập áp dụng lí thuyết lượng tử vào tìm hàm sóng, năng lượng
và tính chất hạt mang điện chuyển động trong điện từ trường.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp vật lí toán, phương pháp cơ học lượng tử.

3



Dựa vào phương trình (1.1) để xét chuyển động của những hạt mang
điện trong một số trường hợp đơn giản.
Đầu tiên ta xét trường hợp đơn giản nhất đó là chuyển động của hạt
mang điện trong từ trường đều.

 Giả sử vận tốc ban đầu của hạt là v , đi vào từ trường đều có cảm ứng



từ B . Để đơn giản ta xét trường hợp v vuông góc với cảm ứng từ B . Trước

hết ta nhận thấy rằng lực Lorenxơ luôn luôn vuông góc với v điều đó có

nghĩa là công của lực này luôn bằng không. Vì thế độ lớn của vận tốc v là

không đổi trong quá trình chuyển động. Lực Lorenxơ cũng không đổi và có
giá trị f  e v B .

4


Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường


v

Lực này luôn vuông góc với phương chuyển động nên


2 m
eB

(1.3)

Tần số góc  của hạt (góc quay được trong 1s) có giá trị:


2 e
 B
T m

(1.4)

và được gọi là tần số xyclotron.
Ta thấy chu kỳ chuyển động T và tần số góc  chỉ phụ thuộc vào điện
tích riêng e / m và cảm ứng từ B.
Hình vẽ bên cho ta quỹ đạo của hai hạt giống nhau có
 
vận tốc v1;v 2 khác nhau. Nếu hai hạt cùng xuất phát từ
một điểm O thì sau khi chyển động một vòng với cùng một
khoảng thời gian, chúng sẽ gặp lại nhau ở O.

5


v2
O


Lực này xác định bởi thành phần v  , khiến cho hạt chuyển động theo

đường tròn nằm trong mặt phẳng vuông góc với B . Lực gây nên bởi thành

phần v // bằng không. Do đó chuyển động của hạt là tổng hợp của hai chuyển

động:

 Chuyển động tròn đều trong mặt phẳng vuông góc với B , với vận tốc

dài bằng v  , với bán kính quỹ đạo, chu kỳ, tần số được xác định theo
các biểu thức (1.2); (1.3); (1.4),chỉ cần thay trong đó các giá trị của v
bằng v   vsin  .
 Chuyển động đều theo quán tính với vận tốc v //  vcos  , dọc theo

phương của B .
Vì thế quỹ đạo của hạt là một đường xoắn ốc hình trụ có trục trùng với
 
v v

v //


B


phương của cảm ứng từ B .

Bước của đường xoắn ốc là: h  v // T 


năng của hệ.
Để tìm định luật chuyển động của cơ hệ chỉ cần giải hệ thống s phương
trình Lagrange loại II.
Đại lượng q k 

dq k
gọi là vận tốc suy rộng,
dt

d 2q k
đại lượng 
q k  2 gọi là gia tốc suy rộng
dt

và đại lượng p k 

T
gọi là xung lượng suy rộng.
q k

Xét trường hợp liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết dừng.
Nếu các lực tác dụng lên cơ hệ là lực thế thì khi đó biểu thức của lực
suy rộng có dạng:


N
  r

U


2 k 1

Những phương trình mô tả chuyển động của hạt sẽ là:
d L L

 0,
d t x i x i

d L L

 0,
d t y i yi
d L L

 0,
d t z i z i

Hay viết dưới dạng vectơ:

( i = 1, 2,…,N)

d L L
  0
d t   ri
 ri


 i  1, 2,..., N 

Xét trường hợp hạt chuyển động trong điện từ trường:


Với các thành phần của B  0,0,B  , có thể chọn A  B y ,0,0 . Thật

vậy:

  






B  rotA   A z 
Ay; Ax 
Az ;
Ay 
Ax 
z
z
x
x
y 
 y

Thành phần Bx  0 , để đơn giản ta đặt A y  A z  0 .
Thành phần thứ hai: By  0 vì A z  0 nên A x  A x  x, y  .
Thành phần thứ ba: Bz  B;A y  0 nên B  

A x
y

m
 mz  0


z  D



 x  x 0  0, y  y0  0, z  z 0  0,
Các điều kiện ban đầu t = 0 thì: 
 x 0  0, y 0  v0 , z 0  0

Phương trình (1.7) có nghiệm là:
x  C1cos

eB
eB
mE C m
t  C 2 sin t  2 
m
m
eB
eB

Thay điều kiện ban đầu vào (1.6) và biểu thức của x ta có:

9

1.6 
1.7 

eB
x  

Vậy

eB
mE v0 m
 m E mv0 
x   2 
 cos t  2 
eB 
m
eB
eB
 eB
 mE v m  
eB 
x   2  0 1  cos t 
e B 
m 
 eB

Thay vào (1.6) ta có:
y  

eB m  E
eB 

  v0 1  cos t   v0
m eB  B

 mE v0 m  
eB 
x   2 
1  cos t 
e B 
m 
 eB


E
 mv0 E m  eB
 2  sin t  t
y  
m
B
 eB eB 

z  0



10


Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

1.2.2. Mô tả chuyển động của hạt dựa vào hệ phương trình Hamilton
Ta biết rằng các phương trình chuyển động Lagrange là các phương


t
k 1  q k


Lưu ý rằng:

L
L d  L
 pk ,
 
q k
q k dt  q k

(1.10)


  p k


Ta được:
s

dL  p kdpk  pkdq k  
k1
s

L
dt
t

(1.12)

k 1

Là hàm của qk, pk, t và gọi là hàm Hamilton. Trong biểu thức của hàm
Hamilton H, các vận tốc suy rộng q k được biểu diễn qua qk, pk và t nhờ các hệ
thức (1.5).
Biểu thức vi phân toàn phần của hàm Hamilton cũng có thể viết dưới
dạng:
s

 H
 H
H
dH   
dp k 
dq k  
dt
q k
k 1  p k
 t

(1.13)

Từ (1.7) và (1.9) dễ dàng ta thấy rằng:
q k 

H
H
, p k  



Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

gọi là những biến số Lagrange. Nếu định luật chuyển động của cơ hệ được mô
tả bằng những phương trình Hamilton thì trạng thái của hệ được xác định bởi
qk và pk. Những biến số qk, pk và t gọi là những biến Hamilton.
Giải hệ 2s phương trình Hamilton dẫn tới cần thiết nghiên cứu dạng của
Hamilton. Người ta đã chứng minh được rằng khi liên kết đặt lên cơ hệ là
dừng thì hàm Hamilton trùng với cơ năng của cơ hệ: H = T + U.
Áp dụng đối với trường hợp hạt mang điện chuyển động trong điện từ


 
trường dưới tác dụng của lực điện từ F  eE  e  v.B .
Ta có hàm Lagrange và xung lượng suy rộng P có dạng
   L
 
1
L  mv 2  e   e v A; P    mv  eA.
2
v

Hàm Hamilton của chất điểm bằng:


L
mv

 eEx
2m
2m
Py2
Px2
Pz2 eBy
e 2 B2 y 2




Px 
 eEx
2m 2m 2m 2m
2m









Các phương trình Hamilton mô tả chuyển động của hạt là:
x 

H Px eBy
 
Px m


y
y
m
m
z 

H Pz

Pz m

(1.20)

H
P z  
0
y

(1.21)

 x  x 0  0, y  y0  0, z  z 0  0,
Các điều kiện ban đầu là: 
 x 0  0, y 0  v0 ,z 0  0

Từ (1.20) và (1.21) ta có: z  0  z  0 (tương tự ví dụ trên)
Đạo hàm hai vế (1.19) và thay giá trị y ở (1.18), P x ở (1.17) vào ta có:
e 2 B2
e2 BE

Py  2 Py  

eB
C
eB
E

 y   v 0   cos t  2 sin t 
B
m
m
m
B

y 

y

(1.19)

m
E  eB
m C2
eB
E
cos t  t  C3
 v0   sin t 
eB 
B
m
eB m
m

x 0  0  C 4  C2  e BC3  C4  0
x 

x

m
E
eB
m C2
eB
C
t
sin
t  2  C5
 v0   cos
eB 
B
m
eB m
m
m

x 0  0  C5 

m
E
 v0  
eB 
B


vững của nguyên tử, qui luật bức xạ của vật đen,…. Từ đó dẫn tới việc xây
dựng một khái niệm mới về lượng tử, đó là bức đầu của việc hình thành nền
cơ học lượng tử.
15


Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

Trong cơ học cổ điển để đặc trưng cho chuyển động của một hạt ta
dùng những đại lượng như: tọa độ, xung lượng, mômen động lượng của
hạt…. Các đại lượng đó gọi là các biến số động lực.Hạt chuyển động theo
một quỹ đạo và ở thời điểm đã cho thì tất cả các biến số động lực đều có giá
trị xác định.
Trong cơ học lượng tử vấn đề lại khác. Hạt không được hình dung như
một chất điểm chuyển động theo quỹ đạo mà là một bó sóng định sứ trong
một miền của không gian tại một thời điểm và bó sóng thay đổi theo thời
gian. Tại một thời điểm ta chỉ có thể nói về sác xuất tìm thấy hạt trong một
phần tử thể tích của không gian.
Vì có sự khác biệt nói trên mà trong cơ học lượng tử biến số động lực
không phải được mô tả bằng một số như trong cơ học cổ điển. Chúng ta phải
tìm một cách mô tả khác thể hiện được những tính chất đã nêu ở trên của biến
số động lực, thể hiện được những đặc tính của các qui luật lượng tử. Những
nghiên cứu về toán tử cho thấy có thể dùng công cụ toán học này để mô tả các
biến số động lực trong cơ học lượng tử. Chúng ta thừa nhận một số giả thuyết
về nội dung cách mô tả như những tiên đề.
2.1. Các đại lượng động lực và các toán tử.
Trong các quá trình xây dựng cơ học lượng tử người ta thừa nhận tiên
đề sau:

với năng lượng E là phương trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử
H

2 2
 .
2m

Để thỏa mãn các yêu cầu trên người ta đưa ra các tiên đề sau:
 Các hệ thức liên hệ giữa các toán tử giống như các hệ thức liên hệ giữa
các đại lượng vật lí tương ứng trong cơ học cổ điển.
Nếu trạng thái của hệ lượng tử được biểu diễn bởi hàm tọa độ q và thời
gian t và nếu L(p,q,t), pk và qk (k≥1) là hàm Lagrange, xung lượng suy rộng
và tọa độ suy rộng thì:
s

Hàm Hamilton H  q k ,p k , t    p k q k  L được chuyển tương ứng thành
k 1

H  i


.
t

Xung lượng được chuyển thành: p k 

17

L


Trong hệ tọa độ đề các, toán tử H của một hạt gồm toán tử động năng
cộng toán tử hàm lực: H  T  U
2

p
2 2
Ở đây toán tử động năng T 

 , còn hàm lực U  U r, t
2m
2m

 

phụ thuộc vào tọa độ, thời gian t.
Trong trường hợp tổng quát, nếu hạt chuyển động trong trường lực phụ
2 2
 W
thuộc vào vận tốc, gia tốc,... thì : H  
2m

Ở đây W là thành phần mô tả chuyển động của trong trường lực tổng
quát.
Đối với hệ n hạt thì dạng tổng quát của toán tử Hamilton là :
n

H  
k 1

2 2


  e   
 Trong hệ tọa độ trụ :
.
  e

 ez
  
z

 Toán tử Laplaxơ (    2 ) :
 Trong hệ tọa độ đề các :    2 

2
2
2
.


 x 2  y2  z2

 Trong hệ tọa độ cầu :
1   2    
 
1
2
  2
r

 sin    2 2




U
r, t


2m  x 2 y 2 z 2 

 

19


Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

 Trong hệ tọa độ trụ :

2  1     1  2
2 
H


U
r, t .


r   2

2.2.2. Toán tử Hamilton của hạt mang điện chuyển động trong điện từ
trường.
Ta xét chuyển động phi tương đối tính của hạt mang điện tích e chuyển
 
động trong điện từ trường E,B tùy ý. Điện từ trường này có thể biểu diễn qua

thế vectơ A và thế vô hướng  của điện từ trường.


A
E   grad  
t


B  rot A,

Với điều kiện định cỡ Lorenxơ: div A = 0.
Hàm Lagrange của hạt mang điện trong điện từ trường:
 
1 2
L  m v  e A v  e ,
2
  L

 

Xung lượng suy rộng P    m v  e A  p  e A.
v
 


Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

Chúng ta sẽ lượng tử hóa hàm Hamilton (2.2) và xung lượng (2.1) theo
tiên đề hai của cơ học lượng tử: “mỗi đại lượng vật lý F trong cơ học lượng
tử được biểu diễn bằng một toán tử tuyến tính Hermite F ”.

P  P  i  
HH

Ở đây: P  e A



2

2
1 
U
P  eA  e 
2m





2

 2.4 

2

2

 Px  2e A x Px  i e 

x

x

x

2

 e A x Px  e Px A x  e2 A x

2

2

A x  e2 A x .
x

Khi tính toán các phép nhân toán tử ta đã tính đến tích
e Px A x   ie 




 A x    ie   A x    i e  A x 
x
x

y
2
2
2

Pz  e A z  Pz  2eA z Pz  i e  A z  e 2 A z .
z

P  e A 
P  e A 
x



x

2

2

 Px  2e A x Px  ie 



Từ đây ta suy ra:

 P  e A 

2


(2.6)

Thành phần thứ nhất tương ứng với chuyển động tự do của hạt, thành
phần thứ hai và thứ ba tương ứng với chuyển động của hạt trong từ trường,
thành phần thứ tư mô tả chuyển động trong điện trường, còn thành phần cuối

cùng mô tả chuyển động của hạt trong trường lực U r, t nào đó.

 

Để biết được chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường như
thế nào thì ta phải giải phương trình Schrodingder i 


 H.
t

 2 2 ie  
e 2  2
Với H  
 
A 
A  e  U
2m
m
2m

2.3. Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo quan
điểm của cơ học lượng tử.
Ta xét hạt có khối lượng m, điện tích e chuyển động trong một điện từ



U


A
grad


A 0


2
i
2

(2.7)


Đối với từ trường yếu, ta có thể bỏ qua thành phần tỉ lệ bậc hai với A .

Phương trình mô tả chuyển động trong điện từ trường yếu có dạng:

22


Vũ Thị Hương K31A

 2 


lượng tử ta thu được kết quả tương tự.

Chọn trục Oz trùng với hướng của từ trường B , nghĩa là Bx  B y  0


và Bz  B . Với các thành phần B  0,0,B  , có thể chọn A   By ,0,0 . Thật

vậy:

  






B  rotA   A z 
Ay; Ax 
Az ;
Ay 
Ax 
z
z
x
x
y 
 y

Thành phần Bx  0 , để đơn giản ta đặt A Y  A Z  0 .
Thành phần thứ hai: By  0 vì A z  0 nên A x  A x  x, y  .



Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

Phương trình (2.9) là phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai,
phương trình này có thể phân li các biến số một cách thích hợp để chuyển về
phương trình vi phân cấp hai thường để giải.
Vế trái của (2.9) có thể viết dưới dạng F , trong đó:
2 m E 2e B  e 2 B2 2
F   2  2 
y
 2 y

i x


Dễ dàng thử lại rằng các toán tử giao hoán với nhau từng đôi. Bởi vậy
các toán tử này chung nhau hàm riêng. Điều đó gợi ý cho việc đặt:
i p x i pz z
x

  x, y, z   e 
e
 y

(2.10)

Thay (2.10) vào (2.9) ta thu được phương trình vi phân cấp hai thường

2m 
p 2  e2 B2 2 e Bp x
p 2 
   y   2 E  z  
y 
y  x    y 
 
2m  2m
m
2 m 
2m 
p 2 1 e 2 B2  2
px
px 2 
   y   2 E  z 
y

2
y


   y 
 
2m 2 m 
eB
e 2 B2  
2
2 m 
p z 2 1 e 2 B2 
p x  

y
e B 
E

(2.13)

Thì phương trình (2.12) sẽ được viết dưới dạng:
    

2m 
1

  m 22       0
2 
 
2


(2.14)

Phương trình này chính là phương trình Schrodinger cho dao động tử
điều hòa. Năng lượng bị lượng tử hóa:
pz 2
1

 n  En 
    n   (n = 1, 2, 3,…)
2m
2




Thành thử nghiệm của (2.9) là:

25